精品解析：山西省（大同市第一中学集团校南）2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

山西省2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式是解题关键． 根据抛物线的顶点式即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 2. 如图是我国四家银行的标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合,根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：D． 4. 将一元二次方程配方后可得方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选C． 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可知，，再由，求出，继而得到． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ． 故选：A． 6. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，根据，，求出，根据“圆内接四边形的对角互补”求出即可，熟练运用圆内接四边形的性质、圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 与轴交于正半轴 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图形的性质，根据相关性质一一判断即可； 【详解】解：∵，∴开口向上，故选项A正确，不符合题意； ∵令时，，∴交轴于点，即与轴交于正半轴，故选项B正确，不符合题意； ∵，∴对称轴是直线；故选项C正确，不符合题意； ∵，∴当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D 8. 某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出件，每件获利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低元，那么平均每天可多售出件．商场要想平均每天获利元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设这款文创产品每件降价元，根据题意列出方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这款文创产品每件降价元， 根据题意可列方程为：， 故选：． 9. 如图，是的半径，点在劣弧上，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质等知识，在优弧上取一点，连接，．利用圆周角定理求出，利用圆内接四边形的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，解题的关键是熟练掌握相关知识解决问题． 【详解】解：在优弧上取一点，连接，． ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上，且．设正方形的面积是，的长是，则下列说法正确的是（　　） A. 当时，S有最小值 B. 当时，S有最大值 C. S随x的增大而减小 D. S随x的增大而增大 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，有最小值， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，正方形的性质、全等三角形的性质与判定，勾股定理，解决本题的关键是证明． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 一元二次方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键． 根据一元二次方程的解法即可求解． 【详解】解：， 移项，得， ， 或， ，， 故答案为：，． 12. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故答案为：． 13. 如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为______m． 【答案】6． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，读懂题意将问题转化为是解题的关键． 根据题意得到，解方程即可得到结论． 【详解】解：， 当时，即， 解得，（不合题意，舍去）， 该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离米． 故答案为：6． 14. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，，将绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查坐标与图形，平行四边形的性质及旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，再由坐标与图形确定点B的坐标为，连接，绕点O逆时针旋转到，过点B作轴，过点作轴，利用全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点的坐标为， ∴点B的坐标为， 连接，绕点O逆时针旋转到，过点B作轴，过点作轴，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为， 故答案为：． 15. 如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．先证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接． ， ． ， ， ． ， ． ， 则是等腰直角三角形． ， ． ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法；掌握公式法与因式分解的方法解方程是关键． （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）先把方程移项，再分解因式为，再化为两个一次方程，再解一次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于坐标原点对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，即为所求． （2） 如图，即为所求． 点的坐标为，点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 清徐葡萄产于山西省太原市清徐县，这里素有“葡萄之乡”的美称．某超市经销某种清徐葡萄，中秋节前售价为每千克8元，中秋节后随着葡萄上市量的增加，该种清徐葡萄经过连续两次降价后，售价变为每千克6.48元．若两次降价的百分率相同，求这种清徐葡萄每次降价的百分率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这种清徐葡萄每次降价的百分率为．利用经过连续两次降价后的价格为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种清徐葡萄每次降价的百分率为． 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：这种清徐葡萄每次降价的百分率为． 19. 如图，内接于，为的直径，平分，交于点，连接．已知，，求的长． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，勾股定理，根据直径所对的圆周角是直角得到，由角平分线的定义得到角平分线的定义，则可得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】．解：为的直径， ． 平分， ． ． ． 在中，由勾股定理，得． 在中，由勾股定理，得． 20. 如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． （1）求点的坐标； （2）直接写出当时的取值范围； （3）若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】（1）点的坐标为 （2） （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，图象法解一元二次不等式，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键． （1）令，则，解一元二次方程，即可求出抛物线与轴的交点坐标； （2）由函数图象及其与轴的交点坐标即可直接得出答案； （3）根据求出点到轴的距离等于7，再分两种情况求解，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：令，则，解得，． 点的坐标为． 【小问2详解】 解：由函数图象及其与轴的交点坐标可知： 当时，； 【小问3详解】 解：点的坐标为，． 设点到轴的距离为．， ，解得． 分两种情况： ①当点在轴上方时，，解得． 点的坐标为． ②当点在轴下方时，，解得，． 点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或． 21. 阅读与思考 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日 星期六 关于完全平方公式的思考 完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛，今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现： ，． 我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律： ；． 若多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为①______； 王华的探索发现： 若多项式是完全平方式，也可以看作是一元二次方程根的情况为②______时； 还可以看作抛物线与轴有③______个交点时， 数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索多反思． 任务一； （1）请你补充完整小明的日记：①______，②______，③______． 任务二： （2）若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值； 任务三： （3）除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程，请你再举出一例． 【答案】（1）①，②有两个相等的实数根，③一；（2）：或6；（3）：用配方法求二次函数的顶点坐标 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，一元二次方程根的判别式，二次函数与一元二次方程的关系： （1）根据给定的等式得出规律求①，根的判别式求②，抛物线与轴的交点个数求③； （2）根据规律列出一元二次方程，求解即可； （3）配方法求二次函数的顶点坐标． 【详解】解：（1）多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为， ∴， ∴可以看成一元二次方程根的情况为有两个相等的实数根，也可以看成抛物线与轴有一个交点； 故答案为：①，②有两个相等的实数根，③一； （2）由题意，可得：， 解得：或； （3）例如：用配方法求二次函数的顶点坐标． 22. 综合与实践 问题情境，学校开展实践活动，科学探究实验小组的同学们在综合实验楼前做了“从地面竖直向上射小球”的实验． 实验数据：根据实验小组多次测得的数据，综合分析可得小球离地面的高度与小球运动的时间之间是二次函数的关系，其部分对应数据如表： 问题解决： （1）求小球离地面的高度与小球的运动时间之间的函数关系式； （2）求小球发射后离地面的最大高度； （3）小宇在实验楼三层的观察点，观察小球运动，已知观察点离小球发射点的竖直高度为．小宇说：“两次看到小球经过观察点，且这两次间隔的时间为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：小宇的说法正确，理由如下： 令，则， 解得：，， ． 小宇两次看到小球经过观察点，且这两次间隔的时间为， 小宇的说法正确． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数，二次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的图象与性质． （1）设小球离地面的高度与小球的运动时间之间的函数关系式为．将，、，和，代入,解方程组即可得到结论； （2）根据二次函数的性质即可得到结论； （3）令，则，解方程，再求差即可得到结论． 【小问1详解】 解：设小球离地面的高度与小球的运动时间之间的函数关系式为． 将，、，和，代入， 得：， 解得：， 小球离地面的高度与小球的运动时间之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：，，， 当时，有最大值，为， 小球发射后离地面的最大高度为； 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 在中，，，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接． 实践操作： 第一步：将射线绕点逆时针旋转交于点； 第二步：将线段绕点逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，当点在的延长线上时，求证：． 问题解决： （2）根据上述操作，判断之间的数量关系，并说明理由． 探索发现： （3）如图2，若，点在线段上，试探究的值是否存在最小值．若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：由旋转的性质，得，，． ． ． 在和中，， ． （2）解：． 理由：由（1）可得， ． ，， ． ． ，， ． ， 即． 在和中，， ． ，． ． ． ． （3）18 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）根据，得出．证明．得出，．求出．根据勾股定理得出，即可证明结论； （3）连接，证明．得出，．证明，得出，证明．说明当最小时，的值最小，根据垂线段最短得出时，有最小值，根据勾股定理求出最小值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的值存在最小值，最小值为18． 如图，连接． 由旋转的性质，得，． ，， ． ，， ． ， 即． 在和中，， ． ，． ． ． ． 在中，， ． 当最小时，的值最小，此时． ，， ． 在中，由勾股定理，得， ，， ．又， ． ， 即的最小值为18． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2024—2025学年第一学期期中教学质量监测 九年级数学（人教版） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是我国四家银行的标志，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程配方后可得方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 与轴交于正半轴 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 8. 某旅游景点的商场销售一款山西文创产品，平均每天可售出件，每件获利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这款文创产品的售价每降低元，那么平均每天可多售出件．商场要想平均每天获利元，这款文创产品每件应降价多少元？设这款文创产品每件降价元，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的半径，点在劣弧上，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上，且．设正方形的面积是，的长是，则下列说法正确的是（　　） A. 当时，S有最小值 B. 当时，S有最大值 C. S随x的增大而减小 D. S随x的增大而增大 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 一元二次方程的解是______． 12. 将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为______． 13. 如图，综合实践小组的同学们研究了某草坪喷灌系统的设计，发现喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线（其中为垂直高度，为水平距离，单位：m），则该喷灌架喷出的水流可到达的最远距离为______m． 14. 在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点的坐标为，，将绕点逆时针旋转，则点的对应点的坐标为______． 15. 如图，为的直径，点在上，连接，在上截取，连接并延长交于点．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于坐标原点对称的； （2）画出绕点顺时针旋转后的，并直接写出点的坐标． 18. 清徐葡萄产于山西省太原市清徐县，这里素有“葡萄之乡”的美称．某超市经销某种清徐葡萄，中秋节前售价为每千克8元，中秋节后随着葡萄上市量的增加，该种清徐葡萄经过连续两次降价后，售价变为每千克6.48元．若两次降价的百分率相同，求这种清徐葡萄每次降价的百分率． 19. 如图，内接于，为的直径，平分，交于点，连接．已知，，求的长． 20. 如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． （1）求点的坐标； （2）直接写出当时的取值范围； （3）若点在抛物线上，且，求点的坐标． 21. 阅读与思考 下面是小明同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． 年月日 星期六 关于完全平方公式的思考 完全平方公式在代数式学习的过程中运用非常广泛，今天我在复习因式分解时也运用到了这一公式，并且我和同桌王华都有新的发现： ，． 我的探索发现：观察以上两个多项式的系数，发现了如下规律： ；． 若多项式是完全平方式，则系数之间存在的关系式为①______； 王华的探索发现： 若多项式是完全平方式，也可以看作是一元二次方程根的情况为②______时； 还可以看作抛物线与轴有③______个交点时， 数学真是魅力无穷！知识之间存在许多关联，平日我们要多探索多反思． 任务一； （1）请你补充完整小明的日记：①______，②______，③______． 任务二： （2）若多项式是一个完全平方式，利用以上结论求出的值； 任务三： （3）除因式分解外，初中数学还有许多知识的学习中也用到了完全平方公式，例如：用配方法解一元二次方程，请你再举出一例． 22. 综合与实践 问题情境，学校开展实践活动，科学探究实验小组的同学们在综合实验楼前做了“从地面竖直向上射小球”的实验． 实验数据：根据实验小组多次测得的数据，综合分析可得小球离地面的高度与小球运动的时间之间是二次函数的关系，其部分对应数据如表： 问题解决： （1）求小球离地面的高度与小球的运动时间之间的函数关系式； （2）求小球发射后离地面的最大高度； （3）小宇在实验楼三层的观察点，观察小球运动，已知观察点离小球发射点的竖直高度为．小宇说：“两次看到小球经过观察点，且这两次间隔的时间为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 23. 综合与探究 在中，，，点是射线上的一个动点（不与点重合），连接． 实践操作： 第一步：将射线绕点逆时针旋转交于点； 第二步：将线段绕点逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，当点在的延长线上时，求证：． 问题解决： （2）根据上述操作，判断之间的数量关系，并说明理由． 探索发现： （3）如图2，若，点在线段上，试探究的值是否存在最小值．若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $