冲刺2025年中考数学之二次函数特殊四边形存在性　训练

冲刺2025年中考之二次函数特殊四边形 类型一、平行四边形存在性 中点公式：如果有两点坐标A（x1，y1）和B（x2，y2），则AB的中点坐标M（） 原理：平行四边形的性质：对角线互相平分. 推理：若平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，则O是AC和BD的中点. A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），D（x4，y4） O是AC的中点，则O点坐标（）； O是BD的中点，则O点坐标（） 所以， 结论：平行四边形对角线横坐标之和相等，纵坐标之和也相等。即： 推论：①若四边形ABCD为平行四边形，则对角线只能为AC和BD，因此只有一种构造情况： ②若以A，B，C，D为顶点作平行四边形，此时对角线不明确，则分为以下三种情况： ①当以AC，BD为对角线时， ②当以AB，CD为对角线时， ③当以AD，BC为对角线时， 【总结】 平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组). Ⅰ、三定一动 例1、如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，当B、C、P、Q为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出Q的坐标． 【解答】解：（1）在y＝﹣x+2中，令x＝0，得y＝2， ∴B（0，2）， 令y＝0，得﹣x+2＝0， 解得：x＝4， ∴C（4，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）如图，过点P作PE∥y轴交BC于点E， 设P（t，﹣+t+2），则E（t，﹣t+2）， ∴PE＝﹣+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t， ∴S△BCP＝PE•BC＝×（﹣+2t）×4＝﹣（t﹣2）2+4， ∵﹣1＜0， ∴当t＝2时，S△BCP有最大值，最大值为4，此时，点P的坐标为（2，3）； （3）设Q（m，n），又B（0，2），C（4，0），P（2，3）， 当BC、PQ为对角线时，BC与PQ的中点重合， 则， 解得：， ∴Q（2，﹣1）； 当BP、CQ为对角线时，BP与CQ的中点重合，则， 解得：， ∴Q（﹣2，5）； 当BQ、CP为对角线时，BQ与CP的中点重合，则， 解得：， ∴Q（6，1）； 综上所述，Q的坐标为（2，﹣1）或（﹣2，5）或（6，1）． 【模考专练】 （2024黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若D为抛物线的顶点，求的面积； (3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)； (3)点P的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先根据抛物线的解析式求得顶点坐标，设直线的解析式为，待定系数法求出解析式，得到，根据的面积为求解即可； （3）根据题意分三种情况讨论，①当，时，②当，时，③当，时，作于点，结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题知，抛物线过点，， ，解得， 该抛物线的解析式为； （2）解： ，D为抛物线的顶点， ， 设直线的解析式为， 抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧）， 又抛物线对称轴为， ， 将代入中，有，解得， 直线的解析式为， 作轴，交于点，连接，，    有， ， 的面积为：； （3）解：存在，    ①当，时， ， 的坐标为； ②当，时， ， 的坐标为； ③当，时，作于点， 有，， ， ，， ， 的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． （2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM． ①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形； ②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2)平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或 (3)①见解析；②点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得，，，点D的坐标为，分当、、为对角线，三种情况讨论，利用中点坐标公式求解即可； （3）①只要利用等边对等角证明，即可得到四边形为菱形； ②先求得直线解析式，设，则，求得，，分和，两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴抛物线解析式为：； （2）解：平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或． 在中， 令，得：， 解得：，， ∴，， 令得， ∴， 存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： 设点D的坐标为， 如图，分情况讨论： ①当为对角线时，，， 解得：，， ∴； ②当为对角线时，，， 解得：，， ∴； ③当为对角线时，，， 解得：，， ∴； 综上所述，平面内存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； （3）解：①证明：∵沿对折，P的对应为点N， ∴，，， ∵垂直于x轴在y轴上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②设直线解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， 设，则， ∴， ∵，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 要使和相似，共有两种可能： 1）当， ∴，即， 解得：，（不合，舍去）； ∴； 2）当， ∴， 即， 解得：，（不合，舍去）， ∴； 综上所述，点P的坐标为或； Ⅱ、两定两动 例2、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知，分别是直线和抛物线上的动点，当，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【分析】 （1）抛物线：； （2）设E点坐标为，F点坐标为， 又B（0，2）、O（0，0）， ①若OB为对角线，由题意得：， 解得：或， 故E点坐标为或； ②若OE为对角线，由题意得：， 解得：或， 故E点坐标为或； ③若OF为对角线，由题意得：，解得：， 故E点坐标为（2，1）． 例2、如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，进而得到的最小值为的长，利用两点间距离公式进行求解即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，， ∴， 即：的最小值为：； （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； 例3、已知二次函数图象顶点为，直线与该二次函数交于A，B两点，其中A点，B点在y轴上． (1)求此二次函数的解析式； (2)P为线段上一动点（不与A，B重合），过点P作y轴的平行线与二次函数交于点E．设线段长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式； (3)D为线段与二次函数对称轴的交点，在上是否存在一点P，使四边形为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P点坐标为 【分析】此题考查了用待定系数法求函数解析式以及函数图象上点的坐标特征，二次函数与平行四边形的综合问题，结合图形有利于解答． （1）将点A代入直线解析式求出m的值，将二次函数设出顶点式，然后求出函数解析式； （2）分别得出点P和点E的纵坐标，然后将两点的纵坐标做差得出h与x的函数关系式； （3）根据平行四边形性质可得：，根据点D在直线上得出点D的坐标，从而得出方程求出x的值，得出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入 得， ∴， ， ∴， 设二次函数解析式为， 把A，B，C三点坐标代入得 解得 ∴； （2）解：∵P点在直线的图象上， ∴P点坐标为， ∵E点在抛物线的图象上， ∴E点坐标为， ∴； （3）解：存在． ， 二次函数关于直线对称， ， D点坐标为，则， 当时，，四边形为平行四边形， 即 解得， 当时，与重合， 当时，代入， ∴ P点坐标为． 【模考专练】 （2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为，C的坐标为； (3)点G的坐标为，，． 【分析】（1）本题考查了待定系数法解抛物线分析式，根据题意将点坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可； （2）根据题意证明，再设的解析式为，求出的解析式，再设，则，再表示出利用最值即可得到本题答案； （3）根据题意求出，再分情况讨论当为对角线时，当为边时继而得到本题答案． 【详解】（1）解：，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：如图1，过点C作x轴的垂线交于点M． ∴轴， ∴， ∴， 设的解析式为， 把，代入解析式得， 解得：， ∴． 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，最大，最大值为． ∴的最大值为，此时点C的坐标为． （3）解：由中心对称可知，抛物线F与的公共点E为直线与抛物线F的右交点， ∴， ∴（舍），， ∴． ∵抛物线F：的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为直线． 如图2，当为对角线时，由题知， ∴， ∴． 如图3，当为边时，由题知， ∴， ∴． 如图4，由题知， ∴，∴，综上：点G的坐标为，，． （2023•济南中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的值最大时，求点的坐标和的最大值； （3）把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1）；（2）当时，有最大值，此时；（3）或或 【详解】（1）将、代入， 得， ， ； （2）过点作轴的垂线交直线于点， ， 当时，， ， 设直线的解析为， ， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值， 此时； （3）、， ， 抛物线沿射线方向平移个单位， 抛物线沿轴正方向平移1个单位，沿轴正方向平移2个单位， ， 抛物线的对称轴为直线， 设，， ①当、为平行四边形的对角线时， ， 解得， ； ②当、为平行四边形的对角线时， ， 解得， ； ③当、为平行四边形的对角线时， ， 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时，求的值； (3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值，进而得出抛物线的解析式； （2）令，可得，令，可得，则，利用待定系数法可求得的解析式为，根据题意可知点的坐标为，，把分别代入抛物线和直线的解析式，可得，，进而可得，，由轴可得轴，据此可证得，于是可得，即，则，由已知条件可得，由此可建立关于m的方程，解之即可； （3）由C、F的坐标可求得直线的解析式为，进而可得，当时，，解方程即可求得点的坐标为或，然后分情况讨论：当时，；当时，；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得：，， 点的坐标为， 当时，， 点的坐标为， ，， ， 根据题意得，点的坐标为，则， 把代入，得： ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， 点的坐标为， ， ， 又轴， ∴轴， ， ， ， ， 又， ， 解得：，（不合题意，故舍去），∴的值为； （3）解：存在，点的坐标为或或或， 理由如下：设直线的解析式为，把，代入，得：， 解得：，的解析式为：，当时，， 点的坐标为，又点是轴上方抛物线上的一点， 当时，，解得：，，点的坐标为或， 分情况讨论：当点的坐标为时，，点的坐标为或； 当点的坐标为时，，点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为或或或． （2023济南平阴一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【解析】 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可； （2）设交于H，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：如图，设交于H， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴ ， ∴当时，取得最大值，此时； 小问3详解】 解：由题意得：平移后抛物线解析式为，， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴点N的坐标为； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴点N的坐标为； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或或 （2023年章丘二模）如图，二次函数图象过原点，与x轴的另一个交点为 （1）求该二次函数的解析式； （2）在x轴上方作x轴的平行线，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值； （3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A，B的坐标，进而可得出点C，D的坐标，再利用正方形的性质可得出关于m的方程，解之即可得出结论； （3）由（2）可得出点A，B，C，D的坐标，根据点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的解析式，利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，由且以A、E、F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出，分，，三种情况找出AQ，EF的长，由可得出关于t的一元二次方程，解之取其合适的值即可得出结论． 【详解】（1）将，代入，得：， 解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）当 时，， 解得：，， ∴点a的坐标为（，m），点b的坐标为（，m）， ∴点d的坐标为（，0），点c的坐标为（，0）． ∵矩形ABCD为正方形， ∴， 解得：，（舍去），． ∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4． （3）以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形． 由（2）可知：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为． 设直线AC的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线AC的解析式为． 当时， ， ∴点E的坐标为（，），点F的坐标为（，-t+4）． ∵以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且 ， ∴，分三种情况考虑： ①当时，如图1所示，，EF=， ∴，解得：（舍去），； ②当时，如图2所示，，EF=， ∴， 解得：（舍去），； ③,, EF=， ， 解得（舍去）， 综上所述，当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4或6或 类型二、菱形存在性 Ⅰ、几何构造法（两圆一线+平行四边形性质） 解法：菱形的构造和等腰三角形的构造类似，可以将菱形看作是两个全等的等腰三角形组合而成，先利用等腰三角形的构造方法求出第三个点，然后利用平行四边形的对边平行且相等，通过平移法求第四个点。 Ⅱ、特殊菱形的构造（性质） 原理：①菱形的邻边相等；②菱形的对角线互相垂直平分；③60°的菱形可看做两个等边三角形组合而成 Ⅲ、代数构造法（距离公式列方程+平行四边形法则） 原理：邻边相等的平行四边形为菱形 推理：A，B分别是x轴和y轴上的两个定点，C是x轴上一点，D是平面上一点，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形 解法：设第三个点C坐标，然后利用距离公式表示出三条边AB，AC，BC的长度，再分类讨论三条线段分别两两做邻边相等列方程，解方程求出点C的坐标。此时四个顶点的顺序已定，利用平行四边形对角线法则，设第四个点D的坐标，列方程组计算即可。 ①当AB=AC时，AD，BC为对角线，即： ②当AB=BC时，AC，BD为对角线，即： ③当AC=BC时，AB，CD为对角线，即： Ⅰ、菱形无序型（分类讨论） 例1、抛物线过点，，与轴交于点．对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点，使得，求出点的坐标； （3）点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】（1）抛物线的解析式为：，；（2），；（3）见解析 【详解】（1）抛物线过点，， ， 解得． 抛物线的解析式为：． 抛物线的对称轴为直线． ． （2）如图1，过点作轴交抛物线于点，过点作轴交于点， 令，解得， ， ， ， ， ， ， 令，则， 解得（舍去）或， ． ， ， ， ， ，即， ， ． 设直线的解析式为：， ，解得， 直线的解析式为：， 令，解得（舍去）或． ，． （3）存在，理由如下： 根据菱形的对称性可知是等腰三角形，需要分三种情况： ①当点为顶点，如图2，分别记为和； 由（2）可知，，，， ．， ． 过点作轴于点，过点作轴于点， 则，， ， ，，，． ②当点为顶点，如图3，记为，过点作轴于点， ． ， ， ， 设， ，， ，解得（舍或， ，， ． ③当点为顶点，如图4，取的中点，作交轴于点，交直线于点． ，，． ，，． ，， ， ，即， ， ， ． 直线的解析式为：． ，， 直线的解析式为：， 令，解得， ，． 综上，符合题意的点的坐标为：，或，或或，． 例2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，与轴交于点，，点是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）如图1，若点在第一象限内，过点作轴的平行线，交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，过点作轴的垂线交轴于点，交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），点坐标为；（2）时，的最大值为，此时点坐标为，；（3）见解析 【详解】（1）， ，， 将，代入得， 解得， ， 将代入得， 点坐标为． （2）设直线解析式为，将，代入得， 解得， ， 作轴交于点， ， ， 轴， ， ， 设点坐标为，则点坐标为． ， 时，的最大值为，此时点坐标为，． （3）①如图，， 设点坐标为，则，由（2）得， 点坐标为， ， ， 解得（舍或， ， ， 点坐标为，． ②如图，时四边形为平行四边形，时四边形为菱形， ，点坐标为， 点坐标为， 作， ， ， ，即， 解得（舍或， 点坐标为． ③如图，， 由①可得， 解得， ， 点坐标为． 综上所述，点坐标为，或或． 【模考专练】 （2023年平阴二模）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】(1)将，代入即可求解； (2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，△PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解； (3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解． 【详解】解：(1)将，代入二次函数表达式中， ∴ ，解得， ∴二次函数的表达式为：； (2)连接BP、CP、AP，如下图所示： 由二次函数对称性可知，BP=AP， ∴BP+CP=AP+CP， BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为， 此时的周长也最小， 设直线AC的解析式为：，代入， ∴，解得， ∴直线AC的解析式为：， 二次函数的对称轴为，代入，得到， ∴P点坐标为(1,2)， 此时的周长最小值=； (3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)， 分类讨论： 情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ， 此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点， 由菱形对角线互相垂直知：， ∴ ，解得， ∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)； 情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ， 同理有：，解得或， ∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)； 情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP， 设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)， 同理有：，解得或， ∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)； 纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，) （2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于两点， ∴把代入 得 解得 ∴ 故答案为：； （2）解：∵轴 ∴ ∴ ∵是直角三角形 ∴当时， ∴ ∴ ∵对称轴 ∴ 此时点P的坐标为 ∴当时， 设的解析式为 ∴把代入 ∴得 解得 ∴ 设点 则 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 则 即 解得（此时点E和点C重合，故舍去） ∴点 综上或 （3）解：存在，或 如图：依题意，当四边形为菱形时，由（2）知的解析式为 设点， ∵四边形为菱形 ∴ 即 则 由（2）知，此时 ∴ ∴ 即如下图所示： 如图：依题意，当四边形为菱形时 ∵点， ∴ 即 ∵ ∴ ∴解得，（舍去） ∴ ∴ 综上或 （2024济阳二模）26. 如图，已知抛物线：与y轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为O点，抛物线的对称轴交x轴于A点． （1）抛物线的关系表达式； （2）若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当时，求点P的坐标； （3）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由． 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求点的坐标以及设点的坐标的能力，同时还考查了二次函数图象平移的性质与数形结合分析图形并求解点的坐标的能力． （1）由对称轴方程可求出，由点代入可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设，过点作轴于点，过点作轴于点得证明可求出，再列式得，求出，从而可得结论； （3）求出点E坐标，设分为邻边，为对角线；为邻边，为对角线；为邻边，为对角线三种情况，以邻边相等求出，根据中点坐标公式求出的值即可解决问题 【小问1详解】 解：∵抛物线：与y轴相交于点， ∴； ∵抛物线扔对称轴为直线． ∴， ∴ ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴交x轴于A点， ∴ 设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为 ∵ ∴ 设，过点作轴于点，过点作轴于点则， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 解得，， 当时，； 当时，； ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵ 向左平移两个单位后抛物线的解析式为， 联立， 解得， ∴, ∵抛物线的对称轴为直线 ∴可设 ①为邻边，为对角线时； ； 又, ∴ 解得， ∴ 又的中点坐标为即 ∴， ∴ ∴； ②为邻边，为对角线时， 又 ∴ 解得， 当时， 的中点坐标为， ∴ ∴ ∴； 当时， 的中点坐标为， ∴ ∴ ∴； ③为邻边，为对角线 又， ∴ 解得，（C、E、F三点共线，不符合题意舍去）， ∵ ∴的中点坐标为 ∴ 解得， ∴, 综上，点H 的坐标为或或或 （2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． Ⅱ、有序型 例3、抛物线过点，点，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，点在第一象限抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，．若，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，点，使得四边形为菱形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为，顶点坐标为；（2），；（3）见解析 【详解】（1）把、代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为， ， 顶点坐标为； （2）如图1，过点作轴于，轴于， ， ， ， ， 设，其中，则， 解得：（舍，， ，； （3）存在， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， 解得：， ， 由（1）知：抛物线的对称轴为直线，， 设， 当四边形为菱形时，则，如图2，设直线与轴交于点， 则， ，， ， ， ， 解得：， 点坐标为或． 由平移性质可知点坐标分别为或． 【模考专练】 （2024·广东珠海·三模）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上. (1)如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______； (2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由； (3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系. 【详解】（1）解： ，在抛物线上， 将代入，得， ， 将代入，得， （2）不存在． 理由如下： 假设存在，由（1）得，， ， 设与轴交于点， ， 四边形为菱形， ， ． 点的坐标为， 轴， 点的坐标为， 又点在抛物线上，而， 假设不成立， 不存在四边形为菱形； （3）过点B作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则，， ①当点B，均在轴左侧时，如图1， ，，，， ，， ， 又， ， ，， ， 化简得， ， ； ②当点在轴左侧，点B在轴右侧时，如图2， ，，，， 同理可得， ，， ， 化简得， 或； ③当点B，均在轴右侧时，如图3， ，，，， 同理可得， ，， ， 化简得， ， ， 综上所述，，满足的等量关系为或． （2024济南钢城一模）24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥BC于点E，过点P作y轴的平行线交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移个单位后得到新抛物线y'．点M为平移后的新抛物线y'的对称轴上一点．在平面内确定一点N．使得四边形AMPN是菱形，请求出符合条件的点N的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0）两点， ∴， ∴， ∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+3x+4． （2）令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4． ∵A（﹣1，0），B（4，0）， ∴OA＝1，OB＝4． ∴OB＝OC＝4， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°． 设直线BC的解析式为y＝kx+n， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4． 设P（m，﹣m2+3m+4）， ∵点P是直线BC上方抛物线上的一动点， ∴0＜m＜4． ∵PF∥y轴， ∴F（m，﹣m+4）， ∴PF＝﹣m2+3m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4． ∵PF∥y轴， ∴∠PFE＝∠OCB＝45°． ∵PE⊥BC， ∴△PEF为等腰直角三角形， ∴PE＝EF＝PF， ∴△PEF周长＝PE+PF+EF＝（+1）PF＝﹣（+1）（m﹣2）2+4+4． ∵﹣（+1）＜0， ∴当m＝2时，△PEF周长取得最大值为4+4，此时点P的坐标为（2，6）； （3）∵将该抛物线沿射线CB的方向平移个单位， ∴新抛物线y'是由抛物线y＝﹣x2+3x+4向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到， ∴新抛物线y'的解析式为y＝﹣（x﹣）2+． ∴新抛物线y'的对称轴为直线x＝． ∵四边形AMPN是菱形， ∴AP为菱形AMPN的对角线． 设直线AP的解析式为y＝mx+c， ∵P的坐标为（2，6），A（﹣1，0）， ∴， ∴， ∴直线AP的解析式为y＝2x+2． ∵菱形对角线互相垂直平分， ∴直线MN的解析式为y＝﹣x+d． ∵线段AP的中点为（，3）， ∴+d＝3， ∴d＝， ∴直线MN的解析式为y＝﹣x， 当x＝时，y＝+＝， ∴M（，）． 设N（x，y）， ∴， ∴． ∴N（﹣，）． 类型三、矩形存在性 Ⅰ、几何构造法（两线一圆+平行四边形性质） 解法：矩形的构造和直角三角形的构造类似，可以将矩形看作是两个全等的直角三角形组合而成，先利用直角三角形的构造方法求出第三个点，然后利用平行四边形的对边平行且相等，通过平移法求第四个点。 Ⅱ、代数构造法（垂直k1×k2=－1列方程+平行四边形法则） 原理：有一个直角的平行四边形为矩形 推理：A，B分别是第二象限和第一象限的两个定点，C是x轴上一点，D是平面上一点，使以A、B、C、D为顶点的四边形为矩形 解法：设第三个点C坐标，然后利用k值公式表示出kAB，kAC，kBC的值，再分类讨论三条线段两两垂直，k1×k2=－1列方程，解方程求出点C的坐标。此时四个顶点的顺序已定，利用平行四边形对角线法则，设第四个点D的坐标，列方程组计算即可。 Ⅰ、矩形无序型（分类讨论） 例1、如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． （2）设直线AB的解析式为：， ∵直线AB经过，， ∴， ∴， ∴直线AB的表达式为． ∵轴，可设，，其中． 当M在N点上方时，． 解得，（舍去）． ∴． 当M在N点下方时， ． 解得，． ∴，． 综上所述，满足条件的点M的坐标有三个，，． （3）存在．满足条件的点Q的坐标有4个．，，，． 理由如下： ①如图，若AC是四边形的边． 当时， ∴拋物线的对称轴与直线AB相交于点． 过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点，， ∵，， ∴，，． ∵， ∴． ∴． ∴点与点D重合． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． ∴向右平移1个单位，向上平移1个单位得到． 此时直线的解析式为． ∵直线与平行且过点， ∴直线的解析式为． ∵点是直线与拋物线的交点， ∴． 解得，（舍去）． ∴．当时，四边形是矩形． ∵向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ∴向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ②如图，若AC是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为H，过点C作，垂足为K． 可得，． ∴． ∴． ∴． ∵点P不与点A，C重合， ∴和． ∴． ∴． ∴如图，满足条件的点P有两个．即，． 当时，四边形是矩形． ∵向左平移个单位，向下平移个单位得到． ∴向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当时，四边形是矩形． ∵向右平移个单位，向上平移个单位得到． ∴向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点Q的坐标为或或或． 例2、如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：连接，过点P作于点E，如图， ∵点P的坐标为， ∴，， 令，则， 解得或， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ； （3）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由如下： 如图，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴和为全等的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， 解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，，，， ∴， 整理得：， 分解因式得：， 解得：（舍去），（舍去），， ∴此时点Q的坐标为：． 综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或； （4）证明：∵， ∴抛物线的顶点D的坐标为，对称轴为直线， 设，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点D是线段的中点． 【模考专练】 （2023年天桥一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）正比例函数y＝kx的图象分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，当△BDO与△OCE相似时，求线段OD的长度； （3）如图2，P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（0，4）两点代入抛物线表达式得： ， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4； （2）由题意得，当△BDO与△OCE相似时，只有∠BDO＝90°， 在Rt△ADO中，tan∠DAO＝＝2， 则sin∠DAO＝＝， 则DO＝OAsin∠DAO＝2×＝； （3）存在， B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形有两种情况： 设P（t，﹣t2+t+4）， ①如图1，过点P作PH⊥y轴于H， ∵四边形BPGF是矩形， ∴BP＝FG，∠PBF＝∠BFG＝90°， ∴∠CFG+∠BFO＝∠BFO+∠OBF＝∠CFG+∠CGF＝∠OBF+∠PBH＝90°， ∴∠PBH＝∠OFB＝∠CGF， ∵∠PHB＝∠FCG＝90°， ∴△PHB≌△FCG（AAS）， ∴PH＝CF， ∴CF＝PH＝t，OF＝3﹣t， ∵∠PBH＝∠OFB， ∴，即， 解得：t1＝0（舍），t2＝1， ∴F（2，0）； ②如图2，过点G作GN⊥y轴于N，过点P作PM⊥x轴于M， 同①可得：NG＝FM＝3，OF＝t﹣3， ∵∠OFB＝∠FPM， ∴tan∠OFB＝tan∠FPM， ∴，即， 解得：t＝或（舍）， ∴F（，0）； 综上，点F的坐标为（2，0）或（，0）． （2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解:四边形为正方形，， ， ， ； 把点B、D坐标代入得：，解得：， 拋物线的解析式为： （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， 则抛物线的对称轴为直线， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ， 设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当吋，如图所示： 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； ②当时，如图所示: 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； 综上所述：点的坐标为或或或； （3）解：由题意可得如图所示： 连接， 由(2)可知点D与点关于抛物线的对称轴对称，， ； 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ， ， 的最小值为，即的最小值为， 设线段的解折式为，代入点的坐标得：， 线段的解析式为， ， ． （2023年商河二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【详解】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，设y=a（x+2）（x﹣4）， ∵OC=2OA，OA=2， ∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣， ∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+． （2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F． ∵CD∥PE， ∴△CMD∽△FMP， ∴m==， ∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）， ∵BC的解析式为y=﹣x+4， 设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4）， ∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2， ∴m==﹣（n﹣2）2+， ∵﹣＜0， ∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）． （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． ①当DP是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形DQNP是矩形时， 有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=， ∴直线DP的解析式为y=x+1，可得D（0，1），E（﹣，0）， 由△DOE∽△QOD可得=， ∴OD2=OE•OQ, ∴1=•OQ， ∴OQ=， ∴Q（，0）． 根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N， ∴N（2+，4﹣1），即N（，3） b、如图2﹣2中，四边形PDNQ是矩形时， ∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD， ∴直线PQ的解析式为y=﹣x+， ∴Q（8，0）， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）． ②当DP对角线时，设Q（x，0），则QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13， ∵Q是直角顶点， ∴QD2+QP2=PD2， ∴x2+1+（x﹣2）2+16=13， 整理得x2﹣2x+4=0，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）． （2024·青海西宁·一模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作交y轴于点E． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作轴于点F，当时，求的长； (3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴点C坐标为， 当时，，解得或， ∴； （2）解：设， ∵轴，， ∴，， ∵， ∴，解得或（不合题意，舍去）， 当时，， ∴， 设直线：，把代入可得： ，解得：， ∴直线：， ∵， ∴设：， ∵， ∴抛物线对称轴为， ∴， 把代入，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在一点G，使以P，E，Q．点G的坐标为或 （i）当是矩形的边时，有两种情形： ①如解图①，四边形是矩形时， 由（2）可知，代入，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵，， ∴点E向右平移，向上平移1个单位得到点Q， ∴将点P向右平移，向上平移1个单位得到点G， ∴，即  ； ②如解图②，四边形是矩形时， ∵直线的表达式为， ∴， ∴， ∵ ∴, ∵四边形是矩形 ∴ ∴, ∵, ∴， ∵, ∴， ∴,即，解得：， ∴, ∵， ∴,解得：， ∴ ∴． ∵， ∴点P向右平移6，向上平移4个单位得到点Q， ∴将点E向右平移6个单位，向上平移4个单位得到G， ∴，即． （ii）当是对角线时，设 ∵, ∴, ∴， ∵Q是直角顶点， ∴，即，整理得：， ∵， ∴该方程无解， 综上所述，满足条件的点G坐标为或． Ⅱ、有序型 例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得抛物线的顶点，对称轴为，分当点在轴上和点在轴负半轴上时，两种情况讨论，当点在轴负半轴上时，证明，求得，再证明，求得点的坐标为，由点在抛物线上，列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点 解得 抛物线的解析式为：； （2）解：， 则抛物线的顶点，对称轴为， 情况一：当点在轴上时，为抛物线的顶点， ∵四边形为矩形， ∴与纵坐标相同， ∴； 情况二：当点在轴负半轴上时，四边形为矩形， 过作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵抛物线对称轴为，点在对称轴上，， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴，∴，∴，， ∴，∴点的坐标为， ∵点在抛物线上，∴，解得，（舍去）， ∴，综上所述：符合条件的点坐标为：或． 【模考专练】 （2024商河一模）25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积； （3）若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点， ∴抛物线的表达式为：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵B（4，0），C（0，2）， ∴直线BC的表达式为：， 把代入得：， ∴； ∵点P落在抛物线的对称轴上， ∴P为抛物线的顶点， ∵， ∴， 在中，令x＝0得y＝2， ∴C（0，2） 由B（4，0），C（0，2）得直线BC的表达式为y＝﹣x+2， 把x＝代入y＝﹣x+2得y＝， ∴E（，）， ∴PE＝﹣＝， ∴S△PBC＝PE•|xB﹣xC|＝××4＝， 答：△PBC的面积是； （3）过点N作NG⊥EF于点G，如图1： ∵y＝2x+m过点B（4，0）， ∴0＝2×4+m， 解得m＝﹣8， ∴直线BM的表达式为：y＝2x﹣8， ∴M（0，﹣8）， 设E（a，﹣a+2），则F（a，2a﹣8）， ∵四边形BENF为矩形， ∴∠NEG＝∠BFH，NE＝BF， 在△NEG和△BFH中， ， ∴△NEG≌△BFH（AAS）， ∴NG＝BH，EG＝FH， 而NG＝a，BH＝OB﹣OH＝4﹣a， ∴a＝4﹣a， 解得a＝2， ∴F（2，﹣4），E（2，1）， ∴EH＝1， ∵EG＝FH， ∴EF﹣EG＝EF﹣FH，即GF＝EH＝1， ∵F（2，﹣4）， ∴G（2，﹣3）， ∴N（0，﹣3）． 类型四、正方形存在性 Ⅰ、几何构造法：先做出正方形，然后利用一线三等角做出四个全等求点坐标 推理：A，B分别是x轴和y轴上的两个定点，C是平面内一点，以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形 ①在AB右侧，过A作AD⊥AB且AB=AD，过B作BC⊥AB且AB=BC，连接CD，四边形ABCD为所求正方形 解法：围绕四个直角顶点构造一线三等角全等，根据全等三角形对应边相等写出对应边的长度，利用线段长度表示出点C、D坐标 ②在AB左侧，过A作AD⊥AB且AB=AD，过B作BC⊥AB且AB=BC，连接CD，四边形ABCD为所求正方形 解法：围绕四个直角顶点构造一线三等角全等，根据全等三角形对应边相等写出对应边的长度，利用线段长度表示出点C、D坐标 ③作线段AB的中垂线，在中垂线上找两点C、D，使得四边形ABCD为正方形，连接AC，BC，AD，BD 解法：围绕四个直角顶点构造一线三等角全等，设出对应边长度，利用矩形对边相等列方程组，解出对应边长度，表示出点C、D坐标 Ⅱ、代数构造法（正方形看做两个等腰直角三角形，勾股定理a2+b2=c2确定直角） 解法：设C点坐标，然后利用距离公式表示出三条边AB，AC，BC的长度，再分类讨论三条线段两两相等和勾股定理a2+b2=c2列方程组，消元解方程组算出点C，然后再算点D。此方法因计算太过繁琐，不推荐使用，只做了解 例1、如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 【模考专练】 （2022•市中区校级模拟）平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点，直线与抛物线交于点． （1）若，，直线过点． ①连接，，求的面积； ②抛物线上两点，，点在点的左侧，且都在直线上方，直线于点，直线于点，当四边形是正方形时，求点的横坐标； （2）已知点，连接，，直线交，分别于点，，且直线与抛物线只有一个公共点，若此时，求的值． 【答案】（1）①；②，；（2） 【详解】（1）①令，则， 或， ，， 令，则， ， ，，在直线上， ， 解得， ， ，在上， ， ， ， 直线与轴的交点为， ； ②直线， 设直线的解析式为， 、在直线的上方， ， 设，，，， 联立方程组， 整理得， ，， ， ， 设直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，过点作直线交于点， ，， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， 解得或， ， ， 直线的解析式为， ， 解得或， ，； （2）联立方程组， 整理得， 直线与抛物线只有一个公共点， △， ， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， 点的横坐标为， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得， 点的横坐标为， 过点作轴交于点，过点作轴交于点， 、关于轴对称， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （济南历城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，． （1）求，的值． （2）当的面积为3时，求点的坐标． （3）设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标． （23-24九年级·北京·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与抛物线交于两点，与直线交于点．若点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，求的值； ②在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ；+ （2）解：①当点在点的左侧时， 如图1，，    ∴设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， ， 解得：， ， ，且轴， 的横坐标为， ， ， 即，即， 解得； 当点在点的右侧时， 同理可得， 即， 解得， 综上，或； ②存在，由①知：， ∵四边形是正方形， ， ，且轴， ，， 分两种情况： 当时，如图2，点在的左侧，    ， ， ， 解得：（舍去正值）， ， ， 当时，点在的右边，如图3，    同理得， 解得：（舍去负值）， 同理得； 综上，点的坐标为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 冲刺2025年中考之二次函数特殊四边形 类型一、平行四边形存在性 中点公式：如果有两点坐标A（x1，y1）和B（x2，y2），则AB的中点坐标M（） 原理：平行四边形的性质：对角线互相平分. 推理：若平行四边形ABCD，对角线AC和BD相交于点O，则O是AC和BD的中点. A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），D（x4，y4） O是AC的中点，则O点坐标（）； O是BD的中点，则O点坐标（） 所以， 结论：平行四边形对角线横坐标之和相等，纵坐标之和也相等。即： 推论：①若四边形ABCD为平行四边形，则对角线只能为AC和BD，因此只有一种构造情况： ②若以A，B，C，D为顶点作平行四边形，此时对角线不明确，则分为以下三种情况： ①当以AC，BD为对角线时， ②当以AB，CD为对角线时， ③当以AD，BC为对角线时， 【总结】 平行四边形存在性问题经常呈现为:一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴(y轴)或对称轴或某一定直线上.设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四边形顶点纵坐标公式;若在y轴上，坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式.动点哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式. 无论是三定一动，还是两定两动，统统把抛物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为定点，分别以这三个定点构成的三条线段为对角线分类，分三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化为方程(组). Ⅰ、三定一动 例1、如图，直线与y轴、x轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点为A（﹣1，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数的图象在第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系中找一点Q，当B、C、P、Q为顶点所构成的四边形是平行四边形时，直接写出Q的坐标． 【模考专练】 （2024黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若D为抛物线的顶点，求的面积； (3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． （2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，其中，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，平面内是否存在一点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若点P是线段BC（不与端点重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM． ①如图3，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求证：四边形PCNM为菱形； ②当△PCM和△ABC相似时，求点P的坐标． Ⅱ、两定两动 例2、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知，分别是直线和抛物线上的动点，当，，，为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 例2、如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．     (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例3、已知二次函数图象顶点为，直线与该二次函数交于A，B两点，其中A点，B点在y轴上． (1)求此二次函数的解析式； (2)P为线段上一动点（不与A，B重合），过点P作y轴的平行线与二次函数交于点E．设线段长为h，点P横坐标为x，求h与x之间的函数关系式； (3)D为线段与二次函数对称轴的交点，在上是否存在一点P，使四边形为平行四边形？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 【模考专练】 （2024·四川广元·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线F：经过点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在直线上方抛物线上有一动点C，连接交于点D，求的最大值及此时点C的坐标； (3)作抛物线F关于直线上一点的对称图象，抛物线F与只有一个公共点E（点E在y轴右侧），G为直线上一点，H为抛物线对称轴上一点，若以B，E，G，H为顶点的四边形是平行四边形，求G点坐标． （2023•济南中考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的值最大时，求点的坐标和的最大值； （3）把抛物线沿射线方向平移个单位得新抛物线，是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． （2024·宁夏·中考真题）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第四象限内抛物线上的一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图过作轴于点，交直线于点．设点的横坐标为，当时求的值； (3)如图点，连接并延长交直线于点，点是轴上方抛物线上的一点，在（2）的条件下，轴上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． （2023济南平阴一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． （2023年章丘二模）如图，二次函数图象过原点，与x轴的另一个交点为 （1）求该二次函数的解析式； （2）在x轴上方作x轴的平行线，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值； （3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值；若不能，请说明理由． 类型二、菱形存在性 Ⅰ、几何构造法（两圆一线+平行四边形性质） 解法：菱形的构造和等腰三角形的构造类似，可以将菱形看作是两个全等的等腰三角形组合而成，先利用等腰三角形的构造方法求出第三个点，然后利用平行四边形的对边平行且相等，通过平移法求第四个点。 Ⅱ、特殊菱形的构造（性质） 原理：①菱形的邻边相等；②菱形的对角线互相垂直平分；③60°的菱形可看做两个等边三角形组合而成 Ⅲ、代数构造法（距离公式列方程+平行四边形法则） 原理：邻边相等的平行四边形为菱形 推理：A，B分别是x轴和y轴上的两个定点，C是x轴上一点，D是平面上一点，使以A、B、C、D为顶点的四边形为菱形 解法：设第三个点C坐标，然后利用距离公式表示出三条边AB，AC，BC的长度，再分类讨论三条线段分别两两做邻边相等列方程，解方程求出点C的坐标。此时四个顶点的顺序已定，利用平行四边形对角线法则，设第四个点D的坐标，列方程组计算即可。 ①当AB=AC时，AD，BC为对角线，即： ②当AB=BC时，AC，BD为对角线，即： ③当AC=BC时，AB，CD为对角线，即： Ⅰ、菱形无序型（分类讨论） 例1、抛物线过点，，与轴交于点．对称轴与轴交于点． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图，连接、，在直线上方的抛物线上找点，使得，求出点的坐标； （3）点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点和点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由 例2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于、两点，与轴交于点，，点是抛物线上一动点． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）如图1，若点在第一象限内，过点作轴的平行线，交直线于点，求线段的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，过点作轴的垂线交轴于点，交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【模考专练】 （2023年平阴二模）如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及△PBC的周长； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E． (1) ， ； (2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （2024济阳二模）26. 如图，已知抛物线：与y轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为O点，抛物线的对称轴交x轴于A点． （1）抛物线的关系表达式； （2）若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当时，求点P的坐标； （3）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由． （2024·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． Ⅱ、有序型 例3、抛物线过点，点，顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点的坐标； （2）如图1，点在第一象限抛物线上，连接并延长交轴于点，连接，．若，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，点是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，点，使得四边形为菱形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【模考专练】 （2024·广东珠海·三模）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴负半轴上. (1)如图1，已知点，，在抛物线上，则________；_______； (2)在（1）的条件下，若点D在抛物线上，且轴，是否存在四边形为菱形？请说明理由； (3)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，点D在点B的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，请求出m，n满足的数量关系. （2024济南钢城一模）24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥BC于点E，过点P作y轴的平行线交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，将该抛物线沿射线CB的方向平移个单位后得到新抛物线y'．点M为平移后的新抛物线y'的对称轴上一点．在平面内确定一点N．使得四边形AMPN是菱形，请求出符合条件的点N的坐标． 类型三、矩形存在性 Ⅰ、几何构造法（两线一圆+平行四边形性质） 解法：矩形的构造和直角三角形的构造类似，可以将矩形看作是两个全等的直角三角形组合而成，先利用直角三角形的构造方法求出第三个点，然后利用平行四边形的对边平行且相等，通过平移法求第四个点。 Ⅱ、代数构造法（垂直k1×k2=－1列方程+平行四边形法则） 原理：有一个直角的平行四边形为矩形 推理：A，B分别是第二象限和第一象限的两个定点，C是x轴上一点，D是平面上一点，使以A、B、C、D为顶点的四边形为矩形 解法：设第三个点C坐标，然后利用k值公式表示出kAB，kAC，kBC的值，再分类讨论三条线段两两垂直，k1×k2=－1列方程，解方程求出点C的坐标。此时四个顶点的顺序已定，利用平行四边形对角线法则，设第四个点D的坐标，列方程组计算即可。 Ⅰ、矩形无序型（分类讨论） 例1、如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线AB与y轴交于点．经过原点O的抛物线交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当轴且时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 例2、如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点P的坐标为时，求四边形的面积； (3)当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点． 【模考专练】 （2023济南天桥一模）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）正比例函数y＝kx的图象分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，当△BDO与△OCE相似时，求线段OD的长度； （3）如图2，P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． （2024·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． （2023年商河二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． （2024·青海西宁·一模）综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴于点D，过点D作交y轴于点E． (1)求点A，B，C的坐标； (2)点P为抛物线上第四象限的一个动点，过点P作轴于点F，当时，求的长； (3)在（2）的条件下，若点Q是x轴上一点，使以P，E，Q，G为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． Ⅱ、有序型 例3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标． 【模考专练】 （2024商河一模）25．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，直线BM：y＝2x+m交y轴于点M．P为直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线BC、BM于点E、F． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P落在抛物线的对称轴上时，求△PBC的面积； （3）若点N为y轴上一动点，当四边形BENF为矩形时，求点N的坐标． 类型四、正方形存在性 Ⅰ、几何构造法：先做出正方形，然后利用一线三等角做出四个全等求点坐标 推理：A，B分别是x轴和y轴上的两个定点，C是平面内一点，以A、B、C、D为顶点的四边形为正方形 ①在AB右侧，过A作AD⊥AB且AB=AD，过B作BC⊥AB且AB=BC，连接CD，四边形ABCD为所求正方形 解法：围绕四个直角顶点构造一线三等角全等，根据全等三角形对应边相等写出对应边的长度，利用线段长度表示出点C、D坐标 ②在AB左侧，过A作AD⊥AB且AB=AD，过B作BC⊥AB且AB=BC，连接CD，四边形ABCD为所求正方形 解法：围绕四个直角顶点构造一线三等角全等，根据全等三角形对应边相等写出对应边的长度，利用线段长度表示出点C、D坐标 ③作线段AB的中垂线，在中垂线上找两点C、D，使得四边形ABCD为正方形，连接AC，BC，AD，BD 解法：围绕四个直角顶点构造一线三等角全等，设出对应边长度，利用矩形对边相等列方程组，解出对应边长度，表示出点C、D坐标 Ⅱ、代数构造法（正方形看做两个等腰直角三角形，勾股定理a2+b2=c2确定直角） 解法：设C点坐标，然后利用距离公式表示出三条边AB，AC，BC的长度，再分类讨论三条线段两两相等和勾股定理a2+b2=c2列方程组，消元解方程组算出点C，然后再算点D。此方法因计算太过繁琐，不推荐使用，只做了解 例1、如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 例2、如图，已知抛物线 与轴交于点，与轴交于，两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【模考专练】 （济南市中区校级模拟）平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，（点在点的左侧），交轴于点，直线与抛物线交于点． （1）若，，直线过点． ①连接，，求的面积； ②抛物线上两点，，点在点的左侧，且都在直线上方，直线于点，直线于点，当四边形是正方形时，求点的横坐标； （2）已知点，连接，，直线交，分别于点，，且直线与抛物线只有一个公共点，若此时，求的值． （济南历城区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，点是反比例函数的图象上一动点，过点作直线轴交直线于点，设点的横坐标为，且，连接，． （1）求，的值． （2）当的面积为3时，求点的坐标． （3）设的中点为，点为轴上一点，点为坐标平面内一点，当以，，，为顶点的四边形为正方形时，求出点的坐标． （23-24九年级·北京·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与抛物线交于两点，与直线交于点．若点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，求的值； ②在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$