精品解析：河南省周口市鹿邑县第二高级中学校2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

2024-2025学年高二下学期数学月考试卷 一、选择题（共8题，每题5分，共40分） 1. 设A，B两个事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，则P(AB)=（ ） A. B. C. D. 2. 若函数满足，则值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 3. 随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（ ） A. 5 B. 15 C. 45 D. 与有关 4. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 5. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（ ） A. 32 B. -32 C. 0 D. 1 6. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 420种 B. 360种 C. 540种 D. 300种 8. 已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是（ ） A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是 B. 从中任取3球，恰有两个白球的概率是 C. 从中任取3球，取得白球个数的数学期望是1 D. 从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为 10. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ） A. 2，n，10成等差数列 B. 各项系数之和为64 C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 D. 展开式中第5项常数项 11. 已知函数，则（ ） A. 的极大值为 B. 的最小值为 C. 当的零点个数最多时，的取值范围为 D. 不等式的解的最大值与最小值之差小于 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知函数，则______． 13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X分布列如下： X 0 1 2 P 则随机变量Y的方差等于______； 14. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 四、解答题（共5题，共77分） 15. 4名男生4名女生排成一排，分别求下列情形的排法： （1）甲乙二人必须站在一起； （2）甲乙二人不能站在一起； （3）男女必须间隔而站； （4）甲乙二人中间恰有1人. 16 已知函数，. （1）当时，求函数在区间上的最大值； （2）当时，求函数的极值. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 18. 2020年10月4日，第29届全国中学生生物学奥林匹克竞赛，在重庆巴蜀中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照的分组作出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生成绩的中位数； （2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若，证明：关于x的不等式有解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二下学期数学月考试卷 一、选择题（共8题，每题5分，共40分） 1. 设A，B为两个事件，已知P(A)= ，P(B|A)= ，则P(AB)=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用条件概率的概率公式计算可得； 【详解】解：由条件概率的计算公式，可得： 故选：B 2. 若函数满足，则的值为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】求解导函数，再赋值，解关于的方程可得. 【详解】由，得， 则，解得， 故选：C. 3. 随机变量的概率分布为 1 2 4 0.4 0.3 则等于（ ） A. 5 B. 15 C. 45 D. 与有关 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率分步图求得，再根据期望运算可求得,再根据期望运算法则可求得. 【详解】根据题意知，， ， ， 故选：B 4. 已知函数，则的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导后，由可求出其递减区间. 【详解】的定义域为，， 令，解得， 所以的单调递减区间为， 故选：A. 5. 在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（ ） A 32 B. -32 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得. 【详解】依题，解得， 则二项式的所有项系数之和为. 故选：D. 6. 已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，结合已知条件和导函数与函数极值的关系即可判断. 【详解】因为函数，定义域为， 则， 当时，由，可得或，由，可得，函数在处取得极大值； 当时，恒成立，函数不存在极值； 当时，由，可得或，由，可得，函数在处取得极小值； 所以， 故选：C. 7. 在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ） A. 420种 B. 360种 C. 540种 D. 300种 【答案】A 【解析】 【分析】先分类，再分步进行.先分颜色种类为3,4,5，再分步计算. 【详解】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种； 选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种； 选用五种颜色时，有种， 所以一共有种， 故选：A. 8. 已知函数，若函数在处的切线方程为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 对函数求导得，求得的值，再根据切点既在切线上又在曲线上，可求得的值，即可得答案. 【详解】∵， ∴，解得，∴， ∴. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意切点既在切线上又在曲线上的应用. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是（ ） A. 从中任取3球，恰有一个白球的概率是 B. 从中任取3球，恰有两个白球的概率是 C. 从中任取3球，取得白球个数的数学期望是1 D. 从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求解恰有一个白球和恰有两个白球的概率，判断A、B正误；利用离散型随机变量的分布列求得取得白球个数的数学期望，判断C正误,利用条件概率，求出结果判断D正误. 【详解】A选项中，所求概率故A错误， B选项中，所求概率故B正确， C选项中，从中任取3球，取得白球个数的可能取值为0,1,2,由A、B可知则所求,故C正确， D选项中，所求概率故D错误， 故选：BC. 10. 已知的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ） A 2，n，10成等差数列 B. 各项系数之和为64 C. 展开式中二项式系数最大的项是第3项 D. 展开式中第5项为常数项 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据二项式系数之和求出n的值，再令可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，利用展开式的通项公式求第5项. 【详解】由的二项式系数之和为，得，得2，6，10成等差数列，A正确； 令，，则的各项系数之和为64，B正确； 的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确； 的展开式中的第5项为为常数项，D正确. 故选:ABD 11. 已知函数，则（ ） A. 的极大值为 B. 最小值为 C. 当的零点个数最多时，的取值范围为 D. 不等式的解的最大值与最小值之差小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值、最值，即可判断A、B，再根据函数的极值及零点求出参数的取值范围，即可判断C，再根据特殊值判断D； 【详解】解：因为， 所以. 当或时，；当或时，. 即在和上单调递减，在和上单调递增， 所以函数在取得极小值，在处取得极大值，在处取得极小值， 又，， 故的极大值为，的最小值为，故A正确，B错误. 所以零点个数最多为，此时，，解得，C正确. 不等式，即，令，则 . 当或时，；当或时，. 即在和上单调递减，在和上单调递增， 所以的函数图象如下所示： 因为，， 则的解的最大值与最小值之差小于， 即不等式的解的最大值与最小值之差小于，D正确. 故选：ACD 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 已知函数，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据函数在某点处的导数的定义求解。 【详解】根据题意，，则，又． 故答案为：8 13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P 则随机变量Y的方差等于______； 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布列中概率和为1可得，再由期望、方差公式计算出,最后利用计算可得答案. 【详解】因，所以， ，， 所以. 故答案为：. 14. 的展开式中的系数为______.（用数字作答） 【答案】56 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项求解即可； 【详解】第一个括号内取1时，第二个为； 第一个括号内取时，第二个为， 所以展开式中的系数为， 故答案为：56. 四、解答题（共5题，共77分） 15. 4名男生4名女生排成一排，分别求下列情形排法： （1）甲乙二人必须站在一起； （2）甲乙二人不能站在一起； （3）男女必须间隔而站； （4）甲乙二人中间恰有1人. 【答案】（1）10080；（2）30240；（3）1152；（4）8640. 【解析】 【分析】（1）先把甲乙捆绑看成一个整体，再和其他人一起排列； （2）先把其他6个人排好，再排甲乙插空； （3）先排列男生，再排列女生，再把女生插入男生队伍； （4）先排列甲乙，再从6个人中间选择1个人放在甲乙中间，把他们看成一个整体，和其他人排列. 【详解】（1）先把甲乙捆绑看成一个整体，再和其他人一起排列，甲乙二人必须站在一起的排法总数为； （2）先把其他6个人排好，再排甲乙插空，甲乙二人不能站在一起的排法总数为； （3）先排列男生，再排列女生，再把女生插入男生队伍，男女必须间隔而站的排法总数为； （4）先排列甲乙，再从6个人中间选择1个人放在甲乙中间，把他们看成一个整体，和其他人排列，甲乙二人中间恰有1人的排法总数为. 16. 已知函数，. （1）当时，求函数在区间上的最大值； （2）当时，求函数的极值. 【答案】（1）2（2）当时，没有极值；当时，极大值为，极小值为. 【解析】 【分析】（1）当时，，可得：.，，得或，列出函数单调性表格，即可最大值； （2），令，得或，分别讨论和，即可求得的极值. 【详解】（1）当时，， 所以. 令，得或， 列表如下： -2 -1 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 由于，， 所以函数在区间上的最大值为2. （2）， 令，得或. 当时，，所以函数在上单调递增，无极值. 当时，列表如下： + 0 - 0 + 极大值 极小值 函数的极大值为，极小值为. 【点睛】本题主要考查根据导数求函数单调性和极值，解题关键是掌握导数求单调性的方法和极值定义，考查分析能力和计算能力，属于中档题. 17. 已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据通项求解即可； （2）令求出，令，求出，进而得到结果. （3）对等式两边求导，令，求解即可. 【小问1详解】 由题意得：. 【小问2详解】 令，则， 再令，则， 又， 所以 【小问3详解】 两边同时求导得： ， 令，则 18. 2020年10月4日，第29届全国中学生生物学奥林匹克竞赛，在重庆巴蜀中学隆重举行，若将本次成绩转化为百分制，现从中随机抽取了50名学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照的分组作出频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计这50名学生成绩的中位数； （2）若按照分层随机抽样从成绩在的两组中抽取了6人，再从这6人中随机抽取3人，记为3人中成绩在的人数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1），73.5分；（2）分布列见解析，1. 【解析】 【分析】 （1）根据频率分布直方图的性质，求得，再结合中位数的计算方法，即可求解； （2）根据题意，得出在抽取了4人，抽取了2人，得到随机变量的取 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，可得， 解得， 由的概率之和为， 所以中位数为（分）. （2）由题意，可得在共有（人）， 在共有（人）， 所以在抽取了4人，在抽取了2人， 所以随机变量的取值为， 可得， 0 1 2 P 所以数学期望为. 【点睛】对于用样本估计总体主要注意以下两个方面： 1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观； 2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若，证明：关于x的不等式有解． 【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求导，结合定义域，分，讨论求解； （2）由（1）知，若，然后将问题转化为证明恒成立，令，利用导数法证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ①若，当时，，所以在上单调递增． ②若，令，则， 在上，，在上，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，若，的单调递增区间为． 若，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）若，由（1）知， 即证明． 令， 令，得，在上，，在上，， 所以在上单调递减，在上单调递增． ， 因此，恒成立，即原不等式有解． 【点睛】方法点睛：“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$