精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市富裕县益海学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024－2025学年度上学期阶段质量检测 九年卷 一、单选题 1. 如图，若抛物线与x轴正半轴相交于点A，点P是y轴上一动点，过点P作直线轴，与抛物线相交于B，C两点（B在C的左侧），过点C作轴于D，连接，若将四边形的面积分成的两部分，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用此时解决问题． 设交于点M，交于点N，根据题意得出四边形为矩形，再由全等三角形的判定和性质确定，设，利用对称性及平行四边形的判定和性质得出，结合题意得出，再相似三角形的判定与性质得出，即可求解． 【详解】解：设交于点M，交于点N，如图所示： 根据题意得：， ， 四边形为矩形， , ， ， 设， 根据抛物线对称性得：， ， 四边形是平行四边形， 将四边形的面积分成的两部分，， 设， ， ， 解得：， 设直线的解析式为， 代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 故选：D． 2. 在实数0，，，，中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的知识，理解并掌握无理数的定义是解题关键．无限不循环小数是无理数，常见的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴在实数0，，，，中，无理数有，，共计2个． 故选：B． 3. 如图所示，是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：A． 4. 已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】在第二象限 一元二次方程有两个不相等的实数根 故选：B． 5. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质，锐角三角函数，勾股定理．根据题意先求得大正方形边长的平方为136，再求得小正方形边长为4，再利用三角函数正切值等于该角的对边与邻边的比值即可得到本题答案． 【详解】解：∵大正方形面积为136，小正方形面积为16， ∴大正方形边长的平方为136，小正方形边长为4， ∴设一个直角三角形短直角边为x，则长直角边为， ∴在一个直角三角形中应用勾股定理：， 解得或（舍去） ∴长直角长为10，短直角边长为6， ∴， 故选：A． 6. 下列比小的数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较，根据题意，选择即可． 【详解】根据题意，得， 故选B． 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此求得c的取值范围，再进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，解得， 故选项D中的5不符合题意， 故选：D． 8. 如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则代数式的值是（ ） A. 6 B. C. 18 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，正方体的展开图，正方体相对两个面上的数字，对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．根据正方体的展开图的特征，判断相对面求出、、，再化简计算即可． 【详解】解：根据题意可知： 的相对面是，则． 的对立面是0，则． 的对立面是4，则． 所以 ． 故选：A． 9. “中国天眼”是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它发现的一个脉冲星是至今世界上发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星．其自转周期为0.00519秒．将0.00519用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：C． 10. 一只蚂蚁到如图所示的树枝上寻觅食物，假设蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求解随机事件的概率，理解题意，确定所有的等可能的情况与符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径， ∴它有6种路径， ∵获得食物的有2种路径， ∴获得食物的概率是：； 故选B． 二、填空题 11. 若将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段之比等于长段的长度与全长之比，即，则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为______．（结果保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割比例的实际应用、解分式方程．理解题意，掌握“黄金比”的定义是解题关键．设演员的上半身长为，则掂起脚尖身高为，下半身长为．根据“黄金比”可列出关于x的方程，求解即可． 【详解】解：设演员的上半身长为， ∵芭蕾舞演员的身高为， ∴掂起脚尖身高为，下半身长为． ∵此时上半身长与下半身长之比恰好满足黄金比， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解． ∴该演员的上半身长为． 故答案为：． 12. 如图，在菱形中，，E是边上的一点，连接，按下列步骤作图：① 以点A为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；② 以点D为圆心、的长为半径作弧，交于点；③ 以点为圆心、的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④ 过点作射线交于点F．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、尺规作图—作一个角等于已知角．由菱形的性质得出，证明，再由相似三角形的性质，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由作法得：， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求得与坐标轴的交点A和点B，可得，结合旋转得到，则，求得，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【详解】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示∶ 设与y轴的交点为点B， 令，得；令，即， ∴， ， ∴，， 即 ∵直线绕点A逆时针旋转，得到直线， ∴，， ∴， 则点， 设直线的解析式为，则 ，解得， 那么，直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 14. 如图，在中，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，根据条件得出、两点关于对称，进而根据垂线段最短确定、两点的位置是解题的关键．首先证明是等边三角形，由是的平分线，得出是的垂直平分线，作于，交于，连接，此时最小，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图， ，， 是等边三角形， 是的平分线， 是的垂直平分线， 、两点关于对称． 作于，交于，连接，此时，最小， ． ∴； 故答案为：． 15. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为__．  【答案】27 【解析】 【详解】∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE， ∴△OAB∽△ODE，∴，∴=2=． ∵△ABC的面积为3， ∴△DEF的面积为27． 三、解答题 16. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【小问1详解】 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）7 （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，立方根，特殊角的函数值，一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． （1）利用零指数幂，立方根，特殊角的函数值，绝对值计算解答即可． （2）先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集即可． 【详解】（1） ， ． （2）解：∵ ∴解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 18. 如图，线段是圆的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交圆于点，点是圆上的一动点（不与点，重合），连接，，． （1）求证：是圆的切线； （2）求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ; ∵点是线段的中点，交于点， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是圆的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，，根据垂直平分线的判定与性质得，，再证明，最后根据相似三角形的性质即可求证； （）连接，利用相似三角形的判定与性质解答即可； 本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接， 由已知可得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 某花店甲品种鲜花每盆的售价比乙品种鲜花多5元，买3盆甲品种鲜花和2盆乙品种鲜花共155元，求该花店甲品种鲜花每盆的售价． 【答案】该花店甲品种鲜花每盆的售价为33元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该花店甲品种鲜花每盆的售价为x元，则该花店乙品种鲜花每盆的售价为元，根据买3盆甲品种鲜花和2盆乙品种鲜花共155元，列出方程求解即可． 【详解】解：设该花店甲品种鲜花每盆的售价为x元，则该花店乙品种鲜花每盆的售价为元， 由题意得，， 解得， 答：该花店甲品种鲜花每盆的售价为33元． 20. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算、解一元一次不等式组，熟练掌握分式的运算法则和不等式组的解法是解题关键． （1）先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得； （2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 21. 在中，是等边三角形，连接． （1）如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，交于点P，且．若，求的长； （2）如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是中点，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，E在直线上运动，将沿翻折得到，连接，G是上一点，且，O是直线上的另一个动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，直接写出此时点D到直线的距离． 【答案】（1）2 （2）证明：如图2，B、E、C三点在同一直线上，F是中点， 延长至G，则，连接，设与交于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）解求得，计算得出，然后解求得； （2）延长至G，是，连接，设与交于H，证明，进而证明得出，进一步得出结论； （3）作于P，取中点Q，连接，先证得点M在过点Q且与垂直的直线上l上运动，点H在以点G为圆心，2为半径的圆上运动，过点G作l的垂线段，交圆G于H，当点M运动到点时，此时最小，解直角梯形，求得的值，进而求得，作，解，进一步求得结果． 本题考查等腰三角形性质，解直角三角形，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 【小问1详解】 解：在中，是等边三角形，A、B、D三点在同一直线上，交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作于P，取中点Q，连接， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）得，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， ∴点M在过点Q且与垂直的直线上l上运动， ∵， ∴点H在以点G为圆心，2为半径的上运动， 作直线l于，当点M在处时，交圆G于H，最小， 作于R， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 作于T， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点D到直线的距离为：． 22. 如图，是的直径，C，D是上的两点，且，交于点E，点F在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若， ①求的长； ②求的半径． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）①；②的半径为 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可； （2）①利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求得，在中，利用余弦的意义解答即可；②在中，利用余弦的意义解答即可求得，则半径可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）得：， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴； ②在中，， 在中， ∵， ∴． ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握上述性质是解题的关键． 23. 在学习了全等三角形判定与性质的相关知识后，小语进行了拓展性研究，她发现全等三角形的对应角平分线与全等三角形的对应边或对应角有类似性质．她的解决思路为通过证明对应线段所在的两个三角形全等即可得出结论． 请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规作的角平分线，交于点H．（只保留作图痕迹） 如图，，平分交于D，平分交于H． 求证：． 证明：∵， ∴，， ① ， ∵平分，平分， ∴，， ∴② ， 在和中， ， ∴（③ ）， ∴． 小语再进一步探究发现，全等三角形的对应高线或中线均具备此特征．依照题意，对应高线或中线此特征应表述为命题：④ ． 【答案】；；；全等三角形对应边上的高（或中线）相等． 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，全等三角形的性质：全等三角形对应的角平分线，高，中线相等．作的平分线，交于点H，再根据全等三角形性质和判定，角平分线定义等填空即可． 【详解】解：用直尺和圆规作的角平分线，交于点H，如图： 证明：∵， ∴，，①， ∵平分，平分， ∴，， ∴②， 在和中， ， ∴（③）， ∴． 对应高线或中线此特征应表述为命题：④全等三角形对应边上的高（或中线）相等． 故答案为：；；；全等三角形对应边上的高（或中线）相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度上学期阶段质量检测 九年卷 一、单选题 1. 如图，若抛物线与x轴正半轴相交于点A，点P是y轴上一动点，过点P作直线轴，与抛物线相交于B，C两点（B在C的左侧），过点C作轴于D，连接，若将四边形的面积分成的两部分，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 2. 在实数0，，，，中，无理数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图所示，是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D，与交于点N，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 5. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形面积为136，小正方形面积为16，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列比小的数是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 7. 若关于x的一元二次方程有实数根，则c的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，是一个正方体的展开图，若相对面上的两个数互为相反数，则代数式的值是（ ） A. 6 B. C. 18 D. 9. “中国天眼”是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它发现的一个脉冲星是至今世界上发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星．其自转周期为0.00519秒．将0.00519用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 10. 一只蚂蚁到如图所示的树枝上寻觅食物，假设蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，它获得食物的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 若将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段之比等于长段的长度与全长之比，即，则可得出这一比值等于，这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割总能给人以美的享受，从人体审美学的角度看，若一个人上半身长与下半身长之比满足黄金比的话，则此人符合和谐完美的身体比例．一芭蕾舞演员的身高为，但其上半身长与下半身长之比大于黄金比，当其表演时掂起脚尖，身高就可以增加，这时上半身长与下半身长之比就恰好满足黄金比，那么该演员的上半身长为______．（结果保留根号）． 12. 如图，在菱形中，，E是边上的一点，连接，按下列步骤作图：① 以点A为圆心、适当的长为半径作弧，分别交于点M，N；② 以点D为圆心、的长为半径作弧，交于点；③ 以点为圆心、的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④ 过点作射线交于点F．若，则__________． 13. 直线与x轴交于点A，将直线绕点A逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是______． 14. 如图，在中，，，是的平分线，若M、N分别是和上的动点，则的最小值是______． 15. 如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD=1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为__．  三、解答题 16. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 17. （1）计算：； （2）解不等式组． 18. 如图，线段是圆的直径，延长至点，使，点是线段的中点，交圆于点，点是圆上的一动点（不与点，重合），连接，，． （1）求证：是圆的切线； （2）求的值． 19. 某花店甲品种鲜花每盆的售价比乙品种鲜花多5元，买3盆甲品种鲜花和2盆乙品种鲜花共155元，求该花店甲品种鲜花每盆的售价． 20. （1）计算：； （2）解不等式组：． 21. 在中，是等边三角形，连接． （1）如图1，当A、B、D三点在同一直线上时，交于点P，且．若，求的长； （2）如图2，当B、E、C三点在同一直线上时，F是中点，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，，E在直线上运动，将沿翻折得到，连接，G是上一点，且，O是直线上的另一个动点，连接，将沿翻折得到，连接，当最小时，直接写出此时点D到直线的距离． 22. 如图，是的直径，C，D是上的两点，且，交于点E，点F在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若， ①求的长； ②求的半径． 23. 在学习了全等三角形判定与性质的相关知识后，小语进行了拓展性研究，她发现全等三角形的对应角平分线与全等三角形的对应边或对应角有类似性质．她的解决思路为通过证明对应线段所在的两个三角形全等即可得出结论． 请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规作的角平分线，交于点H．（只保留作图痕迹） 如图，，平分交于D，平分交于H． 求证：． 证明：∵， ∴，， ① ， ∵平分，平分， ∴，， ∴② ， 在和中， ， ∴（③ ）， ∴． 小语再进一步探究发现，全等三角形的对应高线或中线均具备此特征．依照题意，对应高线或中线此特征应表述为命题：④ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $