精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县贯洞中学2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

从江县贯洞中学2024－2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确．每小题3分，共36分． 1. 在中，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意及三角函数直接进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意得： ， ； 故选B． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数值是解题的关键． 2. 下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义逐一判断即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项不符合题意； B、不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、，等号右边是分式，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】C 【解析】 【详解】∵，∠AOB=60°， ∴∠BDC=∠AOB=30°． 故选C． 4. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案. 【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处， ，米. ， 米. 故选： B . 【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比. 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数（其中a、b、c是常数，），其顶点坐标是，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是， 故选B． 6. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 7. 如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接BC，根据垂径定理的推论可得AB⊥CD，再由圆周角定理可得∠A=∠CDB=30°，根据锐角三角函数可得AE=3，AB=4，即可求解． 【详解】解：如图，连接BC， ∵为的直径，， ∴AB⊥CD， ∵∠BAC=∠CDB=30°，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴OA=2， ∴OE=AE-OA=1． 故选：C 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握垂径定理，圆周角定理，特殊角锐角函数值是解题的关键． 8. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补得出，根据圆周角定理得出，根据已知条件得出，进而根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴ ∴ ∵ ∴， ∵ ∴, 故选：A． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可． 【详解】∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 11. 赵爽弦图是我国古代数学家赵爽创制的一种几何图形，用于证明勾股定理．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、全等三角形的性质及正弦函数的计算，明确相关性质及定理是解题的关键． 先由两个正方形的面积分别得出其边长，由赵爽弦图的特征可得，则，在中，利用勾股定理求出，最后按照正弦函数的定义计算求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1， ∴大正方形的边长，小正方形的边长， 由题意得：，， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴． 故选：A． 12. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②；③；④当时，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】 解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即． 抛物线与y轴交于正半轴，则． ． 故①正确； ②∵抛物线开口向下， ． ∵抛物线的对称轴为直线， 时，， 而， 即， 故②正确； ③时，， 而 故③正确； ④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）． ∴当时， 故④正确． 综上所述，正确的结论有4个． 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系．解题的关键在于的图像的开口方向、对称轴、与y轴的交点的决定因素． 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，令，计算，即可求解． 【详解】解：令，则 依题意， 解得：． 故答案为：． 14. 如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为___________．（，结果精确到0.1） 【答案】13.8#### 【解析】 【分析】解直角三角形，求得和的长，即可解答． 【详解】解：根据题意可得， 在中，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键． 15. 如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出，再由勾股定理确定，半径为，利用垂径定理确定，且，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D，M分别是弦，弧的中点， ∴，且， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】题目主要考查圆周角定理、垂径定理及勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 16. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出OC、BC，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵∠BOC=60°，∠BCO=90°， ∴∠OBC=30°， ∴OC=OB=1 则边BC扫过区域的面积为： 故答案为． 【点睛】考核知识点：扇形面积计算.熟记公式是关键. 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，，解这个直角三角形． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键，由，得：，进而根据三角函数的定义，求出的值． 【详解】解：中，， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 18. 已知抛物线，经过点和点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析，二次函数的性质； （1）利用待定系数法，把问题转化为方程组即可解决． （2）利用配方法求顶点坐标即可； 【小问1详解】 解：因为抛物线经过点和点 所以， 解得， 所以，抛物线的解析式为． 【小问2详解】 ∵， ∴顶点坐标为． 19. 某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售数量m(件)与每件的销售价格x(元)满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）每天的销售数量m（件）与每件的销售价格 x(元) 之间的函数表达式是　． （2）求该商场每天销售这种商品的销售利润 y(元)与每件的销售价格x(元)之间的函数关系式． （3）每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 【答案】（1） （2） （3）在元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数在实际生活中的应用． （1）根据函数图象，利用待定系数法求解即可； （2）根据“每天的销售利润（销售价进价）每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围； （3）根据（2）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的性质即可得出答案． 【小问1详解】 解：每天的销售数量m（件）与每件的销售价格 x(元) 之间的函数表达式是：， 将代入得：， 解得： 每天的销售数量m（件）与每件的销售价格 x(元) 之间的函数表达式是：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得：， 即， 这种商品的销售利润 y(元)与每件的销售价格x(元)之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：由（2）知这种商品的销售利润 y(元)与每件的销售价格x(元)之间的函数关系式为：； ∵对称轴为直线，且抛物线开口向下， ∴在元时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加． 20. 已知四边形内接于，对角线是的直径． （1）如图1，连接，若，求证；平分； （2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 【答案】（1）证明：∵对角线是的直径， ∴， ∴， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可． (2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵对角线是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 21. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）该运动员能挂上篮网，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余即可求解； （2）延长交于点，根据题意得出，解，求得，根据与比较即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 该运动员能挂上篮网，理由如下． 如图，延长交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴， ∴该运动员能挂上篮网． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 【答案】（1）证明见试题解析；（2）M为BC的中点． 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据圆周角定理可得∠ADC=90°，再根据直角三角形的性质可得∠A+∠DCA=90°，再由∠DCB+∠ACD=90°，可得∠DCB=∠A； （2）当MC=MD时，直线DM与⊙O相切，连接DO，根据等等边对等角可得∠1=∠2，∠4=∠3，再根据∠ACB=90°可得∠1+∠3=90°，进而证得直线DM与⊙O相切． 试题解析：（1）证明：∵AC为直径， ∴∠ADC=90°， ∴∠A+∠DCA=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠DCB+∠ACD=90°， ∴∠DCB=∠A； （2）当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切； 解：连接DO， ∵DO=CO， ∴∠1=∠2， ∵DM=CM， ∴∠4=∠3， ∵∠2+∠4=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∴直线DM与⊙O相切， 故当MC=MD（或点M是BC的中点）时，直线DM与⊙O相切． 考点：切线的判定． 23. 如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为米,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为平方米，求的值． （2）若平行于墙的一边长不小于米，当取何值时，这个苗圃园的面积有最大值 【答案】（1）的值是 （2）这个苗圃园的面积有最大值平方米 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元二次方程，然后解方程即可得出答案； （2）先根据题意求出的取值范围，然后表示出苗圃园的面积，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 即， 解得，， 当时，，故舍去； 当时，， 由上可得，的值是； 【小问2详解】 设这个苗圃园的面积为平方米， 由题意可得， ， ∵平行于墙的一边长不小于米，且不大于米， ∴， 解得， ∴当时，取得最大值， 答：当时，这个苗圃园的面积有最大值平方米． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用及性质，掌握一元二次方程的解法及二次函数的性质是解题的关键． 24. 如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C． （1）求证：； （2）若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)首先可证得，由圆周角定理得：，可得，再根据切线的性质，可得，根据垂直的定义可得，据此即可证得； (2)首先由弦平分半径，，可得，，，再根据，可得，即可证得，最后由即可求得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， 由圆周角定理得：， ， 与相切， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图：连接， 弦平分半径，， ，在中，， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，扇形的面积公式，作出辅助线是解决本题的关键． 25. 已知二次函数（b为常数）的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，二次函数的最大值为12，求a的值； （3）该二次函数的图象沿x轴向右平移m（）个单位长度得到新的二次函数L，当 时，二次函数L的最小值为，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）5 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象的平移、二次函数最值及解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）利用的待定系数法求解即可； （2）先求出时，y的值，令，解一元二次方程，即可解答； （3）求出平移后的函数解析式，再求出最小值，根据二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：将代入，得， 解得 则二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵， 当时，， 令，即， 解得， ∵， ∴的值为5； 【小问3详解】 解：∵， ∴平移后的二次函数L的表达式为， 对称轴为直线， ∵当时，二次函数L的最小值为， ∴，解得， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县贯洞中学2024－2025学年度第二学期4月质量监测 九年级数学试卷 （时间：120分钟　满分：150分） 一、选择题：以下每小题均有A，B，C，D四个选项，其中只有一个选项正确．每小题3分，共36分． 1. 在中，（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，y是关于x的二次函数的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB=60°，则∠BDC的度数是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 4. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A B. C. D. 7. 如图，为的直径，弦交于点，，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 如图，圆内接四边形中，，连接，，，，．则的度数是（ ） A B. C. D. 9. 如图，正五边形内接于，连接，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. ，两点之间的距离为 D. 当时，的值随值的增大而增大 11. 赵爽弦图是我国古代数学家赵爽创制的一种几何图形，用于证明勾股定理．如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（ ） A. B. C. 4 D. 12. 二次函数部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线x＝1，下列结论：①；②；③；④当时，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：每小题4分，共16分． 13. 抛物线与轴只有一个交点，则________． 14. 如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为___________．（，结果精确到0.1） 15. 如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________． 16. 如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2 cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为_________cm2． 三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 在中，，解这个直角三角形． 18. 已知抛物线，经过点和点 （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标． 19. 某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售数量m(件)与每件的销售价格x(元)满足一次函数关系，其图象如图所示． （1）每天销售数量m（件）与每件的销售价格 x(元) 之间的函数表达式是　． （2）求该商场每天销售这种商品的销售利润 y(元)与每件的销售价格x(元)之间的函数关系式． （3）每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加？ 20. 已知四边形内接于，对角线是的直径． （1）如图1，连接，若，求证；平分； （2）如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 21. 图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，． （1）求的度数． （2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：） 22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于D点，连接CD． （1）求证：∠A=∠BCD； （2）若M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由． 23. 如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形苗圃园，已知墙长为米,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为平方米，求的值． （2）若平行于墙一边长不小于米，当取何值时，这个苗圃园的面积有最大值 24. 如图，的直径垂直于弦于点F，点P在的延长线上，与相切于点C． （1）求证：； （2）若的直径为4，弦平分半径，求：图中阴影部分的面积． 25. 已知二次函数（b为常数）的图象经过点． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，二次函数的最大值为12，求a的值； （3）该二次函数的图象沿x轴向右平移m（）个单位长度得到新的二次函数L，当 时，二次函数L的最小值为，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $