信息必刷卷04（上海专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

2025年中考考前信息必刷卷（上海专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 C D C D A B 二、填空题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，请把答案直接填写在横线上 7．4 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14．/ 15． 16． 17．/60度 18． 14 三、解答题:本大题有7个小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．【答案】 ，见解析，不等式组的整数解为：，0，1，（10分） 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集表示在数轴上为： 不等式组的整数解为：，0，1， 20．【答案】 （10分） 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 解得， 于是，得， 得， 检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零， 原方程组的解是． 21．【答案】 (1)见详解（5分） (2)（5分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 22．【答案】 （1）见解析  （5分）（2）的值为（5分） 【详解】（1）证明： 连接，并延长交于点，连接， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即； （2）如图， 延长交于点， 连结， ， ∵的半径为，， ， 由（1）可知， ， ， 整理得 ， 解得或(舍去)， ∴的值为. 23．【答案】(1)见解析（6分） (2)见解析（6分） 【详解】（1）证明：，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ∵，， ， ∵四边形是菱形， 关于对称， ， ，，， ， ， ， 线段是线段与的比例中项． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，相似三角形解决问题． 24．【答案】 (1)（4分） (2)点坐标为（4分） (3)存在，点坐标为或（4分） 【详解】（1）解：把点代入中， ∴， 解得，， ∴． （2）解：作于，于， 当时，， ∴点坐标为， 设解析式为：， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴点坐标为． （3）解：作过三点的圆，连接，作于， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不合题意舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为或． 25．【答案】（1）；；（4分）（2）；（4分）（3）12（6分） 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，则，， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（上海专用） 考情速递 中考·新动向：基础题比例有80%降至60%-70%，提高题比例由10%增至20%-30%，压轴题维持10%。这使得考试选拔性增强，中等生需加强难题训练。 中考·新考法：定义题：如2024年第18题，要求学生理解新概念并灵活运用，这需要学生具备较强的学习能力和知识迁移能力，能够快速理解并应用新的数学定义。 情境探究题：像三角板拼图题等，结合生活场景考查逻辑推理。学生需要将实际问题转化为数学模型，运用数学知识进行分析和推理，不再是单纯的数学计算，而是更注重数学在实际生活中的应用。 跨学科应用题：例如将物理实验数据与数学建模结合。这种题型要求学生不仅要掌握数学知识，还要了解其他学科的相关知识，能够综合运用多学科知识解决问题，体现了学科融合的趋势。 命题·大预测：选填难题：以特殊三角形为载体的动态几何题，依然会是选填题的难点考查部分。 代数方程：像一元二次方程的解法、无理方程和二元二次仍是必考点，会注重综合考查，但难度不会太大。 函数知识：函数问题可能以实际问题情境的形式出现，重点考查学生对函数概念、性质和图象的理解与应用，以及通过函数解决实际问题的能力。 题目创新：动态几何与新定义题可能会有创新，在考查学生对基本几何图形性质和变换的掌握程度的同时，注重对学生创新思维和应变能力的考查。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果冰箱冷藏室的温度是，冷冻室的温度是，则冷藏室比冷冻室高（   ） A． B． C． D． 2．将方程左边变成完全平方式后，方程是（    ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象过点，则不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在天山外国语学校，每天都有许多有意思的事．就像下面这些情况是随机事件的是（　　） A．每天清晨，同学们都能看到太阳从东方升起，照亮美丽的校园 B．上周的数学课上，老师带着同学们用小木棒摆图形，大家发现不管怎么摆，三角形任意两边之和总是大于第三边 C．在课外活动中，老师安排3位同学分成两组做游戏，结果肯定有2人分在一组 D．同学上学路上会经过有交通信号灯的路口，有时候运气不好，就会遇到红灯得停下来等一会儿 5．如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，． 结论I：点E为的中点； 结论Ⅱ：四边形为菱形． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都不对 B．I和Ⅱ都对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7．化简： ． 8．若最简二次根式与可以合并，则使有意义的的取值范围是 ． 9．在实数范围内因式分解： ． 10．方程：的解为 11．已知点是二次函数的图象上的两点，则 （填“”或“<”） 12．小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离与时间的关系，则小明与小亮交谈的时间为 ． 13．如图所示，在矩形中，点在上，将矩形沿直线折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ．    14．如图，在正方形中，，延长至点E，使平分交于点F，则线段的长为 ． 15．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为 分. 16．如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么 ．（用含、的式子表示） 17．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 18．如图，中，，中，，，直线与直线交于点．现将绕点旋转1周，在旋转过程中， ，线段长度的最大值是 ． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解． 20．（10分）用换元法解方程组： 21．（10分）如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，． (1)求证：． (2)若，求的长． 22．（10分）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 23．（12分）已知：如图，在中，，是中线的中点，，交线段的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果线段与边相交于点，连接，当时，求证：线段是线段与的比例中项． 24．（12分）如图，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 25．（14分）【综合与实践】 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图①，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________； （2）如图②，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值； 【拓展应用】 （3）如图③，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到（点F在的下方）．连接，若，请直接写出的面积． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷 数 学（上海专用） 考情速递 中考·新动向：基础题比例有80%降至60%-70%，提高题比例由10%增至20%-30%，压轴题维持10%。这使得考试选拔性增强，中等生需加强难题训练。 中考·新考法：定义题：如2024年第18题，要求学生理解新概念并灵活运用，这需要学生具备较强的学习能力和知识迁移能力，能够快速理解并应用新的数学定义。 情境探究题：像三角板拼图题等，结合生活场景考查逻辑推理。学生需要将实际问题转化为数学模型，运用数学知识进行分析和推理，不再是单纯的数学计算，而是更注重数学在实际生活中的应用。 跨学科应用题：例如将物理实验数据与数学建模结合。这种题型要求学生不仅要掌握数学知识，还要了解其他学科的相关知识，能够综合运用多学科知识解决问题，体现了学科融合的趋势。 命题·大预测：选填难题：以特殊三角形为载体的动态几何题，依然会是选填题的难点考查部分。 代数方程：像一元二次方程的解法、无理方程和二元二次仍是必考点，会注重综合考查，但难度不会太大。 函数知识：函数问题可能以实际问题情境的形式出现，重点考查学生对函数概念、性质和图象的理解与应用，以及通过函数解决实际问题的能力。 题目创新：动态几何与新定义题可能会有创新，在考查学生对基本几何图形性质和变换的掌握程度的同时，注重对学生创新思维和应变能力的考查。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如果冰箱冷藏室的温度是，冷冻室的温度是，则冷藏室比冷冻室高（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，掌握运算法则，正确计算是解题的关键． 求冷藏室比冷冻室温度高多少，就用冰箱冷藏室的温度减去冷冻室的温度，根据有理数的减法法则即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴冷藏室比冷冻室高， 故选：C． 2．将方程左边变成完全平方式后，方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了配方法解一元二次方程，直接利用完全平方公式配方求出即可． 【详解】解： ， 故选：D． 3．反比例函数的图象过点，则不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数图像上点的坐标特征以及一次函数的性质，先把代入求出m的值，即可得出一次函数的解析式，再根据一次函数的性质解得即可； 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点 ∴ 解得： ∴一次函数的解析式为： ∴一次函数的图像经过一、二、四象限，不经过第三象限. 故选：C ． 4．在天山外国语学校，每天都有许多有意思的事．就像下面这些情况是随机事件的是（　　） A．每天清晨，同学们都能看到太阳从东方升起，照亮美丽的校园 B．上周的数学课上，老师带着同学们用小木棒摆图形，大家发现不管怎么摆，三角形任意两边之和总是大于第三边 C．在课外活动中，老师安排3位同学分成两组做游戏，结果肯定有2人分在一组 D．同学上学路上会经过有交通信号灯的路口，有时候运气不好，就会遇到红灯得停下来等一会儿 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、每天清晨，同学们都能看到太阳从东方升起，照亮美丽的校园，是必然事件，不符合题意； B、上周的数学课上，老师带着同学们用小木棒摆图形，大家发现不管怎么摆，三角形任意两边之和总是大于第三边，是必然事件，不符合题意； C、在课外活动中，老师安排3位同学分成两组做游戏，结果肯定有2人分在一组，是必然事件，不符合题意； D、同学上学路上会经过有交通信号灯的路口，有时候运气不好，就会遇到红灯得停下来等一会儿，是随机事件，符合题意． 故选：D． 5．如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 6．如图，平面内有一点O，用尺规按①到③的步骤操作：①以点O为圆心，以任意长r为半径，画半圆O，直径为；②分别以点O，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，交半圆O于点C；③连接，以点C为圆心，以长为半径作弧，交半圆O于点E，连接，． 结论I：点E为的中点； 结论Ⅱ：四边形为菱形． 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是（   ） A．I和Ⅱ都不对 B．I和Ⅱ都对 C．I不对Ⅱ对 D．I对Ⅱ不对 【答案】B 【分析】连接，，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得△为等边三角形，为等边三角形，则，，，可得，则，即点为的中点；结合菱形的判定可得四边形为菱形． 【详解】解：连接，， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ． ， ， 即为等边三角形， ． 由作图过程可知，， ， ， 即为等边三角形， ， ， ， ， 即点为的中点． 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ． ， 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形． 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查尺规基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，菱形的判定，等边三角形的判定与此同时性质，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7．化简： ． 【答案】4 【分析】本题考查了同分母的分式的加减计算，解题的关键是处理符号问题，掌握运算法则． 先将分母进行处理，化为同分母的分式减法计算即可，注意要化简到最简即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 8．若最简二次根式与可以合并，则使有意义的的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义和二次根式有意义的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由最简二次根式与可以合并，得出，又有意义，则，最后解不等式即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴，解得：， ∵有意义， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 9．在实数范围内因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先提取公因式n，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．方程：的解为 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，需要注意对解进行检验． 把方程两边平方去根号得一元二次方程，解得后将解代入方程检验． 【详解】解：， 两边同时平方可得：，可化为：， 可解得：或； 经检验不符， 故答案为：． 11．已知点是二次函数的图象上的两点，则 （填“”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握知识点是解题的关键． 将分别代入，求出，比较即可． 【详解】解：∵点是二次函数的图象上的两点， ∴， ∴， 故答案为：． 12．小明周六从家出发沿一条路匀速步行去图书馆查阅资料，资料查阅完毕后沿原路匀速返回，速度与来时相同，途中遇到同学小亮，交谈一段时间后以相同速度继续行进，直至返回家中，如图是小明离家距离与时间的关系，则小明与小亮交谈的时间为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的应用，首先利用待定系数法求出，然后求出当时，，进而求解即可． 【详解】解：设当时，y与x的函数关系式为 将代入得， 解得 ∴ 当时， 解得 ∴ ∴小明与小亮交谈的时间为． 故答案为：． 13．如图所示，在矩形中，点在上，将矩形沿直线折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查矩形的折叠问题和锐角三角函数．首先利用勾股定理求得，设，则，，在中，由勾股定理得，，求出，再利用正切的定义求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 由翻折变换可知，，， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， 即， 在中， ， 故答案为：． 14．如图，在正方形中，，延长至点E，使平分交于点F，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，先判断，则，设，则，然后角平分线的定义以及等角对等边可证明，根据得出关于x的方程，解方程求出即，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过F作于G， 在正方形中，， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为分、分、分，综合成绩笔试占，试讲占，面试占，则该名教师的综合成绩为 分. 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数的定义，熟练掌握加权平均数的定义是解答本题的关键． 根据加权平均数的定义解答即可． 【详解】解：该名教师的综合成绩为（分）， 故答案为：． 16．如图，在中，点、分别在边、上，，，设，，那么 ．（用含、的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的判定和性质，根据已知推出，根据相似三角形的性质推出，再根据平面向量的减法运算法则即可得出结果．熟记平面向量的加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 18．如图，中，，中，，，直线与直线交于点．现将绕点旋转1周，在旋转过程中， ，线段长度的最大值是 ． 【答案】 14 【分析】先证明 ，推出，再结合以及即可解答；由可知点F在以为直径的圆上运动，由点C到的距离为，可知弦在直径的下方，当与相切于点E时，取最大值，求出的长即可    得解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 在 和中， ， ∴， ∴， 设、交于点O， ∵， ∴． 如图，∵, ∴点F在以为直径的圆上运动， ∵， 则， ∴由等腰直角三角形可知，点C到的距离为， 即弦在直径的下方，如图， ∵D、E两点在以C为圆心，以为半径的上， ∴当与相切于点E时，取最大值， 此时，， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：；14． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的内接四边形的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19．（10分）解不等式组，把解表示在数轴上，并求出不等式组的整数解． 【答案】，见解析，不等式组的整数解为：，0，1， 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解即可． 本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ， ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集表示在数轴上为： 不等式组的整数解为：，0，1， 20．（10分）用换元法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了换元法解方程组．设，，则原方程组可化为，求出，从而得到，求解即可． 【详解】解：设，，则原方程组可化为， 解得， 于是，得， 得， 检验：把，代入原方程组中所含各分式的分母，各分母的值不为零， 原方程组的解是． 21．（10分）如图，已知四边形对角线，交于点，点是上一点，连结，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由得出，再运用夹角相等，两边成比例进行证明，即可作答． （2）结合，则，然后把分别代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 22．（10分）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 【答案】（1）见解析  （2）的值为 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，掌握构造相似三角形，并应用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题的关键. （1）根据切线可得到，根据直径得到，可推出，再由同弧对应的圆周角相等得到，然后证明得到结论 （2）延长交于点， 连结， ，可以得到，由（1）的结论代入可得到关于的方程，解方程即可求出的值. 【详解】（1）证明： 连接，并延长交于点，连接， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即； （2）如图， 延长交于点， 连结， ， ∵的半径为，， ， 由（1）可知， ， ， 整理得 ， 解得或(舍去)， ∴的值为. 23．（12分）已知：如图，在中，，是中线的中点，，交线段的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果线段与边相交于点，连接，当时，求证：线段是线段与的比例中项． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）证明，推出，又因为，，推出，再证明可得结论． 【详解】（1）证明：，， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ∵，， ， ∵四边形是菱形， 关于对称， ， ，，， ， ， ， 线段是线段与的比例中项． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形，相似三角形解决问题． 24．（12分）如图，抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线上一点，点是线段上一点，连接并延长交抛物线于点，若，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)点坐标为 (3)存在，点坐标为或 【分析】本题主要考查了抛物线和平行线，圆的知识的综合，掌握待定系数法求解析，二次函数与几何图形的综合运用，圆的基础知识，数形结合分析思想是解题的关键． （1）用待定系数法，把点代入中，求出，即可得到表达式． （2）过作的垂线，得对应线段成比例，再找出各坐标之间的关系，列方程，求点坐标． （3）添加过三点的圆，利用度圆周角，得到度圆心角，利用勾股定理，找到各线段的长，求出半径，设的坐标，既在抛物线上又在圆上，列方程，求出的坐标． 【详解】（1）解：把点代入中， ∴， 解得，， ∴． （2）解：作于，于， 当时，， ∴点坐标为， 设解析式为：， ， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴点坐标为，点坐标为，点坐标为， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 解得， ∴点坐标为． （3）解：作过三点的圆，连接，作于， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴点坐标为， ∴， ∴， 设点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（不合题意舍去），， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为或． 25．（14分）【综合与实践】 在数学学习中，我们发现除了已经学过的四边形外，还有很多比较特殊的四边形，请结合已有经验，对下列特殊四边形进行研究． 定义：在四边形中，若有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为“双垂四边形”． 【初步探究】 （1）如图①，在“双垂四边形”中，若，则________，的值为________； （2）如图②，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一点，且，求的值； 【拓展应用】 （3）如图③，在“双垂四边形”中，，，E为线段上一动点，且，连接，将沿翻折，得到（点F在的下方）．连接，若，请直接写出的面积． 【答案】（1）；；（2）；（3）12 【分析】本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，正确画出图形，添加辅助线解答是解题的关键． （1）由直角三角形两锐角互余可得，，进而可得，即可求解； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，得到，即可求解； （3）如图，过点作于点，由（2）知，，，即得，，进而由折叠可得四边形为正方形，连接，则，，证明，可求得，即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2），， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，过点作于点， 由（2）知，， ， ， ， 同理（2）可得，， ， 由折叠的性质可知， 四边形为正方形， 如图，连接，则，， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$