精品解析：浙江省杭州市采荷中学2024—2025学年下学期4月月考九年级数学试题

浙江省杭州市采荷中学2024—2025学年下学期4月月考九年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 1 2. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 对于一组数据：85，95，85，80，80，85，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数为85 B. 众数为85 C. 中位数为82.5 D. 方差为25 7. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ） A. 3尺 B. 尺 C. 尺 D. 4尺 8. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，在矩形中，，E是边上的一动点，以为直径的经过边上的一点F．若使最小，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 函数中自变量的取值范围是______． 12. 分解因式：__________ 13. 如图，小南向图中的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的概率为______． 14. 如图，为的直径，的平分线交于点，则______． 15. 如图，的半径为3，作正六边形，点B，点F在上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为________． 16. 如图，在中，是的平分线，将以D为中心，逆时针旋转，点B的对应点为E．则的长度为________________． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明演算步骤或证明过程） 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 如图，在中，，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 20. 某校丰富课间活动，为了了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下： 活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类活动项目中，你最喜爱的是（ ） A．田径项目 B．游戏项目 C．球类项目 D．健身项目 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的球类项目是（ ） E．篮球 F．足球 G．羽毛球 H．其他 （注：此调查问卷为示例，考生不必选填） 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中最喜爱的球类项目学生中更关注篮球的有多少人？ （2）该校共有1500名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱田径项目的学生人数． 21. 小丽和小明在研究一个尺规作图问题． 如图1，在四边形中，，．用直尺和圆规作，交边于点E． 小丽：如图2，以点B为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则． （1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）； ①小丽的作法______； ②小明的作法______． （2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程） 22. 某校无人机社团进行表演训练，甲无人机以米／秒的速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞下降，8秒时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，24秒时乙无人机完成表演动作，以米／秒的速度继续飞行上升，30秒时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为米，甲、乙无人机以相同的速度下降返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题． （1）______，______． （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为2米？（直接写出答案） 23. 如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值． 24. 在中，已知平分，且，是边上一点且满足，圆过，，三点． （1）如图1，若为圆的直径，求的度数． （2）如图2，若圆与相交于点，连接，求证： ①； ②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州市采荷中学2024—2025学年下学期4月月考九年级数学试题 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2. 禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为，数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了科学记数法，熟记科学记数法的定义（将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法）是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的乘方运算法则计算并判定A；根据同底数幂相除运算法则计算并判定B；根据合并同类项法则判定C；根据同底数幂相乘法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂除法、合并同类项、同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4. 如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的主视图，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．主视图即从正面看几何体，据此解题即可． 【详解】解：从正面看榫的主视图为： 故选：B． 5. 实数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由数轴可知在与0之间，故的绝对值小于1，大于1，故绝对值大于1，直接找出答案． 【详解】解：由数轴可知，， 故，，，成立，故A，B，C正确，不合题意； 而，故D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是实数与数轴、绝对值，解题的关键是掌握数轴上点的特点． 6. 对于一组数据：85，95，85，80，80，85，下列说法不正确的是（ ） A. 平均数为85 B. 众数为85 C. 中位数为82.5 D. 方差为25 【答案】C 【解析】 【分析】对数据的平均数，众数，中位数及方差依次判断即可 【详解】平均数=（85+95+85+80+80+85）÷6=85，故A正确； 有3个85，出现最多，故众数为85，故B正确； 从小到大排列，中间是85和85，故中位数为85，故C错误； 方差=[（85-85）2+（95-85）2+（85-85）2+（80-85）2+（80-85）2+（85-85）2]÷6=25，故D正确 故选C 【点睛】熟练掌握统计学中的平均数，众数，中位数与极差的定义是解决本题的关键 7. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ） A. 3尺 B. 尺 C. 尺 D. 4尺 【答案】B 【解析】 【分析】竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度为尺， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题． 8. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式可得反比例函数在每个象限内，随着的增大而增大，结合得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，，（其中）都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在每个象限内，随着的增大而增大， ∵， ∴，，， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕；把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕、与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠得，垂直平分，垂直平分，则，，，所以，则，即可推导出，则，所以，由三角形的中位线定理得，，则，再证明，则，所以，由勾股定理得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 连接，， 由折叠得，点与关于直线对称，点与点关于直线对称， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、等角的余角相等、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，，E是边上的一动点，以为直径的经过边上的一点F．若使最小，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最小得到以为直径的与相切于点F，设与交于点G，连接，，与交于点H，设，则，设 ， 则，，，利用矩形的性质，圆的切线的性质，圆周角定理和勾股定理求得值，即可得到答案； 【详解】解：∵最小， ∴为直径的与相切于点F，如图所示， 设与交于点G，连接，，与交于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵为直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴为梯形的中位线， ∴， ∵， ∴设，则，设 ， 则， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B； 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，梯形的中位线定理，勾股定理，利用已知条件确定出符合条件的图形是解题的关键． 二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分） 11. 函数中自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：函数中自变量的取值范围是， ∴， 故答案为：． 12. 分解因式：__________ 【答案】 【解析】 【分析】首先提取公因式b，进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【详解】解： ＝b（a2−1） ＝b（a＋1）（a−1）． 故答案为b（a＋1）（a−1）． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键． 13. 如图，小南向图中的正方形网格内随意放一枚棋子，使之落在阴影部分的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】求出正方形和阴影的面积，即可求出． 【详解】解：，， ∴落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率问题，灵活运用所学知识是关键． 14. 如图，为的直径，的平分线交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，角平分线的定义，根据直径所对的圆周角是直角得到的度数，再由角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， 故答案为：． 15. 如图，的半径为3，作正六边形，点B，点F在上，若图中阴影部分扇形恰是一个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥高为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形和圆及圆锥的计算的知识，首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可，解题的关键是求得正六边形的内角的度数并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【详解】解：∵正六边形的外角和为 ∴每一个外角的度数为 ∴正六边形的每个内角为 设这个圆锥底面圆的半径是， 根据题意得， 解得： ∴这个圆锥高 故答案为：． 16. 如图，在中，是的平分线，将以D为中心，逆时针旋转，点B的对应点为E．则的长度为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 过点作于，过点作，交的延长线于点，由角平分线的性质和面积法可求的长，由“”可证，可得，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将以为中心，逆时针旋转， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明演算步骤或证明过程） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 19. 如图，在中，，是边上的中线，，，． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，解直角三角形求出的长，据此可得答案； （2）根据三角形中线的定义求出的长，进而求出，再利用勾股定理求出的长，最后利用正弦的定义求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是边上的中线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 20. 某校丰富课间活动，为了了解学生对活动项目的喜爱情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，调查问卷和统计结果描述如下： 活动喜爱项目调查问卷 以下问题均为单选题，请根据实际情况填写． 问题1：在以下四类活动项目中，你最喜爱的是（ ） A．田径项目 B．游戏项目 C．球类项目 D．健身项目 如果问题1选择C．请继续回答问题2． 问题2：你更关注的球类项目是（ ） E．篮球 F．足球 G．羽毛球 H．其他 （注：此调查问卷为示例，考生不必选填） 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查中最喜爱的球类项目学生中更关注篮球的有多少人？ （2）该校共有1500名学生，根据统计信息，估计该校最喜爱田径项目的学生人数． 【答案】（1）人 （2）人 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，从图中获取相关联的信息是解本题的关键． （1）用本次调查中最喜爱球类项目的学生人数乘以更关注篮球的人数所占的百分比即可求解； （2）用乘以样本中该校最喜爱田径项目的学生人数所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：人， 答：本次调查中最喜爱的球类项目学生中更关注篮球的有人； 【小问2详解】 解：人， 答：估计该校最喜爱田径项目的学生人数为人． 21. 小丽和小明在研究一个尺规作图问题． 如图1，在四边形中，，．用直尺和圆规作，交边于点E． 小丽：如图2，以点B为圆心，长为半径作弧，交边于点E，连接，则． 小明：如图3，以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，连接，则． （1）填空：判断他们的作图方法是否正确．（填“正确”或“错误”）； ①小丽的作法______； ②小明的作法______． （2）请从（1）中任选一项判断说明理由．（要求：写出推理过程） 【答案】（1）正确，正确 （2） 如图2中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故小丽作法正确； 如图3中，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意可得到结论； （2）利用平行四边形的判定和矩形的判定证明四边形是矩形，再根据矩形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：小丽和小李的作法正确， 故答案为：正确，正确 【小问2详解】 略 22. 某校无人机社团进行表演训练，甲无人机以米／秒的速度从地面起飞匀速上升，同时乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞下降，8秒时甲、乙无人机分别到达各自训练计划指定的高度开始表演，24秒时乙无人机完成表演动作，以米／秒的速度继续飞行上升，30秒时与甲无人机汇合，此时距离地面的高度为米，甲、乙无人机以相同的速度下降返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞行的时间（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题． （1）______，______． （2）求线段所在直线的函数表达式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为2米？（直接写出答案） 【答案】（1）3；24 （2） （3）两架无人机表演训练到或或时，它们距离地面的高度差为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及速度、路程、时间之间的关系是解题的关键． （1）根据路程速度时间求出时乙无人机距离地面的高度，即b的值；再根据速度路程时间求出a的值即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）先计算甲、乙两架无人机y与x之间的函数关系式，分别计算当、时，它们距离地面的高度差为时对应x的值即可． 【小问1详解】 解：时乙无人机距离地面的高度为， ， 前甲无人机的速度为， ， 故答案为：3，； 【小问2详解】 解：设线段所在直线的函数表达式为（、n为常数，且） 将坐标和分别代入， 得， 解得， 线段所在直线的函数表达式为． 【小问3详解】 解：当时，设甲无人机y与x之间的函数关系式为，把代入得： ， 解得：， ∴甲无人机y与x之间的函数关系式为， 当时，设乙无人机y与x之间的函数关系式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴乙无人机y与x之间的函数关系式为， 当时，它们距离地面的高度差为时，得， 解得或； 当时，它们距离地面的高度差为时，得， 解得． 答：两架无人机表演训练到或或时，它们距离地面的高度差为． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度，恰好落在的图象上，求的值； （3）当时，若二次函数的最大值和最小值的差为，求的值． 【答案】（1）二次函数的表达式为； （2）的值为； （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，掌握知识点的应用及分情况讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法得出，求出即可； （）先求出点，由题意得平移后的坐标恰好落在的图象上，然后代入求值即可； （）分当时，当时，当时，当时四种情况分析即可． 【小问1详解】 解：∵对称轴是直线，点在抛物线上， ∴，解得：， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（）得二次函数的表达式为， ∴当时，， 解得：，， ∴点， ∴点向上平移个单位长度，向左平移个单位长度后点的坐标为， ∵平移后的坐标恰好落在的图象上， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：由（）得二次函数的表达式为， 当时， 当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得：； 当时， 当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得：（舍去），（舍去）； 当时， 当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得：（舍去），（舍去）； 当时， 当时，有最大值，当时，有最小值， ∴， 解得：； 综上可知：的值为或． 24. 在中，已知平分，且，是边上一点且满足，圆过，，三点． （1）如图1，若为圆的直径，求的度数． （2）如图2，若圆与相交于点，连接，求证： ①； ②． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，即，由等腰三角形的性质结合题意可得，由，得出，最后由三角形内角和定理计算即可得解； （2）①连接、，由圆周角定理可得，证明，由角平分线的定义结合等边对等角得出，由三角形外角的定义及性质结合题意得出，即可得证；②由①可得：，证明，得出，证明，得出，即，即可得证． 【小问1详解】 解：∵为圆的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①连接、， ∵点、、、都在圆上， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②由①可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $