空间向量与立体几何：点、直线、平面之间的位置关系讲义-2025届高三数学三轮冲刺

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 空间向量与立体几何：点、直线、平面之间的位置关系 高频考点分析 1.线线平行的判定 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)线面平行与面面平行的性质 2.线面平行的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 线 面 平 行 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 3. 面面平行的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 面 面 平 行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． （1）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． （2）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. 4.线线垂直的判定 (1)等腰三角形中线 (2)勾股逆定理 (3)菱形对角线 (4)矩形邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量的数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 5.线面垂直的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 线 面 垂 直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 6.面面垂直的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 面 面 垂 直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 真题速递 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 2．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2024·北京·高考真题·节选）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． 4．（2024·全国甲卷·高考真题·节选）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； 5．（2024·天津·高考真题·节选）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·节选）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； 7．（2024·新课标I卷·高考真题·节选）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； 实战演练一：线面平行的判定与性质 1．（2025·河北石家庄·一模·节选）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； 2．（2025·天津·一模·节选）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； 3．（24-25高二下·四川成都·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，平面，，，是线段上的动点． (1)当是线段中点时，求证：平面； 4．（2025·贵州·模拟预测·节选）如图所示，三棱柱中，，，点在线段上，四边形是正方形，平面平面． (1)当是线段的中点时，证明平面； 5．（2025·北京西城·一模）如图，在多面体中，平面，平面平面，，于点． (1)求证：； 6．（2025·北京门头沟·一模·节选）如图，在正方体中，为中点，与平面交于点. (1)求证：为的中点； 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·节选）如图，四棱锥的底面为矩形，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合），且． (1)记平面平面，求证：； 8．（24-25高三下·河北承德·阶段练习·节选）在四棱锥中，平面，底面是菱形，且，E，F分别为，的中点. (1)若平面与平面的交线为l，证明：； 实战演练二：面面平行的判定与性质 1．（2025·黑龙江·一模·节选）如图所示，正三角形的边长为2，，，分别是各边的中点，现将，，分别沿，，折起，使得，，所在平面均与底面垂直. (1)求证：平面平面； 2．（2025·甘肃白银·模拟预测·节选）在多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面. (1)证明：①平面平面； ②多面体是三棱台. 3．（24-25高三上·安徽亳州·期末·节选）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面平面； 4．（24-25高三上·山东菏泽·期末·节选）如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点. (1)证明：平面平面； 5．（2025·山东聊城·模拟预测·节选）如图所示的多面体中，平面，，，，，，，． (1)若点为中点，求证：平面； 6．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习·节选）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. (1)求证：平面； 7．（24-25高二上·北京昌平·期末·节选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：； 8．（24-25高三上·福建·期中·节选）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.   (1)设平面与平面的交线为，求证：； 实战演练三：线面垂直的判定与性质 1．（24-25高三下·天津·阶段练习·节选）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测·节选）已知三棱台的上、下底面都是等腰直角三角形，平面，，，． (1)证明：平面； 3．（2025·河南驻马店·模拟预测·节选·节选）如图，在三棱柱中，，侧面都是边长为2的正方形，D，E，F分别为的中点． (1)证明：平面； 4．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，点P到AD的距离为1. (1)证明：； 5．（2025·江西鹰潭·一模·节选）如图，在三棱柱中，，， (1)求证：； 6．（2025·辽宁·二模·节选）如图①，在矩形中，，，M为的中点，将沿折起，使A到处，平面平面，连接，（如图②）． (1)证明：平面； 7．（24-25高三下·河南南阳·开学考试·节选）如图1在直角梯形中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥． (1)证明：平面； 8．（2025·湖南邵阳·二模·节选）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面； 实战演练四：面面垂直的判定与性质 1．（2025·贵州·二模·节选）如图，在四棱锥中，，，，． (1)证明：平面平面．    2．（2025·河北衡水·模拟预测·节选）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合. (1)证明：平面平面； 3．（2025·山西晋中·模拟预测·节选）如图，四棱锥的底面为正方形，，且. (1)求证：平面平面. 4．（2025·江西·模拟预测·节选）如图，四棱锥中，，平面平面. (1)求证：平面平面； 5．（2025·湖南·二模·节选）在三棱锥中，平面平面平面. (1)求证：； 6．（2025·北京丰台·一模·节选）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，. (1)求证：平面； 7．（2025·湖北黄冈·模拟预测·节选）如图，在三棱柱中，平面平面，． (1)求证：平面； 8．（2025·江西九江·二模·节选）如图，在三棱锥中，平面平面平面，且. (1)证明：平面； 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 空间向量与立体几何：点、直线、平面之间的位置关系 高频考点分析 1.线线平行的判定 (1)平行四边形的对边 (2)三角形的中位线或等高线 (3)线面平行与面面平行的性质 2.线面平行的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 线 面 平 行 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行． 3. 面面平行的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 面 面 平 行 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行． （1）两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行． （2）两个平面平行，一个平面内的任意一条直线与另外一个平面平行. 4.线线垂直的判定 (1)等腰三角形中线 (2)勾股逆定理 (3)菱形对角线 (4)矩形邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量的数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 5.线面垂直的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 线 面 垂 直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 6.面面垂直的判定与性质 判定 性质 文字表示 数学语言表示 文字表示 数学语言表示 面 面 垂 直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 真题速递 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或          ②若，则或 ③若且，则       ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（    ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 2．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 3．（2024·北京·高考真题·节选）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. 4．（2024·全国甲卷·高考真题·节选）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见详解； 【详解】（1）因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； 5．（2024·天津·高考真题·节选）如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； 6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题·节选）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； 7．（2024·新课标I卷·高考真题·节选）如图，四棱锥中，底面ABCD，，． (1)若，证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）（1）因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． 实战演练一：线面平行的判定与性质 1．（2025·河北石家庄·一模·节选）如图，在四棱锥中，底面为矩形，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接，， 又是的中点，则且， 由是的中点，底面为矩形，则， 故，，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面. 2．（2025·天津·一模·节选）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； 3．（24-25高二下·四川成都·阶段练习·节选）如图，在四棱锥中，平面，，，是线段上的动点． (1)当是线段中点时，求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）记的中点为，连接，如图所示， 因为是线段中点，所以且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面， 所以平面． 4．（2025·贵州·模拟预测·节选）如图所示，三棱柱中，，，点在线段上，四边形是正方形，平面平面． (1)当是线段的中点时，证明平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）如图1所示，连接交于，四边形是正方形，则是的中点， 又因为是的中点，所以是的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 5．（2025·北京西城·一模）如图，在多面体中，平面，平面平面，，于点．    (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）如图，因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以，    6．（2025·北京门头沟·一模·节选）如图，在正方体中，为中点，与平面交于点. (1)求证：为的中点； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）依题意连接，如下图所示： 由正方体性质可得，又平面，平面， 可得平面， 因为与平面交于点，即平面平面， 可得， 因此，又为中点， 可得为的中点； 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·节选）如图，四棱锥的底面为矩形，是边长为2的等边三角形，，点为的中点，点为上一点（与点不重合），且．    (1)记平面平面，求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为底面为矩形， 所以． 又因为面，面， 所以面． 又因为面，面面， 所以． 8．（24-25高三下·河北承德·阶段练习·节选）在四棱锥中，平面，底面是菱形，且，E，F分别为，的中点. (1)若平面与平面的交线为l，证明：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）如图所示，连接，因为E，F分别是，的中点， 所以， 平面，平面，那么平面， 又平面，平面平面，所以； 实战演练二：面面平行的判定与性质 1．（2025·黑龙江·一模·节选）如图所示，正三角形的边长为2，，，分别是各边的中点，现将，，分别沿，，折起，使得，，所在平面均与底面垂直.    (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为为正三角形，且，，分别是各边的中点，    所以，，均为正三角形. 分别取，，的中点，，， 则，，，， 又因为平面底面，平面底面，平面， 所以平面，同理可得平面，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可得平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. 2．（2025·甘肃白银·模拟预测·节选）在多面体中，四边形与四边形均为直角梯形，，且点四点共面. (1)证明：①平面平面； ②多面体是三棱台. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）①如图①，四边形与四边形均为直角梯形，，故， 因为平面平面，所以平面， 同理可得平面，因为平面， 所以平面平面.      ②如图②，在梯形中，延长交于点，   平面平面，同理平面， 又平面平面. 故直线相交于点， 又由（1）可知：平面平面， 故多面体是三棱台. 3．（24-25高三上·安徽亳州·期末·节选）如图，在六面体中，平面，平面，四边形为菱形，，，. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为平面，平面， 所以. 又平面，不在平面内， 所以平面. 因为，平面，不在平面内，所以平面. 又，平面,所以平面平面； 4．（24-25高三上·山东菏泽·期末·节选）如图，四棱锥中，是等边三角形，，E为中点，O为中点. (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为在中，E为的中点，O为中点，所以， 而平面平面，所以平面. 因为，所以，所以四边形是平行四边形， 所以而平面平面，所以平面， 又，平面， 所以平面平面. 5．（2025·山东聊城·模拟预测·节选）如图所示的多面体中，平面，，，，，，，． (1)若点为中点，求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：如图所示，取中点，连接， 因为，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，可得， 又因为平面，且平面，所以平面， 因为，且和分别是腰和的中点，可得， 又因为平面，且平面，所以平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 6．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习·节选）如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）法一：取的中点，连接， 在三棱柱，且，四边形为平行四边形， 且， 分别为的中点， 且，且，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，平面． 法二：证明：如图，取中点，连接，   分别为的中点，， 平面，平面，平面， 且，四边形为平行四边形，且， 分别为的中点，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，面， ，平面，面面， 平面，平面． 7．（24-25高二上·北京昌平·期末·节选）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，与平面交于点. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）法一： 在正方体中， 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以.   法二： 在正方体中， 因为平面平面，平面， 所以平面.                               又因为平面，平面平面， 所以. 8．（24-25高三上·福建·期中·节选）如图，在四棱柱中，底面为直角梯形，，平面为的中点.    (1)设平面与平面的交线为，求证：； 【答案】(1)证明见详解 【详解】（1）由题意可知：平面∥平面， 且平面平面，平面平面， 所以. 实战演练三：线面垂直的判定与性质 1．（24-25高三下·天津·阶段练习·节选）如图，在多面体ABCDGEF中，四边形ABCD为直角梯形，且满足，，，，平面ABCD． (1)证明：平面CDE； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以. 因为平面平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面. 2．（2025·河北秦皇岛·模拟预测·节选）已知三棱台的上、下底面都是等腰直角三角形，平面，，，．    (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为平面，平面，所以，， 在三棱台中，，且，所以，，， 因为，、平面，所以，平面. 3．（2025·河南驻马店·模拟预测·节选·节选）如图，在三棱柱中，，侧面都是边长为2的正方形，D，E，F分别为的中点． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）因为侧面都是边长为2的正方形， 所以,平面，所以平面，， 所以以A为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系. 因为，， D为的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 由得： 令，得. 因为，，所以平面； 4．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，，点P到AD的距离为1. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 由，得，在菱形中，，则是正三角形， ，而平面，因此平面，又平面， 所以. 5．（2025·江西鹰潭·一模·节选）如图，在三棱柱中，，， (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：在三棱柱中，取的中点，连接，， 在与中， ， 由，同理，， 由平面； 6．（2025·辽宁·二模·节选）如图①，在矩形中，，，M为的中点，将沿折起，使A到处，平面平面，连接，（如图②）．    (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）在矩形中，，， 易得，则，即， 在四棱锥中，平面平面， 且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面. 7．（24-25高三下·河南南阳·开学考试·节选）如图1在直角梯形中，，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将沿BE折起到图2中的位置，得到四棱锥．    (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）， 所以为正方形，所以， 又，平面，平面， 又，且，故四边形为平行四边形， 平面. 8．（2025·湖南邵阳·二模·节选）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且． (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：，，，故． 又面面，面面，面， 面． 面，， 又，面，，面． 实战演练四：面面垂直的判定与性质 1．（2025·贵州·二模·节选）如图，在四棱锥中，，，，．    (1)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）在四棱锥中，由，，得， 则，而，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. 2．（2025·河北衡水·模拟预测·节选）如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，，分别是底面，圆周上的一点，，，且点不与，两点重合.    (1)证明：平面平面； 【答案】(1)证明过程见解析 【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径， 所以⊥， 因为⊥底面圆，， 所以⊥底面圆， 因为底面圆，所以⊥， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以平面⊥平面； 3．（2025·山西晋中·模拟预测·节选）如图，四棱锥的底面为正方形，，且.    (1)求证：平面平面. 【答案】(1)证明过程见解析； 【详解】（1）在中，，得， 则，即， 因为四边形为正方形，则， 又因，平面，平面，则平面， 又因平面，则平面平面. 4．（2025·江西·模拟预测·节选）如图，四棱锥中，，平面平面. (1)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）方法一： 取的中点为，取的中点为，并连接，如图所示. 因为为等边三角形， 故. 又平面平面，且平面平面，平面， 故平面，而平面， 从而. 又，故， 又，且为的中点，故有. 又，且平面， 故平面，平面， 从而， 又，且平面，故平面， 又平面， 故平面平面. 方法二： 取的中点为，并连接，如图所示. 因为为等边三角形， 故， 又平面平面，且平面平面，平面， 故平面，而平面， 从而， 又，故， 从而可得. 在和中，由， 得， 解得， 故由，知， 又，且平面，故平面， 又平面，故平面平面. 5．（2025·湖南·二模·节选）在三棱锥中，平面平面平面.    (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）    如图，过作于. 因为平面平面，平面平面平面 所以平面. 又平面，所以. 又平面平面，所以. 因为平面，且， 所以平面，又平面，所以. 6．（2025·北京丰台·一模·节选）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，.    (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）∵在中，，，， ∴，故. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面. 7．（2025·湖北黄冈·模拟预测·节选）如图，在三棱柱中，平面平面，． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示， 因为，是的中点， 所以，且， 又平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由，得， 因为，所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又在三棱柱中，， 所以四边形是菱形，所以， 又，平面， 所以平面． 8．（2025·江西九江·二模·节选）如图，在三棱锥中，平面平面平面，且. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）证明：过点作，垂足为 平面平面，平面平面平面， 又平面 平面平面. 又平面平面. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$