数列求和——“裂项相消法”的妙用 讲义-2025届高三数学三轮冲刺

该高中数学高考复习讲义聚焦数列求和核心考点，覆盖等差乘等比、等差除等比、三角裂项及含(-1)^n的活用式裂项，按“实例应用-方法探究-综合拓展”逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生突破裂项相消法应用难点，体现复习的系统性和针对性。 资料特色在于创新融合错位相减与裂项相消法对比教学，通过分层例题设计培养学生数学思维与模型观念。引导学生用待定系数法推导等差×等比型裂项公式，提升推理能力与应用意识，助力学生高效掌握求和技巧，为教师把控复习节奏提供实战化指导。

数列求和一一“裂项相消法”的妙用 对于形如a,=(kn+b)g(或a,=加+b)的数列（即“等差×等比”或“等差÷等比”的形式， 9 我们常用的求和方法就是“错位相减法”，然而，除了“错位相减法”之外，我们也可以采用“裂项相 消法”来求和。 我们先来看几个“裂项相消法”的应用实例： 【例1】已知a,=2n-12n+ -,求数列{an}的前n项和Sn 【例2】已知a,=nm+2 1 ,求数列{an}的前n项和Sn 2” 【例3】已知a.2-2-' 求数列{an}的前n项和Sn. 【例4】已知a,-4n-):5”,求数列a,}的前n项和S n(n+1) 【例5】已知a,=a,g"-(a,9≠0，g≠1)，求数列{an}的前n项和Sn: 接下来我们来探究：对于形如a。=(kn+b)g”(或a,=+b)的数列（即“等差×等比”或“等差 ÷等比”的形式)，如何用“裂项相消法”来求和呢？ 【例6】已知数列{a,}的通项公式为an=n·2”,求数列{an}的前n项和Sn 【例7】己知数列{an}的通项公式为a,=(2n+1)3”,求数列{an}的前n项和Sn. 【例8】已知数列a,}的通项公式为a,-2g中，求数列a,}的前分项和3 【例9】已知数列a,}的通项公式为a,=,求数列a,}的前n项和3 三角裂项 例1已知数列bn=tann.tan(n+l),求数列{bn}的前n项和。 例2己知数列an= sinn.sin (n+D 求数列{am}的前n项和。 例3已知数列an= COSCOS(n+D'求数列(a}的前n项和。 1 匀4日知数列a一s2·求数到a}防前n项 (-1)n的活用式裂项 例1.已知数列{am}满足a1=14,am+1=3an-4 (1)证明数列{an-2}为等比数列，并求{an}的通项公式 (-1)"an (2)设bn= ，求数列{bn}的前n项和Tm,若存在n∈N*,使m≥Tn (3”+1)(31+1) 求m的适用范围。 例2己知正项数列{a}中，a1=l,Sn是前n项和，且满足S,=(VS。+s,)2 (1)求数列{an}的通项公式； (2)已知数列(bn}满足bn=(-Da,+1,设数列(bn}的前n项和为T求Tn的 aan+1 最小值。