直线方程-2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义

2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 直线方程 高频考点分析 1．直线倾斜角的概念 当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2．倾斜角的取值范围：. 3．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母表示，即. 注：倾斜角是的直线没有斜率. 4．斜率公式 （1）经过两点的直线的斜率公式为； （2）倾斜角的直线的斜率公式为； （3）方向向量为的直线的斜率公式为. 5.平行与垂直问题 问题 解决思路 平行问题 若直线与直线平行，则斜率相等或者斜率均不存在. 垂直问题 若直线与直线垂直，则斜率之积为-1或者一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0. 三点共线问题 若、、三点共线，则. 8. 直线的五种方程 方程形式 方程表达式 使用条件 点斜式方程 斜率存在且过 斜截式方程 斜率存在且与轴截距存在 方程形式 方程表达式 使用条件 两点式方程 斜率存在且过、 截距式方程 轴与轴截距存在且均不为0 一般式方程 通用 9.两直线交点问题：已知直线与，求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标 10.定点问题 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为.（2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 11.两点之间的距离问题：已知点，则线段的长度 12.点到直线的距离问题：已知点，点到直线的距离 13.平行线的距离问题：已知直线与，直线到直线的距离 14．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点关于轴的对称点为． （2）点关于轴的对称点为． （3）点关于原点的对称点为． 15.对称问题 （1）点关于点的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点为，联立方程解得坐标. （2）点关于直线的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点在直线上与直线，联立方程解得坐标. 实战演练一：直线的倾斜角、斜率与直线方程 1．（24-25高二下·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【详解】若直线与直线平行，则且， 因为“”“且”， 但“”“且”， 因此，“”是“直线与直线平行”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2025·山东济南·一模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 【答案】D 【详解】若直线：与直线：平行， 则，整理可得，解得或， 若，直线：与直线：平行，符合题意； 若，直线：与直线：平行，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【详解】根据题意，可得，解得. 故选：C. 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 【答案】D 【详解】由直线与直线平行，得，解得或， 所以实数a的值为或1. 故选：D 5．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 6．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线的斜率为，两直线垂直， 故所求直线方程为，则. 故选：B. 7．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的方向向量为，则斜率为，因为直线与垂直，所以斜率为 又过点，所以直线方程为，整理可得. 故选：D. 8．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末·多选）给出下列命题正确的是（   ） A．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l与平行或 B．直线恒过定点 C．已知直线与直线垂直，则实数a的值是 D．已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】ABD 【详解】A：由，即，则l与平行或，对； B：由已知得，联立，可得，故直线恒过定点，对； C：由两直线垂直得，即，可得或，错； D：由题设且，结合空间向量共面定理的推论知P，A，B，C四点共面，对. 故选：ABD 9．（24-25高二上·江苏·阶段练习·多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．已知向量，则在上的投影向量为 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知三点不共线对于空间任意一点，若，则四点共面 【答案】AD 【详解】解：对于A，在上的投影向量为， 故选项A正确，符合题意； 对于B，直线的斜率为， 当时，倾斜角；当时，倾斜角， ∴直线的倾斜角的取值范围是， 故选项B错误，不符合题意； 对于C，若，则， 所以共面，故不能作为基底， 故选项C错误，不符合题意； 对于D，因为，所以四点共面， 故选项D正确,符合题意； 故选：AD. 10．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习·多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线平行 D．若，则直线与圆相切 【答案】ACD 【详解】对于A, ，由且，故，故直线恒过点，故A正确， 对于B，当时，，即，直线与直线平行，B错误，C正确， 对于D,当时，直线，此时圆心到直线的距离为1，与半径1相等，因此直线与圆相切，D正确， 故选：ACD 11．（24-25高二上·北京密云·期末）已知直线和直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为直线和直线垂直， 所以，解得. 故答案为： 12．（24-25高二下·上海浦东新·期末）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【详解】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为： 13．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）因为，所以直线的方程为，即. 所以点到直线的距离. 因为， 所以. （2）因为，所以AC边上的高的斜率为， 所以AC边上的高线的方程为，即. 因为、的中点为，又，所以边上的中线方程为， 由，解得， 所以边上的中线与AC边上的高的交点坐标为. 14．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 实战演练二：定点问题 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线可化为，则时有，即恒过定点． 故选：D 2．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的方程可整理为，令时，，则恒过定点， 故选：. 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 4．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A，B不重合），则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】B 【详解】由题意可知，直线经过定点， 直线即，经过定点， ∵过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直， P又是两条直线的交点，则有，∴. 因， 故的周长为，（当且仅当时等号成立） 即周长的最大值为. 故选：B. 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习·多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线平行 D．若，则直线与圆相切 【答案】ACD 【详解】对于A, ，由且，故，故直线恒过点，故A正确， 对于B，当时，，即，直线与直线平行，B错误，C正确， 对于D,当时，直线，此时圆心到直线的距离为1，与半径1相等，因此直线与圆相切，D正确， 故选：ACD 6．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【答案】 【详解】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）若直线与相交于点P，点，则的最大值为 . 【答案】/ 【详解】因为直线与分别恒过定点， 又因为两条直线垂直，则点P在以为直径的圆上，（如图） 设的中点为C；则，又 故圆C：，， 故答案为： 8．（24-25高三上·云南昆明·期末）若成等差数列，则直线过定点 . 【答案】 【详解】由题，有，所以由，得， 整理得，由，解得， 所以直线过定点. 故答案为： 实战演练三：距离问题 1．（2025·河北保定·一模）已知O为坐标原点，圆，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】C 【详解】圆的圆心，所以. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 3．（2025·辽宁辽阳·二模）函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为． 因为，所以，解得，则切点坐标为． 最短距离为点到直线的距离，即． 故选：C 4．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，因为，则，由题有， 解得或（舍），所以， 此时到直线的距离为， 故选：B. 5．（2025·河北保定·一模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意，又，所以，故，所以， 所以双曲线，故渐近线方程为且焦点为， 则焦点到渐近线的距离为. 故选：B. 6．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，切线的斜率为，则，得， 故，故切线的方程为：，即， 直线，即， 故两直线的距离为， 故选：B 7．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 8．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由题意可知可以化为， 所以两平行直线，之间的距离. 故选：B. 9．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 【答案】 【详解】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离. 故答案为：. 10．（24-25高二下·上海浦东新·期末）直线与直线的距离为 . 【答案】/ 【详解】直线的方程可化为，由题意可知，， 所以，直线与直线的距离为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海静安·期中）直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【详解】直线的斜率为，则直线的方程为，即， 因直线与直线平行，则，得， 则直线与之间的距离为. 故答案为： 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）点 到直线的距离的最大值是 【答案】3 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 13．（24-25高三下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】已知直线方程为，点， 根据点到直线的距离公式，代入得到： 因此，点到直线的最短距离即|AP|的最小值为. 故答案为：. 14．（24-25高三上·河南周口·期中）已知双曲线上的点到轴的距离为，则点到的两条渐近线的距离之和为 ． 【答案】 【详解】由双曲线的对称性可设在第一象限，故，则， 而渐近线方程为即， 故到的两条渐近线的距离之和为， 故答案为：. 实战演练四：对称问题 1．（2025·广东汕头·一模）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【详解】圆圆心为，圆可化为，所以圆心为， 由题意可得直线l的方程为以两圆圆心、为端点的线段的中垂线方程， 设， 由两直线垂直斜率关系可得直线l的为1， 又两圆中点坐标为，所以直线l的方程为，即. 故选：D. 2．（24-25高二上·广东清远·阶段练习）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 所以， 所以所求圆的圆心为，半径为, 所以所求圆的方程为：. 故选：A. 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 又的中点在直线l上， 所以直线l的方程为，即， 故选：A 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题意得，直线， ∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，， ∴，解得. 故选：C. 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 6．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D 7．（23-24高二上·山东济南·阶段练习·多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 8．（24-25高三上·广东广州·期中）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 【答案】 【详解】解法一：在直线上取一点，不妨取，则关于直线的对称点必在上． 设，则，解得即． 设与的交点为，则由，得，即． 又经过点，所以由两点式得直线的方程为， 即． 故答案为：． 解法二：直线：关于直线：对称的直线方程为 ， 即，所以直线的方程为． 故答案为：． 9．（24-25高二上·山东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 【答案】 【详解】因为点和点关于直线对称， 所以是线段的垂直平分线，由，可得，解得. 又AB的中点坐标为，，所以，解得， .故. 故答案为：. 10．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的两个焦点为，，直线是该椭圆的一条法线（过切点且与切线垂直的直线，从椭圆的一个焦点发出的光线，入射光线入射到椭圆的切点处，切线的类似镜面、反射光线经过另一个焦点，入射光线与反射光线关于法线对称），则该法线被椭圆截得的线段（法线弦）的长为 . 【答案】/ 【详解】设关于直线的对称点， 则，解得， 所以，如图所示， 设、为椭圆与法线的交点，则与关于直线对称， 又是关于的对称点， 所以，三点共线，则，解得， 从而的坐标为， 易得，， 故椭圆的长半轴， 另外，半焦距，所以短半轴， 因此椭圆的方程为， 设法线弦的长度为，设法线弦的另一端点的坐标为， 则，解得， 则法线弦的另一端点的坐标为， 代入椭圆的方程得，， 求得正根， 则所求法线弦长度为. 故答案为：. 11．（23-24高二下·广东广州·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 【答案】/0.5 【详解】设点关于的对称点为， 则，解得，故， 设， 因为，所以， 则，则， 设点关于轴的对称点为， 则直线的方程为， 由对称性可得在直线上，即， 解得， 故直线的方程为， 联立直线与直线， ，解得， 所以，将代入中， . 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三三轮冲刺高频考点复习讲义 直线方程 高频考点分析 1．直线倾斜角的概念 当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 2．倾斜角的取值范围：. 3．斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母表示，即. 注：倾斜角是的直线没有斜率. 4．斜率公式 （1）经过两点的直线的斜率公式为； （2）倾斜角的直线的斜率公式为； （3）方向向量为的直线的斜率公式为. 5.平行与垂直问题 问题 解决思路 平行问题 若直线与直线平行，则斜率相等或者斜率均不存在. 垂直问题 若直线与直线垂直，则斜率之积为-1或者一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0. 三点共线问题 若、、三点共线，则. 8. 直线的五种方程 方程形式 方程表达式 使用条件 点斜式方程 斜率存在且过 斜截式方程 斜率存在且与轴截距存在 方程形式 方程表达式 使用条件 两点式方程 斜率存在且过、 截距式方程 轴与轴截距存在且均不为0 一般式方程 通用 9.两直线交点问题：已知直线与，求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标 10.定点问题 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为.（2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 11.两点之间的距离问题：已知点，则线段的长度 12.点到直线的距离问题：已知点，点到直线的距离 13.平行线的距离问题：已知直线与，直线到直线的距离 14．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点关于轴的对称点为． （2）点关于轴的对称点为． （3）点关于原点的对称点为． 15.对称问题 （1）点关于点的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点为，联立方程解得坐标. （2）点关于直线的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点在直线上与直线，联立方程解得坐标. 实战演练一：直线的倾斜角、斜率与直线方程 1．（24-25高二下·上海青浦·期中）若、为实数，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．（2025·山东济南·一模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B． C．1或 D．或4 3．（24-25高二下·北京·阶段练习）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 4．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为（   ） A． B． C．或1 D．或1 5．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广西桂林·一模）已知直线的一个方向向量为，则过点且与垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末·多选）给出下列命题正确的是（   ） A．直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l与平行或 B．直线恒过定点 C．已知直线与直线垂直，则实数a的值是 D．已知A，B，C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 9．（24-25高二上·江苏·阶段练习·多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．已知向量，则在上的投影向量为 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．已知三点不共线对于空间任意一点，若，则四点共面 10．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习·多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线平行 D．若，则直线与圆相切 11．（24-25高二上·北京密云·期末）已知直线和直线垂直，则实数的值为 ． 12．（24-25高二下·上海浦东新·期末）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 13．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知三个顶点坐标分别为、、． (1)求的面积S； (2)求边上的中线与AC边上的高的交点坐标． 14．（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 实战演练二：定点问题 1．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）已知直线过定点，则定点的坐标为（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西晋城·期中）已知直线：（）恒过定点，则该定点为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）过定点A的直线与过定点B的直线交于点P（P与A，B不重合），则周长的最大值为（    ） A． B． C．6 D．8 5．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习·多选）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．若，则直线与直线垂直 C．若，则直线与直线平行 D．若，则直线与圆相切 6．（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 7．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）若直线与相交于点P，点，则的最大值为 . 8．（24-25高三上·云南昆明·期末）若成等差数列，则直线过定点 . 实战演练三：距离问题 1．（2025·河北保定·一模）已知O为坐标原点，圆，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁辽阳·二模）函数图象上一点到直线的最短距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）已知点是曲线上任一点，则到直线的距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北保定·一模）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 6．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 9．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 10．（24-25高二下·上海浦东新·期末）直线与直线的距离为 . 11．（24-25高二下·上海静安·期中）直线过点与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为 ． 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）点 到直线的距离的最大值是 13．（24-25高三下·上海·阶段练习）平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 14．（24-25高三上·河南周口·期中）已知双曲线上的点到轴的距离为，则点到的两条渐近线的距离之和为 ． 实战演练四：对称问题 1．（2025·广东汕头·一模）如果圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为（   ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高二上·广东清远·阶段练习）圆关于直线对称后的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点与点关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东济南·阶段练习·多选）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·广东广州·期中）已知直线l：，则直线m：关于直线的对称直线的方程为 ． 9．（24-25高二上·山东·期中）若点和点关于直线对称，则 ． 10．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知椭圆的两个焦点为，，直线是该椭圆的一条法线（过切点且与切线垂直的直线，从椭圆的一个焦点发出的光线，入射光线入射到椭圆的切点处，切线的类似镜面、反射光线经过另一个焦点，入射光线与反射光线关于法线对称），则该法线被椭圆截得的线段（法线弦）的长为 . 11．（23-24高二下·广东广州·期中）设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$