精品解析：江西省赣州市蓉江新区2023-2024学年下学期期中考试八年级数学试题

2023—2024学年第二学期期中考试 八年级数学试题 （说明：全卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟；答案一律写在答题卡上，否则成绩无效．） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ） A. 3，4，5 B. 2，2， C. 2，5，6 D. 5，12，13 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A B. C. D. 4. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 5. 已知是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 使有意义的x的取值范围是______． 8. 若平行四边形中两个内角度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是________°． 9. 若，则的值为 _____． 10. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 11. 如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________． 12. 在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，点P是斜边AB上一点，若△PAC是等腰三角形，则线段AP的长可能为____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 14. 如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在中，，现将它折叠，使点与重合，求折痕的长． 17. 在菱形中，点是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图中画出的中点； （2）在图中的对角线上取两个点，使． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，每个小正方形的边长为均为格点． （1）四边形的面积为______，四边形的周长为______； （2）是直角吗？说明理由 19. 如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE、EC、BD、DE交BC于点O． （1）求证：△ABD≌△BEC； （2）若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 20. 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人． （1）_________米，_________米； （2）①求消防车在处离楼房的距离（的长度）； ②求消防车两次救援移动距离（的长度）．（精确到，参考数据，，） 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． （1）求，的长； （2）求证：； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 22. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如，那么如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义： 若，则称点为点的“横负纵变点”例：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； （2）化简：______； （3）已知为常数，点且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 六、解答题（本大题共12分） 23. 点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点． （1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系； （2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立； （3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期期中考试 八年级数学试题 （说明：全卷共有六个大题，23个小题，满分120分，考试时间为120分钟；答案一律写在答题卡上，否则成绩无效．） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数（式）的二次根式，叫做最简二次根式， 逐一判断即可． 【详解】解：A、属于最简二次根式，符合题意； B、∵，∴不属于最简二次根式，不符合题意； C、∵，∴不属于最简二次根式，不符合题意； D、∵，∴不属于最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念，正确理解相关概念是解题的关键． 2. 下列四组线段中，不能作为直角三角形三条边的是（ ） A. 3，4，5 B. 2，2， C. 2，5，6 D. 5，12，13 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出各选项中较小两数的平方和及最大数的平方，比较后即可得出结论． 【详解】解：A、由于32+42=52，能作为直角三角形的三边长； B、由于22+22=（）2，能作为直角三角形三边长； C、由于22+52≠62，不能作为直角三角形的三边长； D、由于52+122=132，能作为直角三角形的三边长． 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，牢记“如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形”是解题的关键． 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：A、不能合并，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 4. 下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由，，不能判定四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由，不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由，，能判定四边形是平行四边形，故D符合题意． 故选：D． 5. 已知是整数，则正整数n的最小值是（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6． 【详解】解：，且是整数， ∴是整数，即6n是完全平方数； ∴n的最小正整数值为6． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法则和二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件时被开方数是非负数进行解答 6. 两张全等的矩形纸片，按如图的方式叠放在一起，．若，，则图中重叠（阴影）部分的面积为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先根据矩形的性质、平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，设，则，然后在中，利用勾股定理求出的值，最后根据平行四边形的面积公式即可得． 【详解】解：如图，在两张全等的矩形纸片，中，， ， 四边形是平行四边形， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得， ， 则图中重叠（阴影）部分的面积为， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、三角形全等的判定定理与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 使有意义的x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件． 【详解】解：根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须 ． 故答案为：． 8. 若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是________°． 【答案】60° 【解析】 【分析】根据平行四边形性质得出，推出，根据，求出即可. 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， . 故答案为：. 【点睛】本题考查了平行线的性质和平行四边形的性质的应用，能熟练地运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度不大. 9. 若，则的值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】两边同时平方得，，展开后求出，求出，从而开方求出的值． 【详解】平方得：， 展开后，， ∴， ∴， 即， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，能分别求出，是解此题的关键． 10. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 【答案】20 【解析】 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 11. 如图，在菱形中，，，点，在上，且，连接，，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交AC于点O，根据菱形的性质和勾股定理可得DO=3，当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小，再证明得DN=BM，由勾股定理求出DN的长即可． 【详解】解：连接BD交AC于点O，如图， ∵四边形ABCD是菱形，AC=8 ∴ 又 在Rt△AOB中， ∴ ∴DO=5 当点O为MN的中点时，BM+DN的值最小， ∵MN=1 ∴ 在Rt△DON中， ∴ 在Rt△DON和Rt△BOM中， ∴ ∴DN=BM ∴ ∴的最小值为 故答案为 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，灵活运用菱形的性质和勾股定理求出BN=是解答本题的关键． 12. 在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，点P是斜边AB上一点，若△PAC是等腰三角形，则线段AP的长可能为____． 【答案】3，2.5或． 【解析】 【分析】分三种情况讨论，再利用等腰三角形的性质进行计算即可． 【详解】若△PAC是等腰三角形，则分以下三种情况： ①PA=AC=3； ②AP=PC时，则∠A=∠ACP， ∵∠A+∠B=90°，∠ACP+∠BCP=90°， ∴∠B=∠BCP， ∴PC=PB， ∴AP=PB=PC， ∴P为AB的中点， ∵在Rt△ABC中，， ∴AP=2.5； ③PC=AC时，过C作CD⊥AB于D，则AP=2AD， ∵在Rt△ACD中，AD=AC•cosA， ∴AP=2AC•cosA， 又∵在Rt△ABC中，， ∴， 综上所述，AP的长为3，2.5或． 故答案为：3，2.5或． 【点睛】本题考查等腰三角形，熟练应用等腰三角形的性质及锐角三角函数是解题关键． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再算除法，最后算加减即可； （2）先利用乘法分配律进行运算，再算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 14. 如图，在中，和相交于点O， E，F分别是，的中点． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】连接，，证明四边形是平行四边形． 本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】证明：连接，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【分析】先化简分式为，代入x求解即可； 【详解】解：原式=， =， 当时，原式=． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，准确计算是解题的关键． 16. 如图，在中，，现将它折叠，使点与重合，求折痕长． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质，可得：，BD=CD，由勾股定理可求得AB=4，在Rt△DAC中，由勾股定理建立方程可求得CD，再由勾股定理即可求得DE的长． 【详解】解：由折叠的性质可得：，BD=CD， ， ∵， ∴， ∴AD=AB－BD=4－CD； 在Rt△DAC中，由勾股定理得：， 解得：， 在Rt△DEC中，由勾股定理得：． 答：折痕的长为． 【点睛】此题考查了折叠的性质、勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系，关键是通过勾股定理建立方程求得CD的长． 17. 在菱形中，点是的中点，请仅用无刻度的直尺按要求画图． （1）在图中画出的中点； （2）在图中的对角线上取两个点，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和无刻度的直尺按要求画图，掌握知识点的应用是解题的关键． （）连接交于点，然后连接，延长交于点，则点即为所求； （）连接交于点，然后连接，延长交于点，连接交于点，连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点即为所求． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，每个小正方形的边长为均为格点． （1）四边形的面积为______，四边形的周长为______； （2）是直角吗？说明理由 【答案】（1） （2）是直角，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据四边形的面积为，进行计算即可解答，再利用勾股定理分别求出的长，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【小问1详解】 如图： 四边形面积为 ， 四边形的面积为， 由题意得： ， ， 四边形的周长为， 故答案为：； 【小问2详解】 是直角， 理由：连接， 由得： ， ， ， 是直角三角形， ， 是直角． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 19. 如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE=AB，连接DE、EC、BD、DE交BC于点O． （1）求证：△ABD≌△BEC； （2）若∠BOD=2∠A，求证：四边形BECD是矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）先运用平行四边形的知识得到AB=BE、BE=DC、BD=EC，即可证明△ABD≌△BEC； （2）由四边形BECD为平行四边形可得OD=OE，OC=OB，再结合四边形ABCD为平行四边形得到∠A=∠OCD，再结合已知条件可得OC=OD，即BC=ED；最后根据对角线相等平行四边形是矩形证明即可． 【详解】证明：(1)∵在平行四边形ABCD ∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，即BE∥CD． 又∵AB=BE， ∴BE=DC． ∴四边形BECD为平行四边形． ∴BD=EC． 在△ABD与△BEC中， ∴△ABD≌△BEC(SSS)； (2)∵四边形BECD为平行四边形， ∴ OD=OE，OC=OB， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠BCD．即∠A=∠OCD． 又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC， ∴∠OCD=∠ODC ∴OC=OD． ∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED． ∴四边形BECD为矩形． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的性质和判定、平行线的性质、全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质等知识点，灵活应用相关知识是解答本题的关键． 20. 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，已知消防车高，云梯最多只能伸长到，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在处完成从高处救人后，然后前进到处从高处救人． （1）_________米，_________米； （2）①求消防车在处离楼房的距离（的长度）； ②求消防车两次救援移动的距离（的长度）．（精确到，参考数据，，） 【答案】（1）米，米 （2）①消防车在处离楼房的距离为；②消防车两次救援移动的距离约为 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得消防车的高为的长，再根据题中图形，可得云梯的长为的长． （2）①根据题意，可得的长，再根据勾股定理，即可得到消防车在处离楼房的距离．②根据题意，可得的长，再根据勾股定理，可得到的长，然后根据，即可算出消防车两次救援移动的距离． 【小问1详解】 根据题意，可得消防车的高为的长， ∴m； 根据题中图形，可得云梯的长为的长， ∴m． 故答案为：3；10． 【小问2详解】 ①由题意得，，， ∴， 在中，， 即消防车在处离楼房的距离为； ②由题意得，，， ∴ 在中， ， ∴． 即消防车两次救援移动的距离约为． 【点睛】本题考查了数形结合思想，勾股定理等知识点，熟练运用数形结合思想是解本题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，，．点D从点C出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒．过点D作于点F，连接，． （1）求，的长； （2）求证：； （3）当t为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）当秒或4秒时，为直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质和勾股定理得出方程，解方程即可； （2）利用已知用未知数表示出，的长，进而得出； （3）利用当时；当时；当时，分别分析得出即可． 【小问1详解】 解：设， ，， ． 由勾股定理得，， 解得：， ， ； 【小问2详解】 证明：由题意得，， 则， 在中，，，， ∴． 又， ． 【小问3详解】 当秒或秒时，为直角三角形，理由如下： 分情况讨论： ①当时，则， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵，， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ③时，此种情况不存在． 当秒或秒时，为直角三角形． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、含的直角三角形的性质等知识．理解相关知识是解答关键． 22. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开平方运算是互逆运算．如，那么如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义： 若，则称点为点的“横负纵变点”例：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； （2）化简：______； （3）已知为常数，点且，点是点的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题． （2）模仿例题解决问题即可． （3） 首先化简双重二次根式，再根据待定系数法，“横负纵变点”解决问题即可． 【小问1详解】 ， 点的“横负纵变点”为， ， 点的“横负纵变点”为． 故答案为：； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， ， ， ． ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了新定义问题，双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题． 六、解答题（本大题共12分） 23. 点P是矩形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F，点O为AC的中点． （1）如图1，当点P与点O重合时，请你判断OE与OF的数量关系； （2）当点P运动到如图2所示位置时，请你在图2中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立； （3）若点P在射线OA上运动，恰好使得∠OEF＝30°时，猜想此时线段CF，AE，OE之间有怎样的数量关系，直接写出结论不必证明． 【答案】（1）OE＝OF．理由见解析；（2）补全图形如图所示见解析，OE＝OF仍然成立；（3）CF＝OE+AE或CF＝OE﹣AE． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及垂线，即可判定，得出OE=OF； （2）先延长EO交CF于点G，通过判定，得出OG=OE，再根据中，，即可得到OE=OF； （3）根据点P在射线OA上运动，需要分两种情况进行讨论：当点P在线段OA上时，当点P在线段OA延长线上时，分别根据全等三角形的性质以及线段的和差关系进行推导计算即可． 【详解】（1）OE=OF．理由如下： 如图1． ∵四边形ABCD是矩形，∴ OA=OC． ∵，，∴． ∵在和中，， ∴，∴ OE=OF； （2）补全图形如图2，OE=OF仍然成立．证明如下： 延长EO交CF于点G． ∵，，∴ AE//CF，∴． 又∵点O为AC的中点，∴ AO=CO． 在和中，，∴，∴ OG=OE，∴中，，∴ OE=OF； （3）CF=OE+AE或CF=OE-AE． 证明如下：①如图2，当点P在线段OA上时． ∵，，∴， 由（2）可得：OF=OG， ∴是等边三角形， ∴ FG=OF=OE，由（2）可得：，∴ CG=AE． 又∵ CF=GF+CG，∴ CF=OE+AE； ②如图3，当点P在线段OA延长线上时． ∵，， ∴， 同理可得：是等边三角形， ∴ FG=OF=OE， 同理可得：， ∴ CG=AE． 又∵ CF=GF-CG，∴ CF=OE-AE． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了矩形的性质、全等三角形的性质和判定以及等边三角形的性质和判定，解决问题的关键是构建全等三角形和证明三角形全等，利用矩形的对角线互相平分得全等的边相等的条件，根据线段的和差关系使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $