2.2向量的减法-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

２．２　向量的减法 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解相反向量的含义,向量减法的意义及减法法则 ２．掌握向量减法的几何意义．能熟练进行向量的加、减运算 通过本节向量减法的学习,重点培养 学生的逻辑推理,数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　如图所示,两个班级举行 一项热身运动:拔河比赛． 如果一方的力记为 F１,另一 方的力记为F２． 问题　那么它们的合力的大 小是多少? 方向如何? [知识梳理] [知识点一]　向量的减法 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．定义:a－b＝a＋　　　　,即向量a减向量b 等于向量a加上向量b的　　　　． ２．几何意义:以O为起点,作向量OA → ＝a,OB → ＝ b,则　　　　＝a－b,如图所示,即a－b可表 示从向量　　的终点B指向向量　　的终点 A的向量． [知识点二]　非零向量a,b的差向量的三角不 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 等式 􀪋􀪋 １．当a,b不共线时, 如图①,作OA → ＝a,OB → ＝b, 则a－b＝OA → －OB → ＝　　　． ２．当a,b同向时, 若|a|＞|b|,则a－b与a,b同向(如图②), 于是|a－b|＝|a|－|b|, 若|a|＜|b|,则a－b与a,b反向(如图③), 于是|a－b|＝|b|－|a|． ３．当a,b反向时,a－b与a同向,与b反向．于是 |a－b|＝|a|＋|b|(如图④)． ４．可见,对任意两个非零向量,总有下列向量不 等式成立: ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|． 说明:①若a、b至少有一个为零向量时,向量 不等式的等号成立． ②由于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|,将－b代入 b得:|a|－|－b|≤|a－b|≤|a|＋|b|, 即|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|． [预习自测] １．设b是a 的相反向量,则下列说法一定错误 的是 (　　) A．a与b的长度相等 B．a∥b C．a与b一定相等 D．a是b的相反向量 ２．下列等式:①０－a＝－a;②－(－a)＝a;③a＋ (－a)＝０;④a＋０＝a;⑤a－b＝a＋(－b);⑥a－a ＝０． 正确的个数是 (　　) A．３　　　　　　　　　　　B．４ C．５ D．６ ３．AB → ＋BC → －AC → ＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１６􀅰 第二章　平面向量及其应用 向量减法法则的应用 [例１]　如图所示,已知向量a、b、c、d,求作向量 a－b,c－d． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　利用减法的几何意义作图． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用向量减法进行几何作图的方法 (１)已知向量a、b,如图①所示．作OA → ＝a, OB → ＝b,利用向量减法的三角形法则可得 a－b,利用此方法作图时,把两个向量的起 点放在一起,则这两个向量的差是以减向 量的终点为起点,被减向量的终点为终点 的向量． (２)利用相反向量作图,通过向量求和的平 行四边形法则作出a－b．如图②所示,作 OA → ＝a,OB → ＝b,AC → ＝－b,则OC → ＝a＋(－b), 即BA → ＝a－b． 􀳀[变式训练] １．如图所示,已知向量a,b,c,求作 向量a＋b－c． 向量减法的运算 [例２]　化简下列式子: (１)NQ → －PQ → －NM → －MP →; (２)(AB → －CD →)－(AC → －BD →)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用向量减法的运算律进行 化简 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 化简向量的和差的方法 (１)如果式子中含有括号,括号里面能运算 的直接运算,不能运算的去掉括号． (２)可以利用相反向量把差统一成和,再利 用三角形法则进行化简． (３)化简向量的差时注意共起点、由减向量 的终点指向被减向量的终点． [特别提醒]　利用图形中的相等向量代入、转化 是向量化简的重要技巧． 􀳀[变式训练] ２．化简: (１)(BA → －BC →)－(ED → －EC →); (２)AB → －AD → －DC → ． 向量加法、减法的综合运算 [例３]如图所示,已知OA → ＝a, OB → ＝b,OC → ＝c,OD → ＝d,OE → ＝ e,OF → ＝f,试用a,b,c,d,e,f 表示: (１)AD → －AB →; (２)AB → ＋CF →; (３)BF → －BD → ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２６􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　寻找图形中已知向量与所表 示向量的关系,再灵活运用三角形或平行四 边形法则表示即可． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)解决此类问题应搞清楚图形中的相等 向量、相反向量、平行向量以及构成三 角形三向量之间的关系,确定已知向量 与被表示向量的转化渠道． (２)通过表示向量的有向线段的字母符号 运算 来 解 决 问 题 时,运 算 过 程 中,将 “－”改为“＋”,只需把表示向量的两个 字母的顺序颠倒一下即可,如“－AB →” 改为“＋BA →”． 􀳀[变式训练] ３．如图,已知O为平行四边形 ABCD 内一点,OA → ＝a,OB → ＝b,OC → ＝c,求OD → ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列等式成立的个数是 (　　) ①a＋b＝b＋a; ②a－b＝b－a; ③０－a＝－a; ④－(－a)＝a; ⑤a＋(－a)＝０． A．５ B．４ C．３ D．２ ２．下列四个式子中可以化简为AB → 的是 (　　) ①AC → ＋CD → －BD →;②AC → －CB →;③OA → ＋OB →; ④OB → －OA → A．①④ B．①② C．②③ D．③④ ３．如图,D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA 的中点,则 (　　) A．AD → ＋BE → ＋CF → ＝０ B．BD → －CF → ＋DF → ＝０ C．AD → ＋CE → －CF → ＝０ D．BD → －BE → －FC → ＝０ ４．化简:(１)PB → ＋OP → －OB → ＝　　　　; (２)OB → －OA → －OC → －CO → ＝　　　　． ５．化简:(１)(AB → －CD →)＋(BE → －DE →); (２)AB → ＋DA → ＋BD → －BC → －CA → ． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３６􀅰 第二章　平面向量及其应用 变式训练 １．解:在平面内任取一点O,作OA→＝a,AB→＝b,BC→＝c,如图,则 由向量加法的三角形法则,得OB→＝a＋b,OC→＝a＋b＋c． [例２]　[解]　(１)由题图知,OABC为平行四边形, ∴OA→＋OC→＝OB→． (２)由图知BC→＝FE→＝OD→＝AO→, ∴BC→＋FE→＝AO→＋OD→＝AD→． (３)∵OD→＝FE→, ∴OA→＋FE→＝OA→＋OD→． 又OA→＝DO→,∴OA→＋FE→＝DO→＋OD→＝０． 变式训练 ２．解:(１)CD→＋BC→＋AB→＝(AB→＋BC→)＋CD→ ＝AC→＋CD→＝AD→． (２)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DF→)＋ FA→＝AC→＋CF→＋FA→＝AF→＋FA→＝０． [例３]　[证明]　∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴DA􀱀CB, ∴DA→＝CB→． 又∵DF＝BE 且DF 与BE 共线, ∴FD→＝BE→． ∴FD→＋DA→＝BE→＋CB→． 即FA→＝CE→． ∴FA􀱀CE． ∴四边形AECF 是平行四边形． 变式训练 ３．证明:∵PA→＋PB→＋PC→＋PD→ ＝PO→＋OA→＋PO→＋OB→＋PO→＋OC→＋PO→＋OD→ ＝４PO→＋(OA→＋OB→＋OC→＋OD→) ＝４PO→＋(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→) ＝４PO→＋０＋０＝４PO→． ∴PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝４PO→． [例４]　[解]　如图所示,BC→＝BA→ ＋AC→,∠BAC＝９０°,|AB→|＝|AC→| ＝ ３００ km, 所 以 |BC→| ＝ ３００ ２km．又因为∠ABC＝４５°, 且A 地在B 地的东偏南６０°的方 向处,可知C地在B 地的东偏南 １５°的方向处． 故飞机从B 地向C 地飞行的方向是东偏南１５°,B,C 两地间 的距离为３００ ２km． 变式训练 ４．解:如图所示．设|AB→|＝１０km/h, |AC→|＝１７．３km/h． 在 Rt △ABC 中,| BC→ | ＝ |AB→|２＋|AC→|２ ＝ １０２＋１７．３２ ≈２０(km/h)． 又cos∠ABC＝|AB →| |BC→| ＝１０２０＝ １ ２ ,所以∠ABC＝６０°． 所以船的实际航行速度大小为２０km/h,与水流的方向成 １２０°角． 随堂步步夯实 １．D　[(AB→＋PB→)＋(BO→＋BM→)＋OP→＝AB→＋BO→＋OP→＋PB→ ＋BM→＝AM→．] ２．D　[BA→＋CD→＋EF→＝DE→＋CD→＋EF→＝CE→＋EF→＝CF→．] ３．C　[对于 A,AB→＋BC→＝AC→≠CA→;对于B,AB→＋AC→≠BC→;对 于 C,AC→＋BA→＝BA→＋AC→＝BC→,又AD→＝BC→,所以AC→＋BA→ ＝AD→;对于 D,AC→＋AD→≠DC→．] ４．解析:根据题意由于向量a表示“向东航行３km”,向量b表示 “向南航行３km”,那么可知a＋b表示向东南航行３ ２km． 答案:向东南航行３ ２km ５．证明:AB→＝AP→＋PB→, AC→＝AQ→＋QC→, ∴AB→＋AC→＝AP→＋PB→＋AQ→＋QC→． ∵PB→与QC→大小相等,方向相反, ∴PB→＋QC→＝０, 故AB→＋AC→＝AP→＋AQ→＋０＝AP→＋AQ→． ２．２　向量的减法 课前预习学案　情境引入 　提示:设|F１|＞|F２|,合力大小为||F１|－|F２||＝|F１|－|F２|, 方向与力F１ 的方向一致． 知识梳理　知识点一 １．(－b)　相反向量 ２．BA→　b　a 知识点二 １．BA→ 预习自测 １．C　２．D　３．０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　如图所示,在平面内任取一点O,作OA→＝a,OB→ ＝b,OC→＝c,OD→＝d． 则a－b＝BA→,c－d＝DC→． 变式训练 １．解:在平面内任取一点O,作OA→＝a,OB→＝b,OC→＝c． 由向量加法的平行四边形法则得OD→＝a＋b; 由向量的减法法则得CD→＝OD→－OC→＝a＋b－c． 所以CD→就是所要求作的向量a＋b－c(如图所示)． [例２]　[解]　(１)原式＝NP→＋MN→－MP→＝NP→＋PN→＝NP→ －NP→＝０． (２)原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→ ＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝０． 变式训练 ２．解:(１)(BA→－BC→)－(ED→－EC→) ＝CA→－CD→＝DA→． (２)AB → －AD → －DC → ＝DB → －DC → ＝CB → ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２２􀅰 参考答案 [例３]　[解]　(１)∵OB→＝b,OD→＝d, ∴AD→－AB→＝BD→＝OD→－OB→＝d－b． (２)∵OA→＝a,OB→＝b,OC→＝c,OF→＝f, ∴AB→＋CF→＝(OB→－OA→)＋(OF→－OC→) ＝b＋f－a－c． (３)∵OD→＝d,OF→＝f, ∴BF→－BD→＝DF→＝OF→－OD→＝f－d． 变式训练 ３．解:在△AOD 中,OD→＝OA→＋AD→, 在△BOC中,BC→＝OC→－OB→, 又∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD→＝BC→, ∴OD→＝OA→＋OC→－OB→＝a＋c－b． 随堂步步夯实 １．B　[由题意知,①③④⑤成立．] ２．A　[因为AC→＋CD→－BD→＝AD→－BD→＝AD→＋DB→＝AB→,所以 ①正确,排除C、D;因为OB→－OA→＝AB→,所以④正确,排除B, 故选 A．] ３．A　[AD→＋BE→＋CF→＝１２AB →＋１２BC →＋１２CA →＝１２(AB →＋BC→ ＋CA→)＝０．] ４．解析:(１)PB→＋OP→－OB→＝PB→＋BP→＝０． (２)OB→－OA→－OC→－CO→＝(OB→－OA→)－(OC→＋CO→)＝AB→－０ ＝AB→ 答案:(１)０　(２)AB→ ５．解:(１)原式＝(AB→＋BE→)－(CD→＋DE→) ＝AE→－CE→＝AE→＋EC→＝AC→． (２)AB→＋DA→＋BD→－BC→－CA→ ＝(AB→＋BD→)＋DA→－(BC→＋CA→) ＝AD→＋DA→－BA→ ＝－BA→＝AB→． §３．从速度的倍数到向量的数乘 ３．１　向量的数乘运算 课前预习学案　情境引入 　提示:a＋a＋a＝３a,３a与a 方向相同,且长度是a长度的 ３倍． 知识梳理　知识点一 　向量　数乘　λa １．相同　相反　０ ２．|λ||a| [思考] １．提示:向量３a的几何意义是将表示向量a 的有向线段在原 方向上伸长为原来的３倍． 知识点二 １．λa＋μa　２．(λμ)a ３．λa＋λb　λ(－a)　λa－λb [思考] ２．提示:数乘向量λa 仍是向量,既有大小,又有方向,与向量a 共线;而实数的乘积仍是实数,只有大小,没有方向． 预习自测 １．C　２．D　３．１２ (－a－b)　１２ (b－a) 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)真命题．∵２a＝a＋a与a 方向相同,且|２a| ＝|a＋a|＝|a|＋|a|＝２|a|． (２)真命题．∵－２a＝(－a)＋(－a)与－a同方向,３a＝a＋a ＋a 与a 同 方 向,由 于 －a 与a 反 方 向,故 －２a 与 ３a 反 方向, 又∵|－２a|＝２|a|,|３a|＝３|a|,所以－２a的模是３a模的 ２ ３ 倍． (３)真命题．∵－２a＋２a＝(－２＋２)a＝０．故－２a与２a是一 对相反向量． (４)假命题．∵－(b－a)与b－a是一对相反向量,a－b与 b－a是一对相反向量,∴－(b－a)与a－b是相等向量． 变式训练 １．D　[由λ与向量a 的积λa 的方向规定,易知①②正确,对于 命题③④,当λμ＞０时,λ,μ同正或同负,∴λa 与μa 或者都 与a 同向,或者都与a反向．∴λa 与μa 同向,当λμ＜０时．则 λ与μ 异号,λa 与μa 中,一个与a同向,一个与a反向,∴λa 与μa 反向,故③④也正确．] [例２]　[解]　(１)原式＝２３ ４a－３b＋ １ ３b－ ３ ２a＋ ７ ４b( ) ＝２３ ４－ ３ ２( )a＋ －３＋ １ ３＋ ７ ４( )b[ ] ＝２３ ５ ２a－ １１ １２b( )＝ ５ ３a－ １１ １８b． (２)原式＝[(x＋y)－２(x－y)]a＋[(x＋y)－(x－y)]b ＝(３y－x)a＋２yb． (３)原式＝１３a－b－a＋ ２ ３b＋２b－a ＝ １３－１－１( )a＋ －１＋ ２ ３＋２( )b＝－ ５ ３a＋ ５ ３b ＝－５３ (３i＋２j)＋５３ (２i－j) ＝ －５＋１０３( )i＋ － １０ ３－ ５ ３( )j ＝－５３i－５j． 变式训练 ２．解析:∵２ y－１３a( )－ １ ２ (c＋b－３y)＋b＝０, ∴ ２＋３２( )y－ ２ ３a＋ － １ ２＋１( )b－ １ ２c＝０ , ∴７２y＝ ２ ３a－ １ ２b＋ １ ２c , ∴y＝４２１a－ １ ７b＋ １ ７c． 答案:４ ２１a－ １ ７b＋ １ ７c [例３]　[解]　由已知,点A 是BC 的中点, 则OA→＝１２(OB →＋OC→),从而OC→＝２OA→－OB→＝２a－b, 又OD＝２DB,所以OD→＝２３OB →＝２３b, DC→＝OC→－OD→＝２a－b－２３b＝２a－ ５ ３b． 变式训练 ３．解:连接CN． ∵AN∥DC,且AN＝DC＝１２AB , ∴四边形ANCD 为平行四边形, ∴CN→＝－AD→＝－b． ∵CN→＋NB→＋BC→＝０, ∴BC→＝－NB→－CN→＝b－１２a, MN→＝CN→－CM→＝CN→＋１２AN →＝１４a－b． 随堂步步夯实 １．D　[∵a＝－１２b (b≠０),－１２＜０ ,∴a和b方向相反,且|a| ＝ －１２b ＝ １ ２|b| ,∴|b|＝２|a|．故选 D．] ２．C　[①③④正 确,②错,７(a＋b)－８b＝７a＋７b－８b＝７a －b．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０３２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册