3 2.2 向量的减法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

2.2　向量的减法 　 第二章 §2　从位移的合成到向量的加减法 知识目标 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解向量减法的定义．　 2．掌握向量减法的几何意义．　 3．能熟练地进行向量的加、减的综合运算． 素养目标 通过向量减法的概念及减法法则的学习，培养学生数学抽象和直观想象素养；通过向量减法法则的应用，培养学生数学运算素养． 知识点一　向量的减法 1 知识点二　向量减法的三角不等式 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　向量的减法 返回 问题导思 问题1．在实数的运算中，实数α减去实数β等于α加上实数β的相反数．即：α－β＝α＋(－β).类比实数的减法，在向量的运算中，两向量a，b相减，会有什么结论成立呢？ 提示：a－b＝a＋(－b)，－b是b的相反向量． 新知构建 向量的减法 1．定义：向量a减向量b等于向量a加上向量b的____向量，即a－b＝a＋(－b). 2．向量减法的作图 3．几何意义：如果把向量a与b的起点放在点O，那么从向量b的终点B指向 被减向量a的终点A，得到的向量 就是_______． 相反 a－b 微提醒 (1)口诀：“共起点，连终点，箭头指向被减向量”．(2)两个向量的差仍是一个向量． 角度1　作两个向量的差向量 (一题多解)(链教材P88例4)如图所示，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c． 例1 规律方法 求作两个向量的差向量的两种思路 1．转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可． 2．直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．　　 对点练1．如图所示，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c. 角度2　向量减法的运算 化简下列各向量的表达式： 例2 规律方法 化简向量的和差的方法 1．如果式子中含有括号，括号里面能运算的直接运算，不能运算的去掉括号． 2．可以利用相反向量把差统一成和，再利用三角形法则进行化简． 3．化简向量的差时注意共起点，由减向量的终点指向被减向量的终点．　　 对点练2．化简下列各向量的表达式： 返回 知识点二　向量减法的三角不等式 返回 问题导思 问题2．如果a∥b，怎样作出a－b呢？ 提示： 　 问题3．结合问题2，探索|a|，|b|与|a－b|之间的大小关系如何． 提示：若a与b方向相反，|a－b|＝|a|＋|b|；若a与b方向相同，|a－b|＝||a|－|b||；若a与b不共线时，||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|. 问题4．若a，b是不共线向量，则|a＋b|与|a－b|的几何意义分别是什么？ 新知构建 向量减法的三角不等式：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|. 如图，已知向量a，b，c，d. (1)求作a－b－c＋d； 例3 (2)设|a|＝2，e为单位向量，试探索|a－e|的最大值． 解：由向量三角不等式知|a－e|≤|a|＋|e|＝3， 当且仅当a，e反向时等号成立， 故|a－e|的最大值为3. 规律方法 利用向量减法的三角不等式解题的关键是根据所给的向量构造合适的三角不等式进行求解．　　 对点练3．(多空题)若非零向量a和b满足|a＋b|＝|b|＝2，则|a|的取值范围是________，|a－b|的取值范围是________． (0，4]　 [2，6] 因为0＝||a＋b|－|b||≤|a|＝|a＋b－b|≤|a＋b|＋|b|＝4，又a是非零向量，所以|a|的取值范围是(0，4].因为|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＝4，且|a＋b|＝ 2，所以 得2≤|a－b|≤6，所以|a－b|的取值范围是[2，6]. 返回 综合应用 返回 例4 向量加、减法的应用 解：因为四边形ACDE是平行四边形， 规律方法 在图形中用已知向量表示其他向量的步骤 第一步：观察各个向量在图形中的位置； 第二步：把要表示的向量放入三角形或平行四边形中； 第三步：运用法则进行表示； 第四步：若表示结果中还有不是指定向量，重复上面步骤． A．a＋b－c B．a－b＋c C．b－a＋c D．b－a－c √ 返回 课堂小结 知识 1．向量的减法运算. 2．向量减法的几何意义． 3．向量减法的三角不等式 方法 数形结合 易错误区 忽略向量共起点时才可用向量的减法 随堂演练 返回 √ √ √ A．a－b＋c B．b－(a＋c) C．a＋b＋c D．b－a＋c √ 矩形 返回 课时测评 返回 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．如图所示，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示，作菱形ABCD， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)下列说法中正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则 ＝________．(用a，b，c表示) a－b＋c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以平行四边形OACB是矩形． 因为矩形的对角线相等， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(多选)化简以下各式，结果为0的有 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(新情境)如图是一个机器人手臂的示意图．该手臂分为三段，分别可用向量a，b，c代表．若用向量d代表整条手臂，则下列结论正确的是 根据题意得a＋b＋c＝d，所以a＋c＝d－b，a＋b＝d－c，由于各向量间的夹角未知，故 均不一定成立，故C正确，A，B，D错误．故选C． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)如图所示，已知正方形ABCD的边长为1， 求： (1)|a＋b＋c|；(6分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)|a－b＋c|.(7分) 所以|a－b＋c|＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)(多选)已知三角形ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，则下列结论正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在的直线互相垂直？(4分) a＋b，a－b所在的直线互相垂直，即AC⊥BD. 又因为四边形ABCD为平行四边形， 所以四边形ABCD为菱形，即a，b应满足|a|＝|b|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3)当a，b满足什么条件时，|a＋b|＝|a－b|？(5分) 所以四边形ABCD为矩形， 所以当a，b满足a⊥b时，|a＋b|＝|a－b|. (4)a＋b与a－b有可能为相等向量吗？为什么？(5分) 解：不可能，▱ABCD的两对角线不可能平行，因此a＋b与a－b不可能为共线向量， 所以a＋b与a－b不可能为相等向量． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 如图所示，给定向量a与b，作有向线段＝a，＝b，故－b＝，则a－b＝a＋(－b)＝＋＝＋＝. 法二：如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c． 解：法一：如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b， 则＝a＋b，再作＝c， 则＝a＋b－c． 解：如图所示，在平面内任取一点O，作向量＝a， ＝b，则向量＝a－b， 再作向量＝c，则向量＝a－b－c. 解：(－)－(－)＝－＋－＝＋＋＝＋＝－＝0. (3)(＋＋)－(－－). 解：(＋＋)－(－－)＝＋－＝－＝0. (1)＋－； 解：＋－＝－＝. (2)(－)－(－)； 解：原式＝＋－＝－＝. (1)－－－； (2)－＋－. 解：原式＝(＋)＋(－)＝＋(－)＝＋＝－＝0. 提示：如图所示，设＝a，＝b.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的几何意义，有＝a＋b，＝a－b.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a＋b|＝||，|a－b|＝||，即分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长． 解：在平面内任取一点O，作＝a，＝b，＝c， ＝d，则＝a－b－c＋d. (链教材P89例6)如图所示，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及. 所以＝＝c，＝－＝b－a，＝－＝c－a，＝－＝c－b， 所以＝＋＝b－a＋c. 对点练4．如图所示，向量＝a，＝b，＝c， 则向量可以表示为 根据向量运算法则可得＝＋＝－＋，又＝a，＝b，＝c，所以＝b－a＋c.故选C. 1. －－＝ A. B． C. D． －－＝＋＋＝＋＋＝. 2．(多选)下列各向量运算的结果与相等的有 A．＋ B．－ C．－ D．－ 由向量的线性运算法则得，对于A，＋＝，所以A符合题意，B不符合题意；对于C，－＝，对于D，－＝，故C不符合题意，D符合题意．故选AD. 3．如图所示，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于 ＝＋＋＝a－b＋c.故选A. 4．在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________． 根据题意得，＋＝，－＝，因为＝，即＝，所以平行四边形的对角线相等，所以该平行四边形为矩形． 1．在五边形ABCDE中(如图)，＋－＝ A． B． C． D． ＋－＝－＝＋＝.故选B. A．－＝ B．－＝0 C．－＝ D．＋＝ －＝，故A错误；因为ABCD是平行四边形，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，－＝，故B错误；－＝＋＝，故C正确；＋＝＝－，故D错误．故选C． 3．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为 A．1 B．2 C． D． 则|－|＝|－|＝||＝2||·sin 60°＝.故选D. 4．在△ABC中，＝＝，则△ABC是 因为＋＝，－＝，＋＝，＝＝，所以＝＝，所以△ABC是等边三角形．故选A． A．＋＝0 B．－＝ C．－－＝ D．若a，b为非零向量且|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b 对于A，＋＝0，故A不正确；对于B，－＝＋＝，故B正确；对于C，－－＝＋＋＝＋＝，故C正确；对于D，由a，b为非零向量，|a＋b|＝|a－b|可得以a，b为邻边的平行四边形为矩形，则a⊥b，故D正确．故选BCD. ＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c． 7．已知＝a，＝b，＝5，＝12，∠AOB＝90°，则＝________． 由题意△AOB是直角三角形，＝＝＝13. 8．如图所示，单位圆上有动点A，B，当|－|取得最大值时，|－|等于________． 因为|－|＝||，A，B是单位圆上的动点，所以当且仅当A，O，B三点共线，即AB是单位圆O的直径时，|－|的最大值为2，此时与反向共线． 所以||＝||＝4，即|a－b|＝4. 9．(10分)已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a＋b|＝4，求|a－b|的值． 解：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则＝a－b，＝a＋b，且＝，在△AOC中，因为(＋1)2＋(－1)2＝42， 所以||2＋||2＝||2，所以OA⊥AC，即OA⊥OB， A．＋＋ B．－＋－ C．＋＋ D．＋＋－ 对于A，＋＋＝＋＝0，故A正确；对于B，－＋－＝＋－＝－＝0，故B正确；对于C，＋＋＝＋＋＝＋＝2，故C错误；对于D，＋＋－＝＋＝＋＝0，故D正确．故选ABD. A．＋＋＝ B．＋＝＋ C．a＋c＝d－b D．a＋b＝c－d ＋＋＝，＋＝＋ 12．已知向量a，b满足＝＝，则a与a＋b的夹角为 A． B． C． D． 设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则有＝a－b，＝a＋b，由＝＝，则四边形OACB为菱形，∠BOA＝，则a与a＋b的夹角为∠COA＝.故选A． 使||＝||，如图所示， 则a＋b＋c＝， 且||＝2. ＝a，＝b，＝c， 所以|a＋b＋c|＝2. 解：由已知得a＋b＝＋＝， 因为＝c，所以延长AC到E， 所以|a－b＋c|＝|＋|＝||且||＝2. 解：作＝，连接CF，则＋＝， 而＝－＝－＝a－b， A．|＋|＝|－| B．|－|＝|－| C．|－|＝|－| D．|－| 2>|－| 2＋|－| 2 由条件可知||＝||，且⊥，以，为邻边的平行四边形是正方形，对角线相等，根据向量加、减法则可知|＋|＝|－|，故A正确；|－|＝||，|－|＝||，||＝||，所以|－|＝|－|，故B正确；|－|＝|＋|＝||，|－|＝|＋|＝||，所以|－ |＝|－|，故C正确；|－| 2＝|| 2，|－| 2＝||2，|－ | 2＝|| 2，由条件可知|| 2＝|| 2＋|| 2，即|－| 2＝|－| 2＋|－| 2，故D错误．故选ABC． 15．(17分)(一题多问)(开放题)如图，在▱ABCD中， ＝a，＝b. (1)用a，b表示，；(3分) 解：＝＋＝a＋b，＝－＝a－b. 解：由(1)知a＋b＝，a－b＝. 解：|a＋b|＝|a－b|，即||＝||， $$