2.1向量的加法-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

１．下列说法中正确的是 (　　) A．数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小,但同向的向 量可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 ２．下列说法正确的是 (　　) A．AB → ∥CD → 表示AB → 所在的直线平行于CD → 所 在的直线 B．长度相等的向量叫做相等向量 C．零向量的长度等于０ D．共线向量是在一条直线上的向量 ３．若|AB → |＝|AD → |且BA → ＝CD →,则四边形ABCD 的形状为 (　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 ４．已知在边长为２的菱形ABCD 中,∠ABC＝ ６０°,则|BD → |＝　　　　． ５．如图所示,在四边形ABCD 中,AB → ＝DC →,N,M 分别是 AD,BC 上 的 点,且 CN → ＝MA →, 求证:DN → ＝MB → ． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §２．从位移的合成到向量的加减法 ２．１　向量的加法 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．理解并掌握向量加法的概念,了解加法的物理意义 ２．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则,并能熟 练运用这两个法则作两个向量的加法运算 ３．了解向量加法的交换律和结合律 通过学习向量的加法,重点培养学生 的数 学 抽 象 和 逻 辑 推 理、数 学 建 模 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　在日常生活中,你是否有这样的经验:两个 人共提一个重物,夹角越大越费力;在单杠上做 引体向上运动,两臂的夹角越小越省力． 问题　１．你能从数学的角度解释这种现象吗? ２．物理学中的两个位移的和体现了向量 的什么运算? [知识梳理] [知识点一]　向量加法的定义及运算法则 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．求定义 求　　　　　　的运算,叫作向量的加法． ２．运算法则 (１) 平 行 四 边 形 法 则 已知两个不共线的 向 量 a,b,在平面内任取一点 A,作 有 向 线 段AB → ＝a, AD → ＝b,再作平行于AD → 的 有 向 线 段BC → ＝b,连 接 DC,则四 边 形 ABCD 为 平行四边形．向量AC → 叫作 向量a 与b 的和,表示为 AC → ＝a＋b． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 第二章　平面向量及其应用 (２) 三 角 形 法 则 已知两个不共线的 向 量 a,b,在平面内任取一点 A,作有向线段AB → ＝a,BC → ＝b,再作向量AC →,则向量 AC → 叫作向量a 与b 的和, 记作a＋b,即a＋b＝AB → ＋BC → ＝AC → ． 规定:(１)零向量与任一向量a的和都有a＋０＝ 　　＋　　＝a． (２)互为相反向量的两个向量的和为零向量,即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．两个向量相加就是两个向量的模 相加吗? [知识点二]　向量a＋b与非零向量a,b的模及 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 方向的关系 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．当向量a与b不共线时,a＋b的方向与a,b都不 相同,且|a＋b|＜|a|＋|b|,几何背景是三角形两 边之和大于第三边． ２．当a与b 同向时,a＋b与a 的方向相同,且 |a＋b|＝|a|＋|b|． ３．当a与b反向时,若|a|≥|b|,则a＋b与a 的 方向相同,且|a＋b|＝|a|－|b|．若|a|＜|b|, 则a＋b 与b 的方向相同,且|a＋b|＝|b| －|a|． [知识点三]　向量加法的运算律 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．结合律:(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． ２．交换律:a＋b＝b＋a． ３．多个向量相加 已知n个向量,依次把这n个向量　　　,以 第一个向量的起点为起点,第n个向量的终点 为终点的向量称为这n 个向量的和向量．即 A１A２ → ＋A２A３ → ＋􀆺＋An－１An → ＝A１An → ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．用运算律求得AB → ＋CA → ＋BC → 的结 果是什么? [预习自测] １．在△ABC中,AB → ＋BC → ＝ (　　) A．BA → 　　　　　　　B．CB → C．AC → D．CA → ２．AO → ＋OB → ＋OC → ＋CA → ＋BO → 等于 (　　) A．AB → B．０ C．BC → D．AC → ３．在 矩 形 ABCD 中,若 AB＝３,BC＝２,则 |AB → ＋BC → |＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 向量加法法则的应用 [例１]　(１)如图(１)所示,用向量加法的三角形 法则作出a＋b; (２)如图(２)所示,用向量加法的平行四边形法 则作出a＋b． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　借助向量加法的几何意义作图． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用三角形法则求和向量,关键是抓住“首尾 相连”,和向量是第一个向量的起点指向第 二个向量的终点,平行四边形法则注意“共 起点”．且两种方法中,第一个向量的起点 可任意选取,可在某一个向量上,也可在其 它位置．两向量共线时,三角形法则仍适 用,平行四边形法则不适用． 􀳀[变式训练] １．已知向量a,b,c,如图所示．求作a＋b＋c． 向量加法运算 [例 ２] 如 图,O 为 正 六 边 形 ABCDEF 的 中 点,化 简 下 列 向量: (１)OA → ＋OC →; (２)BC → ＋FE →; (３)OA → ＋FE → ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　解答本题充分利用正六边形 的有关性质,利用向量加法法则运算作出相 应向量． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 应用三角形法则和平行四边形法则求和向 量时,要注意它们的使用条件,三角形法则 适用于任何两个非零向量,且要首尾相接, 平行四边形法则适用于不共线的两个向 量,且要有同一起点．当两个向量不是首尾 相接或同一起点时,可通过相等向量进行 转化． 􀳀[变式训练] ２．化简或计算: (１)CD → ＋BC → ＋AB →; (２)AB → ＋DF → ＋CD → ＋BC → ＋FA → ． 用向量加法证明几何问题 [例３]如图所示,在平行四边形 ABCD的对角线BD的延长线及 反向延长线上取点E,F,使BE ＝DF． 求证:四边形AECF是平行四 边形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋[思路点拨]　证明FA → ＝CE → 或FC → ＝AE → 即可． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 用向量方法证明几何问题,首先要把几何 问题中的边转化成相应的向量,通过向量 的运算及其几何意义得到向量间的关系, 然后再还原成几何问题． 􀳀[变式训练] ３．如图,在平行四边形ABCD 中．对角线AC与BD 交于O 点,P为平面内任意一点． 求证:PA → ＋PB → ＋PC → ＋PD → ＝ ４PO → ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９５􀅰 第二章　平面向量及其应用 　　　向量加法的实际应用 [例４]一架执行任务的飞机从A 地按北偏西 ３０°的方向飞行３００km后到达B地,然后向C 地飞行,已知C 地在A 地东偏北３０°的方向 处,且A,C两地相距３００km,求飞机从B 地 到C 地飞行的方向及B,C间的距离． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　做出示意图,构造三角形．利 用向量的加法法则求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用向量的加法解决实际应用题的三个 步骤 􀳀[变式训练] ４．在水流速度为１０km/h的河中,如果要使船以 １７．３km/h的速度与河岸成直角横渡,求船的 航行速度的大小与方向． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．(AB → ＋PB →)＋(BO → ＋BM →)＋OP → 化简后等于 (　　) A．BC → B．AB → C．AC → D．AM → ２．如图,在正六边形ABCDEF中, BA → ＋CD → ＋EF → 等于 (　　) A．０ B．BE → C．AD → D．CF → ３．已知四边形ABCD 为菱形,则下列等式中成 立的是 (　　) A．AB → ＋BC → ＝CA → B．AB → ＋AC → ＝BC → C．AC → ＋BA → ＝AD → D．AC → ＋AD → ＝DC → ４．已知向量a表示“向东航行３km”,b表示“向南 航行３km”,则a＋b表示　　　　　　　　． ５．如图所示,P,Q是△ABC的边BC 上两点,且 BP＝QC．求证:AB → ＋AC → ＝AP → ＋AQ → ． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰０６􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 预习自测 １．D　２．C　３．D 课堂互动学案 [例１]　[解析]　①错误．由|a|＝|b|仅说明a与b模相等,但 不能说明它们方向的关系． ②错误．０的模为零． ③正确．对于一个向量,只要不改变其大小和方向,是可以任 意移动的． ④错误．共线向量即平行向量,只要方向相同或相反即可,并不 要求两个向量AB→,CD→必须在同一直线上． [答案]　③ 变式训练 １．A　[由向量相等的定义知 A正确;向量是有方向的量,不能比 较大小,故B错误;选项C中,当c＝０时,a与c不平行,故C不 正确;选项D中,a≠b可以是a∥b但a与b的模不相等,故 D 不正确．] [例２]　[解]　(１)向量AB→、BC→、CD→如图所示． (２)由 题 意,易 知AB→ 与CD→ 方 向 相 反,故AB→ 与CD→ 共 线, 又|AB→|＝|CD→|, ∴在四边形ABCD 中,AB􀱀CD． ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AD→＝BC→,∴|AD→|＝|BC→|＝２００km． 变式训练 ２．解析:(１)与AF→ 相等的向量有BE→、CD→． (２)与AE→ 共线的向量有EA→、BD→、DB→． 答案:(１)BE→、CD→　(２)EA→、BD→、DB→ [例３]　[解]　(１)与a的模相等的向量有２３个． (２)与a的长度相等且方向相反的向量有OD→,BC→,AO→,FE→． (３)与 a 共 线 的 向 量 有EF→,BC→,OD→,FE→,CB→,DO→,AO→, DA→,AD→． 变式训练 ３．解:(１)∵四边形ABCD 和ABDE 都是平行四边形, ∴AB􀱀ED,AB􀱀DC,从而AB→＝ED→,AB→＝DC→, ∴ED→＝DC→,故与向量ED→相等的向量是AB→,DC→． (２)∵AB→＝ED→,AB→＝DC→,∴ED→＝DC→． ∴ED→与DC→方向相同,从而E、D、C三点共线． ∴|EC→|＝|ED→|＋|DC→|＝２|AB→|＝６． [例４]　[解]　(１)向量a与c的夹角即∠BAC＝６０°． (２)如图,延长 AB 至 点D,使 BD ＝AB,则BD→＝a,因为△ABC 为等 边 三 角 形,所 以 ∠ABC＝６０°,则 ∠CBD＝１２０°,故向量a与b 的夹 角为１２０°． (３)延长 AC 至点E,使CE＝AC, 则CE→＝c,延 长 BC 至 点F,使 CF＝BC,则CF→＝b．因 为 △ABC为等边三角形,所以∠ECF＝∠ACB＝６０°,故向量b 与c的夹角为６０°． 变式训练 ４．解析:如图,正六边形 ABCDEF 中, 点O 为 其 中 心,以 这 七 个 点 为 起 点 或终点的向量中,与AB→相等的向量 有OC→,FO→,ED→,共３个, 与AB→的模相等,且夹角为６０°的向量 有AO→,OD→,FE→,BC→,FA→,EO→,OB→, DC→,共８个． 答案:３　８ 随堂步步夯实 １．D　[不管向量的方向如何,它们都不能比较大小,故 A,B不 正确;向量的大小即为向量的模,指的是有向线段的长度,与 方向无关,故 C不正确;向量的模是一个数量,可以比较大 小,故 D正确．] ２．C　[AB→∥DC→表示AB→所在的直线平行于DC→所在的直线,或 AB→所在的直线与DC→所在的直线重合;相等向量不仅要求长 度相等,还要求方向相同;共线向量也称为平行向量,它们可 以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向 量,所以 A,B,D均错误,故选 C．] ３．C　[因为BA→＝CD→,所以四边形ABCD 为平行四边形, 又|AB→|＝|AD→|,即邻边相等,所以四边形ABCD为菱形．] ４．２ ３ ５．证明:∵AB→＝DC→, ∴AB＝DC且AB∥DC, ∴四边形ABCD 是平行四边形,∴CB→＝DA→, 又CN→＝MA→, ∴CN＝MA,CN∥MA, ∴四边形CNAM 是平行四边形, ∴CM→＝NA→,∴CM＝NA,CM∥NA． ∵CB＝DA,CM＝NA, ∴MB＝DN． 又DN∥MB,∴DN→与MB→的模相等且方向相同, ∴DN→＝MB→． §２．从位移的合成到向量的加减法 ２．１　向量的加法 课前预习学案　情境引入 １．提示:这涉及到向量的合成问题．即向量的加法． ２．提示:体现了两个向量的加法运算． 知识梳理　知识点一 １．两个向量和 ２．０　a　 [思考] １．提示:两个向量相加,和向量还是一个向量,通过三角形法则 或平行四边形法则可得和向量,两个向量的模相加,其和是 一个实数,不是一个向量． 知识点三 ３．首尾相接 [思考] ２．提示:AB→＋CA→＋BC→＝AB→＋BC→＋CA→＝AC→＋CA→＝０,故结果 是０． 预习自测 １．C　２．B　３． １３ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)在平面内任取一点O,作OA→＝a,AB→＝b,再 作向量OB→,则OB→＝a＋b． (２)在平面内任取一点O,作OA→＝a,OB→＝b,再作平行OB→的 AC→＝b,连 接 BC,则 四 边 形 OACB 为 平 行 四 边 形,OC→＝a ＋b． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８２２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 变式训练 １．解:在平面内任取一点O,作OA→＝a,AB→＝b,BC→＝c,如图,则 由向量加法的三角形法则,得OB→＝a＋b,OC→＝a＋b＋c． [例２]　[解]　(１)由题图知,OABC为平行四边形, ∴OA→＋OC→＝OB→． (２)由图知BC→＝FE→＝OD→＝AO→, ∴BC→＋FE→＝AO→＋OD→＝AD→． (３)∵OD→＝FE→, ∴OA→＋FE→＝OA→＋OD→． 又OA→＝DO→,∴OA→＋FE→＝DO→＋OD→＝０． 变式训练 ２．解:(１)CD→＋BC→＋AB→＝(AB→＋BC→)＋CD→ ＝AC→＋CD→＝AD→． (２)AB→＋DF→＋CD→＋BC→＋FA→＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DF→)＋ FA→＝AC→＋CF→＋FA→＝AF→＋FA→＝０． [例３]　[证明]　∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴DA􀱀CB, ∴DA→＝CB→． 又∵DF＝BE 且DF 与BE 共线, ∴FD→＝BE→． ∴FD→＋DA→＝BE→＋CB→． 即FA→＝CE→． ∴FA􀱀CE． ∴四边形AECF 是平行四边形． 变式训练 ３．证明:∵PA→＋PB→＋PC→＋PD→ ＝PO→＋OA→＋PO→＋OB→＋PO→＋OC→＋PO→＋OD→ ＝４PO→＋(OA→＋OB→＋OC→＋OD→) ＝４PO→＋(OA→＋OC→)＋(OB→＋OD→) ＝４PO→＋０＋０＝４PO→． ∴PA→＋PB→＋PC→＋PD→＝４PO→． [例４]　[解]　如图所示,BC→＝BA→ ＋AC→,∠BAC＝９０°,|AB→|＝|AC→| ＝ ３００ km, 所 以 |BC→| ＝ ３００ ２km．又因为∠ABC＝４５°, 且A 地在B 地的东偏南６０°的方 向处,可知C地在B 地的东偏南 １５°的方向处． 故飞机从B 地向C 地飞行的方向是东偏南１５°,B,C 两地间 的距离为３００ ２km． 变式训练 ４．解:如图所示．设|AB→|＝１０km/h, |AC→|＝１７．３km/h． 在 Rt △ABC 中,| BC→ | ＝ |AB→|２＋|AC→|２ ＝ １０２＋１７．３２ ≈２０(km/h)． 又cos∠ABC＝|AB →| |BC→| ＝１０２０＝ １ ２ ,所以∠ABC＝６０°． 所以船的实际航行速度大小为２０km/h,与水流的方向成 １２０°角． 随堂步步夯实 １．D　[(AB→＋PB→)＋(BO→＋BM→)＋OP→＝AB→＋BO→＋OP→＋PB→ ＋BM→＝AM→．] ２．D　[BA→＋CD→＋EF→＝DE→＋CD→＋EF→＝CE→＋EF→＝CF→．] ３．C　[对于 A,AB→＋BC→＝AC→≠CA→;对于B,AB→＋AC→≠BC→;对 于 C,AC→＋BA→＝BA→＋AC→＝BC→,又AD→＝BC→,所以AC→＋BA→ ＝AD→;对于 D,AC→＋AD→≠DC→．] ４．解析:根据题意由于向量a表示“向东航行３km”,向量b表示 “向南航行３km”,那么可知a＋b表示向东南航行３ ２km． 答案:向东南航行３ ２km ５．证明:AB→＝AP→＋PB→, AC→＝AQ→＋QC→, ∴AB→＋AC→＝AP→＋PB→＋AQ→＋QC→． ∵PB→与QC→大小相等,方向相反, ∴PB→＋QC→＝０, 故AB→＋AC→＝AP→＋AQ→＋０＝AP→＋AQ→． ２．２　向量的减法 课前预习学案　情境引入 　提示:设|F１|＞|F２|,合力大小为||F１|－|F２||＝|F１|－|F２|, 方向与力F１ 的方向一致． 知识梳理　知识点一 １．(－b)　相反向量 ２．BA→　b　a 知识点二 １．BA→ 预习自测 １．C　２．D　３．０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　如图所示,在平面内任取一点O,作OA→＝a,OB→ ＝b,OC→＝c,OD→＝d． 则a－b＝BA→,c－d＝DC→． 变式训练 １．解:在平面内任取一点O,作OA→＝a,OB→＝b,OC→＝c． 由向量加法的平行四边形法则得OD→＝a＋b; 由向量的减法法则得CD→＝OD→－OC→＝a＋b－c． 所以CD→就是所要求作的向量a＋b－c(如图所示)． [例２]　[解]　(１)原式＝NP→＋MN→－MP→＝NP→＋PN→＝NP→ －NP→＝０． (２)原式＝AB→－CD→－AC→＋BD→ ＝(AB→－AC→)＋(DC→－DB→)＝CB→＋BC→＝０． 变式训练 ２．解:(１)(BA→－BC→)－(ED→－EC→) ＝CA→－CD→＝DA→． (２)AB → －AD → －DC → ＝DB → －DC → ＝CB → ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰９２２􀅰 参考答案