2 2.1 向量的加法-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件（北师大版2019）

2.1　向量的加法 　 第二章 §2　从位移的合成到向量的加减法 知识目标 1．借助实例和平面向量的几何表示，理解并掌握向量加法的概念，了解加法的物理意义．　 2．掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并能熟练运用这两个法则作两个向量的加法运算的向量．　 3．了解向量加法的运算律，并能够利用加法的运算律解决问题． 素养目标 通过向量加法的平行四边形法则和三角形法则的学习，提升学生直观想象素养；通过向量加法运算律的应用，提升学生逻辑推理素养． 知识点一　向量加法的定义 1 知识点二　向量加法的运算律 2 课时测评 5 综合应用 3 内容索引 随堂演练 4 知识点一　向量加法的定义 返回 问题导思 提示：如图所示． 问题2．假如家住石家庄的张先生准备去北京出差，他乘飞机先从石家庄到天津，再乘火车从天津到北京，则张先生的位移是多少？ 提示：如图所示． 新知构建 1．向量加法的定义：求_____________的运算，称为向量的加法． 2．向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线的向量a，b，如图，在平面内任取一点A，作有向线段 ，以有向线段 为邻边作▱ABCD，则有向线段___表示的向量即为向量a与b的和，记作a＋b.这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的_________________． 两个向量和 平行四边形法则 4.由向量加法的定义可知，互为相反向量的两个向量的和为零向量，即a＋(－a)＝(－a)＋a＝0. 三角形法则 微思考 对任意的两个向量 之间具有怎样的大小关系呢？能否通过作图进行解释呢？ 提示：它们之间的关系为||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. 当a，b为非零向量时，作图解释如下： (1)如图①，当a，b不共线时，由三角形任意两边之和大于第三边，得|a|＋|b|>|a＋b|；由三角形任意两边之差小于第三边，得||a|－|b||<|a＋b|. (2)如图②，当a与b同向共线时，此时|a＋b|＝|a|＋|b|； (3)如图③，当a与b反向共线时，不妨设|a|>|b|，此时|a＋b|＝|a|－|b|. 由于零向量也满足此式，故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|. (一题多解)(链教材P85例1) (1)如图①所示，求作向量a＋b； 例1 (2)如图②所示，求作向量a＋b＋c． 解：法一(三角形法则)：如图①所示， 法二(平行四边形法则)：如图②所示，首先在平面内任取一点O， 规律方法 用三角形法则求作和向量，关键是抓住“首尾相接”，和向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点，平行四边形法则注意“共起点”．且两种方法中，第一个向量的起点可任意选取，可在某一个向量上，也可在其他位置．两向量共线时，三角形法则仍适用，平行四边形法则不适用．　　 对点练1．如图所示，按下列要求作答： (1)以A为始点，作出a＋b； 解：将a，b的起点同时平移到A点，利 用平行四边形法则作出a＋b，如图所示： (2)以B为始点，作出c＋d＋e； 解：先将共线向量c，d的起点同时平移到B点，计算出c＋d，再平移向量e与之起点相同，利用平行四边形法则即可作出c＋d＋e，如图所示： (3)若图中小正方形边长为1， 求 解：由a是单位向量可知| a |＝1，根据作出的向量利用勾股定理可知， 返回 知识点二　向量加法的运算律 返回 问题导思 问题3．实数的加法运算满足结合律，即对任意a，b，c∈R，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).那么向量的加法也满足结合律吗？如何检验？ 提示：满足，如图所示，检验如下： 所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c). 问题4．实数的加法运算满足交换律，即对任意a，b∈R，都有a＋b＝b＋a，那么向量的加法也满足交换律吗？如何检验？ 提示：满足，如图所示，检验如下： 新知构建 向量加法的运算律 交换律 a＋b＝________ 结合律 (a＋b)＋c＝__________ b＋a a＋(b＋c) 微提醒 (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立．(2)因为向量的加法满足交换律和结合律，所以多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行． (一题多问)化简下列各式： 例2 规律方法 1．向量运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法则”化简． 2．化简应用原则 通过向量加法的交换律，使向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．　　 对点练2．如图所示，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： 返回 综合应用 返回 例3 向量加法的实际应用 　(链教材P85例2)一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置． 解：如图所示， 规律方法 应用向量解决实际问题的基本步骤 第一步(表示)：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题； 第二步(运算)：应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题； 第三步(还原)：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．　　 对点练3．如图所示，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小．(绳子的重量忽略不计) 由题意可得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°. 返回 课堂小结 知识 1．向量加法的定义. 2．向量加法的平行四边形法则和三角形法则. 3．向量加法的运算律 方法 数形结合、平行四边形法则、三角形法则 易错误区 向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点 随堂演练 返回 √ √ √ 4．若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|a＋b|＝________ km；向量a＋b的方向为________． 东北 返回 课时测评 返回 由平行四边形法则可得，四边形ABCD是以AB，AD为邻边的平行四边形．故选D. 1．在四边形ABCD中， ，则四边形ABCD是 A．梯形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示 A．向东北方向航行2 km B．向北偏东30°方向航行2 km C．向正北方向航行 km D．向正东方向航行 km √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4．(多选)如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(多选)下列结论中不正确的是 A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同 B．在△ABC中，必有 C．若 ，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若a，b均为非零向量，则a＋b的长度与a的长度加b的长度的和一定相等 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为 ，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，又因为DA＝DB＝DC，所以四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以∠ABC＝120°. 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)在长江某渡口上，江水以2 km/h的速度向东流，长江南岸的一艘渡船的速度为 km/h，要使渡船渡江的时间最短，求渡船实际航行的速度的大小和方向． 解：要使渡江的时间最短，渡船应向垂直于对岸的方向行驶，设渡船速度为v1，水流速度为v2，船实际航行的速度为v，则v＝v1＋v2，依题意作出平行四边形，如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以θ＝60°. 所以渡船实际航行的速度大小为4 km/h，方向为东偏北60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．正三角形 B．锐角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．a∥b B．a＋b＝b C．a⊥b D．|a－b|<|a|＋|b| 对于A，0与任一向量共线，故a∥b，所以A正确；对于B，a＝0，故a＋b＝0＋b＝b，所以B正确；对于C，a＝0，0与任一向量垂直，故a⊥b，所以C正确；对于D，a＝0，故|a－b|＝|0－b|＝|b|，|a|＋|b|＝|0|＋|b|＝|b|，所以|a－b|＝|a|＋|b|，所以D不正确．故选ABC． √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．当a，b满足条件________时，a＋b所在直线平分a，b所在直线的夹角． 如图所示： |a|＝|b| 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(13分)如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15．(17分)如图所示，在一场足球比赛中，中场队员在点A 位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上． 边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门 前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设BC＝30 m，∠ABC＝37°.(取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8) (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移；(7分) 解：由题意知，△ABC为直角三角形，由BC＝30 m，∠ABC＝37°， 所以中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移大小为22.5 m，方向为正前方． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？(10分) 所以中场队员的位移与球的位移相等． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 向 量 及 其 应 用 返回 问题1．物体在天车(生产车间或工地起重作业设备)的作用下，同时进行竖直向上方向的位移和水平向右方向的位移，实际位移可以看作竖直向上方向的位移与水平向右方向的位移的合成，请画出位移的合成． 张先生的两次位移、的结果a，b与从点A直接到点C的位移，即c相同． ＝a，＝b 和 3．向量加法的三角形法则：如图，作有向线段＝a，以有向线段的终点为起点，作有向线段＝b，连接A，C得到有向线段，也可以表示向量a与b的和．这种求两个向量和的作图方法称为向量加法的_____________． a，b，，＋，－ 解：首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b. 如图所示． 首先在平面内任取一点O，作向量＝a， 再作向量＝b，则向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝a＋b＋c． 作向量＝a，＝b，＝c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c． ，. ＝＝. 由共线向量的加法运算可知＝＝＝1. (a＋b)＋c＝(＋)＋＝＋＝， a＋(b＋c)＝＋(＋)＝＋＝， a＋b＝＋＝，b＋a＝＋＝，所以a＋b＝b＋a． 解： ＋＋＝＋＋＝＋＝. (3)＋＋＋＋. 解：＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. (1)＋； 解：＋＝＋＝. (2) ＋＋； 解：＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0. (1)＋＋； (2)＋＋＋. 解：＋＋＝＋＋＝＋＝. 即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地40 km的C处． 设，分别表示直升飞机的两次位移，则表示两次位移的合位移，即＝＋. 在Rt△ABD中，||＝20 km，||＝20 km. 在Rt△ACD中，||＝(20＋40)km＝60 km， ||＝ ＝40 km，∠CAD＝60°， 所以||＝||cos 30°＝10×＝5(N)，||＝||cos 60°＝10×＝5(N). 所以A处所受的力为5 N，B处所受的力为5 N. 解：如图所示，设，分别表示A，B所受的力，10 N的重力用表示， 则＋＝. 1．化简：＋＋＝ A． B． C． D． ＋＋＝＋＋＝＋＝.故选C． 2．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋等于 A． B． C． D． 以OP，OQ为邻边作平行四边形OPFQ(图略)，则对角线OF对应的向量是，所以即为所求的向量．故选B. 3．如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于 A． B． C． D． ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.故选B. 8 如图所示，作＝a，＝b，则a＋b＝＋＝，所以|a＋b|＝||＝＝8(km).因为∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是东北． ＋＝ 2．如图，正六边形ABCDEF中，＋＋＝ A．0 B． C． D． 因为ABCDEF为正六边形，所以＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＝.故选D. 易知tan α＝＝，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又＝ 2 km.故选B. A．＋＝ B．＋＋＝ C．＋＋＝ D．＋＋＝0 由向量加法的平行四边形法则可得：＋＝，故A正确；由三角形法则可得：＋＋＝＋＝＋＝，故B错误；＋＋＝＋＝，故C正确；＋＋＝＋＝0，故D正确．故选ACD. ＋＋＝0 ＋＋＝0 对于A，当a与b为相反向量时，a＋b＝0，方向任意，故A错误；对于B，在△ABC中，＋＋＝0，故B正确；对于C，当A，B，C三点共线时，满足＋＋＝0，但不能构成三角形，故C错误；对于D，若a，b均为非零向量，则≤＋，当且仅当a与b同向时等号成立，故D错误．故选ACD. 6．化简＋＋的结果是________． ＋＋＝＋＋＝＋＝. 7．如图所示，在四边形ABCD中，DA＝DB＝DC，且＋＝，则∠ABC＝______． ＋＝ 8．(多空题)在边长为1的等边三角形ABC中，|＋|＝___，|＋| ＝_____． 易知|＋|＝||＝1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC(图略)，则|＋|＝||＝2||×sin 60°＝2×1×＝. 2 在Rt△ABC中，||＝|v1|＝2，||＝|v2|＝2，所以||＝|v|＝ ＝＝4.tan θ＝＝＝. 10．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是 由于||＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形．故选D. 11．(多选)设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中正确的为 a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0， 令＝a，＝b，＝a＋b，则四边形ABDC为平行四边形，又因为a＋b所在直线平分a，b所在直线的夹角，即AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠DAC，又因为∠BAD＝∠ADC，所以∠DAC＝∠ADC，所以||＝||＝||，即|a|＝|b|. 又因为BP＝QC且与方向相反， 所以＋＝0，所以＋＝＋. 求证：＋＝＋. 证明：因为＝＋，＝＋， 所以＋＝＋＋＋. 14．(5分)设P1P2…P2 025是半径为1的圆O内接正2 025边形，M是圆O上的动点． 则|＋＋＋…＋P2 024P2 025＋|的取值范围为_________． 由已知可得，|＋＋＋…＋P2 024P2 025＋|＝＝.因为P1P2…P2 025是半径r＝1的圆O内接正2 025边形，M是圆O上的动点，所以0≤≤2r＝2，所以|＋＋＋…＋P2 024P2 025＋|∈. 得AC＝BC·tan 37°＝30×＝22.5 m，又＋＝， 解：因为＋＝， $$