第一章 章末归纳提升-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

[网络构建] [归纳提升] 　　　任意角的三角函数的定义 １．利用三角函数的定义,求三角函数值,以及利 用三角函数定义判断三角函数值的符号是常 见考查题型,含参时要注意检验是否出现增根 或分类讨论． ２．掌握三角函数的定义,重点提升逻辑推理和数 学运算素养． [例１]　(１)已知角θ的终边经过点P(－３,m)(m ≠０)且sinθ＝２４m ,试判断角θ所在的象限,并求 cosθ和tanθ的值． (２)求函数y＝ sinx＋ cosx－１２ 的定义域． 􀳀[变式训练] １．(１)若角α的终边在直线y＝３x上,求sinα, cosα,tanα． (２)设f(x)＝ １－２sinx． ①求f(x)的定义域; ②求f(x)的值域及取最大值时x的值． 　　　诱导公式 　诱导公式可概括为k􀅰π２±α (k∈Z)的各三角 函数值的化简公式．记忆规律是:奇变偶不变, 符号看象限．其中的奇、偶是指π２ 的奇数倍或 偶数倍,变与不变是指函数名称的变化．若是 奇数倍,则函数名称变为相应的异名函数(即 正余互变);若是偶数倍,则函数名称不变．符 号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符 号作为结果的符号． [例 ２]　 已 知α 为 锐 角,且 ２tan(π－α)－ ３cos π２＋β æ è ç ö ø ÷＋５＝０,tan(π＋α)＋６sin(π＋β) －１＝０,其中sin２α＋cos２α＝１,则sinα的值是 (　　) A．３ ５５ 　　B． ３ ７ ７ 　　C． ３ １０ １０ 　　D． １ ３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用诱导公式化简三角函数式,必须熟 记公式规律:奇变偶不变,符号看象限． ２．掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关 系,会知一求二,重点提升逻辑推理和数 学运算素养． 􀳀[变式训练] ２．已知sinα是方程５x２－７x－６＝０的根,α是第 三 象 限 角,求 sin －α－３２π æ è ç ö ø ÷cos３２π－α æ è ç ö ø ÷ cos π２－α æ è ç ö ø ÷sin π２＋α æ è ç ö ø ÷ 􀅰 tan２(π－α)的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２５􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 　　　三角函数的图象与性质 三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇 偶性、对称性等,在研究性质时,将ωx＋φ看成 一个整体,利用整体代换思想解题是常见的 技巧． “五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 掌握三角函数的图象和性质,重点培养直观想 象和数学运算素养． [例３]　函数f(x)＝３sin２x＋π６ æ è ç ö ø ÷ 的部分图象 如图所示． (１)写出f(x)的最小正周期及图中x０,y０ 的值; (２)求f(x)的单调递减区间; (３)求f(x)在区间 －π２ ,－π１２[ ]上的最大值和 最小值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 三角函数的三条性质 (１)单调性:求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y ＝Acos(ωx＋φ)(A＞０,ω＞０)的函数 的单调区间可以通过解不等式方法去 解答,即把ωx＋φ视为一个“整体”,分 别与正弦函数y＝sinx,余弦函数y＝ cosx的单调递增(减)区间对应解出 x,即得所求的单调递增(减)区间． (２)周期性:函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝ Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ２π |ω| ,y＝ tan(ωx＋φ)的最小正周期为 π |ω|． (３)奇偶性:三角函数中奇函数一般可化为 y＝Asinωx或y＝Atanωx,而偶函数 一般可化为y＝Acosωx＋B的形式． 􀳀[变式训练] ３．(１)函数f(x)＝tan２x－π３ æ è ç ö ø ÷ 的单调递增区 间是 (　　) A．kπ２－ π １２ ,kπ ２＋ ５π １２[ ](k∈Z) B．kπ２－ π １２ ,kπ ２＋ ５π １２ æ è ç ö ø ÷(k∈Z) C．kπ＋π６ ,kπ＋２π３ æ è ç ö ø ÷(k∈Z) D．kπ－π１２ ,kπ＋５π１２[ ](k∈Z) (２)函数y＝sin２x－π６ æ è ç ö ø ÷的图象的对称中心和 对称轴方程分别为　　　　． 　　　三角函数的图象变换 １．重点考查三角函数的平移变换,伸缩变换和解 析式的确定,通过对图象的描述、观察来讨论 函数的有关性质． ２．掌握平移和伸缩变换,以及由图象求解析式, 重点提升直观想象和逻辑推理素养． [例４]　如图是函数y＝ Asin(ωx＋φ)＋k(A＞０,ω ＞０,|φ|＜ π ２ )的部分 图象． (１)求此函数的解析式; (２)分析该函数的图象 是由y＝sinx的图象如何变换得来的? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)由图象求解析式一般采用待定系数法 求A,ω,φ．求φ时一般代入函数图象上 的最高点或最低点． (２)先平移后伸缩与先伸缩后平移,两者平 移的量是不同的．左右平移只是把x变 成x±φ,其它不变,左右伸缩只是把x 变成１ ωx ,其它不变． 􀳀[变式训练] ４．若把函数y＝sinωx－π６ æ è ç ö ø ÷ 的图象向左平移π ３ 个 单位长度,所得到的图象与函数y＝cosωx的图 象重合,则ω的一个可能取值是 (　　) A．２　　B．３２　　C． ２ ３　　D． １ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３５􀅰 第一章　三角函数 作图,如图所示． (２)①小球开始摆动(即t＝０)时,离开平衡位置为３cm． ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是６cm． ③小球来回摆动一次需要１s(即周期)． 变式训练 ２．解:(１)当t＝０时,E＝２２０ ３sinπ６＝１１０ ３ (伏), 即开始时的电压为１１０ ３伏． (２)电压的最大值为２２０ ３伏, 当１００πt＋π６＝ π ２ ,即t＝ １３００ 秒时第一次获得这个最大值． [例３]　[解]　(１)如图． (２)最低气温为１月份２１．４,最高气温为７月份７３．０, 故T ２＝７－１＝６ ,所以T＝１２． 因为２A 的值等于最高气温与最低气温的差, 即２A＝７３．０－２１．４＝５１．６,所以A＝２５．８． (３)因为x＝月份－１, 所以不妨取x＝２－１＝１,y＝２６．０． 代入①得yA ＝ ２６．０ ２５．８＞１≠cos π ６ ,故①不适合． 代入②得y－４６A ＝ ２６．０－４６ ２５．８ ＜０≠cos π ６ ,故②不适合． 所以应选③． 变式训练 ３．解:(１)设此三角函数模型是d＝Asin(ωt＋φ)＋b(t≥０),根 据题意可知周期T＝３７３ (h)． 所以 ω＝２πT ＝ ６π ３７ ,A＝dmax－dmin２ ＝ ８．４－２．８ ２ ＝２．８ ,b＝ dmax＋dmin ２ ＝ ８．４＋２．８ ２ ＝５．６ , 所以d＝２．８sin ６π３７t＋φ( )＋５．６(t≥０), 又因为当t＝２时,d取得最大值, 所以２．８sin １２π３７＋φ( )＋５．６＝８．４, 所以可取φ＝ １３π ７４ , 所以d＝２．８sin ６π３７t＋ １３π ７４( )＋５．６(t≥０)． (２)１０月４日１５:００相当于t＝３９,此时入口处水的深度d＝ ２．８sin ６π３７×３９＋ １３π ７４( )＋５．６＝８．４(米)． 随堂步步夯实 １．C　[根据题图可得函数的最小值为２, 有－３＋k＝２,k＝５,最大值为３＋k＝８．] ２．D　[当t＝０时,s＝２sin ０＋π４( )＝ ２,故①正确;smin＝－２, 故②正确;函数的最小正周期T＝２π,故③正确．] ３．A　[由题目可知y的最大值为５,所以５＝A×１＋２,得A＝ ３,由于T＝１５,所以ω＝２π１５． ] ４．解析:依题意,A＝３,ω＝２π２π ７ ＝７,φ＝ π ６ ,∴函数解析式为y＝ ３sin ７t＋π６( ) ,t∈[０,＋∞)． 答案:y＝３sin ７t＋π６( ) ,t∈[０,＋∞) ５．解:(１)由题意知 A＋b＝１４ , －A＋b＝－２,{ 解得 A＝８, b＝６,{ 易知T ２＝１４－２ ,所以T＝２４,所以ω＝π１２ , 易知８sin π１２×２＋φ( )＋６＝－２, 即sin π１２×２＋φ( )＝－１, 故 π １２×２＋φ＝－ π ２＋２kπ ,k∈Z, 又|φ|＜π,得φ＝－ ２π ３ , 所以y＝８sin π１２x－ ２π ３( )＋６(x∈[０,２４))． (２)当x＝９时,y＝８sin π１２×９－ ２π ３( )＋６ ＝８sinπ１２＋６＜８sin π ６＋６＝１０． 所以届时学校后勤应该开空调． 章末归纳提升　归纳提升 [例１]　[解]　(１)由题意得,得r＝ ３＋m２, 所以sinθ＝ m ３＋m２ ＝ ２４m． 因为m≠０,所以m＝± ５,故角θ是第二或第三象限角． 当m＝ ５时,r＝２ ２,点P 的坐标为(－ ３,５),角θ是第二 象限角, 所以cosθ＝xr ＝ － ３ ２ ２ ＝－ ６４ , tanθ＝yx ＝ ５ － ３ ＝－ １５３ , 当m＝－ ５时,r＝２ ２,点P 的坐标为(－ ３,－ ５),角θ是 第三象限角,所以cosθ＝xr ＝ － ３ ２ ２ ＝－ ６４ , tanθ＝yx ＝ － ５ － ３ ＝ １５３ ． (２)由题意知 sinx≥０, cosx－１２≥０ ,{ 即 sinx≥０, cosx≥１２ ,{ 如图,结合单位圆知: ２kπ≤x≤２kπ＋π(k∈Z), ２kπ－π３≤x≤２kπ＋ π ３ (k∈Z),{ 解得２kπ≤x≤２kπ＋π３ (k∈Z), ∴函数的定义域为 x ２kπ≤x≤２kπ＋π３ ,k∈Z{ }． 变式训练 １．解:(１)当α终边在第一象限时,取α终边上点P(１,３)． ∴|OP|＝ １０,∴sinα＝ ３ １０ ＝３ １０１０ ,cosα＝ １０１０ , tanα＝３, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６２２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 当sinα终边在第三象限时,取α终边上一点P(－１,－３) ∴|OP|＝ １０,∴sinα＝－３ １０１０ ,cosα＝－ １０１０ ,tanα ＝３． (２)① 由 １－２sinx≥０,根 据 正 弦 函 数 图 象 知:定 义 域 为 x ２kπ＋５６π≤x≤２kπ＋ １３π ６ ,k∈Z{ }． ②∵－１≤sinx≤１２ , ∴０≤１－２sinx≤３, ∴f(x)的值域为[０,３], 当x＝２kπ＋３π２ ,k∈Z时,f(x)取得最大值． [例２]　C　[由已知得 ３sinβ－２tanα＋５＝０ , tanα－６sinβ－１＝０．{ 消去sinβ,得tanα＝３, ∴sinα＝３cosα,代入sin２α＋cos２α＝１, 化简得sin２α＝９１０ ,则sinα＝３ １０１０ (α为锐角)．] 变式训练 ２．解:方程５x２－７x－６＝０的两根为x１＝－ ３ ５ ,x２＝２, 由α是第三象限角,得sinα＝－３５ ,则cosα＝－４５ , ∴ sin －α－３２π( )cos ３ ２π－α( ) cos π２－α( )sin π ２＋α( ) 􀅰tan２(π－α) ＝ sin π２－α( )cos π ２＋α( ) sinαcosα 􀅰tan２α ＝cosα (－sinα) sinαcosα 􀅰tan２α＝－tan２α＝－sin ２α cos２α ＝－９１６． [例３]　[解]　(１)f(x)的最小正周期为π,令２x＋π６＝ π ２＋ kπ,k∈Z,则x＝π６＋ kπ ２ ,k∈Z,当k＝２时,x０＝ ７π ６ ,y０＝３． (２)令 π２＋２kπ≤２x＋ π ６≤ ３π ２＋２kπ ,k∈Z． 解得 π ６＋kπ≤x≤ ２π ３＋kπ ,k∈Z, ∴f(x)的单调递减区间为 π６＋kπ ,２π ３＋kπ[ ] ,k∈Z． (３)因为x∈ －π２ ,－π１２[ ] ,所以２x＋ π ６∈ － ５π ６ ,０[ ] ,于是 当２x＋π６＝０ ,即x＝－ π１２ 时,f(x)取得最大值０;当２x＋ π ６＝－ π ２ ,即x＝－π３ 时,f(x)取得最小值－３． 变式训练 ３．解析:(１)令－π２＋kπ＜２x－ π ３＜ π ２＋kπ ,k∈Z． 解得－π１２＋ kπ ２＜x＜ ５π １２＋ kπ ２ ,k∈Z． ∴f(x)的单调递增区间为 －π１２＋ kπ ２ ,５π １２＋ kπ ２( ) ,k∈Z,故 选B． (２)令２x－π６＝kπ ,k∈Z, 则x＝π１２＋ kπ ２ ,k∈Z, ∴f(x)的对称中心为 π１２＋ kπ ２ ,０( )(k∈Z)． 令２x－π６＝ π ２＋kπ ,k∈Z,∴x＝π３＋ kπ ２ ,k∈Z． ∴f(x)的对称轴方程为x＝π３＋ kπ ３ ,k∈Z． 答案:(１)B　(２) π１２＋ kπ ２ ,０( )(k∈Z)　x＝π３＋ kπ ３ ,k∈Z [例４]　[解]　(１)由题干图象知A＝ －１２－ － ３ ２( ) ２ ＝ １ ２ , k＝ －１２＋ － ３ ２( ) ２ ＝－１ ,T＝２× ２π３－ π ６( )＝π, ∴ω＝２πT＝２ , ∴y＝１２sin (２x＋φ)－１． 当x＝π６ 时,１ ２sin ２× π ６＋φ( )－１＝－ １ ２ , 即sin π３＋φ( )＝１, π ３＋φ＝２× π ６＋φ＝ π ２＋２nπ ,n∈Z, ∴φ＝ π ６＋２nπ ,n∈Z,又|φ|＜ π ２ , ∴φ＝ π ６ , 故所求函数的解析式为y＝１２sin ２x＋ π ６( )－１． (２)把 y＝sinx 的 图 象 向 左 平 移 π６ 个 单 位,得 到 y＝ sin x＋π６( ) 的图象,然后将得到的图象上点的纵坐标保持 不变,横坐标缩短为原来的 １ ２ ,得到y＝sin ２x＋π６( ) 的图 象;再将得到的图象上点的横坐标保持不变,纵坐标变为原 来的１ ２ ,得到y＝ １２sin ２x＋ π ６( ) 的图象,最后把函数y＝ １ ２sin ２x＋ π ６( ) 的 图 象 向 下 平 移 １ 个 单 位,得 到 y＝ １ ２sin ２x＋ π ６( )－１的图象． 变式训练 ４．A　[y＝sin ωx＋ω３π－ π ６( ) 和函数y＝cosωx的图象重合, 可得ω ３π－ π ６＝ π ２＋２kπ ,k∈Z,则ω＝６k＋２,k∈Z．∴２是ω 的一个可能值．] 第二章　平面向量及其应用 §１．从位移、速度、力到向量 课前预习学案　情境引入 １．提示:能追上,因为它们的方向相同,猫的速率大于老鼠的 速率． ２．提示:υ１ 和υ２ 为共线向量． 知识梳理　知识点一 ２．AB→　３．|AB→|(或|a|) [思考] １．提示:向量不仅有大小,而且有方向．大小是代数特征,方向 是几何特征．看一个量是否为向量,就要看它是否具备了大 小和方向两个要素,二者缺一不可． ２．提示:不能．向量是既有大小又有方向的量．所以只能比较它 们模的大小． ３．提示:不是．向量是既有大小又有方向的量,而有向线段除了 有大小、方向外还有起点,所以二者是不同的,但是可以用有 向线段表示向量． ４．提示:不一样．向量平行与几何中的平行不同,向量平行包括 基线重合的情况,故也称向量共线． ５．提示:不一定．单位向量的长度都相等,但方向不一定相同, 故不一定相等． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７２２􀅰 参考答案