7.3正切函数的图象与性质-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

(２)原式＝２sin ２α－３sinαcosα sin２α＋cos２α ＝ ２sin２α－３sinαcosα cos２α sin２α＋cos２α cos２α ＝２tan ２α－３tanα tan２α＋１ ＝２×３ ２－３×３ ３２＋１ ＝９１０． 随堂步步夯实 １．B　[由题意得tan３９０°＝３a ,又tan３９０°＝tan(３６０°＋３０°)＝ tan３０°＝ ３３ ,∴３a＝ ３ ３ ,∴a＝３ ３．] ２．A　[∵sin２＞０,cos３＜０,tan４＞０,∴sin２×cos３×tan４＜０．] ３．B　[由tan(α－π)＝３４ ,得tanα＝３４ , ∴tanα＋π２( )＝－ １ tanα＝－ ４ ３． ] ４．解析:根据正 切 函 数 的 定 义 知tanα＝－６x ＝－ ３ ５ ,所 以x ＝１０． 答案:１０ ５．解:sin５８５°cos１２９０°＋cos(－３０°)sin２１０°＋tan１３５° ＝sin(３６０°＋２２５°)cos(３×３６０°＋２１０°)＋cos３０°sin２１０°＋ tan(１８０°－４５°) ＝sin２２５°cos２１０°＋cos３０°sin２１０°－tan４５° ＝sin(１８０°＋４５°)cos(１８０°＋３０°)＋cos３０°sin(１８０°＋３０°)－ tan４５° ＝sin４５°cos３０°－cos３０°sin３０°－tan４５° ＝ ２２× ３ ２－ ３ ２× １ ２－１＝ ６－ ３－４ ４ ． ７．３　正切函数的图象与性质 课前预习学案　情境引入 １．提示:还可以利用单位圆中的正切线作正切函数y＝tanx的 图象． ２．提示:描点法作y＝tanx在x∈ －π２ ,π ２[ ] 上的草图,描出 三点 －π４ ,－１( ) ,(０,０), π４,１( ) ,两线x＝± π ２． 知识梳理　[思考] １．提示:正切曲线是由被相互平行的直线x＝π２＋kπ ,k∈Z所 隔开的无穷多支曲线组成的,这些直线称作正切曲线各支的 渐近线,正切曲线有无数条渐近线． ２．提示:作正切函数的图象可以用“三点两线法”:所谓“三点” 是指 －π４ ,－１( ) ,(０,０), π４,１( ) ;“两线”是指x＝－ π ２ 和 x＝π２． 在三点、两线确定的情况下,类似于五点法作图,可 大致画出正切函数在 －π２ ,π ２( ) 上的简图,然后向左、向右 扩展即得正切曲线． 知识点二 　π　奇函数　 －π２＋kπ ,π ２＋kπ( )(k∈Z)　 kπ ２ ,０( )(k∈Z) [思考] ３．提示:y＝tanx 是中心对称图形,对称中心为 kπ２ ,０( )(k∈ Z),不是轴对称图形． ４．提 示: 不 是． 正 切 函 数 在 每 一 个 单 调 区 间 －π２＋kπ ,π ２＋kπ( )(k∈Z)内都是增函数．但在整个定义 域内不是,比如１８０°＞３０°,但tan１８０°＝０＜tan３０°＝ ３３． 预习自测 １．A　２．D　３． －π４＋kπ ,３π ４＋kπ( ) ,k∈Z 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由题意得 tanx＋１≥０１－tanx＞０{ ,即－１≤tanx＜１． 在 －π２ ,π ２( ) 内,满 足 上 述 不 等 式 的 x 的 取 值 范 围 是 －π４ ,π ４[ )． 又y＝tanx的周期为π, 所以－π４＋kπ≤x＜ π ４＋kπ ,k∈Z． 所以函数的定义域为 －π４＋kπ ,π ４＋kπ[ ) ,k∈Z． (２)令z＝２x＋π６ , ∵x∈ －５π２４ ,π １２( ] , ∴－π４＜z≤ π ３． ∵y＝tanz在 －π４ ,π ３( ] 上是增函数, ∴tan －π４( ) ＜y≤tan π ３ ,即－１＜y≤ ３． ∴函数的值域为(－１,３]． 变式训练 １．解析:(１)由题意得 x≠kπ＋ π ２ (k∈Z), tanx＞０,{ 即 x≠kπ＋π２ (k∈Z), kπ＜x＜kπ＋π２ (k∈Z), ì î í ïï ï 故定义域为 kπ,kπ＋π２( )(k∈Z)． (２)y＝(tanx－１)２＋２,由于tanx∈R,所以当tanx＝１时, 函数取最小值２． 答案:(１)kπ,kπ＋π２( )(k∈Z)　(２)２ [例２]　[解]　(１)y＝tan －１２x＋ π ４( )＝－tan １ ２x－ π ４( ) , 由kπ－π２＜ １ ２x－ π ４＜kπ＋ π ２ ,k∈Z, 得２kπ－π２＜x＜２kπ＋ ３π ２ ,k∈Z, 所 以 函 数 y ＝tan －１２x＋ π ４( ) 的 单 调 递 减 区 间 是 ２kπ－π２ ,２kπ＋３２π( ) ,k∈Z． (２)tan２＝tan(２－π),tan３＝tan(３－π)． 因为 π ２＜２＜π ,所以－π２＜２－π＜０． 因为 π ２＜３＜π ,所以－π２＜３－π＜０． 显然－π２＜２－π＜３－π＜１＜ π ２ , 又y＝tanx在 －π２ ,π ２( ) 内是增函数, 所以tan(２－π)＜tan(３－π)＜tan１． 即tan２＜tan３＜tan１． 变式训练 ２．解:y＝３tan π６－ x ４( )＝－３tan x ４－ π ６( ) , 由kπ－π２＜ x ４－ π ６＜kπ＋ π ２ ,k∈Z, 得４kπ－４π３＜x＜４kπ＋ ８π ３ ,k∈Z． ∴y＝３tan π６－ x ４( ) 的单调递减区间为 ４kπ－４π３ ,４kπ＋８π３( ) ,k∈Z． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４２２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 [例３]　[解]　(１)∵tan ２x＋π３＋π( )＝tan ２x＋ π ３( ) , 即tan ２ x＋π２( )＋ π ３[ ]＝tan ２x＋ π ３( ) ∴f(x)＝tan ２x＋π３( ) 的周期是 π ２． (２)函数的定义域是 x x≠π２＋kπ ,k∈Z}{ , 又∵sin(－x)＋tan(－x)＝－(sinx＋tanx), ∴函数y＝sinx＋tanx是奇函数． 变式训练 ３．解:y＝tan ωx＋π４( )(ω＜０)的周期为 π |ω|＝ π ２ ,解得ω＝２ 或ω＝－２．因为ω＜０,所以ω＝－２, 故y＝tan －２x＋π４( )＝－tan ２x－ π ４( )． 由２x－π４≠kπ＋ π ２ (k∈Z), 解得x≠kπ２＋ ３π ８ (k∈Z), 所以该函数的定义域为 x x≠kπ２＋ ３π ８ ,k∈Z{ },值域为 R． 由于该函数的定义域不关于原点对称,所以该函数既不是奇 函数也不是偶函数． 随堂步步夯实 １．D　[y＝tanx 有 无 数 个 递 增 区 间 kπ－π２ ,kπ＋π２( )(k∈ Z),无递减区间,且在定义域上不是增函数．] ２．A　[x＋π３≠ π ２＋kπ ,k∈Z,∴x≠π６＋kπ ,k∈Z．] ３．C　[令f(x)＝tan ２x－π３( )．由２x－ π ３≠kπ＋ π ２ (k∈Z), 解 得 x ≠ kπ２ ＋ ５π １２ (k ∈ Z), 即 定 义 域 为 x x≠kπ２＋ ５π １２ ,k∈Z{ },由于该 函 数 的 定 义 域 不 关 于 原 点 对称,所以该函数既不是奇函数也不是偶函数,故 A 错误; 由正切函数的图象知y＝tan ２x－π３( ) 没有单调递减区间, 故B错误;C中,∵f π６( ) ＝tan０＝０,故 π ６ ,０( ) 为图象的 一个对称中心,C正确;D 中,y＝tan ２x－π３( ) 的最小正周 期T＝π２ ,D错误．] ４．解析:∵－π２＋kπ＜３x＋ π ４＜ π ２＋kπ ,k∈Z． ∴－π４＋ kπ ３＜x＜ π １２＋ kπ ３ ,k∈Z． 答案: －π４＋ kπ ３ ,π １２＋ kπ ３( )(k∈Z) ５．解:由 π３x＋ π ４ ≠kπ＋ π ２ ,k∈Z,得x≠３k＋ ３４ ,k∈Z,故定 义域为 x x≠３k＋３４ ,k∈Z{ }． T＝ π|ω|＝ π π ３ ＝３． 由－π２＋kπ＜ π ３x＋ π ４＜ π ２＋kπ ,k∈Z, 得－９４＋３k＜x＜ ３ ４＋３k ,k∈Z, 故增区间为 －９４＋３k ,３ ４＋３k( ) ,k∈Z, 由 π ３x＋ π ４＝ kπ ２ ,得x＝３２k－ ３ ４ ,k∈Z, 所以对称中心为 ３ ２k－ ３ ４ ,０( ) ,k∈Z． §８．三角函数的简单应用 课前预习学案　情境引入 　提示:水深随时间的变化呈周期性变化． 知识梳理　[思考] 　提示:利用散点图可以较为直观地分析两个变量之间的某 种关系,然后利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这 些散点,从而避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的 失误． 预习自测 １．B　２．C　　３．－π６ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由 题 图 可 知 A＝３００,设t１ ＝－ １ ９００ ,t２ ＝ １１８０ , 则周期T＝２(t２－t１)＝２ １ １８０＋ １ ９００( )＝ １ ７５． ∴ω＝２πT＝１５０π． 又当t＝ １１８０ 时,I＝０, 即sin １５０π􀅰 １１８０＋φ( )＝０, 而|φ|＜ π ２ ,∴φ＝ π ６． 故所求的解析式为I＝３００sin １５０πt＋π６( )． (２)依题意知,周期T≤ １１５０ ,即２π ω≤ １ １５０ (ω＞０), ∴ω≥３００π＞９４２,又ω∈N＋ , 故所求最小正整数ω＝９４３． 变式训练 １．D　[因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一 周大约需要３０min, 所以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周,大约 需要１５min, 又因为摩天轮最高点距离地面高度为１２０m, 所以t＝１５时,H＝１２０, 对于 A,t＝１５时,H＝５５sin π１５×１５－ π ２( ) ＝５５sin π ２＝５５ , 不符合题意; 对于 B,t＝１５ 时,H＝５５sin π１５×１５＋ π ２( ) ＝５５sin ３π ２ ＝ －５５,不符合题意; 对于 C,t＝１５时,H＝５５sin π１５×１５＋ π ２( ) ＋５５＝５５sin ３π ２ ＋５５＝０,不符合题意; 对于 D,t＝１５时,H＝５５sin π１５×１５－ π ２( ) ＋６５＝５５sin π ２ ＋６５＝１２０,符合题意．故选 D．] [例２]　[解]　(１)周期T＝２π２π＝１ (s)． 列表． t ０ １６ ５ １２ ２ ３ １１ １２ １ ２πt＋π６ π ６ π ２ π ３π ２ ２π ２π＋ π ６ ６sin ２πt＋π６( ) ３ ６ ０ －６ ０ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５２２􀅰 参考答案 ７．３　正切函数的图象与性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．能够借助单位圆中的正切线画出函数y＝tanx的图象 ２．掌握正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性． 并能利用其性质解决相关问题 通过正切函数图象和性质的学习,培 养学生数学直观想象和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　孔子东游,见两小儿辩斗,问其故．一儿曰: “日初出沧沧凉凉,及其日中如探汤,此不为近者 热而远者凉乎?”事实上,中午的气温较早晨高, 主要原因是早晨太阳斜射大地,中午太阳直射大 地．在相同的时间、相等的面积里,物体在直射状 态下比在斜射状态下吸收的热量多,这就涉及太 阳光和地面的角度问题． 那么这与正切函数的性质与图象有什么联系呢? １．仿照利用正弦线作正弦曲线的作法,你能作出 正切函数的图象吗? ２．你还有其它方法吗? [知识梳理] [知识点一]　正切曲线 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　正切函数的图象称作正切曲线． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．正切曲线有何特征? ２．用怎样的方法可以快速简洁地作出正切函 数的图象? [知识点二]　正切函数的图象与性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 解析式 y＝tanx 图象 定义域 xx≠π２＋kπ ,k∈Z{ } 值域 R 最小 正周期 　　　 奇偶性 　　　　 单调性 在开区间　　　　　　　　　　 上都是增函数 对称性 对称中心　　　　　　　　 零点 kπ,k∈Z 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．正切曲线是中心对称图形吗? 若是, 对称中心是什么? 是轴对称图形吗? ４．正切函数在定义域上是单调函数吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５４􀅰 第一章　三角函数 [预习自测] １．函数y＝tan(x＋π)是 (　　) A．奇函数　　　　　　　B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数 ２．函数y＝tanx＋π４ æ è ç ö ø ÷的定义域是 (　　) A．xx≠－π４{ } B．xx≠π４{ } C．xx≠kπ－π４ ,k∈Z{ } D．xx≠kπ＋π４ ,k∈Z{ } ３．函 数 y＝tan x－π４ æ è ç ö ø ÷ 的 单 调 递 增 区 间 是　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　与正切函数有关的定义域、值域问题 [例１](１)求函数y＝ tanx＋１＋lg(１－tanx)的 定义域; (２)求函数y＝tan２x＋π６ æ è ç ö ø ÷,x∈ －５π２４ ,π １２ æ è ç ] 的 值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)先列不等式组,然后借助 正切函数的图象与性质解不等式;(２)令z ＝２x＋π６ ,转化为求tanz的值域． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求正切函数定义域的方法 求与正切函数有关的函数的定义域时, 除了求函数定义域的一般要求外,还要 保证正切函数y＝tanx有意义,即x≠ π ２＋kπ ,k∈Z,而对于构建的三角不等 式,常利用三角函数的图象求解．解形如 tanx＞a的不等式的步骤: 作图象 作在 － π２ ,π ２( ) 上的正切函数图象→ 求界点 ↓ 求在 － π２ ,π ２( ) 上使tanx＝a成立的x值→ 求范围 ↓ 求在 －π２ ,π ２( ) 上使tanx＞a成立的x的范围→ 定义域 ↓ 据正切函数的周期性,写出定义域→ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋２．求正切函数的值域的方法 ①结合图象． ②利用单调性． ③在复杂情况下,利用换元法,设t＝ωx ＋φ, 再求解． 􀳀[变式训练] １．(１)函数y＝ln(tanx)的定义域　　　　; (２)函 数y＝tan２x－２tanx＋３的 最 小 值 为　　　　． 　　　与正切函数有关的函数单调性问题 [例２](１)求函数y＝tan －１２x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷ 的单调 区间; (２)比较tan１、tan２、tan３的大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　解答(１)时先将函数化为y＝ －tan １２x－ π ４ æ è ç ö ø ÷,再 把１ ２x－ π ４ 整 体 代 入 －π２＋kπ ,π ２＋kπ æ è ç ö ø ÷,k∈Z 这个区 间内,解 出x便可．解答(２)的关键是利用tan２＝tan(２ －π),tan３＝tan(３－π),把角化归到同一单 调区间内,再利用y＝tanx在 －π２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷ 上 的单调性判断其大小关系． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６４􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A,ω,φ都是 常数)的单调区间的方法 (１)若ω＞０,由于y＝tanx在每一个单调 区间上都是增函数,故可用“整体代换” 的思想,令kπ－π２＜ωx＋φ＜kπ＋ π ２ ,k ∈Z,求得x的范围即可． (２)若ω＜０,可利用诱导公式先把y＝Atan (ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)] ＝－Atan(－ωx－φ),即把x的系数化 为正值,再利用“整体代换”的思想,求 得x的范围即可． ２．运用正切函数单调性比较大小的方法 (１)运用函数的周期性或诱导公式将角化 到同一单调区间内． (２)运用单调性比较大小关系． 􀳀[变式训练] ２．求函数y＝３tan π６－ x ４ æ è ç ö ø ÷的单调区间． 　　　与正切函数有关的周期性、奇偶性问题 [例３](１)求f(x)＝tan２x＋π３ æ è ç ö ø ÷的周期; (２)判断y＝sinx＋tanx的奇偶性． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　(１)利用公式法或定义法求函 数的周期;(２)利用奇偶函数的定义判断函 数的奇偶性． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)一般地,函数y＝Atan(ωx＋φ)＋b(A≠０, ω＞０)的周期为T＝πω ,常常使用此公 式来求周期． (２)判断奇偶性一定要先求定义域,判断其 是否关于原点对称．若不对称,则函数 无奇偶性,若对称,再判断f(－x)与f (x)间的关系． 􀳀[变式训练] ３．已知函数y＝tanωx＋π４ æ è ç ö ø ÷(ω＜０)的周期为 π ２ ,求该函数的定义域、值域．并判断函数的奇 偶性． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．下列说法正确的是 (　　) A．y＝tanx是增函数 B．y＝tanx在第一象限是增函数 C．y＝tanx在某一区间上是减函数 D．y＝tanx在区间 kπ－π２ ,kπ＋π２ æ è ç ö ø ÷(k∈Z)上 是增函数 ２．函数y＝tanx＋π３ æ è ç ö ø ÷的定义域是 (　　) A．{x|x∈R且x≠kπ＋π６ ,k∈Z} B．{x|x∈R且x≠kπ－π６ ,k∈Z} C．{x|x∈R且x≠２kπ＋π６ ,k∈Z} D．{x|x∈R且x≠２kπ－π６ ,k∈Z} 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７４􀅰 第一章　三角函数 ３．关于函数y＝tan２x－π３ æ è ç ö ø ÷,下列说 法 正 确 的是 (　　) A．是奇函数 B．在区间 ０,π３ æ è ç ö ø ÷上单调递减 C．π６ ,０æ è ç ö ø ÷为图象的一个对称中心 D．最小正周期为π ４．函数y＝２tan３x＋π４ æ è ç ö ø ÷－５的单调递增区间是 　　　　． ５．求函数y＝tan π３x＋ π ４ æ è ç ö ø ÷的定义域、周期、单调 区间和对称中心． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 §８．三角函数的简单应用 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．会用三角函数解决简单的实际问题 ２．体会利用三角函数构建事物周期变化的数学模型 通过实际问题,构建三角函数数学模 型,重点提升学生的数学抽象、数学运 算和数学建模素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　 　 温 州 市 区 著 名 景 点———江心屿,江心屿上面 有座寺庙———江心寺,在江 心寺中题了一副非常知名 的对联．上联是:云朝朝 朝 朝朝 朝朝朝散;下联是:潮 长长 长长长 长长长消．该对联巧妙地运用了叠 字诗展现了瓯江潮水涨落的壮阔画面．下面是瓯 江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水 深的关系表: 时间 ０ １ ３ ６ ８ ９ １２ １５ １８ ２１ ２４ 水深 ６ ６．２５７．５ ５ ２．８４２．５ ５ ７．５ ５ ２．５ ５ 问题　仔细观察表中的数据,你能从中得到一些 什么信息? [知识梳理] [知识点一]　三角函数的应用 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一 种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画 周期变 化 规 律、预 测 未 来 等 方 面 发 挥 重 要 作用． ２．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据→画散点图→选择函数模型→求解 函数模型→检验． [知识点二]　函数y＝Asin(ωx＋φ),A＞０,􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋ω＞０中参数的物理意义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 y＝Asin(ωx＋φ), A＞０,ω＞０ 振幅是A ← 周期T＝２πω ← 频率f＝ １T ＝ ω ２π ← ωx＋φ是相位→ 当x＝０时的相 位φ称为初相 → 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 在 建 模 过 程 中,散 点 图 的 作 用 是 什么? [知识点三]　四类周期现象模型 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋(１)潮汐现象模型 潮汐现象可以用函数y＝Asin(ωx＋φ)(x∈ [０,＋∞),A＞０,ω＞０)来表示． (２)单摆弹簧等简谐振动模型 单摆、弹簧等简谐振动可以用三角函数表达 为y＝Asin(ωx＋φ),其中x表示时间,y表 示位移,A表示振幅,|ω|２π 表示频率,φ表示初 相位． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８４􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册