1.7.3 正切函数的图象与性质(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件聚焦正切函数的图象与性质，涵盖定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性等核心知识点。课堂导入通过回顾正弦、余弦函数的学习经验，引导学生类比探究，搭建新旧知识联系的学习支架，自然过渡到新知学习。 其亮点在于以问题驱动探究，通过“思考1”“思考2”引导学生自主抽象正切函数性质，结合表格系统梳理知识，体现“数学眼光”的抽象能力。例题与解题技法结合，如求单调区间、比较大小，培养“数学思维”的推理能力，课堂小结强调整体思想，帮助学生用“数学语言”规范表达，既提升学生探究能力，也为教师提供结构化教学资源。

7．3　正切函数的图象与性质 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内容 索引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 同学们，三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正弦函数、余弦函数的图象和性质，因此，进一步研究正切函数的图象和性质就成为我们学习的必然，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象和性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质呢？ 思考1　正切函数y＝tan x的定义域是什么？ 新知学习 探究 返回导航 思考2　回忆正切函数的诱导公式，你能说明正切函数有什么性质？ 提示：tan (π＋x)＝tan x说明y＝tan x是周期函数，tan (－x)＝－tan x说明y＝tan x是奇函数． 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 π 新知学习 探究 返回导航 【即时练】 1．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．(　　) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　) (4)存在某个区间，使正切函数单调递减．(　　) × √ × × 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 (2)已知函数f(x)＝ax3－bx－tan x＋2，若f(m)＝1，则f(－m)＝________． 【解析】　由题得f(m)＝am3－bm－tan m＋2＝1， 所以am3－bm－tan m＝－1， 所以f(－m)＝－am3＋bm＋tan m＋2＝－(am3－bm－tan m)＋2＝1＋2＝3. 3 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 【解】　因为当90°＜x＜180°时，函数y＝tan x单调递增，且90°＜138°＜143°＜180° ， 所以tan 138°＜tan 143° . 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用正切函数单调性比较大小关系． 新知学习 探究 返回导航 √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 [－6，2] 新知学习 探究 返回导航 求正切函数值域的方法 (1)对于y＝A tan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． (2)对于与y＝tan x相关的一元函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域． 新知学习 探究 返回导航 [跟踪训练2] (1)设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　) A.a＞c＞b B．a＜b＜c C．a＞b＞c D．a＜c＜b √ 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 新知学习 探究 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 √ 课堂巩固 自测 返回导航 √ √ 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 对C，由B知f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)不具有奇偶性，故C错误； 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 课堂巩固 自测 返回导航 eq \a\vs4\al(学习,目标) 1.能画出y＝tan x，x≠ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z的图象．　2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性，及其在区间 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))) 上的单调性．　3.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题． 提示：{x∈R|x≠ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z}． eq \a\vs4\al(一　函数y＝tan x的图象与性质) 解析式 y＝tan x 图象 定义域 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)))) 值域 R (－ eq \f(π,2) ＋kπ， eq \f(π,2) ＋kπ)(k∈Z) 解析式 y＝tan x 最小正 周期 eq \o(□,\s\up1(1)) ______ 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间 eq \o(□,\s\up1(2)) _________________________上单调递增 对称性 对称中心( eq \f(kπ,2) ，0)(k∈Z) 解析：令y＝tan (x－ eq \f(π,4) )＝0，得x－ eq \f(π,4) ＝kπ，k∈Z，即x＝kπ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z， 所以y＝tan (x－ eq \f(π,4) )的零点是kπ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z. 令x－ eq \f(π,4) ＝ eq \f(kπ,2) ，k∈Z，即x＝ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z， 所以y＝tan (x－ eq \f(π,4) )的对称中心是( eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,4) ，0)， k∈Z. 2．函数y＝tan (x－ eq \f(π,4) )的零点是________________，对称中心是__________________________． kπ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z ( eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,4) ，0)，k∈Z 3．函数f(x)＝－2tan (2x＋ eq \f(π,6) )的定义域是____________________________． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2)＋\f(π,6)，k∈Z)))) 解析：由正切函数的定义域可得，2x＋ eq \f(π,6) ≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，得x≠ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z，故函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z}． 对正切函数的图象与性质的理解 (1)正切曲线是由相互平行的直线x＝ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，这些平行直线称为正切曲线的渐近线，与正切曲线无限接近但不相交． (2)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(－ eq \f(π,2) ＋kπ， eq \f(π,2) ＋kπ)(k∈Z)上单调递增，不能说正切函数在其定义域上单调递增． (3)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间． eq \a\vs4\al(二　正切函数的奇偶性和周期性) 　(1)函数y＝－3tan (2x－ eq \f(π,6) )的最小正周期为(　　) A． eq \f(π,6) B． eq \f(π,2) C．π D．2π 【解析】　函数y＝－3tan (2x－ eq \f(π,6) )的最小正周期为 eq \f(π,2) .故选B. 解决正切函数有关的周期性、奇偶性问题的策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(ω≠0)的最小正周期T＝ eq \f(π,|ω|) ，常常利用此公式来求最小正周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． [跟踪训练1] (1)函数f(x)＝|tan 2x|是(　　) A．周期为 eq \f(π,2) 的偶函数 B．周期为 eq \f(π,2) 的奇函数 C．周期为 eq \f(π,4) 的偶函数 D．周期为 eq \f(π,4) 的奇函数 f(x＋ eq \f(π,2) )＝|tan (2x＋π)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)的一个周期为 eq \f(π,2) ，A选项正确． 解析：由2x≠kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，解得x≠ eq \f(kπ,2) ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z， 所以f(x)的定义域是{x∈R eq \b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(kπ,2))) ＋ eq \f(π,4) ，k∈Z}，关于原点对称． f(－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，由此排除B，D选项． f(x＋ eq \f(π,4) )＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(tan （2x＋\f(π,2)）)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(sin （2x＋\f(π,2)）,cos （2x＋\f(π,2)）))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(cos 2x,sin 2x))) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan 2x))) ≠f(x)， 所以 eq \f(π,4) 不是f(x)的周期，C选项错误．故选A. (2)若函数f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支被直线y＝ eq \f(π,8) 所截得的线段长为 eq \f(π,8) ，则f( eq \f(π,6) )的值是________． eq \r(3) 解析：由题意知函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的最小正周期为 eq \f(π,8) ，所以ω＝ eq \f(π,T) ＝8. 所以f( eq \f(π,6) )＝tan eq \f(4π,3) ＝tan eq \f(π,3) ＝ eq \r(3) . (－ eq \f(π,12) ＋ eq \f(kπ,3) ， eq \f(π,4) ＋ eq \f(kπ,3) )(k∈Z) eq \a\vs4\al(三　正切函数的单调性及应用) 角度1　求正切型函数的单调区间 　函数y＝tan (－3x＋ eq \f(π,4) )的单调递减区间为 __________________________________． 【解析】　y＝tan (－3x＋ eq \f(π,4) )＝－tan (3x－ eq \f(π,4) ). 由－ eq \f(π,2) ＋kπ＜3x－ eq \f(π,4) ＜ eq \f(π,2) ＋kπ(k∈Z)，得－ eq \f(π,12) ＋ eq \f(kπ,3) ＜x＜ eq \f(π,4) ＋ eq \f(kπ,3) (k∈Z)， 故函数y＝tan (－3x＋ eq \f(π,4) )的单调递减区间为 (－ eq \f(π,12) ＋ eq \f(kπ,3) ， eq \f(π,4) ＋ eq \f(kπ,3) )(k∈Z). 求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的求法是当ω>0时，把ωx＋φ看成一个整体，解不等式－ eq \f(π,2) ＋kπ<ωx＋φ< eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把x的系数化为正值再求单调区间． 角度2　比较大小 　比较下列各组中三角函数值的大小： (1)tan 138°与tan 143°； (2)tan (－ eq \f(11π,4) )与tan (－ eq \f(13π,5) ). 【解】　因为tan (－ eq \f(11π,4) )＝tan (－ eq \f(11π,4) ＋3π)＝tan eq \f(π,4) ， tan (－ eq \f(13π,5) )＝tan (－ eq \f(13π,5) ＋3π)＝tan eq \f(2π,5) ，且0＜ eq \f(π,4) ＜ eq \f(2π,5) ＜ eq \f(π,2) ， 结合函数y＝tan x在(0， eq \f(π,2) )上单调递增， 所以tan eq \f(π,4) ＜tan eq \f(2π,5) ， 即tan (－ eq \f(11π,4) )＜tan (－ eq \f(13π,5) ). 角度3　值域与最值 　(1)函数y＝tan (x－ eq \f(π,6) )，x∈(－ eq \f(π,6) ， eq \f(5π,12) )的值域为(　　) A．(－ eq \r(3) ，1) B．(－1， eq \f(\r(3),3) ) C．(1， eq \r(3) ) D．( eq \f(\r(3),3) ，1) 【解析】　设z＝x－ eq \f(π,6) ，因为x∈(－ eq \f(π,6) ， eq \f(5π,12) )，所以z∈(－ eq \f(π,3) ， eq \f(π,4) ). 因为正切函数y＝tan z在(－ eq \f(π,2) ， eq \f(π,2) )上单调递增，且tan (－ eq \f(π,3) )＝－ eq \r(3) ， tan eq \f(π,4) ＝1， 所以tan z∈(－ eq \r(3) ，1).故选A. (2)函数y＝－tan2x＋4tanx－1，x∈[－ eq \f(π,4) ， eq \f(π,4) ]的值域为________． 【解析】　令t＝tan x，y＝－t2＋4t－1， 因为函数t＝tan x在[－ eq \f(π,4) ， eq \f(π,4) ]上单调递增，当x∈[－ eq \f(π,4) ， eq \f(π,4) ]时， －1≤tan x≤1，即－1≤t≤1， 又因为函数y＝－t2＋4t－1在[－1，1]上单调递增，当t∈[－1，1]时，y＝ －t2＋4t－1∈[－6，2]，所以函数y＝－tan2x＋4tanx－1，x∈[－ eq \f(π,4) ， eq \f(π,4) ]的值域为[－6，2]. 解析：由题意得，函数y＝tan x在(0， eq \f(π,2) )上单调递增且tan x＞0，在( eq \f(π,2) ，π)上单调递增且tan x＜0，因为0＜1＜ eq \f(π,2) ＜2＜3＜π，所以tan 2＜tan 3＜0，tan 1＞0，所以a＞c＞b.故选A. (2)函数f(x)＝tan (3x－ eq \f(π,3) )在[0， eq \f(5π,18) )上的值域为_________________． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，＋∞)) 解析：由x∈[0， eq \f(5π,18) )，可得3x－ eq \f(π,3) ∈[－ eq \f(π,3) ， eq \f(π,2) )，根据正切函数的性质，可得tan (3x－ eq \f(π,3) )∈[－ eq \r(3) ，＋∞)，即函数f(x)＝tan (3x－ eq \f(π,3) )在[0， eq \f(5π,18) )上的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，＋∞)) . (3)若函数y＝tan 3x在区间(m， eq \f(π,6) )上单调递增，则实数m的取值范围为_______________． [－ eq \f(π,6) ， eq \f(π,6) ) 解析：令kπ－ eq \f(π,2) ＜3x＜kπ＋ eq \f(π,2) ，k∈Z，解得 eq \f(kπ,3) － eq \f(π,6) ＜x＜ eq \f(kπ,3) ＋ eq \f(π,6) ，k∈Z， 令k＝0，则其一个单调递增区间为(－ eq \f(π,6) ， eq \f(π,6) )，则实数m的取值范围为[－ eq \f(π,6) ， eq \f(π,6) ). 1．函数y＝ eq \r(1－tan x) 的定义域为(　　) A．[kπ－ eq \f(π,4) ，kπ]，k∈Z B．[kπ，kπ＋ eq \f(π,4) ]，k∈Z C．(kπ－ eq \f(π,2) ，kπ＋ eq \f(π,4) ]，k∈Z D．[kπ＋ eq \f(π,4) ，kπ＋ eq \f(π,2) )，k∈Z 解析：由题意可得1－tan x≥0，且x≠ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z，即tan x≤1， 所以x∈(kπ－ eq \f(π,2) ，kπ＋ eq \f(π,4) ]，k∈Z.故选C. 2．(多选)已知函数f(x)＝tan (x＋ eq \f(π,3) )，则(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6)＋kπ，k∈Z)))) C.f(x)是奇函数 D．f( eq \f(π,4) ) ＜f( eq \f(π,3) ) 解析：对A，由f(x)＝tan (x＋ eq \f(π,3) )，得函数f(x)的最小正周期为T＝ eq \f(π,1) ＝π，故A错误； 对B，由x＋ eq \f(π,3) ≠ eq \f(π,2) ＋kπ，k∈Z，解得x≠ eq \f(π,6) ＋kπ，k∈Z，所以f(x)的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈R\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,6)＋kπ，k∈Z)))) ，故B正确； 对D，由B知f(x)在( eq \f(π,6) ， eq \f(7π,6) )上单调递增，又因为 eq \f(π,6) < eq \f(π,4) < eq \f(π,3) < eq \f(7π,6) ，所以f( eq \f(π,4) )＜f( eq \f(π,3) )，故D正确．故选BD. 3．(教材P65T4改编)函数f(x)＝tan ( eq \f(π,2) x＋ eq \f(π,4) )的单调递增区间为______________________． (2k－ eq \f(3,2) ，2k＋ eq \f(1,2) )(k∈Z) 解析：对于函数f(x)＝tan ( eq \f(π,2) x＋ eq \f(π,4) )，由kπ－ eq \f(π,2) ＜ eq \f(π,2) x＋ eq \f(π,4) ＜kπ＋ eq \f(π,2) (k∈Z)， 可得2k－ eq \f(3,2) ＜x＜2k＋ eq \f(1,2) (k∈Z)， 所以函数f(x)的单调递增区间为(2k－ eq \f(3,2) ，2k＋ eq \f(1,2) )(k∈Z). 4．已知函数f(x)＝a－ eq \r(3) tan 2x在闭区间[－ eq \f(π,6) ，b]上的最大值为7，最小值为3，求实数a，b的值． 解：取－ eq \f(π,2) ＜2x＜ eq \f(π,2) ，解得－ eq \f(π,4) ＜x＜ eq \f(π,4) ，所以y＝tan 2x在(－ eq \f(π,4) ， eq \f(π,4) )上单调递增， 即f(x)＝a－ eq \r(3) tan 2x在(－ eq \f(π,4) ， eq \f(π,4) )上单调递减，因为f(x)在闭区间[－ eq \f(π,6) ，b]上有最大值为7，最小值为3，所以－ eq \f(π,6) ＜b＜ eq \f(π,4) ，且f(b)＝3，f(－ eq \f(π,6) )＝7，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－\r(3)tan 2b＝3，,a－\r(3)tan （－\f(π,3)）＝7，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝\f(π,12)＋\f(kπ,2)，k∈Z，)) 因为－ eq \f(π,6) ＜b＜ eq \f(π,4) ，所以b＝ eq \f(π,12) ， 故a＝4，b＝ eq \f(π,12) . 1．已学习：正切函数图象的画法；正切函数的性质． 2．须贯通：研究函数y＝A tan (ωx＋φ)的性质与图象时，仍遵循定义域优先的原则，视ωx＋φ为一个整体，借助正切函数的性质与图象解决有关问题． 3．应注意：(1)函数y＝A tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝ eq \f(π,|ω|) ，而不是T＝ eq \f(2π,|ω|) ；(2)函数y＝tan x在定义域内不单调，对称中心为( eq \f(kπ,2) ，0)(k∈Z). $