4.2单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第二册五维课堂（北师大版2019）

４．２　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．利用单位圆和正弦函数、余弦函数的定义研究正弦函数、 余弦函数的定义域、值域、最大(小)值、周期性和单调性 ２．掌握任意角的正弦函数值、余弦函数值在各象限的符号 通过运用性质解决与正弦、余弦函数 有关的问题,提升直观想象,逻辑推理 素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　根据三角函数的定义,各个三角函数值是用 单位圆上点的坐标表示的,当角在不同象限时, 其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各 个三角函数值的正负就不同,你能推导出sinα, cosα在不同象限内的符号吗? [知识梳理] [知识点一]　正弦函数、余弦函数的基本性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋　根据正弦函数v＝sinα和余弦函数u＝cosα的 定义,我们不难从单位圆看出它们具有以下 性质: (１)定义域是R; (２)最大值是１,最小值是一１,值域是[－１,１]; (３)它们是周期函数,其周期是２kπ(k∈Z,k≠０),最 小正周期为２π; (４)正弦函数v＝sinα在区间 ２kπ－π２ ,２kπ＋π２[ ](k ∈ Z ) 上 是 增 加 的, 在 区 间 ２kπ＋π２ ,２kπ＋３π２[ ](k∈Z)上是减少的． 余弦函数u＝cosα在区间[２kπ－π,２kπ](k∈ Z)上是增加的,在区间[２kπ,２kπ＋π](k∈Z) 上是减少的． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数y＝sinx的函数值可以取到１．５ 吗? ２．当α取何值时,正弦函数v＝sinα取到最值? [知识点二]　与角α终边相同的角的三角函 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 数值 􀪋􀪋 　sin(α＋２kπ)＝sinα,cos(α＋２kπ)＝cosα, k∈Z． (１)其结构特点是函数名相同,左边角为α＋ ２kπ,右边角为α． (２)由公式可知,三角函数值有“周而复始”的变 化规律,即角的终边每绕原点旋转一周,函 数值将重复出现． (３)此公式也可以记为:sin(α＋k􀅰３６０°)＝sinα, cos(α＋k􀅰３６０°)＝cosα．其中k∈Z． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３．公式反映了“终边相同的角同一三 角函数的值相等”,反之,若两个角某一三 角函数值相等,则这两个角终边相同吗? [知识点三]　正弦函数、余弦函数在各象限的 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 符号 􀪋􀪋 　　　象限 三角函数　　　　 第一 象限 第二 象限 第三 象限 第四 象限 sinα ＋ ＋ － － cosα ＋ － － ＋ [注意]　按正值简记为:正弦一、二象限全为正; 余弦偏在一、四中． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．三角函数在各象限的符号由什么 决定? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１􀅰 第一章　三角函数 [预习自测] １．下列函数是周期函数的有 (　　) ①y＝sinx　②y＝cosx　③y＝x２ A．①③　　　　　B．②③ C．①② D．①②③ ２．函数y＝ １６－x２＋ sinx的定义域为 (　　) A．R B．[０,π] C．[－４,－π] D．[－４,－π]∪[０,π] ３．求y＝１３cosx ,x∈ π２ ,３π ４[ ]的最大值为　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　　　正、余弦函数的定义域问题 [例１]求下列函数的定义域 (１)y＝４－cosx; (２)y＝ ２sinx＋１; (３)y＝ １２＋cosx ; (４)y＝lnsinx． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　函数的定义域是使式子有意 义的x的范围,从而构造不等式(组)求解． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 通过单位圆观察角的终边与单位圆交点 坐标的变化,解出关于正、余弦函数的不 等式． 􀳀[变式训练] １．求下列函数的定义域 (１)y＝ cosx; (２)y＝lg(２sinx－１); (３)y＝ １１＋sinx． 　　　正、余弦函数的单调性问题 [例２]y＝sinx,x∈ －π,π６[ ] 的单调增区间为 　　　　,单调减区间为　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　借助单位圆,理解正弦函数, 余弦函数的单调性． [尝试解答]　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 　　　　　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 利用单位圆中函数值的变化研究单调性． 在单位圆中,对于正弦函数,当x由－π２ 到π ２ 时,sinx由－１增加到１,当x由π２ 到 ３ ２π 时,sinx由１减小到－１． 􀳀[变式训练] ２．求函数y＝cosx－４的单调区间． 　　　正弦函数、余弦函数的值域最值问题 [例３]已知函数y＝－３sinx＋１,求函数在区间 －π６ ,２π ３[ ]上的最值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　根据正弦函数的基本性质利 用单调性和最值求解． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对于形如y＝asinx＋b的函数性质的研 究可借助正弦函数v＝sinx的性质．要清 楚a,b对函数y＝asinx＋b的影响,若参 数不确定还要注意分类讨论． 􀳀[变式训练] ３．求函数y＝２cosx－４的值域． 　　　三角函数的符号 [例４]判定下列各式的符号: (１)sin１９１°＋cos１９１°; (２)sin２cos３sin４． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　角的大小确定了,所在的象限 就确定了,三角函数值的符号也就确定了, 因此只需确定角所在象限,即可进一步确定 各式的符号． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．判断三角函数值正负的两个步骤 (１)定象限:确定角α所在的象限． (２)定符号:利用三角函数值的符号规律, 即“一全正,二正弦,三正切,四余弦”来 判断． 提醒:若sinα＞０,则α的终边不一定落 在第一象限或第二象限内,有可能终边 落在y轴的非负半轴上． ２．正弦、余弦函数值的正负规律 􀳀[变式训练] ４．判断下列各式的符号: (１)cos１２０°sin２６９°; (２)cos４sin －２３π４ æ è ç ö ø ÷． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．函数y＝２＋１３cosx 的定义域为 (　　) A．０,π２[ ] B．R C．{x|x≠kπ,k∈Z} D．x|x≠kπ＋π２ ,k∈Z{ } ２．函数f(x)＝cosx－π６ æ è ç ö ø ÷的最小正周期为 (　　) A．π　　B．２π　　C．π２　　D． ３π ２ ３．若π２＜α＜π ,则点Q(cosα,sinα)位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ４．函数y＝cosα在 －π６ ,２π ３[ ] 上 的 最 大 值 为 　　　　,最小值为　　　　． ５．求y＝－２sinx,x∈ －π６ ,３π ４[ ] 的最大值与最 小值． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰５１􀅰 第一章　三角函数 由 x ２＋y２＝１, y＝２x,{ 得 x１＝ ５ ５ , y１＝ ２ ５ ５ , ì î í ï ï ïï x２＝－ ５ ５ , y２＝－ ２ ５ ５ ． ì î í ï ï ïï ①当角α的终边在第一象限时,cosα＝x１＝ ５ ５ , sinα＝y１＝ ２ ５ ５ ． ②当角α的终边在第三象限时, cosα＝x２＝－ ５ ５ ,sinα＝y２＝－ ２ ５ ５ ． 变式训练 ３．解析:因为y＝３x,sinα＜０,所以点P(m,n)位于y＝３x在第 三象限的图象上,且m＜０,n＜０,n＝３m． 所以OP＝ m２＋n２＝ １０|m|＝－ １０m＝ １０． 所以m＝－１,n＝－３,所以m－n＝２． 答案:２ 随堂步步夯实 １．A　[r＝ b２＋１６,cosα＝－br ＝ －b b２＋１６ ＝－３５． 所 以b ＝３．] ２．D　[依题意可知点(２sin３０°,－２cos３０°),即(１,－ ３),则r ＝ １２＋(－ ３)２＝２,因此sinα＝yr ＝－ ３ ２． ] ３．解析:因为sinθ＝ y ４２＋y２ ＝－２ ５５ , 所以y＜０,且y２＝６４,所以y＝－８． 答案:－８ ４．解析:因为点(３a－９,a＋２)在角α的终边上,sinα＞０,cosα ≤０,所以 a＋２＞０ , ３a－９≤０,{ ,解得－２＜a≤３． 答案:－２＜a≤３ ５．解:(１)因为α＝８３π＝２π＋ ２ ３π , 所以角α的终边与２３π 的终边相同． 以原点为角的顶点,以x 轴非负半轴为 角的始边,逆时针旋转 ８ ３π ,与单位圆交 于点P,则角α如图所示． (２)因为α＝８３π ,所以点P 在第二象限,由(１)知∠AOP＝ ２π ３ ,过点P 作PM⊥x轴于点M． 则在 Rt△OMP 中,∠OMP＝π２ ,∠MOP＝π３ ,OP＝１, 由直角三角形的边角关系,得|OM|＝１２ ,|MP|＝ ３２ , 所以点P 的坐标为 －１２ ,３ ２ æ è ç ö ø ÷． (３)根据正弦函数的定义有sin８π３＝ ３ ２． ４．２　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 课前预习学案　情境引入 　提示:当α在第一象限时,sinα＞０,cosα＞０;当α在第二象 限时,sinα＞０,cosα＜０;当α在第三象限时,sinα＜０,cosα ＜０;当α在第四象限时,sinα＜０,cosα＞０． 知识梳理　[思考] １．提示:不可以,y＝sinx的最大值是１． ２．提示:当α＝２kπ＋π２ ,k∈Z,正弦函数v＝sinα取得最大值１;当 α＝２kπ－π２ ,k∈Z时,正弦函数v＝sinα取得最小值－１． ３．提示:这两个角的终边不一定相同,如sinα＝sinβ＝ １ ２ ,则 有可能是α＝３０°,β＝１５０°． ４．提示:由三角函数定义可知,三角函数在各象限的符号由角 α终边上任意一点的坐标来确定． 预习自测 １．C　２．D　３．０ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)由y＝４－cosx知定义域为 R． (２)由 题 意 知 ２sinx＋１≥０,即 sinx≥ － １２ 在 周 期 －π２ ,３π ２[ ] 内满足上述条件的角为x∈ － π ６ ,７π ６[ ] ,由此 可以得到函数的定义域为 ２kπ－π６ ,２kπ＋７π６[ ](k∈Z)． (３)由２＋cosx≠０知cosx≠－２, 又由cosx∈[－１,１],故定义域为 R． (４)由题意知sinx＞０．又y＝sinx在[０,２π]内,sinx＞０满 足０＜x＜π,所以定义域为(２kπ,２kπ＋π)(k∈Z)． 变式训练 １．解:(１)要 使 y＝ cosx 有 意 义,可 得 cosx≥０,解 得 x|－π２＋２kπ≤x≤ π ２＋２kπ ,k∈Z{ }． (２)要使y＝lg(２sinx－１)有意义, 可得２sinx－１＞０,即sinx＞１２ , 解得 x π６＋２kπ＜x＜ ５π ６＋２kπ ,k∈Z{ }． (３)要使y＝ １１＋sinx 有意义,可得sinx≠－１． 所以函数的定义域为:x|x≠－π２＋２kπ ,k∈Z{ }． [例２]　[解析]　在单位圆中,当x 由－π到 π６ 时,sinx 由０ 减小到－１,再 由 －１ 增 大 到 １２． 所 以 它 的 单 调 增 区 间 为 －π２ ,π ６[ ] ,单调减区间为 －π,－ π ２[ ]． [答案]　 －π２ ,π ６[ ] 　 －π,－ π ２[ ] 变式训练 ２．解:由余弦函数u＝cosx的单调性可知, y＝cosx－４在区间[２kπ－π,２kπ](k∈Z)上单调递增,在区 间[２kπ,２kπ＋π](k∈Z)上单调递减． [例３]　[解]　因为正弦函数v＝sinx 在区间 －π６ ,π ２[ ] 上 单调递增,在 区 间 π ２ ,２π ３[ ] 上 单 调 递 减,且 sin － π ６( ) ＝ －１２ ,sin２π３＝ ３ ２ ,所 以v＝sinx 在x＝－ π６ 时 取 最 小 值 －１２ ,在 x＝ π２ 时 取 最 大 值 １．故 y＝ －３sinx＋１ 在 －π６ ,２π ３[ ] 上的最大值是－３× － １ ２( )＋１＝ ５ ２ ,最小值是 －３×１＋１＝－２． 变式训练 ３．解:由余弦函数u＝cosx的基本性质可知函数y＝２cosx－ ４当x＝２kπ(k∈Z)时,取最大值为－２;当x＝２kπ＋π(k∈Z) 时,取最小值为－６,所以值域为[－６,－２]． [例４]　[解]　(１)∵１９１°是第三象限角, ∴sin１９１°＜０,cos１９１°＜０, ∴sin１９１°＋cos１９１°＜０． (２)∵π２＜２＜π ,π ２＜３＜π ,π＜４＜３π２ , ∴２是第二象限角,３是第二象限角,４是第三象限角． ∴sin２＞０,cos３＜０,sin４＜０． ∴sin２cos３sin４＞０． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰３１２􀅰 参考答案 变式训练 ４．解:(１)因为１２０°角是第二象限角, 所以cos１２０°＜０． 因为２６９°角在第三象限内,所以sin２６９°＜０． 所以cos１２０°sin２６９°＞０． (２)因为π＜４＜３π２ ,所以４弧度角是第三象限角, 所以cos４＜０,因为－２３π４ ＝－６π＋ π ４ , 所以－２３π４ 是第一象限角,所以sin －２３π４( ) ＞０, 所以cos４sin －２３π４( ) ＜０． 随堂步步夯实 １．B　[∵y＝cosx的定义域为 R． ∴y＝２＋１３cosx 的定义域为 R．] ２．B　[f(x)＝cosx－π６( ) 的最小正周期为２π．] ３．B　[∵π２＜α＜π ,∴cosα＜０,sinα＞０． ∴点Q 在第二象限．] ４．解析:如图． ymax＝１． ymin＝－ １ ２． 答案:１　－１２ ５．解:当x＝－π６ 时,ymax＝１, 当x＝π２ 时,ymin＝－２． ４．３　诱导公式与对称 课前预习学案　情境引入 　提示　β＝π＋α,P１ 与P２ 横坐标,纵坐标都互为相反数． 知识梳理　知识点 (１)－sinα　cosα　－sinα　－cosα　sinα　－cosα [思考] １．提示:函数的名称都没有变化,符号随角的象限而变化．简 记:函数名不变,符号看象限． ２．提示:诱导公式中角α可以是任意角． 预习自测 １．A　２．A　　３．３２　 ３ ２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)cos１７π６ ＝cos ２π＋ ５π ６( )＝cos ５π ６ ＝cos π－π６( ) ＝－cosπ６＝－ ３ ２． (２)sin(－８５５°)＝－sin８５５°＝－sin(２×３６０°＋１３５°) ＝－sin１３５°＝－sin(１８０°－４５°)＝－sin４５°＝－ ２２． (３)原式＝cos π－π４( )＋sin ２π－ π ６( ) ＝－cosπ４－sin π ６＝－ ２ ２－ １ ２＝－ ２＋１ ２ ． 变式训练 １．解:(１)cos２１０°＝cos(１８０°＋３０°)＝－cos３０°＝－ ３２． (２)sin１１π４ ＝sin ２π＋ ３π ４( )＝sin ３π ４＝ sin π－π４( )＝sin π ４＝ ２ ２． (３)sin －４３π６( )＝－sin ６π＋ ７π ６( )＝－sin ７π ６ ＝－sin π＋π６( )＝sin π ６＝ １ ２． (４)cos(－１９２０°)＝cos１９２０°＝cos(５×３６０°＋１２０°)＝cos１２０° ＝cos(１８０°－６０°)＝－cos６０°＝－１２． [例２]　[解]　cos ５π６＋α( )＝cos π－ π ６－α( )[ ] ＝－cos π６－α( )＝－ ３ ３． 变式训练 ２．解析:(１)当k为偶数时,A＝２;当k为奇数时,A＝－２．故A 构成的集合为{－２,２}． (２)因为cos(α－５５°)＝－１３＜０ ,且α为第四象限角,所以α －５５°是第三象限角, 所以sin(α－５５°)＝－ １－cos２(α－５５°)＝－２ ２３ , 所以sin(α＋１２５°)＝sin[１８０°＋(α－５５°)] ＝－sin(α－５５°)＝２ ２３ ． 答案:(１)C　(２)２ ２３ [例３]　[解]　(１)f(α)＝－sinαcosαsinα－cosαsinα ＝sinα． (２)因为cosα＝３５ ,且α是第四象限角, 所以f(α)＝sinα＝－ １－cos２α＝－ １－９２５＝－ ４ ５． (３)f －３１π３( )＝sin － ３１π ３( )＝sin － π ３( ) ＝－sinπ３＝－ ３ ２． 变式训练 ３．解:(１)原式＝ cosαsin (π＋α) sinα􀅰cos(π＋α) ＝cosα 􀅰(－sinα) sinα􀅰(－cosα)＝１． (２)原式＝sin (４×３６０°＋α)􀅰cos(３×３６０°－α) cos(１８０°＋α)􀅰[－sin(１８０°＋α)] ＝sinα 􀅰cos(－α) (－cosα)􀅰sinα＝ cosα －cosα＝－１． 随堂步步夯实 １．C　[cos －１７π４( ) ＝cos １７π ４ ＝cos ４π＋ π ４( ) ＝cos π ４ ＝ ２ ２ , 故选 C．] ２．A　[sin ２π３＋α( )＝sin π－ π ３－α( )[ ]＝sin π ３－α( )＝ １ ３． ] ３．解析:sin(－１５６０°)cos(－９３０°)－cos(－１３８０°)􀅰sin１４１０° ＝sin(－４×３６０°－１２０°)cos(－３×３６０°＋１５０°)－cos(－４× ３６０°＋６０°)sin(４×３６０°－３０°) ＝sin(－１２０°)cos１５０°－cos６０°sin(－３０°) ＝－ ３２× － ３ ２ æ è ç ö ø ÷＋１２× １ ２＝ ３ ４＋ １ ４＝１． 答案:１ ４．解析:sin(２２５°＋α)＝sin[(４５°＋α)＋１８０°] ＝－sin(４５°＋α)＝－５１３． 答案:－５１３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰４１２􀅰 数学(BS)􀅰必修第二册