2025年九年级数学中考复习模拟试卷（一）-备战2025年中考数学复习质量检测卷（湖北专用）

2025年九年级数学中考复习模拟卷（一） （湖北专用） 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题选择题选择题（本大题共10小题，每小题3分。共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．﹣2025的绝对值是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 【分析】根据绝对值的定义即可解决问题． 【解答】解：由题知， ﹣2025的绝对值是2025． 故选：B． 【点评】本题主要考查了绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键． 2．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．厨余垃圾Food Waste B．可回收物Recyclable C．其他垃圾Residual Waste D．有害垃圾Hazardous Waste 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据俯视图的定义，从上面看所得到的图形即为俯视图． 【解答】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义是正确判断的前提． 4．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　） A．58° B．48° C．26° D．32° 【分析】由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°，由平角定义得到∠2+∠1+∠AFG＝180°，于是得到∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°． 【解答】解∵AB∥CD， ∴∠CGF+∠AFG＝180°， ∵∠2+∠1+∠AFG＝180°， ∴∠CGF＝∠1+∠2＝42°+I6°＝58°． 故选：A． 【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CGF+∠AFG＝180°． 5．下列运算正确的是（　　） A．（2a2）3＝6a6 B．（a﹣2）2＝a2﹣4 C．a8÷a4＝a2 D． 【分析】根据积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算法逐项分析判断即可． 【解答】解：根据相关运算法则逐项分析判断如下： A．（2a2）3＝8a6，故运算错误，不符合题意； B．（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故运算错误，不符合题意； C．a8÷a4＝a4，故运算错误，不符合题意； D．，运算正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了积的乘方运算、完全平方公式、整式除法运算、二次根式的加减运算等知识，掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． 6．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有：（A，B），（B，A），（C，D），（D，C），共4种， ∴小灯泡发光的概率是． 故选：C． 【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 7．如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用一次函数的解析式求得点P的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【解答】解：把点P（﹣2，n）代入得，n（﹣2）3， ∴P（﹣2，3）， ∵一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，3）， ∴关于x，y的方程组的解是， 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 8．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决． 【解答】解：由题意可得， ， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 9．如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝3，则BC的长是（　　） A． B．4 C．6 D． 【分析】连接CO，根据作图知CE垂直平分AC，即可得AC＝OC，AE＝OE＝3，根据圆的半径得AC＝6，AB＝12，根据圆周角的推论得∠ACB＝90°，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：连接CO，根据作图知CE垂直平分OA， ∴AC＝OC，AE＝OE＝3， ∴AC＝OC＝OB＝AO＝AE+EO＝6， 即AB＝AO+BO＝12， ∵线段AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，根据勾股定理得， ， 故选：A． 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质、直径所对的圆周角为直角、勾股定理知识，掌握相关的性质进行正确求解是解题的关键． 10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a+b+c＞0；②2a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由图象可知，x＝1时，y＞0，可判断①结论；根据抛物线的顶点坐标确定对称轴为直线x＝1，可判断②结论；根据抛物线顶点坐标，可判断③结论；根据抛物线与直线y＝n﹣1的交点个数，可判断④结论． 【解答】解：由图象可知，x＝1时，y＞0， 则a+b+c＞0，①结论正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（1，n）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1， ∴， ∴2a+b＝0，②结论正确； ∵顶点坐标为（1，n）， ∴， ∴b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），③结论正确； ∵顶点坐标为（1，n）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝n有一个交点， ∵开口向下， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝n﹣1有两个交点， ∴ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，④结论正确； ∴正确结论的个数是4， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象性质，一元二次方程与二次函数的联系，利用数形结合的思想解决问题是关键． 二．填空题（共5小题，每题3分，15分） 11．计算：　 ． 【分析】利用负整数指数幂，零指数幂，算术平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：原式＝﹣3+1﹣3＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12．化简： 　 　 ． 【分析】先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【解答】解：原式 • ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算． 13．小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是70分、90分、80分．若将三项得分依次按2：4：4的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 　 　 分． 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【解答】解：小明的最终比赛成绩为（分）． 故答案为：82． 【点评】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 14．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了 　　 度． 【分析】由已知设y，则有图象知点（0.2，500）满足解析式，代入求k＝100，则解析式为：y，令x＝0.25，x＝0.5时，分别求y的值后作差即可． 【解答】解：设y（k≠0）， 把（0.2，500）代入y（k≠0）， ∴k＝500×0.2＝100， ∴函数解析式为y， 当x＝0.25时，y400， 当x＝0.5时，y200， ∴度数减少了400﹣200＝200（度）， 故答案为：200． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键． 15．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M，点N分别是AB，AC边上的点，且AN＝BM，BN与CM交于点E，则∠BEM＝　 °．如果点F是DE的中点，那么　　 ． 【分析】菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则△ABC等边三角形，根据AN＝BM，∠MBC＝∠NAB＝60°，AB＝BC，得出△ANB≌△BMC（ASA），推出∠ABN＝∠BCM，则∠BEM＝∠EBC+∠ECB＝∠EBC+∠ABN＝∠ABC＝60°，取特殊情况M，N，作为AB、AC中点，（通常直接求这类问题不好求解，注意题干中的信息，可以得到该值为定值，因此可选取其中的一种特殊情况，进行求解）连接AE并延长交BC于Q，此时，E为三角形外接圆的圆心，则EA＝EB＝EC，记EB＝r，则EQ＝ED＝r，ND＝AQ＝r+3，则ED ，根据F为DE中点，则EF＝r，又根据∠FBC＝∠BDE＝60°（对顶角相等），则CF＝EF＝r，所． 【解答】解：菱形ABCD中，∠ABC＝60°， ∴△ABC等边三角形， ∵AN＝BM，∠MBC＝∠NAB＝60°，AB＝BC， ∴△ANB≌△BMC（ASA）， ∴∠ABN＝∠BCM， ∴∠BEM＝∠EBC+∠ECB＝∠EBC+∠ABN＝∠ABC＝60°， 取特殊情况M，N，作为AB、AC中点， 连接AE并延长交BC于Q， 此时，E为三角形外接圆的圆心， 则EA＝EB＝EC， 记EB＝r， 则EQ＝ED＝r，ND＝AQ＝r+3， ∴ED ， ∵F为DE中点， ∴EF＝r， 又∵∠FBC＝∠BDE＝60°（对顶角相等）， ∴CF＝EF＝r， 所． 故答案为：60，． 【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 三．解答题（共9小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解，再根据题意写出正整数解即可． 【解答】解：， 解不等式①得，x＞﹣2； 解不等式②得，x≤3， 所以不等式组的解集为：﹣2＜x≤3， 则不等式组的正整数解为1，2，3． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 17．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF． 【分析】通过证明△AOE≌△COF，即可求证． 【解答】证明：∵平行四边形ABCD， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵BE＝DF， ∴AB+BE＝CD+DF， ∴AE＝CF， ∵AB∥CD， ∴∠E＝∠F， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 18．（6分）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔，某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上升8s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔DE的高度． 【分析】（1）根据题意求出AB，再根据等腰直角三角形的性质求出BC； （2）延长ED交BC的延长线于点F，设DE＝x m，用x表示出DF、BF，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）由题意可知：AB＝10×8＝80（m）， 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB＝80m， 答：无人机从点B到点C处的飞行距离为80m； （2）如图，延长ED交BC的延长线于点F， 则四边形ABFE为矩形， ∴EF＝AB＝80m， 设DE＝x m， 则DF＝（80﹣x）m， 在Rt△DFC中，∠DFC＝45°， 则FC＝DF＝（80﹣x）m， ∴BF＝CF+BC＝（160﹣x）m， 在Rt△BFD中，∠FBD＝20°， ∵， ∴DF＝BF•tan∠FBD，即80﹣x＝（160﹣x）×0.36， ∴80﹣x＝57.6﹣0.36x， x﹣0.36x＝80﹣57.6， x＝35， 答：四门塔DE的高度约为35m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 19．（8分）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 87 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 ，c＝　 　 ； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 【分析】（1）用1分别减去其他三个等级所占百分比可得a的值，根据中位数的定义可得b的值，根据众数的定义可得c的值； （2）通过比较A，B款的评分统计表的数据解答即可； （3）由A、B两款的不满意的人数之和即可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得：a%＝1﹣10%﹣45%100%＝15%， 即a＝15， ∵A款的评分非常满意有20×45%＝9（个），“满意”的数据为84、86、86、87、88、89， ∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89， ∴中位数b88.5， 在B款的评分数据中，98出现的次数最多， ∴众数c＝98； 故答案为：15，88.5，98； （2）A款AI聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是88，但A款评分数据的中位数为88比B款的中位数87高，所以A款AI聊天机器人更受用户喜爱（答案不唯一）； （3）69（人）， 答：估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的大约共有69人． 【点评】本题考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体等知识，正确理解中位数、众数的意义，熟练掌握中位数、众数的计算方法是解题的关键． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，m），B（n，1）两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． （1）求直线AB的解析式； （2）当时，x的取值范围为　 　 ； （3）如图，y轴正半轴上有一点P，OP＝2，连接AP，OB，求四边形OPAB的面积． 【分析】（1）把A（1，m），B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数，求出m，n的值，再根据待定系数法即可求出直线AB的解析式； （2）根据，可知反比例函数的图象在一次函数y＝kx+b的上方，根据图像即可解答； （3）由题意知M点坐标为（0，4），即可知PM＝2，AF＝1，BE＝3，根据四边形OPAB的面积＝S△OBM﹣S△PAM，即可求解． 【解答】解：（1）把A（1，m），B（n，1）两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴m＝3，n＝3， ∴A（1，3），B（3，1）． 把A（1，3），B（3，1）代入一次函数y＝kx+b， 可得，解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4． （2）由图象可知不等式的解集为：0＜x＜1或x＞3． （3）如图，过点B作BE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥y轴于点F， ∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4， ∴M点坐标为（0，4）， ∴PM＝OM﹣OP＝4﹣2＝2， ∵A（1，3），B（3，1）， ∴AF＝1，BE＝3， ∴四边形OPAB的面积＝S△OBM﹣S△PAM ＝5． 【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． 21．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O经过BC的中点E，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若PB＝1，PE＝3，求ED的长． 【分析】（1）连接OE，根据三角形的中位线定理得到OE∥AC，根据平行线的性质得到OE⊥PE，根据切线的判定定理得到； （2）设⊙O的半径为r，得到OE＝OB＝r，根据勾股定理得到OP＝5，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OE， ∵点E是BC的中点， ∴BE＝DE， ∵OB＝OA， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE＝∥AC， ∵PE⊥AC， ∴OE⊥PE， ∵OE是⊙O的半径， ∴PE是⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径为r， ∴OE＝OB＝r， ∴OP＝1+r， ∵∠PEO＝90°， ∴PE2+OE2＝OP2， ∴32+r2＝（1+r）2， ∴r＝4， ∴OP＝5， 由（1）知OE∥AC， ∴， ∴， ∴DE． 【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 22．（10分）乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部5块金牌．运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所示，O点在球台中轴线上，发球机的出球口A在O点正上方0.3m处，以球台的中轴线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，把球看成点，球从A点射出，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足函数关系式y＝a（x﹣1）2+0.6．已知球网与O点的水平距离为1.2m，高度为0.15m，球台边界距O点的水平距离为2.6m． （1）求y与x的函数关系式． （2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． （3）保持发球角度、速度不变情况下，将发球机调低0.1m后（抛物线形状不变），球从B点射出，球越过球网且没有出界，求此时球的落点与O点的水平距离． 【分析】（1）将点A（0，0.3）代入y＝a（x﹣1）2+0.6求出a的值即可求解； （2）分别求出x＝1.2m x＝2.6m时的函数值，再比较判断即可； （3）将B（0，0.2）代入y＝﹣0.3（x﹣1）2+h，得出 y＝﹣0.3（x﹣1）2+0.5，再令y＝0，则﹣0.3（x﹣1）2+0.5＝0，求解即可． 【解答】解：（1）根据题意，将点A（0，0.3）代入y＝a（x﹣1）2+0.6，得：0.3＝a+0.6， 解得：a＝﹣0.3， ∴y＝﹣0.3（x﹣1）2+0.6； （2）当x＝1.2m时，y＝﹣0.3×（1.2﹣1）2+0.6＝﹣0.012+0.6＝0.588＞0.15， ∴球能过网， 当x＝2.6m时，y＝﹣0.3×（2.6﹣1）2+0.6＝﹣0.768+0.6＝﹣0.168＜0， ∴球不会出界， ∴球能越过球网，也不会出界； （3）依题意，点B（0，0.2）， 设y＝﹣0.3（x﹣1）2+h， 将B（0，0.2）代入y＝﹣0.3（x﹣1）2+h，得：0.2＝﹣0.3+h， 解得：h＝0.5， ∴y＝﹣0.3（x﹣1）2+0.5， 令y＝0，则﹣0.3（x﹣1）2+0.5＝0， 解得：，（舍去）， ∴球的落点与O点的水平距离为． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． 23．（11分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AC于点M，得到△APM． （1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为　 　 ； （2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长． 【分析】（1）当n＝1时，AB＝BC，可得AP＝BPAB，由PM∥BC，得出△APM∽△ABC，可得，推出CM＝AC﹣AMABABAB，即可得出答案； （2）通过证明△ABP∽△ACM，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【解答】解：（1）当n＝1时，AB＝BC， ∵∠ABC＝90°， ∴， ∵P为AB的中点， ∴， ∴AP＝BPAB， ∵PM⊥AB， ∴∠APM＝90°， ∴∠APM＝∠ABC， ∴PM∥BC， ∴△APM∽△ABC， ∴， ∴ACAB，AMAPAB， ∴CM＝AC﹣AMABABAB， ∴， ∴CMBP， 故答案为：CMBP； （2）CMBP的数量关系不变，理由如下： 当n＝2时，AB＝2BC， 则， ∴BCAB，PMAP， 由勾股定理可得：ACAB， AMAP， ∴， ∴ACAB，AMAP， ∴CM＝AC﹣AM（AB﹣AP）BP， 由旋转得：∠CAB＝∠MAP， 即∠BAP+∠CAP＝∠CAM+∠CAP， ∴∠BAP＝∠CAM， ∴△ABP∽△ACM， ∴， ∴CMBP； （3）∵AB＝4，AP＝2， ∴BC＝2，PM＝1， 由勾股定理可得：AC＝2，AM， ∵△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线， ∴∠APM＝90°，PM＝1， ∠APB＝180°﹣90°＝90°， ∴BP2， 当△APM旋转至直线AB上方时，如图， 则BM＝BP+PM＝21； 当△APM旋转至直线AB下方时，如图， 则BM＝BP﹣PM＝21； 综上所述，线段BM的长为21或21． 【点评】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 24．（12分）如图，直线l：y＝x+4与y轴，x轴分别交于点A，B，抛物线C1：ybx+c经过点A，B，交x轴于另一点C，点E为线段OA上一动点，直线CE交抛物线于点D． （1）填空：b＝ 　　 ，c＝ 　 　 ； （2）若CE：ED＝2：3，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线CE于点M，N，设PM+PN＝d，点P的横坐标为m（﹣3≤m≤2）． ①求d关于m的函数关系式； ②求满足d为整数的点P的个数． 【分析】（1）先确定A、B的坐标，然后再将A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组求解即可； （2）先确定点C（﹣2，0），如图1，过点D作DG∥y轴，交BC于点G，根据平行线分线段成比例定理列比例式可得点D的横坐标为﹣3，即可解答； （3）①根据点P的横坐标为m表示PM，PN的长，分两种情况根据PM+PN＝d即可解答； ②分﹣3≤m＜0，0≤m≤2两种情况，根据①中的函数解析式统计满足d为整数的点P的个数即可． 【解答】解：（1）在y＝x+4中，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝﹣4， ∴点A（0，4），点B（﹣4，0）， 把点A（0，4），点B（﹣4，0）代入yx2+bx+c得：， 解得：， 即b的值为﹣4，c的值为4； 故答案为：﹣1，4； （2）由（1）得yx+4， 当y＝0时，x+4＝0， 解得：x＝2或x＝﹣4， ∴点C（2，0）， ∴OC＝2， 如图1，过点D作DG∥y轴，交BC于点G， ∴， ∵CE：ED＝2：3， ∴， ∴OG＝3， 即点D的横坐标为﹣3， 当x＝﹣3时，y9+3+4＝2.5， ∴点D的坐标为（﹣3，2.5）； （3）设CD的解析式为：y＝kx+a， 则， 解得， ∴直线CD的解析式为：yx+1； 由题意得：P（m，m+4），M（m，m+4），N（m，m+1）， ①分两种情况： 如图2，﹣3≤m＜0， ∵PM+PN＝d， ∴dm2﹣m+4﹣m﹣4+（m2﹣m+4m﹣1） m2﹣2mm2m+3 ＝﹣m2m+3； 如图3，0≤m≤2， ∵PM+PN＝d， ∴d＝m+4﹣（m2﹣m+4）+（m2﹣m+4m﹣1） m2+2mm2m+3 m+3； 综上，d关于m的函数关系式为：d； ②当﹣3≤m＜0时，如图2，d＝﹣m2m+3＝﹣（m）2， ∴当m＝0时，d＝3， 当m时，d4， 当m＝﹣3时，d＝﹣9（﹣3）+3， ∴d≤4中的整数d有2，3，4，三个， 由对称性可知：d＝2时点P有一个，d＝3时点P有一个，d＝4时点P有两个， 则满足d为整数的点P的个数有4个； 当0≤m≤2时，如图3，dm+3； ∵此时d随着m的增大而增大， ∴当m＝2时，d＝6，当m＝0时，d＝3， ∴3≤d≤6中的整数有3，4，5，6，即满足d为整数的点P的个数有4个， 综上可得：满足d为整数的点P的个数为4+4＝8（个）． 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了一次函数与二次函数的综合，待定系数法，二次函数的最值等知识点，利用点的坐标差表示线段的长是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级数学中考复习模拟卷（一） （湖北专用） 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题选择题选择题（本大题共10小题，每小题3分。共30分在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．﹣2025的绝对值是（　　） A．﹣2025 B．2025 C． D． 2．垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．厨余垃圾Food Waste B．可回收物Recyclable C．其他垃圾Residual Waste D．有害垃圾Hazardous Waste 3．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（　　） A． B． C． D． 4．光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线AB与表示水底的直线CD平行，光线EF从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，FH是EF的延长线，若∠1＝42°，∠2＝16°，则∠CGF的度数是（　　） A．58° B．48° C．26° D．32° 5．下列运算正确的是（　　） A．（2a2）3＝6a6 B．（a﹣2）2＝a2﹣4 C．a8÷a4＝a2 D． 6．如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　　） A． B． C． D． 7．如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 8．明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银；七两分之多四两，九两分之少半斤．其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代当时1斤＝16两，故有“半斤八两”这个成语）．设有x人，银子有y两，可列方程组是（　　） A． B． C． D． 9．如图，线段AB是半圆O的直径，分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝3，则BC的长是（　　） A． B．4 C．6 D． 10．如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a+b+c＞0；②2a+b＝0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题，每题3分，15分） 11．计算：　 ． 12．化简： 　 　 ． 13．小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是70分、90分、80分．若将三项得分依次按2：4：4的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为 　 　 分． 14．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了 　　 度． 15．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点M，点N分别是AB，AC边上的点，且AN＝BM，BN与CM交于点E，则∠BEM＝　 °．如果点F是DE的中点，那么　　 ． 三．解答题（共9小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（6分）解不等式组，并写出它的所有正整数解． 17．（6分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF，连接EF，与对角线AC交于点O．求证：OE＝OF． 18．（6分）2024年，中国国产游戏3A大作《黑神话：悟空》一经上线，即火爆全球，反映了中国文化的对全世界的吸引力．作为重要取景地的济南四门塔是中国现存唯一的隋代石塔，也是中国现存最早、保存最完整的单层亭阁式佛塔，某兴趣小组利用所学知识开展以“测量四门塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量四门塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图②，测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上升8s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） （1）求无人机从点B到点C处的飞行距离； （2）求四门塔DE的高度． 19．（8分）百度推出了“文心一言”AI聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意x＜70，比较满意70≤x＜80，满意80≤x＜90，非常满意x≥90），下面给出了部分信息： 抽取的对A款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据： 84，86，86，87，88，89； 抽取的对B款AI聊天机器人的评分数据： 66，68，69，81，84，85，86，87，87，87，88，89，95，97，98，98，98，98，99，100． 抽取的对A，B款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 b 96 45% B 88 87 c 40% 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中a＝　 　 ，b＝　 ，c＝　 　 ； （2）根据以上数据，你认为哪款AI聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次测验中，有240人对A款AI聊天机器人进行评分、300人对B款AI聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对AI聊天机器人不满意的共有多少人？ 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，m），B（n，1）两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． （1）求直线AB的解析式； （2）当时，x的取值范围为　 　 ； （3）如图，y轴正半轴上有一点P，OP＝2，连接AP，OB，求四边形OPAB的面积． 21．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O经过BC的中点E，过点E作ED⊥AC于点D，延长DE交AB的延长线于点P． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若PB＝1，PE＝3，求ED的长． 22．（10分）乒乓球是一项集力量、速度、灵敏度、协调性和判断力于一体的综合性运动，在2024年巴黎奥运会乒乓球比赛中，中国队包揽了全部5块金牌．运动员常使用乒乓球发球机进行日常训练，如图所示，O点在球台中轴线上，发球机的出球口A在O点正上方0.3m处，以球台的中轴线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，把球看成点，球从A点射出，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足函数关系式y＝a（x﹣1）2+0.6．已知球网与O点的水平距离为1.2m，高度为0.15m，球台边界距O点的水平距离为2.6m． （1）求y与x的函数关系式． （2）球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由． （3）保持发球角度、速度不变情况下，将发球机调低0.1m后（抛物线形状不变），球从B点射出，球越过球网且没有出界，求此时球的落点与O点的水平距离． 23．（11分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝nBC，P为AB上的一点（不与端点重合），过点P作PM⊥AB交AC于点M，得到△APM． （1）【问题发现】如图1，当n＝1时，P为AB的中点时，CM与BP的数量关系为　 　 ； （2）【类比探究】如图2，当n＝2时，△APM绕点A顺时针旋转，连接CM，BP，则在旋转过程中CM与BP之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，已知AB＝4，AP＝2，当△APM绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段BM的长． 24．（12分）如图，直线l：y＝x+4与y轴，x轴分别交于点A，B，抛物线C1：ybx+c经过点A，B，交x轴于另一点C，点E为线段OA上一动点，直线CE交抛物线于点D． （1）填空：b＝ 　　 ，c＝ 　 　 ； （2）若CE：ED＝2：3，求点D的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线分别交直线l和直线CE于点M，N，设PM+PN＝d，点P的横坐标为m（﹣3≤m≤2）． ①求d关于m的函数关系式； ②求满足d为整数的点P的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$