8.5空间直线、平面的平行（九个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

8.5空间直线、平面的平行 一、平行的传递性与等角定理 六、证明面面平行 二、证明线面平行 七、利用面面平行证明线面平行、线线平行 三、利用线面平行证明线线平行 八、面面平行的存在性问题 四、线面平行的存在性问题 九、平行的综合问题 五、平行有关命题的判断 知识点1基本事实4与等角定理 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 重难点一、平行的传递性与等角定理 【例1】如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 【例2】已知空间两个角与，若，，，则 . 【变式1-1】在三棱锥中，分别是的中点，则 . 【变式1-2】如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 【变式1-3】如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 知识点2直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 重难点二、证明线面平行 【例3】（多选）如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（   ） A．三棱锥 B．三棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【例4】如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【变式2-1】如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    【变式2-2】如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面    【变式2-3】已知正方体的棱长为1，P是线段上的一个动点，则三棱锥的体积是否为定值？ 请说明理由    重难点三、利用线面平行证明线线平行 【例5】如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ） A． B． C． D． 【例6】如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 【变式3-1】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【变式3-2】如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    【变式3-3】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点，为中点，在上，，平面，求的值. 重难点四、线面平行的存在性问题 【例7】如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点． (1)线段上是否存在一点，使得平面PAD？若存在，请说明理由； (2)求四面体的体积． 【例8】如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【变式4-1】如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【变式4-2】如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面. (1)作出（不要求写作法）； (2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由. 【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 知识点3平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 重难点五、平行有关命题的判断 【例9】已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【例10】已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A．， B．，且 C．，，， D．，， 【变式5-1】在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若是异面直线，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式5-2】设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-3】设是两条直线，是两个平面，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．是两条异面直线 D． 重难点六、证明面面平行 【例11】如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且,．求证：平面平面β．    【例12】如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 【变式6-1】（多选）在正方体中，M，N，Q分别是棱，，BC的中点，，则（    ） A．平面 B．平面 C．A，P，M三点共线 D．平面平面 【变式6-2】如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点. (1)在该图形中，与直线异面的直线有哪些？ (2)求证：平面PCD； (3)求证：平面平面PBC． 【变式6-3】如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： (1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 (2)平面平面. 重难点七、利用面面平行证明线面平行、线线平行 【例13】如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【例14】如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 【变式7-1】如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则 ， . 【变式7-2】在四棱锥中，平面，点在线段上，且.求证：平面. 【变式7-3】如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；    重难点八、面面平行的存在性问题 【例15】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【例16】如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【变式8-1】如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 【变式8-2】如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【变式8-3】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 重难点九、平行的综合问题 【例17】长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【例18】如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式9-1】如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【变式9-3】如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点. (1)证明：面面； (2)证明：面. 一、单选题 1．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的点，且满足：，，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 4．过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 5．如下图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点，为线段上的点，若，且满足平面，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A．16 B． C．18 D． 二、多选题 7．如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（    ） A．     B．   C．   D．   8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断错误的是（    ）      A．平面平面 B． C．平面 D．与相交 三、填空题 9．如图，在长方体的6个面中， （1）与AB平行的平面是 ； （2）与平行的平面是 . 10．如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为 ． 11．已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则 . 四、解答题 12．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．    (1)求证：平面． (2)求三棱柱的表面积； 13．正方体中，，和的中点分别为，在，和上各有一点，依次为，且，都等于棱长的，求证：平面平面． 14．如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，试确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 15．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.5空间直线、平面的平行 一、平行的传递性与等角定理 六、证明面面平行 二、证明线面平行 七、利用面面平行证明线面平行、线线平行 三、利用线面平行证明线线平行 八、面面平行的存在性问题 四、线面平行的存在性问题 九、平行的综合问题 五、平行有关命题的判断 知识点1基本事实4与等角定理 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 重难点一、平行的传递性与等角定理 【例1】如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（    ）    A． B． C．四点共面 D．四边形是梯形 【答案】BCD 【详解】由题意知，且，所以，故错误； 又，，所以，又， 所以四点共面，且四边形是梯形．故正确． 故选：. 【例2】已知空间两个角与，若，，，则 . 【答案】或 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 【变式1-1】在三棱锥中，分别是的中点，则 . 【答案】 【详解】如图，由题意知， 由题意知，，所以. 故答案为： 【变式1-2】如图所示，已知三棱锥的点G，F，E，H分别是的中点，四边形是什么图形. 【答案】平行四边形 【详解】因为点G，F，E，H分别是 的中点，， 所以，且， 所以四边形是平行四边形. 【变式1-3】如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：． 【答案】证明见解析. 【详解】依题意，，，则， 又，同理， 观察图形知，射线方向相同，射线方向相同，即的方向相同， 所以. 知识点2直线与平面平行 1．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 2．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 3．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 重难点二、证明线面平行 【例3】（多选）如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（   ） A．三棱锥 B．三棱锥 C．三棱锥 D．三棱锥 【答案】ACD 【详解】记平行六面体的体积为， 对于A，由平行六面体的性质，平面故点到平面的距离等于点到平面的距离，故,故A正确； 对于B,因为，底面面积固定，点在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误； 对于C，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故C正确； 对于D，因为平面平面故平面 点到平面的距离等于点到平面的距离， 故，故D正确； 故选：ACD. 【例4】如图，在正方体1中，，E、F、G分别为、、中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求证：平面. 【答案】(1)16； (2)证明见解析. 【详解】（1）在正方体中，，两两垂直， 由分别为的中点，得，， 等腰底边上的高， 所以三棱锥的表面积 . （2）连接，，连接， 由是正方形对边中点，得四边形是矩形，则是的中点， 而是的中点，因此，而平面，平面， 所以平面. 【变式2-1】如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.    【答案】证明见解析 【详解】连接交于，连接，   四边形是矩形,是的中点， 是线段的中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 平面. 【变式2-2】如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面    【答案】证明见解析 【详解】连接，因为，， 所以.又因为，所以四边形为平行四边形， 又因为点分别为的中点，所以且， 因为，，所以且， 又因为点为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面.    【变式2-3】已知正方体的棱长为1，P是线段上的一个动点，则三棱锥的体积是否为定值？ 请说明理由    【答案】是定值，理由见解析 【详解】    根据正方体的性质可知，，且， 所以，四边形为平行四边形，则. 因为平面，平面， 所以，平面. 又，所以点到平面的距离为定值. 又的面积确定，， 所以，三棱锥的体积为定值. 重难点三、利用线面平行证明线线平行 【例5】如图，在四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为平面，平面，平面平面， 所以. 故选：B. 【例6】如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，M是的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM， 因为四边形是平行四边形， 所以O是AC的中点，又M是PC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. 【变式3-1】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点O，E为中点，F在上，，∥平面，则的值为（    ）    A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】设与交于点，连接，如图所示，    因为为的中点，则， 由四边形是平行四边形，可得，则∽， 所以，所以， 又因为平面，平面，平面平面， 所以，所以. 故选：D. 【变式3-2】如图，在正方体中，，F为AD的中点，点E为的动点.若平面，求线段的长度.    【答案】 【详解】因为平面, 平面,平面平面， 所以, 又因为F为的中点，所以是的中点， . 【变式3-3】如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，交于点，为中点，在上，，平面，求的值. 【答案】 【详解】设交于点，连接，如图所示： ，分别是，的中点，，则，则， 平面，面，平面平面， 故，故，故. 重难点四、线面平行的存在性问题 【例7】如图，已知四棱锥的底面是菱形，平面平面，为等腰直角三角形，，，为的中点． (1)线段上是否存在一点，使得平面PAD？若存在，请说明理由； (2)求四面体的体积． 【答案】(1)在上存在一点，且F为的中点，使得平面PAD (2) 【详解】（1）在上存在一点，且为的中点，使得平面． 理由如下：取的中点，的中点，连接． 为的中点， ，，， 四边形是平行四边形， ． 平面，平面， 平面． （2）如图，取的中点，连接． 为等腰直角三角形，， ． 平面平面， 平面平面，平面， 平面． 又为的中点， 点到平面的距离等于的一半， 又， ，， 点到平面的距离等于． 在菱形中，， ． ， ， ， 四面体的体积为． 【例8】如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面相交于CD，是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点，使得平面？说明理由． 【答案】存在；理由见解析 【详解】存在，当为AM的中点时，平面． 理由如下： 如图，连接AC，BD交于点，因为四边形为矩形，所以为AC的中点， 连接OP，因为为AM的中点，所以， 又不在平面内，平面，所以平面． 【变式4-1】如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点． (1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明） (2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，，7 【详解】（1）因为，所以M为的中点， 作，交于G，则G为的中点，连接， 则，由题意知四边形为平行四边形，则， 故，即共面， 故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可； （2）存在，，说明如下： 假设在线段上存在一点N，使直线平面， 连接并延长交于E，连接， 因为平面，平面，平面平面， 故，则， 由题意知四边形为正方形，故， 则，即假设成立， 故在线段上存在一点N，使直线平面，此时； 由于，，故，故， 中，，则 ， 即，而，， 故，则. 【变式4-2】如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，，，设平面平面. (1)作出（不要求写作法）； (2)线段上是否存在一点，使平面？请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，理由见解析 【详解】（1）延长交于点，经过点画直线，则直线即为所作直线，如图所示： 易知平面，则平面， 同理平面，又平面，平面， 因此平面平面，即面平面， 所以直线即为所作直线. （2）点为的中点，使平面； 由，得，而，则， 即为的中点， 又点为的中点，于是， 而平面平面， 因此平面， 所以线段的中点，使平面. 【变式4-3】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为线段的中点，证明见解析 【详解】（1）证明：连交于，因为为中点， 所以是中位线， 所以，又因为平面平面， 所以平面.    （2）线段上存在一点为线段的中点，使得平面，    连接，由于为中点， 则且，即且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面平面， 所以平面. 知识点3平面与平面平行 1．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 2．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 3.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 重难点五、平行有关命题的判断 【例9】已知直线，，是三条不同的直线，平面，，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，，则 D．，，三个平面最多可将空间分割成个部分 【答案】D 【详解】对于选项A，若，，则与可能相交、平行或异面，故选项A错误； 对于选项B，若，，则或，故选项B错误； 对于选项C，若，，且，，因为直线，未必相交，所以与不一定平行，故选项C错误； 对于选项D，，，三个平面两两垂直时，可将空间分割成个部分，故选项D正确． 故选：D. 【例10】已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（    ） A．， B．，且 C．，，， D．，， 【答案】D 【详解】选项A中，，，则可能平行也可能相交，故A不正确； 选项B中，，，则可能且，也可能在平面或平面内，故B不正确； 选项C中，，，，，若直线 与直线平行，则平面可能平行也可能相交，故C不正确； 选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确； 故选：D. 【变式5-1】在空间中，设，为两条不同直线， ，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A．若且，则 B．若是异面直线，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】对于A，若且，则或，故A错误； 对于B，若是异面直线，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故B正确； 对于C，若，，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； 对于D，若，，，则或，故D错误. 故选：B. 【变式5-2】设为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A中，若，则，与相交或异面，所以A错误 对于B中，若，则或与相交，所以错误； 对于中，若，根据面面平行的性质，可得，所以C正确； 对于D中，若，则或，所以D错误． 故选：C 【变式5-3】设是两条直线，是两个平面，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C．是两条异面直线 D． 【答案】B 【详解】ACD选项，如图1和图2，，，则或是两条异面直线，故ACD错误. B选项，，，根据面面平行的性质可知，故B正确； 故选：B 重难点六、证明面面平行 【例11】如图，不在同一直线上的三点在平面α上，点、、在平面β上，且,．求证：平面平面β．    【答案】证明见解析 【详解】因为， 所以四边形为平行四边形，则， 又，所以，同理得， 由已知得，，且， 所以平面平面β. 【例12】如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，点M、N、Q分别是、、的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】因为底面为平行四边形，为的中点， 所以为的中点， 因为M、Q分别是、的中点.， 所以，， 因为平面，平面， 所以平面，平面， 因为平面， 所以平面平面. 【变式6-1】（多选）在正方体中，M，N，Q分别是棱，，BC的中点，，则（    ） A．平面 B．平面 C．A，P，M三点共线 D．平面平面 【答案】CD 【详解】对于A，如图，连接，，则，连接，，设，交于点，    由可得，交于点P，则平面，所以A选项错误； 对于B，由A知M在平面内，Q不在平面内，所以与平面，所以B选项错误； 对于C，由A知，A，P，M三点共线，所以C选项正确； 对于D，连接，，    因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 即平面，又，平面，平面， 故平面，，平面， 故平面平面，所以D选项正确. 故选：CD 【变式6-2】如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点. (1)在该图形中，与直线异面的直线有哪些？ (2)求证：平面PCD； (3)求证：平面平面PBC． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【详解】（1）在图形中，与直线异面的直线有. （2）由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形， 由N是BD的中点，则N也是AC的中点， 又点M是PA的中点，∴在中，， ∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； （3）由（2）知，又平面PBC，平面PBC， ∴平面PBC， 由N是BD中点，又∵Q是PD中点， ∴在中，， ∵NQ平面PBC，PB平面PBC，∴平面PBC， ∵，平面MNQ， ∴平面平面PBC． 【变式6-3】如图，在三棱柱中，分别是的中点.求证： (1)证明：四点共面；直线，直线，直线三线共点 (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）分别是的中点， 是的中位线，，且 又在三棱柱中，，且， 由平行的传递性，，且， 四点共面； 由上可知四边形是梯形，故与是两条相交的直线， 设，下证， 平面，且平面， 平面，且平面， 平面平面， ，即三线共点. （2）分别为的中点，， 平面平面， 平面， 在三棱柱中，，且， ，且， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面， ，平面， 平面平面. 重难点七、利用面面平行证明线面平行、线线平行 【例13】如图，平面平面，所在的平面与，分别交于，，若，，，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】因为平面平面，且平面平面，平面平面， 所以，所以， 可得，所以. 故选：C. 【例14】如图所示，平面四边形的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形外，且，，，互相平行，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【详解】四边形是平行四边形，． 平面，平面， 平面，同理，可证得平面． 平面，平面，且， 平面平面． 又平面平面，平面平面， ．同理可证．四边形是平行四边形． 【变式7-1】如图所示，在长方体中，，.一平面截该长方体，所得截面为OPQRST，其中O，P分别为AD，CD的中点，，则 ， . 【答案】 /0.5 /0.4 【详解】设, ,则, 由题意可知，由面面平行的性质定理可得该截面六边形的对边分别平行，即, , 则, 又因为, , 所以, 则, 由 , 可 得 , 所以, 由~,可得, 所以, 则, 解得, 所以 故答案为 【变式7-2】在四棱锥中，平面，点在线段上，且.求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】在线段上取一点，使，连接， 在四边形中，， 所以，即，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 在三角形中，，所以， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 【变式7-3】如图，三棱柱中，四边形均为正方形，分别是棱的中点，为上一点. 证明：平面；    【答案】证明见解析 【详解】证明：连接，如下图所示：    因为，且，分别是棱的中点， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面， 所以平面. 重难点八、面面平行的存在性问题 【例15】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为上的点，且，为中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）证明：连交于O，因为底面为平行四边形， 所以O为的中点，而E为的中点， 所以， 又平面，平面； 所以平面； （2）在棱上存在点G，且，使得平面， 证明：上取点，且，因为F为上的点，且， 所以在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又在中，，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. 因为平面， 所以平面. 【例16】如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为面，面， 所以面， 因为E在棱PD上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 【变式8-1】如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点为棱的中点.    (1)求证：平面； (2)若为上的动点，则线段上是否存在点N，使得平面?若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)点为的中点，理由见解析. 【详解】（1）    取点为棱的中点，又因为点为棱的中点，所以，且， 又因为，且，所以 则四边形是平行四边形，即， 又因为平面，平面，所以平面； （2）      存在点为的中点，满足平面. 因为点为的中点，点为棱的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 再由平面，，平面，平面， 所以平面平面，又因为平面， 所以平面. 【变式8-2】如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． (1)判断直线l与BC的位置关系并证明； (2)求证：平面PAD； (3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，为中点，证明见解析. 【详解】（1）. 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. （2）取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. （3）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 【变式8-3】如图，在四棱锥中，是等边三角形，，，．若，则在线段上是否存在一点，使平面∥平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，． 【详解】在线段上存在一点，使平面∥平面．理由如下： 如图，过作∥，交于，连接，， 因为，所以是上靠近点的三等分点，是上靠近点的三等分点， 因为，所以． 因为，，， 所以， 因为，所以，， 所以，所以， 因为， 所以，所以∥． 因为平面，平面，所以∥平面， 又∥，平面，平面， 所以∥平面， 因为，，平面， 所以平面∥平面， 所以在线段上存在一点，使平面∥平面， 此时． 重难点九、平行的综合问题 【例17】长方体中，，，M为的中点，P为下底面ABCD上一点，若直线平面，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】取中点，连接， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，平面，平面，故平面， 同理可证平面， 又，平面， 故平面平面，平面平面， 结合P为下底面ABCD上一点，故在上运动，且为直角三角形， 当时，最小，最小值为， 此时的面积最小，求得. 故选：A 【例18】如图，在四棱锥中，底面为正方形，点，分别为，的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)1 【详解】（1） 取PB的中点Q，连接QF，EQ， 因为点E，F分别为AD，PC的中点， 由题意可证得，且，， 所以，且， 所以四边形DEQF为平行四边形，所以， 而平面PBE，平面PBE， 所以平面PBE. （2） 设平面平面， 由（1）可得平面，平面， 所以. （3） 在棱AB上存在点N为AB的中点，连接EN，BD， 因为E为AD的中点，所以，平面，平面， 所以平面， 此时． 【变式9-1】如图所示，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取的中点，的中点，连接，显然，且， 所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面,所以平面，因为，平面， 平面,所以平面，又因为，所以平面平面， 因为平面，所以平面，点在侧面上，所以点位于线段上， 因为， ，所以当点位于点时，最大， 当点位于的中点时，最小， 此时， 所以，所以线段长度的取值范围是. 故选：B 【变式9-2】如图，四棱锥中，底面为梯形，，点在棱上. (1)求证：平面； (2)若平面，探索平面的哪条线与平行，做出此线，并求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析， 【详解】（1）因为，平面，平面，所以平面； （2）连接交于，连接， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 则，可得， 又因为，可知，则， 因此，. 【变式9-3】如图所示：在长方体中，，，E、F分别是面，中心，G，H分别是，的中点. (1)证明：面面； (2)证明：面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，，则F，E分别为，的中点， 则，又面，面， 所以面， ，又面，面， 所以面， 又，，面， 所以面面. . （2）连接，，G，F分别是AD，AC的中点， ，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又面，面， 所以面. . 一、单选题 1．已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，，，则， 所以“”是“”的必要条件； 因为，，， 所以，且，所以， 所以“”是“”的充分条件； 则“”是“”的充要条件． 故选：C． 2．在棱长为10的正方体中，为左侧面上一点，已知点到的距离为2，点到的距离为3，则过点且与平行的直线交正方体于两点，则点所在的平面是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，由条件可知直线交线段于点，连接，过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交. 故选：C. 3．如图，已知正方体的棱长为4，，分别是棱，的点，且满足：，，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线与平面BEF无公共点，即直线平面BEF， 取中点，连接，在上取点，使得，连接， 因为，所以， 又，故四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面， 所以平面， 又，即为的中点，故， 又，故， 又，所以， 故，故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，平面， 所以平面平面， 当点在线段上时，平面， 点P的轨迹长度即为的长， 取的中点，连接，则，⊥， 其中，由勾股定理得. 故选：C 4．过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（    ） A．4条 B．5条 C．6条 D．7条 【答案】C 【详解】如图，设为相应棱的中点， 则//，且平面，平面，所以//平面， 同理可得：与平面平行， 由图可知：其他的任意两条棱的中点的连线与平面相交或在平面内， 所以与平面平行的直线有6条. 故选：C.    5．如下图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点，为线段上的点，若，且满足平面，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】连接，交于，连接，如图， 平面，平面平面，平面，， 点，分别为棱，的中点．是的重心， ，又，则. 故选：A. 6．如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A．16 B． C．18 D． 【答案】C 【详解】取的中点的中点，连接，，， ，所以四点共面， 如图所示. ，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，则， 且平面，平面， 所以平面， 且，平面， 所以平面平面，所以四边形即为平面截该正方体所得截面， 易得， 所以四边形的面积. 故选：C. 二、多选题 7．如图，点是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足平面的是（    ） A．     B．   C．   D．   【答案】ACD 【详解】对A：如图：    连接，因为为正方体棱的中点，所以，又，所以， 平面，平面，所以平面.故A正确； 对B：如图：    因为是正方体棱的中点，所以，，， 所以， 同理：，. 所以5点共面，所以平面不成立.故B错误； 对C：如图：    因为是正方体棱的中点，所以，，所以. 平面，平面，所以平面.故C正确； 对D：如图：    因为为正方体棱的中点，连接交于，连接， 则为的中位线，所以， 平面，平面，所以平面.故D正确. 故选：ACD 8．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断错误的是（    ）      A．平面平面 B． C．平面 D．与相交 【答案】BCD 【详解】依题意，标出各点位置如下图所示， A选项，根据正方体的性质可知， 由于平面，平面，所以平面. 根据正方体的性质可知，同理可证得平面. 由于平面，， 所以平面平面，A选项正确. B选项，根据异面直线的知识以及图象可知与异面，B选项错误. C选项，平面即平面，由图可知，与平面相交，所以C选项错误. D选项，根据异面直线的知识以及图象可知与异面，D选项错误. 故选：BCD    三、填空题 9．如图，在长方体的6个面中， （1）与AB平行的平面是 ； （2）与平行的平面是 . 【答案】 平面和平面 平面 【详解】（1）由长方体，可得AB， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 而长方体的另四个面要么与相交，要么在其面内，不满足题意； （2）连接，如图， 由长方体，可得，且， 所以四边形是平行四边形，可得， 因为平面平面，所以平面； 而长方体的另四个面要么与相交，要么在其面内，不满足题意； 故答案为：平面和平面；平面. 10．如图所示，三棱柱的侧面是菱形，设是上的点且，则的值为 ． 【答案】1 【详解】，且平面平面， ， 四边形是菱形， 为的中点， 为的中点， 即. 11．已知平面平面平面，两条直线分别与平面相交于点和，若，则 . 【答案】15 【详解】如图，连接与平面交于点，连接， 因为，且平面平面，平面平面， 所以所以， 同理可得，所以， ，由，得， 又， . 故答案为：. 四、解答题 12．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．    (1)求证：平面． (2)求三棱柱的表面积； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点． 因为为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．    （2）因为侧棱底面，所以三棱柱为直三棱柱， 所以侧面，，均为矩形． 因为，所以底面，均为直角三角形． 因为，，所以． 所以三棱柱的表面积为 ． 13．正方体中，，和的中点分别为，在，和上各有一点，依次为，且，都等于棱长的，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【详解】如图，因为正方体中且都等于棱长的， 即，，所以，， 又因为，和的中点分别为， 即，，所以，， 所以，， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 又因为，平面， 所以平面平面. 14．如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，试确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)点为棱的中点时，平面∥平面；理由见解析. 【详解】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点， 则有∥， 又平面，平面， 所以∥平面． （2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下： 由（1）知，∥平面， 同理：∥平面， 又平面，平面，， 所以平面∥平面． 15．如图所示，正方体的棱长为分别为的中点，点满足. (1)若，证明：平面； (2)连接，点在线段上，且满足平面.当时，求长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接， 因为为的中点，当时， 所以为的中点，所以， 又且，所以四边形为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面，所以平面； （2）当时为的中点，连接交于点，连接， 连接交于点，取的中点，连接、， 因为分别为的中点，所以， 则为的中点，所以， 又且，所以为平行四边形， 所以，故， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以和重合， 又，此时， 当时与点重合，在上取点使得，连接， 由前述说明可知为的中点，则， 又，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以， 综上可得当时，求长度的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$