第23讲 与圆有关的位置关系-2025年中考真题分类卷数学

%.(2024·老京)如图，AB是⊙口的直径，点C,D 1像.{2024·德阳》已起⊙D的半径为5,8，C是⊙0 第23讲 与圆有关的位置关系 在⊙0上，D平分∠AC 上两定点，点A是⊙0上一动点，且∠C 释（九章算术）时十分重视一圆 (1证：DC: 4r,∠C的平分线交⊙0千点D 考点过关 多解，其中最奥的是匀段容方 (2)延长DX)交⊙)于点飞，连接王交州于 日)求证，点D为C上一定点： 点F,过点B作⊙0的切交DE的随长线于 考点一点，直线与圆的位置关系 程匀最容胃公式的雅导，他哈出 (2)过点D作以C的平行就交AB的延长线 了内切直轻的多种表达形式 1.(2023·型f)在同一平直内，已知⊙0的半稻 点R若部-名E=,来©0率轻份长 下点P. 如图，R△ABC中，∠C-0,日 ①判断DF与⊙O的位置关系，并说明理h: 为2，圆心O到直馒{的面离为名，点P为周上 ②若△A为角三角形.求DF的取值范 的一个动点，属点P到直线的量大距离是 AB,C,C4的长分薄为，0.则可以用含c, ,N的式了表示出△AC的内切国直轻d,下 A.2 B.5 C.6 D 州表达式婚误的是 2.(034·上海)在△AC中，4kC-3.C=4,AB= A,可u十6- 5,点产在△A汇内，分以A,B,产为圆心间周， B.df 2u6 w十+ 保A常径为1.圆H半径为2.圆P不径为3圆A 与周P内切，周P与图B的关系是 C.=w2-a(一6 A,内含品相交C,外切图离 Dd=(a-b)(c-) 考点二切线的性质与判定 1.(2021·天*)已△AB中，∠A-0. AB为⊙O的弦，直线MN与⊙0相切干点C 角度1与切线有美的计舞 (1)如周1，若ABMN,直径CE与AB相交干 3.(2024·山1细图，心知△ABC,以A为直径 点D:求∠A州和∠CE的大小： 的⊙)交罩：于点D,与A:相切于点A,连核 (2)如泪2，若(BMN,CG⊥AB,垂是为G, 角度】与切线有关的证明 (D.若∠D=8如”，则∠C的度数为( (G与O相交于点F,M=3,求找段(F 9,(2024·头武)如图，△ABC为等题三角形.U A.20° ,45 D.5o 的长 成边B的中点，魔AC与华则口相切于点 D,底边以C与半期)交于E,F两点 1求让：A书与半得0相切： (2)连接21，若CD=4,CF-2,求m∠0A 的值. 4,(2023·重庆)如用，4C是⊙0的切规，B为切 点，连接M,(.若∠A=0,AB-2v, C一3，则OC的长度是 A. 6.25 C.13 D.8 5.(2028·聊规》如图，点0是 △AC外接到的圆心，点I 是△AC的内C,连接B A.若∠CAI-,刚 ∠BC的度数为() A.15 B.17.5 C.20 D25 6:(2024·雾州)期置（今山东依州人）是照骨时期 我国伟大的散学家，中国古奥数学理论的莫基 斋之一，技骨为“世界古代数学秦斗”置在注 55 综合集训 二，填空驱 1.(20·陕西)如用.直线1与⊙0相初于点A:12.2024·广州)如图，在菱形ABCD中，∠C一 6.(024·青江)如图，AB是⊙0的直径，AC与 A山是⊙O的直径，点C,D在t上，且位于点 10.点E在财餐BC上运动（不与点B,点C 一，这择驱 ⊙0相拼，A为切点，连获C.已每∠ACB- A再酬.在接C,BD,分别与⊙0交于点E. 重合)，△AEB关于AE的怕对酵图移为 L.(2023·正百)如周，点A,B,C,D均在直线1 ,则∠B的度数为 F,连接EF,AF △AEF, 上，点P在直线：外，黑经过其中任意三个点 (山求证，∠B4F=∠CDD: (1)肖∠BAF=0'时，试判断线臣AF和线 量多可属出民的个数为 (21若⊙0的半径F=6,AD=9,AC=12,求 径AD的数量和位置关系，并说明用由： ，””一 EF的长. (2)若AB一g十4，百，回0为△AEF的外接 A.3个 品4个 圆，设⊙0的率径为r. C,i个 26个 ①求？的取值花围： 2.(20以4·量健)如目.已知点A,B在⊙0上， @出接下D.直线FD能否与⊙0相切？如果 ∠AB=r:直线MN与⊙0相句，坷点为C, 7,(024·果山料)如图，⊙M的料心为M(4,0) 使，求E的长度，如果不能，请说明理由： 半径为2，P是直线y一上+4上的一个动点，过 且C为AB的中点，刚∠ACM等于 点P作⊙M的别线，切点为Q,则Q的最小 A.1B9 且.30 值为 C.36 D72 8.(021·重庆A)如图，以AB 为直径的©O与AC相切干 点A,以AC为边作平行国边 形ACDE,点D,E均在⊙D 上，DE与AB交于点F,连接 11.(024·世青)在R1△A:中.∠C=00°，⊙0 第1题 E,与⊙0交于点，连接G.若AH=n: 3.(2023·量山1如图，AH切⊙0于点4，连接24 DEm5.则AF .DG 是△AC的内切提，切点分煤为D,E,F, 交⊙)于点C,BD从交⊙)干点D.连接 三，解苦题 日)用1中三组相等的规段分料是（军=(F, 9.(2084·至州)如1图.△AC内授于⊙0，A8从 AF= ,D 若=3. CD,若∠CD=25,期∠A的度数为() ⊙)的直径，点力为⊙0上一点，BCBD,是 损=4，划⊙)半径长为 A.25 且.36 C.40 D.4 长4至E,使得∠ADE∠(H1 (2)如属2.廷长AC到点M,使AM=AH,过 点M作MN LAB于点N,求E:MN是⊙O 4.《2024·泸州1如图，E4,D是⊙0的辑线，切 (1山求证，ED是⊙0的柳线： 的切线 点为A,D,点，C在⊙0上，若∠AE （2若0-，n∠CBA-多，求ED的长， ∠D-24,期∠E- A.56 且 C,88 D70 第5 5,(033·式试如围，在四边思ABCD中，AB CD,AD】AB,以D为图心.AD为半径的第拾 好与C相期，切点为E,告-号 3得mC的 是 c:∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角， '∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, .∠FAE=∠BCE. ∴.∠AFE=∠AGC. '∠AEF=∠CEB,∴.∠CEB=∠BCE :AE=AC,.△AEF≌△ACG(AAS), CE平分∠ACD,.∠ACE=∠DCE. .EF=CG,∴.EF=BD. ,AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， 14.解：(1)，∠BAC=∠BCD,∠B=∠B, ∴.∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=9O°， BC BA .∠CDE=90°..CD⊥AB ÷△BAC∽△BCD,BD-BC (2)解：由(1)，知∠BEC=∠BCE,∴，BE=BC AB=42,D为AB中点， AF=EF,FM⊥AB, .BD=AD=22,.BC2=16,.BC=4. ..MA=ME=2,AE=4, (2)如图，过点A作AE⊥CD于点E,连接CO,并延长交 .⊙0的半径OA=OB=AE-OE=3, ⊙O于F,连接AF, ..BC=BE=OB-OE=2. 在△ABC中，AB=6,BC=2,∠ACB=90°， ∴.AC=√AB-BC=√6-2=4/2. 12.解：(1)'∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB, ∠ADB=∠CDB, .DB平分∠ADC BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD. 在R△ABD中，∠CDA-器-号AD=2E, :四边形ABCD是圆内接四边形， ∴DE=1,∴.AE=√AD-DE=√7 .∠ABC+∠ADC=180°， ∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°， △BMC△BCD,S-提-E. .2(∠ABD+∠ADB)=180°， 设CD=x,则AC=√2x,CE=x-1, ∠ABD+∠ADB=90°， :在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2, .∠BAD=180°-90°=90° ∴.(W2x)2=(x-1)2+(W万)2，即x2+2x-8=0,解得 (2),∠BAE+∠DAE=90°，∠BAE=∠ADE, x=2或x=-4(合去)， ∠ADE+∠DAE=90°，∴.∠AED=90°. ∠BAD=90°， '.CD=2,AC=2/2. .BD是圆的直径，，BD垂直平分AC,.AD=CD. :∠AFC与∠ADC都是AC所对的圆周角， AC=AD,∴.△ACD是等边三角形，∴.∠ADC=60. ∠AFC=∠ADC BDLAC.∠BDC=号∠ADC=30 :CF为⊙O的直径，∴∠CAF=90°， CF∥AD,.∠F+∠BAD=180°，.∠F=90° nAPC--S-LcDA-怨-平 4 :四边形ABCD是圆内接四边形 ∴.∠ADC+∠ABC=180. :∠FBC+∠ABC=180°， 即00的半径为识 CF-87 .∠FBC=∠ADC=60°，..BC=2BF=4. 第23讲 与圆有关的位置关系 :∠BCD=90°，∠BDC=30°， 考点过关 .BC-BD. 1.B2.B3.D4.C5.C6.D ,BD是圆的直径，.圆的半径长是4 7.解：(1)OA=OB,∴∠A=∠ABO. 13.(1)解：CD为直径，∠CAD=90 ,'∠A+∠ABO十∠AOB=180°，∠ABO=30°， :∠AFE=∠ADC=60°， ∴.∠AOB=180°-2∠AB0=120. ∴.∠ACD=90°-60°=30°， ,直线MN与⊙O相切于点C,CE为⊙O的直径， ,∠ABD=∠ACD=30°. .∠ECM=90°， (2)证明：①如图，延长AB至 ABMN,∴.∠CDB=∠ECM=90°. 点M, ∴∠BOE=90°-∠ABO=60.'∠BCE=2∠BOE, :四边形ABCD是圆内接四 边形， ∠BCE=30 .∠CBM=∠ADC. (2)如图，连接QC.同(1)得∠C0B=90, 又'∠AFE=∠ADC, CG⊥AB,∴∠FGB=90 ∠AFE=∠CBM,∴.EF∥BC. ∠AB0=30°， ②过点D作DG∥BC交⊙O于点G,连接AG,CG, ,∴.∠BFG=90°-∠ABO=60°， ,'.∠CFO=∠BFG=60. DGBC,.BD=CG,∴.BD=CG 在Rt△COF中， ,四边形ACGD是圆内接四边形， ∠GDE=∠ACG. tan∠CFo-OC F,0C=0A=3, :EF//DG,∴∠DEF=∠GDE, OC 3 ∴.∠DEF=∠ACG, ∴OF= an∠CFO tan60=3. 28 8.(1)证明：如图，连接AC交OD于点H, ②@如图3，当∠A:BC为直角时，连接OD交BC于点M. AB是⊙O的直径，∴AC⊥BC. :∠BA1C=60°，∠A1BC=90, ,OD平分∠AOC,,∠AOD=∠COD, ∠C=30°，A:C为⊙0的直径. .AD=CD,∴OD⊥AC,.ODBC. ,⊙0的半径为5， (2)解：，OE∥BC,∴△OEF∽△BCF, .A1C=10,A1B= 爱邵-名设0E-5,C-6a A1C=5, 1 ∴.BC=5√3. AO=OB,OH∥BC,.AH=CH, 由①知BD=CD, 图3 0H=76c=3a ÷BM=号BC-55,∠BMD=90 PB是⊙O的切线，∴∠OBP=90°，∴.∠PBO=∠AHO. ∠FBC=180°-∠A1BC=90°，∠FDM=90, ∠BOP=∠AOH,∴.△AOH∽△POB, .四边形BFDM是矩形， 品器 .DF-BM-5/3 2 3x1 如图4，当∠ACB为直角时，连接OD,BD. 3 ,'∠ACB=90,∠BA2C=60, 六x一0或x=0(不合题意，舍去)， ,∴.A:B是⊙O的直径，∠A:BC= 0E=号00*径的长为是 30°. .DF//BC, 9.(1)证明：如图，连接 ∠F=∠AzBC=30° OD,OA,过点O作 H :DF与⊙O相切， OH⊥AB于点H, .∠FDO=90°， 图4 :△ABC为等腰三角 ∴.0F=20D=10, 形，O是底边BC的 ∴.DF=√OF-OD=W10-5=55. 中点， 由图可知：当A由A1运动到A2(不包括A1,Az)时， ∴.AO⊥BC,AO平分∠BAC. △ABC是锐角三角形， :AC与⊙O相切于点D,.OD⊥AC, 而OH LAB,∴.OH=OD, 六D的取值意周是 <DF<5√3. ,AB与半圆O相切 综合集训 (2)解：由(1)知OD⊥AC, 在Rt△OCD中，CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD2+ 1.D2.A3.C4.C5.B CD2=0C, 640°7.278820国 ∴.0D2+4=(OD+2)2, 13 .0D=3,.0C=5, 9.(1)证明：如图，连接OD, .cosC-CD_4 ,AB为⊙O的直径， 0C5 .∠BCA=∠BDA=90°，OB=OD, 在Rt△0CA中，cosC-C=4 ∴.∠DBA=∠BDO. AC5· 在R1△BCA和Rt△BDA中， ∴sa0Ac-C-g (BA=BA, BC=BD. 10.(1)证明：如图1，连接OB,OD ,Rt△BCA和Rt△BDA(HI),.∠CBA=∠DBA. :∠BAC=60°，∠BAC的平分线交 ∠ADE=∠CBA,∠DBA=∠BDO, ⊙O于点D, ,.∠ADE=∠DBA=∠BDO. A∠BAD-∠BAC=30 :∠BDO+∠ADO=∠BDA=90°， ∴.∠ADE+∠ADO=90°，即ED⊥OD. ∴.∠BOD=2∠BAD=60°， ,OD为⊙O的半径，∴.ED是⊙O的切线. ∴，BD的度数是60°. 图1 (2)解：BO=4,∴.AB=2OB=8, B为定点， ∴.EB=AE+AB=AE+8. .D为BC上一定点 1 21 (2)解：①DF与⊙O相切，理由如下： a∠CBA=Z,∠CBA=∠DBA,∴tan∠DBA= 如图2，连接OD. 在R△ABD中，m∠DBA合品-， :∠BAC的平分线交⊙O于点D, ∴∠BAD=∠CAD, ∴设AD=a,BD=2a. :∠ADE=∠DBA,∠E=∠E,∴△EAD△EDB, ∴BD=CD,∴.OD⊥BC ..ED:EB=AE:ED=AD:BD. DF∥BC,∴OD⊥DF, 即ED:(AE+8)=AE:ED=a：2a, OD为⊙O的半径， 图2 ∴DF与⊙O相切. 由AE:ED=a12a,得AE=ED, 29 由ED:(AE+8)=a:2a,得2ED=AE+8,∴.2ED= ∠BAF=30°，∴∠DAF=∠BAD-∠BAF=90°， 名D+8,得ED-5 .AF⊥AD. 综上，AF=AD,AF⊥AD. 10.(1)证明：，直线1与⊙O相切于点A,AB是⊙O的直径， (2)①如图1，设△AEF的 .AB⊥CD 外接圆圆心为O,连接OA, '.∠BAC=∠BAD=90° OE,过点O作OG⊥AE于 :AB是⊙O的直径，∴.∠AFB=90° 点G,过点A作AH⊥BC ∠BAF+∠ABD=90°，∠CDB+∠ABD=90°， 于点H. ∴.∠BAF=∠CDB. :∠AFE=∠ABE-60°， (2)解：在Rt△ABD中，，AB=2r=12,AD=9, .∠AOE=120° 图 .BD=√9+12=15. .OA=OE 在Rt△ABC中，AB=12,AC=12, .∠OAE=∠OEA=30°， ∴.BC=√122+12=122. '∠ABF=∠DBA,∠AFB=∠BAD, 0A=5-2 3AG. .△BAFD△BDA,∴.BF:BA=BA:BD, AGAE-AE. r=04=23 即BF:12=12:15,解得BF-想， 在Rt△ABH中，AH=AB·sin60°=9+3V3. :∠BEF=∠BAF,∠BAF=∠CDB,∴∠BEF=∠CDB. ,AE≥AH,且点E不与B,C重合，∴.AE≥9十33，且 ,∠EBF=∠DBC,∴△BEFn△BDC, AE≠6+63，∴.r≥33+3，且r≠23+6. EF CD-BF BC,EF 21-4 :122, ②能相切 如图2，设△AEF的外接圆圆心为O,连接OA,OF,过点E 解得EF-2,即EF的长为2三 作EH⊥AB于点H,设∠AFD=a,则∠AEF=∠AEB=a (弦切角)， 11.(1)解：如图1，连接OE,OF 由切线长定理，可知AF=AD,BD= .∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-2a :AF=AD,∴∠ADF=∠AFD=a, BE, ,.∠DAF=180°-2a. :∠C=90°，⊙0是△ABC的内切圆， '∠CEF=∠CAF, ∴.∠C=∠OE℃C=∠OF℃=90°，OE= ∴.∠CAF=180°-2a= OF,.四边形OECF是正方形. H 设OE=OF=CF=CE=x,则BE= ∠DAF. 1 BC-CE=4-x=BD,AF=AC-CF= :∠CAD=2∠BAD= 3-x=AD, 图1 60°， :BD+AD=AB=√AC+BC ∴.∠CAF=180°-2a= V3+4-=5, ∠DAF=30°， 图2 .4一x十3一x=5,解得x=1, ,a=75,即∠AEB=75°. .OE=1,即⊙0半径长为1. ∠B=60°， 答案：ADBE1 ∴∠BEH=30°，∴∠AEH=∠EAH=45. (2)证明：如图2，过点O作OH⊥MN于点H,连接OD, 设BH=m,则EH=AH=√3m,BE=2m, OE,OF. ,AB=6+6√3，∴m十√3m=6+63,m=6, :∠ANM=90°=∠ACB, ∴.BE=12 ∠A=∠A,AM=AB .△AMN≌△ABC(AAS), 第24讲 与圆有关的计算 ∴.AN=AC. AD=AF,AN-AD=AC- 考点过关 AF,即DN=CF. 1.C2.D3.28.74.4x5.108 同(1)可知CF=OE, 6(开-8) .DN=OE. 图2 7.(1)证明：，AB是半圆O的直径， '∠ANM=90°=∠ODN= ∴.∠ACB=90°，∠CAB+∠ABC=90 ∠OHN, ∠D=∠ABC,∠D+∠CAB=90°， .四边形OHND是矩形，∴OH=DN, ∴∠ABD=90°. .OH=OE,即OH是⊙O的半径. AB是半圆O的直径，BD是半圆O的切线. OH⊥MN,.MN是⊙O的切线. (2)解：如图，连接OC,∠ABC=60°， .∠AOC=2∠ABC=120°. 12.解：(1)AF=AD,AF⊥AD,理由如下： ,OC=OB,∴△BOC是等边三角形， “,四边形ABCD是菱形， ∴.OC=BC=3, .AB=AD,∠BAD=∠C=120. ·△ABE和△AFE关于AE对称， ∴AC的长=120X3-2元 180 AB-AF,AF-AD. 30