第23讲 与圆有关的位置关系(精练本)-【中考123】2025年中考全程复习测试卷数学（牡丹江专版）

数学·精练本1 见此图际合抖音微信由码对话中考复习助手考点攻克提分无忧、 中春123， 第23讲。 与圆有关的位置关系 基础集训 [答案P33] ⊙命题点1点与圆、直线与圆、圆与圆的位 5.(2024·锦州模拟)如图，AB是半圆0的直径， 置关系 点D是弦AC延长线上一点，连接BD,BC,∠D 1.(2024·哈尔模拟)如图，在△ABC中，∠ACB =∠ABC=60°. =90°，AB=5,BC=4.以点A为圆心，r为半径作 (1)求证：BD是半圆O的切线： 圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可 (2)当BC=3时，求AC的长. 能是 ( A.2 B.3 C.4 D.5 0 0 10h 5题图 Ch B 1题图 3题图 2.(2024·四平模拟)已知平面内有⊙0和点A, B,若⊙0的半径为2cm,线段OA=3cm,OB= 2cm,则直线AB与⊙O的位置关系为( A.相离 B.相交 C.相切 D.相交或相切 3.(2024·大庆模拟)实验学校的花坛形状如图所 示，其中，⊙0，与⊙02的半径均为3米，且⊙0 经过⊙O,的圆心O.已知实线部分为此花坛的 周长，则花坛的周长为 ⊙命题点3三角形的内切圆与外接圆 A.4m米 B.6m米 6.(2024·长春模拟)如图，在⊙0中，AB是⊙0的 C.8m米 D.12π米 弦，⊙0的半径为3cm,C为⊙0上一点，∠ACB ⊙命题点2 切线的判定与性质 =60°，则AB的长为 cm. 4.(2023·哈尔滨)如图，AB是⊙0的切线，A为切 点，连接OA,点C在⊙0上，OC⊥OA,连接BC 并延长，交⊙0于点D,连接OD.若∠B=65°，则 0. ∠DOC的度数为 6题图 7题图 7.(2024·本溪模拟)如图，在△ABC中，∠A=80° 半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB, D 4题图 OC,则图中阴影部分的面积是 cm. A.45 B.50 C.65° D.75 (结果用含：的式子表示) -112 微专题8 圆中常见辅助线的作法 [答案P34] ⊙模型一见弦连半径，构造等腰三角形 相切于E,F,G三点，且AB∥CD.BO=6cm,CO 1.(2024·通化模拟)一块直角三角板的30°角的 =8cm,则BC= cm. 顶点A落在⊙0上，两边分别交⊙0于B,C两 点.若弦BC=2,则⊙0的半径为 B 0 D G 4题图 5题图 6题图 C ⊙模型五 要判定圆的切线，“连半径证垂直” 1题图 3题图 ⊙模型二见弦作垂径，构造直角三角形 或“作垂直证半径” 2.(2024·松原模拟)⊙0的半径为13cm,AB,CD 5.如图，AB是半圆0的直径，点C在半圆上（不与 是⊙O的两条弦，AB∥CD,AB=24cm,CD= A,B重合)，DE⊥AB于点D,交BC于点F,下列 10cm,则AB和CD之间的距离为 条件中能判别CE是切线的是 ⊙模型三见到直径，构造直径所对的圆周角 A.∠E=∠CFE B.∠E=∠ECF 3.(2024·绥化模拟)如图，AD为⊙0的直径，AD C.∠ECF=∠EFC D.∠ECF=60° =6cm,∠DAC=∠ABC,则AC的长度为( ⊙模型六见内心，连接内心和顶点得角平分线 A.、2cm B.22 cm 6.(2024·临汾二模)如图，⊙0是等边三角形 C.3/2 cm D.33 cm ABC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点E,F,D, ⊙模型四 见切线，连接圆心和切点得切线垂 P是DF上一点，则∠EPF的度数是 ( 直于半径 4.(2024·邵阳一模)如图，AB,BC,CD分别与⊙0 A.650 B.60 C.58° D.50 微专题9 辅助圆问题 [答案34] ⊙模型一定点定长作圆 ⊙模型三定弦对定角 1.(2024·大庆模拟)如图，在四边形ABCD中，AB 3.(2024·宜究二模)如图，在菱形ABCD中，AB=23 =AC=AD,∠BDC=22°，则∠BAC= ∠A=60°，点E,F分别在AB,AD上，且AE=DF,连 接DE,BF交于点G.则∠BGD的度数为 四边形BCDG面积的最大值为 D C 1题图 2题图 ⊙模型二直角对直径 2.(2024·牡开江模拟)如图，在矩形ABCD中，AB 3题图 4题图 =4,BC=6,E是矩形内部的一个动点，且AE⊥ ⊙模型四四点共圆 BE,则线段CE的最小值为 () 4.(2024·雅安二模)如图，△ABC和△ABD均为 B.2/10-2 直角三角形，∠ADB=∠ACB=90°，连接CD,若 ∠ABC=55°，则∠CDB的度数为 () C.2、13-2 D.4 A.35° B.40° C.45 D.50 -113 ⊙模型五最值问题 6.(2024·平顶山三模)如图， 5.(2024·焦作一模)一个点到圆周的最小距离为 矩形ABCD中，AB=4,BC= 4cm,最大距离为9cm,则该圆的半径是( 8,P是直线AB上的一个动 A.2.5cm或6.5cm 点，AE=2,△APE沿PE翻 6题图 B.2.5 cm 折得到△FPE,连接FC,则FC的最小值是 C.6.5 cm 点F到线段BC的最短距离是 D.5cm或13cm 综合集训 [答案34] 一、选择题 二、填空题 1.(2023·重庆B卷)如图，AB为⊙0的直径，直 5.(2024·衡阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 线CD与⊙O相切于点C,连接AC,若∠ACD= 90°，AC=8,BC=6.以点C为圆心，r为半径作 50°，则∠BAC的度数为 圆，当所作的圆与斜边AB所在的直线相切时，「 A.30° B.40° C.50° D.60° 的值为 B 0 0 B D 1题图 2题图 3题图 5题图 6题图 2.(2024·贺州)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 6.(2023·宁波)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， AB=5,点O在AB上，OB=2,以OB为半径的 E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC ⊙O与AC相切于点D,交BC于点E,则CE的 相切于点D,连接AD,BE=3,BD=35.P是AB 长为 边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的 A. R号 C② D.1 长为 三、解答题 3.(2023·包头)如图，⊙0是锐角三角形ABC的 7.(2024·绍兴)如图，AB是⊙0的直径，C是⊙0 外接圆，OD⊥AB.OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别 上一点，过点C作⊙O的切线CD,交AB的延长 为D,E,F,连接DE,EF,FD.若DE+DF=6.5, 线于点D,过点A作AE⊥CD于点E. △ABC的周长为21，则EF的长为 (1)若∠EAC=25°，求∠ACD的度数； A.8 B.4 C.3.5 D.3 (2)若OB=2,BD=1,求CE的长. 4.(2024·黔东南州)如图，PA,PB分别与⊙0相 E 切于点A,B,连接P0并延长与⊙0交于点C, D,若CD=12,PA=8,则sin∠ADB的值为 0 B A. 4 5 B. 5 C.4 n 7题图 B 4题图 -114-见此图标母抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 7.4 [解析]∵AB是00的直径，∴∠ACB=90°,∴ AB= √AC+BC=√122+5=13,:OM=÷AB=6.5. ∵D是AC的中点，0是AB的中点，: 0D=÷BC= .0B=5,00的半径是 总结归纳-------- 解答与圆有关的证明及计算的技巧 1.圆中常作的辅助线如下. 2.5,:. MD=OM-OD=6.5-2.5=4. (1)半径：圆的半径是圆的重要元素，圆中的许 多性质，如“同圆的半径相等”和“圆的切线垂 直于过切点的半径”等都与圆的半径有关，连 接半径是常用的添加辅助线的方法之一 8.52.5°[解析]如答图，连接OB,OD,易知∠BOD= 130°-25°=105,∴ ∠BAD=2∠BOD=52.5° 80 90100 (2)弦心距：在解决有关弦的问题时，常常作弦 心距，以便利用垂径定理或三角函数. B 70 110 C 60 100 80110 70 50 120 30 130 5040 y40 (3)构造直角三角形：在解决有关直径的问题 时，常常作直径所对的圆周角，构造直角三角 形求解. A 140 D30 150 20/ 160160 20 10 170 10 70 (4)构造相等的圆周角或圆心角需要的辅 助线。 -0980 0- 180- 8题答图 2.圆内有关角的计算或证明，一要正确应用圆周 角定理及其推论，把不同位置的角的数量关系 建立起来；二要正确应用圆心角、弦、弧之间的 关系定理，把弧、弦的相等关系转化到角的相 等关系上来；三要正确应用切线的性质定理， 已知切线，作出过切点的半径，构造直角。 9.26 [解析]如答图，连接0A.∵AB⊥CD,AB=10, ∴. AE=BE=5.设O0的半径为 x,则0C=0A=x, ∴OE=x-1.在Rt△AOE 中，根据勾股定理，得x2- (x-1)2=52,∴2x=26,即直径CD的长度是26寸. 第23讲 与圆有关的位置关系 E C D 基础集训 0 1.C 2.D 3.C 4. B B\ 5.(1)证明：方法一：∵AB是半圆0的直径， ∴∠ACB=90°.9题答图 ∵∠ABC=60°,∴∠BAD=30°%ACB=2∠AOB,∠BAC10.(1)证明：由圆周角定理得∠ 又∵∠D=60°,∴∠ABD=90°,∴ BD1OB 又∵点B是半径OB的外端点， ∴BD是半圆O的切线. 方法二：∵AB是半圆0的直径， =2∠BOC. ∵∠ACB=2∠BAC, ∴∠AOB=2∠BOC. ∴∠ACB=90,∠CAB+∠ABC=90°% 又∵∠D=∠ABC,∴∠CAB+∠D=90°, ∴∠ABD=90°,∴ BD⊥0B. 又∵点B是半径OB的外端点， ∴ BD是半圆0的切线. (2)解：如答图，过点0作半径OD⊥AB于点E,连接 DB,则∠DOB=2∠AOB,AE=BE. ∵∠AOB=2∠BOC, ∴∠DOB=∠BOC,∴ BD=BC C (2)解：如答图，连接OC 在Rt△ABC中， ∵AB=4.BC=、5. 0 C∴BE=2.DB=、5. A BE在Rt△BDE中， ∵∠ABC=60°,∴∠BAD=30°% ∵BC=3,∴. AB=2BC=6, A D∵∠DEB=90°, 0∴0A=0C=3, ∴∠ACO=∠BAD=30°, 10题答图 ∴DE=√BD2-BE2=1. 在Rt△BOE中，∵∠OEB=90°, ∴OB2=(OB-1)2+22, 5题答图 ∴∠AOC=120,:AC的长=12080×3=2m. D B —33— 见此图标日抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克 提分无忧 6.3√3 7.4m 为直径作圆，∴∠CDB=∠CAB(同弧所对的圆周角相 等).∵∠ABC=55°,∴∠CAB=90°-∠ABC=35°, ∴∠CDB=35°.微专题8 圆中常见辅助线的作法 1.2 2.7 cm或17 cm 3.C 5.A 4.10 5.C 6.B 微专题9 辅助圆问题 6.2√13-2 2 [解析]由折叠的性质，知AE=EF=2, ∴点F在以点E为圆心，2为半径的圆上，过点E作 EG⊥BC于点G,连接CE,如答图所示，当点F在线段 CE上时，FC最小，此时CF=CE-EF=√62+42-2 1.44 2.B [解析]∵AE⊥BE,∴点E在以 AB为直径的O0 上，如答图，连接CO交00于点E',当点E位于点 E' 位置时，线段CE 取得最小值。∵AB=4,∴.0A=OB= =2√13-2,即FC的最小值为2√13-2.当点F在 线段 EG上时，点F到线段BC的距离最短，为 EG-OE′=2.∵BC=6,:.0C= √BC2+OB2=√62+22= EF=2,即点F到线段BC的最短距离是2.2√10,∴CE′=0C-OE′=2√10-2. D EA D o E P B ℃ B ℃G 2题答图 6题答图 3.120° 4√3 [解析]如答图，连接BD,∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°,△ABD为等边三角形(有一个角 为60°的等腰三角形为等边三角形),∴AD=BD,∠A =∠BDF= 60°?? AE = DF,∴△ADE ≌△DBF, ∴∠ADE=∠DBF∵∠ADE+∠BDE=60°,∴∠BDE +∠DBF=60°,∴∠DGB=120°【定角】.作△BDG的 综合集训 1.B [解析]连接OC,如答图.∵直线CD与00相切 于点C,∴∠0CD=90°,∵∠ACD=50°,∴∠ACO= 90°-50°=40°.∵0C= 0A,.∠BAC=∠ACO=40° (提示：等边对等角),故选B. B 外接圆O0,连接OB,OD,0G,过点G作GH⊥BD于点 C 0 H,连接OH,则∠BOD=120°?? BD=AB=2√3【定 弦】,∴OD=OB=0G=2.∵GH≥0G-OH,∴当0,G, H三点共线时，GH取得最大值，此时 0G⊥BD,∠ODB =30°,: OH=20D=1,GH=0G - OH=1, SAmc大=BD·GH=2×2√3×1=√3. SAco=BD2=3J3 D A 1题答图 2. B 3.B [解析]由题意知，0是△ABC的外心，即△ABC三 边垂直平分线的交点，∵OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC, .DE=2Ac,∴D,E,F分别是AB,BC,AC的中点， 等边三角形的面积公式为S DF=-BC,EF=-AB,∴ DE+DF+EF=2(AC+ BC+AB).∵△ABC的周长为21,∴ DE+DF+EF==4e),⋯sck=Samck+Scm=-3+33 2×21=10.5.又∵DE+DF=6.5,: EF=4,故选B.=4√3,∴四边形BCDG面积的最大值为4√3. CC 4. AD D 5.40 [解析]∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,.∴. AB=FX A B0G √82+62=10.根据切线的性质，得到圆的半径等于 2AB·r=2AC·BC,:r=ACABCAB边上的高， A E B 3题答图 4题答图 4.A [解析]∵∠ADB=∠ACB=90°,∴A,B,C,D四点 共圆.如答图，取 AB的中点0,以点0为圆心，AB长 =8×6=3 —34— 见此图标母抖音微信扫码 对话中考复习助手 考点攻克提分无忧 ∵AD平分∠BAC,∴∠0AD=∠BAD, ∴∠ODA=∠BAD,:OD//AB, ∴∠ODC=∠B=90°,∴OD⊥BC于点D. 又∵OD为00的半径，∴ BC是00的切线. 6.6或2√30 [解析]如答图，连接OD,则 OD⊥BC.设 0A=OE=OD=r,则 OB=3+r.在Rt△ODB中，0D2 +BD2=OB2,即r2+(3√5)2=(3+r)2,解得r=6, ∴0A=OE=OD=6,:. OB=9,AB=15.易证△BOD∽ △BAC,紫=能-C,即5-35+cD-c cD A0 =2√5,AC= 10,∴. AD= √AC2+CD2=2√30.当 E F △ADP为等腰三角形时，可分以下两种情况讨论： ①若AP=AD,则AP=2√30;②若AP=DP,则点P与 点0重合，此时 AP=6.综上可知，当△ADP为等腰三 角形时，AP的长为6或2√30. C D B 10题答图 (2)解：连接OF,DE,如答图. ∵在Rt△ABD中，∠B=90°,tan∠ADB=√3, ∴∠ADB=60°,∠BAD=30°.A 0 ∵BD=5,∴. AD=2BD=10. ∵AE是00的直径，∴∠ADE=90°. ∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠BAD=30°. E B CD 在Rt△ADE中，AD=10,:AE=203,6题答图 X总结归纳-------- .0A= AB=13 对于此类与特殊三角形有关的问题，一定要 进行分类讨论.遇到“等腰三角形”时，需对腰进 行分类讨论；遇到“直角三角形”时，需对直角顶 点进行分类讨论 ∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD=60° ∵0A=OF,∴△AOF是等边三角形， ∴∠A0F=60°. ∵OD//AB,∴ S△ADr=S△AOF,7.解：(1)∵AE⊥CD于点E,∴∠AEC=90°, -m×(∴∠ACD=∠AEC+∠EAC=90°+25°=115°(依据：三角形外角的性质). (2)∵CD是00的切线，0C是O0的半径， ∴∠0CD=90°. 在Rt△OCD中， 1.12 12.233 微专题10 与圆有关的阴影部分面积的计算 ∵0C=OB=2,0D=OB+BD=3, ∴CD= √OD2-0C2=√5. ∵∠0CD=∠AEC=90°,∴0C//AE, CD=0A 5=3,依据：平行线分线段成比例),即 .CE=235 1.A [解析]过点B作BG⊥AC于 E D 点G,如答图.根据正六边形的性 质，易知∠CAB=∠EAF = 30°.F C G ∠BAF= 120°,∠EAC= 60°, A B.BG=2AB=1,:AC=2AG=2× 1题答图 √AB2-BG2=2×√22-12=2 √3,∴ S丽影 = 第24讲 与圆有关的计算 60×(360)2×==2m故选A基础集训 总结归纳⋯1.B 2.3 3.11m 4.3 5.C 扇形面积的求法 6.√15 7.18 8.23～9.(3m-3)cm2 当已知半径和圆心角度数时，利用公式 s=360计算；当已知弧长和半径时，利用公式S =2“计算 10.(1)证明：连接OD,如答图. ∵0A,OD是00的半径， ∴.0A=OD,∴∠0AD=∠ODA. —35—