第17讲 相似三角形-2025年中考真题分类卷数学

如图，过点A作AFLED于点F,EF=号ED=2, 11.解：(1)①CE十CD=CA.理由如下： :△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴.AF=√AE-EF=√-2-23， ∴AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=6O°， ÷Sam=号ED·AF=7×4X23=45. ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE. (AB-AC. 6.证明：，△ABC为等边三角形， 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, '.∠ABD=∠C=60°，AB=BC AD-AE. (AB=BC, ,.△ABD≌△ACE(SAS),.CE=BD 在△ABD和△BCE中，∠ABD=∠C, .BD+CD=BC,..CE+CD-CA. BD-CE. ②CA十CD=CE.理由如下： ,.△ABD≌△BCE(SAS),,,AD=BE ,△ABC和△ADE都是等边三角形， 7.B8.B ∴.AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=6O, 9.解：如图，△ABC即为所求作的三角形.（答案不唯一） '.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, '.∠BAD=∠CAE AB=AC, 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, AD=AE. ∴.△ABD≌△ACE(SAS),.CE=BD .'CB+CD=BD,..CA+CD=CE. D (2)过点E作EH∥AB交BC于点H,则△EHC为等边 10.解：(1)如图，点0即为所求 三角形. ①当点D在H左侧时，如图1， ,'ED=EF,∠DEH=∠FEC,EH=EC, ,∴.△EDH≌△EFC(SAS), ∴.∠ECF=∠EHD=120°， 此时△CEF不可能为直角三角形 ②当点D在H右侧，且在线段CH上时，如 (2)如图，点B、点M即为所求 图2，同理，可得△EDH≌△EFC(SAS, 图 11.B12.6 '.∠FCE=∠EHD=6O 综合集训 ∠FEC=∠DEH<∠HEC-60°， 1.C2.C3.A4.C5.100 此时只有∠EFC有可能为90°， 6.DE=EF或AD=CF(答案不唯一) 当∠EFC=90时，∠EDH=90°， 7.(1,4)8.2 .ED⊥CH 9.(1)证明：在△ABC和△ADE中， CH=CE=23, (BC=DE, 图2 ∠B=∠D,,'.△ABC≌△ADE(SAS) CD-CH-/3. AB-AD. 又AB=6,∴，BD=6-√3. (2)解：由(1)，得△ABC≌△ADE, ③当点D在H右侧，且在HC延长线上时，如图3，此时 ∴.AC=AE,∠BAC=∠DAE=60°， 只有∠CEF=90°， ∠AEC=∠ACE. :∠DEF=60°，∴∠CED=30° :∠AEC+∠ACE-2∠ACE=180°-∠DAE=120°， :∠ECH=60, ,.∠ACE=60° .∠EDC=∠CED=30°， 10.感悟： ∴.CD=CE=2/3,∴.BD=6+23. 证明：，AB=AE,∠B=∠E 综上，当△CEF为直角三角形时，BD (AB-AE, 图 在△ABC和△AED中，∠B=∠E, 的长为6-√3或6+2√3. BC-ED. 第17讲 相似三角形 .△ABC≌△AED(SAS),∴.∠BAC=∠EAD. 应用： 考点过关 解：(1)如图1，点D,E即为所求. (2)如图2，点D,E即为所求. 1A2Aa是4D5安6中 7.D8.B 9.∠A=∠C或∠B=∠D或ABCD等（答案不唯一） 10号1.9 12.证明：，BE=3,EC=6,CF=2,∴.BC=3十6=9. :四边形ABCD是正方形， ,.AB=BC=9,∠B=∠C=90° 图2 20 0--28器- ②当点P在点B右侧时，如图3，过点P作PG⊥BC交 CB延长线于点G, 提器. mLcp-e号， .△ABE∽△ECF tan∠PBG=tan∠ABC,即 13.C PGAC 14.解：(1)：线段BC绕点B顺时针旋转90得到线段BD, BGAB =3, AB1-- .BC=BD,∠CBD=90°， 剩下思路与第一种情况方法一 ./BCA=∠DBE=90°-∠ABC 图3 ∠A=∠E=90°， 致，求得AP-号 ∴.△ABC≌△EDB(AAS),.AB=DE. 答案：AB=DE 上，P的长度为头 (2),线段BC绕点B顺时针旋转90得到线段BD, 综合集训 .BC=BD,∠CBD=90°， 1.D2.D3.A4.C5.D ∴.∠BCA=∠DBE=90°-∠ABC :∠A=∠E=90°，△ABC≌△EDB(AAS), 6.W5-1D7.128209.310.-5+3网 3 .DE=AB.BE=AC. 11.证明：(1)，四边形ABCD为矩形， AB=2,AC=6,.DE=2,BE=6, ·∠BAD=∠ADE=90°，AB=DC, ..AE=AB+BE-8. ∴.∠ABD+∠ADB=90 ∠DEB+∠A=180°，.DE∥AC,∴.△DEFD△CAF, ,AE⊥BD,∴.∠DAE+∠ADB=90°，∠ABD=∠DAE, -器即哈8∴F=4 △ADEO△BAD铝-器AD=DE,A 1 ∴BF=BE+EF=10,∴Sam=2BF·DE=10. ,AB=DC,∴AD2=DE·DC. (2)如图，连接AC,交BD于点O, (3)如图1，过点N作NM⊥AE ,四边形ABCD为矩形，∠ADE=90°， 于点M, ∴∠DAE+∠AED=90. 由△BMNO△EAC,得 :AE⊥BD,∴.∠DAE+∠ADB=90°， ∴.∠ADB=∠AED. 贸 8 :∠FEC=∠AED,·∠ADO=∠FEC. 图 ,四边形ABCD为矩形， ∴EM=号MN. 5-MN 0A=0D=2BD, 由△BMN△BED,得瓷-能，即 6 EF-CF-2BD, 解得AMN=受 .OA=OD-EF=CF. '.∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE, 由△BN△CB,0答-是 ∴.∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE. I∠ODA=∠FEC, 答案品 在△ODA和△FEC中，∠OAD=∠FCE, OD=FE. (4)①当点P在点B左侧时，如图2，过点P作PQ⊥BC ∴△ODA2△FEC(AAS),∴.CE=AD. 于点Q, 12.(1)证明：如图，连接0C, :tan∠BCP= PQ :1是⊙0的切线，OC⊥l. 3 AD⊥I,∴.OC∥AD, ∠CAD=∠ACO=∠CAB. :∠D=∠ACB=90°， P0-号c0,PQ=3Ba ,.△ABCc∽△ACD. 图2 (2)解：，AC=5,CD=4,∠ADC=90°， 设BQ=2a,则PQ=6a, '.AD=√AC-CD=3. CQ=9a, :.BC=BQ+CQ=11a. :△MBC△Ac0S号 :BC=√AB2+AC=2√/10=11a, a=2v0 AB=5O0的半径为要 11 13.(1)证明：∠A+∠AGA'=90°，∠A'+∠AGA'=90°， :BP=√BQ+PQ=2而a=, 40 ∠A=∠A' AD=A'D,∠ADE=∠A'DG=90, 18 :AP=BP-AB- ∴.△ADE2△A'DG(ASA). (2)证明：：∠AFG=∠ACB=90°，∠FAG=∠CAB, 21 ∴.△AFG∽△ACB, ,tan∠ACB=l,∴.CD=AD=6, 治船侣船 ,.BC=BD+CD=8十6=14. ∠FAC=∠GAB,∴△FAC∽△GAB, (2②：AE是BC边上的中线，CE-2BC=7, 福器AFGB=AG,FC .DE=CE-CD=7-6=1. :AD⊥BC,∴AE=√AD2+DE=√62+1下=√37， （③)解：mA-焉瓷-分AC=8C=4 ∴sinDAE-AE==. .S△McB=16. 37 设DE-=DG=x,则AD=A'D=2x,AE=A'G=√5x, 11.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ∴.A'E=A'D-DE-2x-x=x,∴SAe=SAA=x2 ..AB=CD,AB//CD, '∠BAE=∠DCF. aEn怎嘉号 在△ABE和△CDF中， (AB-CD. S△4E1S△Ao-115, ∠BAE=∠DCF, 4 4 六S助形0元=5Sa4c=行x2. AE=CF. ∴.△ABE≌△CDF(SAS) :S△ACm=SAAE十S边影OE,A'G平分四边形DCBE的 面积，∴.S△ACB=S△ADE十2S网边形DE, (②解：品-3CH-3BH 6-+号2- :CH⊥AB于点H,∠H=90°， ∴.BC=BH2+CH 西46丽 4g=-4(含. :BC=√10， 13 ∴.（√10）2=BH+(3BH)2, .AD=865 13 解得BH=1,.CH=3. 第18讲 锐角三角函数 在RtAACH中，∠CMB-器-是.AH=4. .AB=AH-BH=4-1=3, 考点过关 ∴.SaAD=AB·CH=3X3=9. 1C2CD4号5A6B52 12.(1)证明：如图1，过点A作AD⊥BC 4 8.B9.C 于点D.在Rt△ABD中，AD=csinB, 1a.cn.D2号1a(号o) 在Rt△ACD中，AD=bsinC, 14.解：∠C=90°，AB=5,BC=3, 'csinB=bsinC,sinBsinc b a D (2)解：如图2，过点A作AE⊥BC于点 图1 AC=√AB-BC=√5-3=4，simA=A=亏 BC 3 E.∠BAC=67°，∠B=53°，.∠C 故AC的长为4，sA的值为号 60°， 在Rt△ACE中，AE=AC·sin60°= 15.(1)证明：，点D是AC的中点，AD=CD.,DF=DE, .四边形AECF是平行四边形. s0/5(m), 又，DE⊥AC,平行四边形AECF是菱形. BC B53o 8解瓷-CE=BE 又品-mc即g器-号 ∴BC=90m, 图2 设BE=a,则CE=4a, 1 ",四边形AECF是菱形， S6r=2X90X40W3-1800/3(m). ∴.AE=CE=4a,AECF, .∠BEA=∠BCF 第19讲 三角函数的实际应用 :∠ABC=90, 考点过关 ∴AB=√AE-BE=V(4a)2-a=√15a, 1.D CE-mEA-是-e-压， 2.解：(1)如图1，过点C作CE⊥AD,垂 a 足为E, 答案：√5 由题意，得AB=CE=10cm,BC= AE=20 cm, 图1 综合集训 .AD=50 cm, 1.C2.A3.A4.C5.B6.A ∴.ED=AD-AE=50-20=30(cm. 7号8专盟 在Rt△CED中，CD=√CE+DE=√/10+30= 10.解：(1)AD⊥BC,AB=10,AD=6, 10√/1o(cm), .BD=√/AB-AD=√10-62=8. .可伸缩支撑杆CD的长度为10√10cm 22晚转0得到△ABN,在AM,AN上分期藏取 在△AC中，∠A=0,将线段C烧点B 第17讲 相似三角形 AE,AF,使AE=AF=BC,查擅EF,交对角 限时针能转90得到线段D,作DE⊥AB 线BD于点G,连接AG并延长交C于点H, 交AB的延长线于点E 考点过关 考点三相似三角形的判定与性质 若M ,CH一2，期AG的长为 )【表赛第知】如图？，通过观察，线段A因 角度1A字型 考点一比例线段及比例的有关性质 与DE的数量关系是 T.(024·潮需)图，在△ABC中，点D,E分别 12(2024+广州)如图，点.E,F分别在正方形 (?)【间题解决】虹图3，连接CD并延长交 1.2028,金)若号-名则h 为边AB,AC的中点.下列结论中，错误的是 ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6,CF AB韵延长钱于点F,若AB-2,AC-6,求 2.求证，△ABEu△ECF △D下的面积： A.6 C.1 A.DEBC B△ADE△ABC (3【类比近移】在(2)的条件下，速援CE交 2,(2023,古林)如图，在△AC中，点D在边AB C.BC-2DE 上，过点D作DEBC交AC于点E,若AD BD于点N,则 2,D-.则怎的值经 (4【拓腰延种】在(2)的条件下，在直线AB 上找点P,使m乙BCP-景：请直接写出线 A. C. D.i 霞AP的长度 第8题图 8.(2024·河害)如图，在口ABCD中，对角线AC, HD相交于点O,点E为的中点，EF∥MB 交EC于点F.若AB=4,周EF的长为《》 第圈图 BI 3(2023·北享)如图，直线AD,HC交于点O, AB/EF /CD,若A0=2,OF=1.FD=2,则 c D.2 的值为 BE 角度28字型 考点二相似的基本性质 .(2024·青海》如图，AC和BD相交干友O,请 然帮加一个条件 ,使得△AO出 角度4一线三等角型 4.(2024·重度A)若两个相似三角形的相氢比是 △C0D. 13,(2023·东密)如图，△AC为等边三角彩，点 133,测这两个相似三角形的面机比是( D,E分在边EBC,AB上，∠ADE-0若 A.1·3 B.14 C.1+6 D.1+9 8D=4DC,DE=2.4,期AD的长为《3 5.(2024·云南1如图，AB与CD交于点O,且AC8 曲品品品 C 10.(2024·系山)如图，在期形ACD中，AD∥ C,对角线AC和BD交于点0老= A.1.8B2.4 C.3 D.3.2 1 14.(2024·齐齐◆尔)综合与实践 第5 第6题图 角度3手拉手型 如图1，这个图紧是a世记视 国汉代的超爽在注解《周牌算 因黄实 6,(2024·成都》如图，在R△AkC中，∠C=, 11.(2023+脑山》如图，在正 D是△AB的一条角平分线，E为AD的中点， 方形ACD中，点M为 经时给出的，人们称它为“慰 连接BE若E=C,CD=2,南D CD边上一点，连接AM, 爽弦图”，受这想用的启发，数 将△ADM经点A顺时针 学兴经小组建立了“一线三直角慎国”如图2， 41 综合集训 4.(2024·已中)如周，是用12个相红的直角三角 孔O在屏幂（经直放量）上成檬AB,设A日一12.(2024·丝城)如图，点C在以AB为直轻的 形组成的图案.若04-1.则OG-《) 3骑cmAB'-24m,小孔O到AB的距离为 ⊙0上，过点C作⊙O的切线1，过应A作 一，惑择驱 1255 125 3知m,喇小孔O到AB的匝离为 AD⊥l,垂是为D,连接AC,C L.(2023·常州)小明按翻以下步骤面线度AB的 1》求E:△ABCOAACD: 已等分点： 4 n (2)若4C-5,CD-4,米回0的率径 C.2 黄法 医形 (们》以A为图点画一条射规： 4州 第图 ()用圆规在射线上依次机眼 3条等长战段AC,CD,DE,莲 9,(2024·重庆A)如图，在△ABC申，廷长AC型 接BB, 点D,使CD=CA,过点D作DECB,且 过点C,D什例西BE的平 DE-DC,连接AE交BC于点P.若∠CAB 程战，交线授B于点M,N ∠CPA,CF=1,周BF- 第4则图 第5碧周 M,N就是线夏AB的三率 5.(024·或海)如图，在☐ABCD中，对角线AC, 1.(02的·无得》如图，在 分感。 BD交于点O,点B在C上，点F在CD上，连 R△ABC中，∠AC-. AB=1,风C=3,点D在C 这一属图过程体现的数学依据是 接AE,AF,EF,EF交AC于点G,下列结论错 上，⊥AD交C于点E,ED的随长线与A日 A.两直线平行，闻位角相等 误的是 的延长线相交于点F,且△ABC△FBD,则 13.(023·立用)轴图，在R4△AC中， 品，两条平行线之周的距离处处相等 人得侣周球/BD BD- ∠AB=9.AC>拟C.点D在边AC上，将 C.番直于同一条直线的两条直线平行 三，解答题 线段DA绕点D按顺时针方向旋转0得到 B若AE⊥C,AF⊥CD,AE=AF,则EFBD D两条直线被一组平行线所截，所得的对点线 C,若EFBD,CE=CF.则∠EAC=∠FAC 11.(2024·上海》如周，在矩形ABCD中，E为边 DA',线段DA'交AB于点E,作AF⊥AB 段成比例 CD上一点，且AE⊥BD. 于点P,与线段AC交乎点G,连接PC,G沿， D.AB-AD.AE-AF,EF/BD 2.(2如24·建云港)下列网格中各个小正方形的边 (1)求证：AD=DE·DC (1)求证，△ADEa△ADG: 二，璃空题 长均为1，阴影部分图形分群记作甲.乙、丙、丁， (2求证，AF·GB-AG·FC: 最.(2024·山昏)置金分别是汉字结构量摇本的规 (2)F为线度AE延长线上一点，且清足EF 其中是相触彩修为 律，倩助如图的正方形习字格书写的汉字·香” CF=D,求证：CE=AD, a著AC-8,A-多当AG平分四边形 庄隐重.舒暖美观，已知一条分糕线的编点 DCBE的面积时，来AD的长 A,B分别在习字格的边MN,PQ上，且AB NP,“晋”字的笔国“，”的位置在AB的黄金分 相点C处%-后者NP-2m期C ■■■■ 的长为 cm〔结果保m根号) A.甲和乙B.乙和TC.甲和丙D.甲和丁 3.(2023·南京)1图，不等臂 跷晓版AH的一端A童到 地希时，另一端B到泡面示 的高度为60cm:当A8韵 T.(204·正中》如图，ABCD,AD与BC相交 螭B醒到地面时，另·螭A到地面的高度为 于点O,且△AOB与△DOC的面积比是】34， 90em,则晓晓版AB的支撑点O到地面的高度 若A日=6，国C力的长为 OH是 盏，(2024·场斜)物理保上学过小孔成橡的原理， 且40em 它是一种利用光的直线传插特性实现因象授影 D.45m 的方法，如周，题绕韵蜻组〔竖直放置)A日经小