第12讲 二次函数的应用-2025年中考真题分类卷数学

角度3几例图形(面积)型 第12讲 二次函数的应用 考点三 二次函数与几何图形的综合应用 5.(2024·责)几(1)班劳动实践基地内有一块 面积足够大的平整空地,地上两段围墙AB上 角度1 段问题 角度2 科润,费用值问题 考点过关 CD于点O(如图)其中AB上的0段墙空 3.(2022·观)食品零售 7.(203·家节选)如图,在平面直角生标系 缺,同学们测得AE-6.4m,0E-1.4m.(- 听新上架一数冷铁产品, 中,已知二次函数y一十r十的图象与 考点一 二次函数的实际应用 6m.0C-5m.0D-3n.长买来过切断的图 r拍交于点A(一2.0)和点B(6.0),与-物交 每个成本为8元,在销售过 角度1 物线型问 栏0m:准各科用已有现:现出一块对图的 于点C(0.).点D为线段DC上的一点. 提中,提天的顾量(个 tr. 1(202·广西)如图.共 形地,夜菜地量大面积是 (1)求二次函数的表达式, 与殖帮价格1(元/个)的关 社风学择摇实心球,出 如图所示,10元1<20时,其图象最线段 ()如图,求八A0周长的最小值. 手(点P处)的高度 71 oP是-m,出手后实心沿一段抛物线运行。 AB.该食品零店每天精售这款冷饮产品的是 大利润为 元(润一总销曹一总 成本. 到达最高点时,距离是n,高度是1n、著 6.(20·北)学校要建一个短形走因,其中一边 4.(2024·南)2024年“五一”仅期期间:阅中古 客心球荡地点为M.刻0一 墙,外二边用富览用段,已指长12田:等 城景区某特产店随A.B两参持产.A类特产 2.(2024·近西)如图,一小球从斜0点以一定 长80.设率直干墙的边A长为上n.平行干境 进备0元/得,B数将产透价60元/件.已知数 的方向弹出,小球的飞行路线可以用二次涌多 的边死C为ym现成的斯形面为5m. 实1件A类持产和1件B数特产活132元,题 y+r二0刻,境可以用一次数 (1是y与x.8与文的关式; 买3外A类持产和5件B类特产雪540元 -1刻润,小飞行的水平距离2(米)与小 (2)揭成的矩形花照到礼能否为750用,若 (1)求A类特产和B类特产抖件的售价各是多 出:的值: 少完 球飞行的高度v(米)的变化规提知表: (3)因成的矩形花因祖是否存在量大填?老 (2)A类特产供情充足,按短价指售母天可售出 存在,出这个最大值,并求出此时一的值 # 6件,市场调查反,若每降检1元,每天可多 次10件(每件警价不低于进价).设每件A类 (①- ,辞三 特产降价;元,每天的抽售量为一件,求y与r ②小球的落点是A,求点A的生标: 的函数关系式,并写出自变量;的取的蔽服: (2)小球飞行高度(来)与行时阔((秒)满是 (3)在(2)的条件下,由于类持产提货紧条,每 关率:--r+可. 无只能进100作目能按原价传完.疫该店备 ①小球飞行的最大高度为 甫: 天这两类特产的总利润为元,求一与。 ②求:的. 的函数差系式,并求出母作A类特产题修多少 无时总利润最大,最大利润是多少元?(利 谓一帮价一进价 0 28 角度2 面积问题 角度3 角度问题 综合集训 二.填空题 8(224·山市)如用,物线y一-士 4.(2024·安)如图,小明 .(2024·是头选)如图,在平面直海坐标系中. x+与:输交干点A(一3.0)和点B,与y 弛物线y二-2+&十:与:相交干 一.选题 的父刚用长为60来的 交于点C(0.3),点D在抛物线上. A(1.0).B两点(点A在点B左侧).题点为 1.(2024·天津)从地面整直向上整出一小球,小 栩枯,再借助房屋的外墙 (1)求该抛物线的解析式: M(2..连接AM. 球的高度入(单位:四)与小球的运动时到(单 (2)当点D在第二象限内,且△ACD的直积为 (1)求该抛物线的函数表达式: 用或一个矩形的笔区,已知应展外皆长份来,剧 ,之回的关式是305(0元1 可随成的园的量大薪积是 平方来. 3时,求点D游标. (2)如图:若C是:勉正半输上一点:连接AC. 有下列结论。 5.(2024·甘肃)如图1为一汽车停车,耳 CM.当点C的标为(,)时,求证; ①小从抛出到落地需要6s: 的横截面可以看作是驰物线的一部分,如图? ②小球运动中的高度可以是30m. 乙ACM-乙BAM. 是刻的整直高度y(单位:m)与匝离的车 小球运动2时的高度小于运动5;时的高度 ### 支社AO的距离(单位:m)们清足 其中,正确结论的个数是 ) 数关系y--002+03+1.6的图象,点 A.0 1.1 C: D.3 8(6.2.68)在图象上.若一辆篇式货车需在停 2.(2022·贡)九(2)班计划在劳动实践基地内 车下用:车截在看作长CD一4m.弃 种精蔬来,张长买回来8米长的用栏,准用成 DE-1.8m的矩形,可判定货车 一边靠(墙足长)的恶国,为了让用面根 尽可能大,同学们提出了图成矩形、等腰三角形 完全停到车相内(填”佳”或”不能”). (边章墙).回形这三方案,最佳方案是 #_ 可 三.答题 : 方富。 : A.方案1 B./方案! 6.(2024·严)广东省全力实“百县千镇万村 C方案3 高质量发展工程”,2027年农产品进出口总 D.方案1或方案? +与 全国首位,其中答枝鲜果运情政美,某果商以效 3.(2024·阳)已知二次满数, 跑2万元的价格收购早熟嘉枝,填注国外,若拨 y--hbi的图象均过点A(4.0)和坐标原点 耳确5互元次,平的轻无可传出100,市场 调查反映:如果吃降价了万元,高天捐量相 0.这两个涵数在0号;气4时形成的封风围 应增如10吨,该果商如何定价才能使每天的”科 如图所示,P为线段O3的中点,过点P且与 润”或“销售收人”最大?请求出其最大值,(题 之不重合的直线与封闭图象交干B,C两点. 中“元”为人民币) -: 塔出下结论: PB-PC: ②以0.A.B.C为项点的四边 思可以为正方形: ④若点B的嘴生标为1.点Q在y上(Q.B. C三点不共线),删入BCQ罔长的最小值为 /1. 其中,所有正确结论的个数是 20 A.1 B C D.4 7.(2024·映否1一条河上横跨着一座案修社观的 &.(2024·)如图,抛物线y一十r十与 .(2024·)图,是某公因 (3)为清陷安全隐,公回计划对水滑道进 暴索析,桥梁的滋索1.:与案1:均呈抛物线 “交于A.B两点,与y输交于点C.0C 的一种水上疑乐项目,数学兴 加固,如图2,水滑道已经有两条加因朋架, 形,格塔A0与桥塔C均季直于桥面:如图序 0A.AB一4.对称轴为直线七:一一上.将 默小组对该项目中的数学问 务是水滑道配地面1米的点M处琴直文撞 示,以0为原点:以直线F为:始,以板塔 线绕点0转10后得环新抛物线拉 随游行了保人研究,下面是 用要M:另一条是点A&与点B之许接 A0所在直线为,输,建立平而直角坐标系. 物线与y轴交于点D,顶点为E,对称轴为 小细绘制的水滑道截面图,如 摸的相架的,观在置要在水滑淆下古加固 已铅:续索7:所在抛物线与缆素3.所在抛物 宜线. 图1.人从点A处沿水道下带至点B处跨空 多支掉架,为了要观,要求这条钢加与B贴 线关干y对称,候塔A0与桥塔BC之词的路 (1)分题求抛物线y,和:的表达式; 飞出后落入水泡,以地面所在的永平线为:转,过 平行,且与水清道有唯一公共点,一缺因定在 离CC-100m-A0-BC-17m,1:均是 (2)图1.点F的坐标为(-6.0),24在直 空点目与1特看直的直线为y临.0为坐标原 果MN上,另一因定在地面上.请你计算 点P列FF的距离PD-2m(桥塔的粗细 线7.上,过点&作MN:与直线号:交干点 点,建立平面直角坐标系,性们起水滑道和人 出位条相果的长度(结果保皆批号) 忽略本计) N.接FM.DN,求FM+MN+DN的量 飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一分 (1)求流索1,所在舱物线的函数表达式; 小面: 拟据测量和调查得到的数掘和信息,设计了以下三 (2)点E在L.上.FFIFF.且CF (33如图2.点17的是标为(0.一2).点在 #_ 个同题:请保解决 2.6m.FOc0D.求F0的长 地物线y:上,试探究是吾存在点’,提 r ## PEH-2乙DE若存在,请直接写出断 符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明 理由. 1 ## ### (1)如图1.点8与地谊的出离为2来,措道是 点C与地面的距离为一米,点C点B的本 析式为: 平距为3案,则水清道AC显所在抛指得的量 阁1 用: (2)如图1.空点B与对面水纯边缘的水平路 离OE一12来,人空后的落点D与水泡边 的安全矩离DE不少于3来,若某人空后的是 点B成中心对称. 检形成的指物线 BD恰好与抛物线ACB关干 ①请直写出此人展空后的最大高度和弛物线 BD的幅析式: 此人腾空飞出后的落点D是否在安全范服 内?请说明理由(水面与勉之问的高度差怒 略不计): 30 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 函数阶段测评 三、解答题(本大理共6小题,共72分,解客点写 11.(2024·上)若正比例函数y一七的图象经 出必要的文字说明、证明过程或演茸步骗) 过点(7,一13),则y的值%:的增大面 时间,120分满分,120分 17.(10全)(20·元京)在平面直角标0 _.(选填“增大”或“减小” 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 7.(204·广元)如用①:在△A.乙ACB 中,函数,一七+(元0)的图象经过点 12.(2021·刻)在一定条件下,乐器中弦振动的 明'.点P是点A出发清A→C→B1m/ 1.(2024·广元)单项式一y与单题式 A0:1和》(1.?):与过点(0.4且行! 率/与弦长/成反比候关系,时/为骨数。 2.'的和仍是一个单项式,则在平面直角坐 的度匀遭运动至点B,是点P运动时. 上轴的直线交于点C. 标系中点(在 △ABP的国积y(cm)随时到c()变化的涵数 ) &去0).若某乐器的弦长/为08来,探动幅本 (1)求该函数的解析式及点C的坐标; A.第一单限 B.节二象限 酌象,断该三角形的料边A的长为 f) (21二3时,对于;的母一个道,函数 D.第象限 为200,的为 wr C.第三象阳 13.(2024·扬州)如图,已知一次函数-+b -十:的大于诵数y--一0的值 2.(2024·广西)激元测距仅1.发出的充束以 (-0)的图象分到与&.y交于A.8两点. 3X0m的速度射向日标M./*后测 若0A-2.0B-1.则关干x的方程十5-0 且小于4.直接写出x的植 1.收到M反射区的激束,露L到M的距离 的解为_ B.7 km与时间1,的关系式为 ) A5 C. D2厚 ## ## A_xo Bd=3x10 &.(204·乐)已知二次函数”一(-1 .-1)列,一一1时,函数取得最大值; C.-zx3xto D.-3x10 r-1时,涵数取得最小值,嗟1的取植范阻是 第13趣 3.(2024·)一次译数y--1(0的 第1慧图 A.2 B1 涵数y陪;的增大而减小,它的图象不经过 14.(202t·元)知y-5:与,-( C. 的象限是 ) D.2 图象交于点A(2,m),点B为r相上一点,将 A.第一单限 .(2024·)如图,在平面直角 B.第二象限 I(10)(20·河)图,形ABCD的四 △OAB沿OA翻折,徒点B恰好落在y” C.第三象限 D.第象限 标系中,直线。一△r(0) 个项点都在格点(网格线的交点)上,对角线 (20·)点M.y)点在 比例函数y一-20(美 为常数)的图象上,若 (>0)上点C是,则点8生标为_. 15(2024·州)二次数-++( 点.AC]r于点C.连接 0的图象是过点A. 0的图象过点A(0.w).B(1.-w).C(2.) 交y勃于点D,结合图象判断下 (1)求这个反比例涵数的表达式 0y0的大小关为 ) D(3.-m).其中m,i为常数,期-的值 列结论:①点A与点B关于原点对称;②点D是 (2)请先描出这个反比例函数图象上不间干 A.yy0 By0 &C的中点;③在y--的愿象上任取点P(△ 点A的三个格点,再确出反比侧函数的图象 C.o D. yo% (3)将短彩ABCD病左平格,当点E落在这 5.(2023·映否)在同一平酒直角坐标系中,涌数 16.(2024·东)加图,在平直 y)和点Q)如果yy那r 个反比例函数的图象上时,平移的距离 -r程y一十a(为常数.o的图象可 角至标系中,正方形 ④-其中正确结论的个数是 OWNP现点M的坐标为(3。 1 能是 ##4# B.2 C 0.OAB是等边三角是,点 A.1 D.A 1.(20·云)已知物线y一十十 B标是(10)△OA8在正 A (是数,0~0)的顶点为(1.2).小爆同 学得出以下结论,①aa<0;②当r>1时. 方形OMNP内部紧正方形OMNP的边(方 y随:的增大面减小,③著ar+&+c-0 为①→M→N→P→①→M(→.-)无滑 滚动,第一次滚动后,点A的对应点记为A 6.(202(·包头)如图,在平面直角 -④物线y-+? 01134567810 一个数为3.则-- 标系中,四边形OAAC各顶 A.的坐标是(2.0);第二次滚功后,A.的对应 点的坐标分累是0(0,0),A(1, 是由物线-ar十b十向左平移1个单 C& 已为A-A.韵标是(2.0):第三次流动后,A 21.B(3,3).C(5,0).因边形0ABC的面积为 位,再向下平移2个单位得到的,其中一定正 确的是 ) 31 A.11 D A.①② B.②③ C. D.②④ B11 C.10 下去..-.则A.的坐是 21.(31)(2024·成都)如图,在平面直角坐标系 1.(12分)(20·各)氛航无人表因 2.(12分)(20·此过)1世纪中时.国发 22.1412024·家州)如图1.二次画数y- 队进行无人机表演训练,甲无人机以a来/移 了一种新式火箭“火龙出水”,它是二级火箭的 x0y中,直线y---+x与直线y-r交 十十r的图象C.与开口向下的二次涵 的度从地面起飞,乙无人机从距离地面 始祖,火脂第一级运行路径形多抛物线,当火 于点A(2.),与:交于点B(,0),点C在 数图象C:均过点A(-1,0),B(2,0) 20米高的接顶起飞,甲,乙两果无人机时匀 帝运行一定水平距离时,自汤引发火着第二 段比函数y-(0<0)图象上。 (1)求图象C.对应的函数表达式: 上升,6秒时甲无人机摊达训练计别指定的 级,火第二沿直线运行 (2)若图象C.过点C(0.6).点P位于第一象 (1)求b“的值: 高度停止上升开始表演,完成表演动作后,拨 某稿技小阻运用信息指 限:且在图象C 上:直线!过点P且与;短 原速续飞行上升,当甲、乙无人杭按照训 术模拉火箭运行过程 (2)若O,A.B.C为现点的因这形为平行细边 平行,与图象C.的务一个交点为Q(Q在P 计准时到达距离地面的高度为96来时,进 如图,以发射点为愿点。 形,求点C的坚标和的值; 左慨).直线/与图象C.的交点为M.N(N 行了时长为!秒的联合表演,表演完成后以相 (3过A.C面点的直线与:负半输交干点 地线为r输,看直干地面的直线为y轴,建 在M左例).当PQ-MP+QN时,求点P 同的遮度同时返回地面,甲,乙两无人机所 D.总F与点D苦于y较对整,若有且只有 立平面直角生标系,分别得到抛物线y一 的标: 在的位置距离地面的高度(来)与无人规飞行 点C,使得八A》与八AF想:求的角 r和直线y” +&其中,5著远 (3)如图2.D.E分别为二次函数图象C.C 的时间(秒)之间的函数关系如图所示,请结 ### # 的顾点,连接AD,过点A作AF AD.交图 合象解答下列问题: 行的水平距离为Dkm时,自动引发火箭的第 象C。于点F,接EF,当FF/AD时,求图 米/= 善: 二峻。 (1u 象C。对应的涵数表达式. (23求线段MN所在直线的涌数解析式; (1)若火第二级的引发点的高度为3.6km. ### (3)两禁无人机表演泪练到多少秒时,它们斑 ①直接写出ab的。 ②火清在远行过程中,有两个位毁的高度比火 离地到的高度差为12来?(直接写出答案 可) 运行的量高点纸1.35k,求这两个位差之 .0{ 间的距离: (2)直换写出:满足什么条件时,火答落地点 图1 与发射点的水平距富超过15m. 图。 . (次第二提 047 的司发 (炮平)(点 32又C0=2..n=2C00=4. 由m+m一2=4，得m1=-3,m=2(舍去). 1.即-2b<0,有1+6+--品解得6=号 4 点P的坐标为（一3,4）. (舍去)或b= 综合集训 2 1.A2.A3.A4.A5.B6.C7.48.49.(4,1) 综上所述山的值为一2或一2 10.解：(1)把A(-2,0),B(1,0)代入y=-x+bx十c,得 仁仁弘十c0解得亿，· 第12讲 二次函数的应用 -1+b+c=0. 1c=2. (2)由(1)知，二次函数解析式为y=一x2一x十2， 考点过关 设点P坐标为(m,一m一m十2)， ,△PAB的面积为6，AB=1-(-2)=3, 1 2.解：(1)①根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高 SAPM-2AB.Iyp1-2x3X1-m-m+21-6, 度y(米)的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为(4,8)，则 .m°+m-2=4,即m2+n一2=4或m2+m一2= 一4，解得m=一3或m=2, 2=4 解得0=一2 .P(-3,-4)或(2，-4). -b2 =8. b=4. 11.解：(1)①a=-4时，y=x2+2ax十a-3=x2-8r-7. ②当x=一2 1 =4时，y取得最小值为16-32-7=-23. 六二次函数解析式为y一2十红 (2)合理，理由： 15 当y=2时，2十x一2解得r3或x=5(舍去 :1>0函数有最小值. b m=3 当x=一2 =一a时，y取得最小值。 1 故甲同学的说法合理。 当x=6时n=y=一2X6+4X6=6, (3)正确. 答案：36 当x=-a时，y=x2+2a.x+a-3=一a2+a-3, 1 =-2x+4, 15 r= 2 :-1<0,y有最大值. ②联立 解得 1 x=0(舍去)或 v=0 15 当a-时y的最大值为-+号-3=一具 8 12.解：(1)：y=x2+br十c(b<0)与x轴交点的坐标分别为 点A的坐标是（宁，营》 (x1,0),(x,0),且x1r2,∴.x1十x1=一b,且抛物线开 (2)①由题干可知小球飞行的最大高度为8米 口向上，，y=x+hx十c十1(<0)与x轴交点的坐标 答案：8 分别为(.x3,0),(x1,0),且<x1,即y=x2十r十(b<0)向 上平移1个单位，x<x1Cx<x,且x十x=一b, ①十x2=x1十x4:xg-x1>x4-x3,.x2-x>x1 解得v=4√10（负值舍去）. xa,即②x1一x1<x2一x1:③x2十x1>x1十x 3.121 答案：①=②<③> 4.解：(1)设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的 (2)x1=1,2<x1<3, 售价为(132-x)元. .3r1十x2<4,3-b<4, .3.x+5(132-x)=540.x=60. ∴.-4<b<-3. ∴.每件B类特产的售价是132-60=72（元/件）. (3)抛物线y=x2+:+c(6<0)顶点坐标为（一2， 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为 72元/件. 上产)对称销为直线=合>0 (2)由题意知：每件A类特产每降价1元，每天可多售出10件， .y=60+10.x=10x+60(0≤x≤10. 当x=0时，y=c: (3),w=(60-50-x)(10.x+60)+100×(72-60)= 当x=1时，y=1+b十c -10x2+40x+1800=-10(x-2)2十1840. ①当在x=0取得最大值，在x=1取得最小值时，一2≥ -10<0,∴.当x=2时，有最大值1840. A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大 1,即区-2，有。一+b+0)=是解得6=亮合去 利润为1840元. 5.46.4 ②当在r=0取得最大值，在顶点取得最小值时，0<一2 b 6.解：(1)由题意，2x十y=80,∴.y=-2x十80. 1.即-2<0，有。-品解得6=号（合去）减 3 由0<一2x+80≤42，且x>0,.19≤x<40. 4 故y与x的关系式为y=一2x十80(19x<40). 3 由题意得S=AB·BC=x(-2x+80)=一2x+80x, 6=一21 故S与x的关系式为S=一2x十80.x(19x<40). 当在x=取得最大值，在顶点取得最小俏时，0<一名 (2)由题意，令S=-2x2+80.x=750, .x=15(舍去)或x=25. 13 故围成的矩形花圃面积能为750m2,此时x的值为25. 综合集训 (3)由题意，根据(1)知S=-2x2+80r=一2(x-20)2+800, L.C2.C3.D4.4505.能 又-20，且19≤x<40, 6.解：①选“利润”最大 ∴.当x=20时，S取最大值为800. 设该果商定价每吨x万元时每天的“利润”为W万元， 答：围成的矩形花周面积存在最大值，最大值为800m°，此 W=(x-2)[100+50(5-x)]=-50(x-4.5)2+312.5. 时x的值为20. ,-50<0. 7.解：(1)由题意，设抛物线的表达式为y=a(x十2)(x一6)， ∴.当x=4.5时.W有最大值，最大值为312.5万元. 1 将(0,6)代人上式，得6=a(0+2)(0一6)，解得a= 2 答：该果商定价为每吨4.5万元时才能使每天的“利润”最 大，其最大值为312.5万元. ∴抛物线的表达式为y= 2r+2)(x-6)= 2+ 2 ②选“销售收人”最大 2x+6. 设该果商定价每吨x万元时每天的销售收人为y万元， (2)如图，作点O关于直线BC的对称点E,连接EC,EB, y=x[100+50(5-r)]=-50(.x-3.5)+612.5. B(6.0),C(0,6),∠B0C=90°， 14 .-50<0. ..OB=OC=6. .当x=3.5时，y有最大值，最大值为612.5万元 ,点O,E关于直线BC对称， 答：该果商定价为每吨3.5万元时才能使每天的“销售收 ∴.四边形OBEC为正方形， 人”最大，其最大值为612.5万元. ,E(6,6). 7.解：(1)：A0=17m 连接AE,交BC于点D,由对称性得 .A(0,17). DE-DO. 又QC=10Om,缆紫L,的最低点P到FF的距离PD=2m, 此时DO十DA有最小值，为AE的长 .抛物线的顶点P为(50,2). 故可设缆索L所在抛物线的函数表达式为y=:(x一50)十2 ∴.AE=VAB+BE=√8+6=10. 将A(0,17)代入抛物线的函数表达式，可得2500a十2一17， ,△AOD的周长为DA十DO+AO,AO=2,DA+DO的 最小值为10， .△AOD的周长的最小值为10十2=12 3 8.解：(1)把A(-3,0),C(0,3)代入y=-x+hx十c, 小缆索L所在抛物线的函数表达式为y一红一50》+2 得人动十0特得 1b=-2。 (2)由题意，知缆索L1所在抛物线与缆索L:所在抛物线关 c=3. 于y轴对称， .抛物线的解析式为y=一x2一2x十3. 3 (2)过D作DK轴交AC于K,如图. 又缆索L1所在抛物线的函数表达式为y一x一50+2， 3 心缆索L:所在抛物线的函数表达式为)y一十0+2 令y=2.6 3 2.6=0x+50)+2.x=-40或x=-60. 又F00D=50m,.x=-40. 由A(一3,0)，C(0,3),得直线AC的解析式为y=x+3, .)的长为40m. 设D(1,-12-2+3),则K(1,+3), 8.解：(1)设对称轴11与x轴交于点G,如图L ∴.DK=-1-21+3-(1+3)=-12-3t. ,△ACD的面积为3， ÷DK·-=3.即2(--3)X3=3,解得 1 1=一1或t=一2，∴.点D的坐标为(-1.4)或（一2,3）. 9.(1)解：顶点为M(2,d). 94-2b=8y=-2r2+8x+e 图1 将点A(1,0)代入y=-2.x2+8x十c, 由题意，得AG=BG=2AB=2, 得-2十8十c=0,解得c=一6， ,对称轴为直线x=一1，.B(1,0),A(一3,0)， .该抛物线的函数表达式为y=一2x+8x一6. .(C=0A=3..C(0,3). (2)证明：：y=-2.x2+8x-6=-2(x-2)2+2, 将A,B,C分别代人y1=a.r2+br十c, .M(2,2. a+b+e=0, a=-1, 过点M作MN⊥x轴于点N, 得9u一3b+e=0,解得b=一2 A1.0.Co,）AC-号AM=5,CM=号 c=3, c=3, .y1=-x2-2x+3=-(x+1)2+4, .CM=AC+AM. 抛物线y1的顶点坐标为（一1,4）. ∴.△ACM是直角三角形，且∠CAM=90, :抛物线y1绕点O旋转180后得到新抛物线y, ,,tan∠ACM=2. ,抛物线y2的a=1,顶点坐标为(1，一4)， 在Rt△AMN中，m∠MAB=2,,',∠ACM=∠BAM. ya的表达式为y:=(x一1)-4，即y=x一2x一3. 14 (2)如图2，将点F向右平移2个单位至点F,则FF'=2, :QM垂直平分HN,.QH=QN,∠QHN=∠QNH. F'(一4，O),过点D作直线l:的对称点为点D',连接F'N, ∴.∠NQE=2∠NHE. F'D',ND'. ,∠PEH=2∠DHE,∴∠NQE=∠PEH,.NQ=NE. 由点H(0,-2),E(1,-4), 得EK=1,KH=2. HM MQ :QM/EK,△HMQ△HKE,HRKE 1 图2 设HM=2m.MQ=m, .ND=ND' ∴.MN=HM=2m,NK=2-4m. y2=(x-1)一4，∴直线2为直线x=1 在Rt△QMN和Rt△EVK中， MNx轴，∴.MN=1-(-1)=2. 由勾股定理，得QM+MN=NK2+KE, 对于抛物线y=x2-2x-3,令x=0,得y2=-3, .m2+(2m)2=(2-4m)2+12, .D(0,-3). 202 点D与点D关于直线x=1对称，点D'(2,一3). 解得m=音或m=1会，NK=2 111 MNx轴，FF'=MN=2, ∴.四边形FF'NM为平行四边形，∴MF=NF‘, 0N=4品-号N6,) ..FM+MN+DN=NF'+2+ND'>2+F'D' 设直线PE的表达式为y=a1x十b1(a1≠0)， ∴.当点F,N,D三点共线时，FM+MN+DN取得最小值， a1+b1=-4, 2 而FD'=√(-4-2)+[0-(-3)]了=35， 代入点E,N.得 a1=一 解得 ∴.FM+MN+DN的最小值为2+35. 11 11 (3)当点P在直线2右侧抛物线上时，如图3. 2 直线PE的表达式为y= 42 11 242 联立=一 6y=x2-2x-3, 242 得 =x2-2x-3.整理，得11x°-20x+9=0, 图3 解得x= 或=1（会.P(层，》 9 抛物线y2=(x一1)2-4，.E(1.一4). ly轴，∴∠DHE=∠1. ∠PEH=2∠DHE=∠1+∠2.∴.2∠1=∠1+∠2. 综上所述，P3.0或P(层》 ∠1=∠2. 作H关于直线2的对称点H',则点H在直线PE上 9解：(1)由题意，得水滑道AB所在抛物线的顶点C(-3,): 点H的坐标为(0，一2)，直线：x=1.∴H(2,一2). 设直线PE的表达式为y=kx十b(k≠0)， 六可设范物线的解析式为=a(十3)+ 代入H'2,-2,1.-40,得2+=-2 又抛物线过点B(0,2), k+b=一4. 2=a0+3)+ 解得么6，÷直线PE的表达式为y2x一6， 8a=8 联立P=2x-6, 六抛物线的解析式为y=宫红十3)+员 y2=x2-2x-3. 得x8-2r-3=2r-6, 1 解得x=3或x=1(舍)，∴.P(3,0): 答案：y=名+3+号 当点P在直线：左侧抛物线上时，延长EP交y轴于点 (2)①由题意，知抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B N,作HN的垂直平分线交HE于点Q,交y轴于点M,过 成中心对称， 点E作EK⊥y轴于点K,则QMEK,如图4. ∴抛物线BD的顶点与抛物线ACB的顶点C关于点B成 4 中心对称B是它们的中点。 又c(-3 ,B(0,2), ∴抛物线BD的顶点为()， 一此人睛空后的最大高度为曾米。 义此时可设抛物线BD的解析式为y=口'ax一3)+ 8 将B0.2代人得a0-3+智=2d=日 15 ∴抛物线BD的解析式为y=一 -3+ 81 18.解：1)反比例函数y=（x>0)的图象经过点A(3, ②在安全范围内，理由：由①，得y=一名（红一3）+ 8" 2),代入得2= 一=6，∴这个反比例函数的表达式为 k 令y=00=-名u-3+g x=8或x=一2（舍去），∴.OD=8米 (2)如图： 又OE=12米，.DE=I2-8=4>3, 落点D在安全范围内 (3)如图，EF即为所求钢架 ”ACB所在抛物线为y= 8(x+ 1米 3+日 B FOx/米 令y=4则4=名+3+名 012345678910x x=-8或x=2(舍去)，∴.M(-8,4). 8)由图知E6,0,令兰-，得=是 又B(0,2)直线BM的解析式为y=- x+2 :6-号-号∴矩形ACD向左平移号个单位时，点E 1 落在反比例函数图象上， :EF/BM,∴可设EF的解析式为y=一x十m 答案：号 y=- 19.解：(1)由题意得甲无人机的速度为 联立方程组 1 a=48÷6=8(米/秒).1=39-19=20（秒）. 《x十3)子。 答案：820 (2)由图象知N(19,96), 1 :甲无人机的速度为8米/秒， .x2+8x-8m+16=0, ∴.甲无人机匀速从0米到96米所用时间为96÷8= 12(秒)， .△=64-4(-8m十16)=0，m=0, ∴.甲无人机单独表演所用时间为19一12=7（秒），6+7= 一直线EF的解析式为y=一 13(秒)，.M(13,48), 直线EF过原点， 设线段MN所在直线的函数解析式为y=kx+b,将 即F与O重合. M5,.NG8的代人得g女 M(-8,4), 令x-8则y==×(-8)=2, 解得伦-6 .EN=2米，ON=8米 ∴.线段MN所在直线的函数解析式为y=8.x一56. (3)由题意A(0,20).B(6,48), 又∠EN0=90, 由点坐标可知：线段(OB所在直线的函数解析式为y ∴.EF=E0=V2+8=217(米). 8x, 答：这条钢架的长度为2√7米。 线段AN所在直线的函数解析式为y=4x+20, 线段BM所在直线的函数解析式为y=48, 函数阶段测评 当01≤6时，由题意得|4x+20-8.x|=12, 1.D2.A3.A4.C5.D6.D7.A8C9.C10.B 解得x=2或x=8(舍去)： 当6<1≤13时，由题意得14x+20-481=12, 山.减小21803r=-2140,015.- 16.(1,3) 解得x=10或x=4(舍去)： 17.解：(1)把点A(0,1).B(1,2)代入y=x十b(使≠0)，得 当13<1≤19时，由题意得8x-56-4.x一20|=12，解得 x=16或x=22(舍去). b=1,k+b=2,解得k=1,b=1. 该函数的解析式为y=x十1. 综上，两架无人机表演训练到2秒、10秒、16秒时，它们距 由题意知点C的纵坐标为4， 离地面的高度差为12米. 20.解：(1)①：y=a.x2+x经过点(9,3.6)，.81a+9=3.6, 当y=x+1=4时，解得x=3,,∴.C(3,4) (2)由(1)知：当x=3时，y=x+1=4, 解得a=一方 2 :当x<3时，函数y=了x十n的值大于函数y=x十1的 “y=-2x+b经过点(9,363.6=一2×9+b,解 值且小于4， 得b=8.1. 2 ∴当y=3x十”过点(3,4)时满足题意，代人(3,0，得 ②,得y=-+=-(-1+婴)+只 4一号×3十解得u-2 =(》'+0<<9 16 六火箭运行的最高点是km 得x=2p-4 -1.35=2.4(km) n(o 1 424=一5r+x,整理得r2-15x+36=0, 点E与点D关于y箱对称，E(。2,o） 解得x1=12>9(不合题意，舍去)，x2=3. :B(6.0.BE=6-4-2迎_8p4,BD=6-2p-4 由①得y=一名x+81 p 4p十4 2.4=-1 x+81.解得x=11.4. 若使△ABD与△ABE相似，当△ABD∽△EBA时， .11.4-3=8.4(km) 答：这两个位置之间的距离为8.4km. ∠AE=∠A,只需品即可，即E·D=A (2)当x=9时，y=81a十9. :A(2,40,B(6,0).AB=32.:82-×4p+4-32. .火箭第二级的引发点的坐标为(9,81a十9). p 设火箭落地点与发射点的水平距离为15km, 解得p=1, 经检验，p=1满足题意。 y=- 2r+b经过点(9,81a十9).(15.0). ∴.直线AC的解析式为y=x+2. 2 ,有且只有一点C,使得△ABD与△ABE相似， ×9+b=81a十9， 解得 Ja=- 27 ∴直线4C与反比例函数y=冬(k<0)图象只有一个交点。 2 ×15+b=0. b=7.5. 2 “江十2=冬只有一个解，即z+2红一k=0有两个相等实 一27<α<0时，火箭落地点与发射点的水平距离超过 数根， 15km. ∴.△=0，即2+4k=0,解得k=一1. 21.解：(1)把A(2,a)代入y=2x,得a=2×2=4..A(2,4), 由题意，△ABD△ABE不存在..k的值为-L. 把A(2,4)代入y=一x十m,得4=一2十m,∴m=6. 22.解：(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+br+c,得 .直线y=一x+m为y=一x+6, 把B(h,0)代入y=一x十6，得0=一b+6,解得b=6, 一十c=0.解得=二名 19+3b+c=0. c=-3. ∴a的值为4，m的值为6，b的值为6. ∴.图象C1对应的函数表达式为y=x2一2x一3 (2)设C,),由(1)知A(2,4.B(6,0,而00,0 (2)设C:对应的函数表达式为y=a(x十1)(x一3) (a<0),将点C(0,6)代入，得a=一2. ①当AC,O为对角线时，AC,BO的中点重合， ,.C对应的函数表达式为y=一2(x十1)(x一3)，其对称 1+2=6+0, +4=0+0解得4， 轴为直线x=L, 1k=-16. 又，图象C1的对称轴也为直线x=1. 作直线x=1,交直线1于点H(如图1)， 经检验，1=4，k=一16符合题意， 由二次函数的对称性，得QH=PH, 此时点C的坐标为(4，一4). NH=MH,则PM=VQ, ②当CB,AO为对角线时，CB,AO的中点重合， 又，PQ=MP+QN,∴.PH=PM. 1+6=2+0, +0=4+0. 得仁二 设PH=1(0<1<2),则点P的横坐标为 t十1，点M的横坐标为21+1， t 将x=1+1代人y=-2(x+1)(x-3) 经检验，1=一4，k=一16符合题意， 得yr=-2(1+2)(1-2), 此时点C的坐标为（一4,4）. 图1 ③当(O,AB为对角线时.CO,AB的中点重合， 将x=21十1代人y=x-2.x-3=(x+ 1)(x-3). 1+0=2+6, k +0=4+0. 解得8， 得yM-(21+2)(24一2)， 1k=32. yp=yM+ ,k=32>0, .-2(1十2)(1-2)=(21+2)(21-2)， 这种情况不符合题意 即62=12，解得t1=√2，t1:=一2（舍去）. 综上所述，点C的坐标为(4，一4)或（一4,4），k的值为 .点P的坐标为(2十1,4). -16. (3)如图2，连接DE,交r轴于点G,过点F (3)如图. 作F⊥ED于点I,作FJ⊥x轴于点I. 设直线AC的解析式为y=p.x十 ,FI⊥ED,FJ⊥x轴.四边形GJF q,把A(2,4)代入，得4=2p十9 为矩形，∴IF=G,IG=FJ. .g=4-2p, 设C:对应的函数表达式为y=a(x十 .直线AC的解析式为y=pr十 1)(x一3)(a0) 4-2p, :点D,E分别为二次函数图象C,C 在y=p.x十4-2p中，令y=0, 的顶点， 图2 17 .D(1,-4),E(1,-a). 15.解：作图如下： .DG=4,AG=2,G=-4a. 在R△AGD中，m∠AG瓷-号号 AF⊥AD,∴∠FAB+∠DAB=90 又∠DAG+∠ADG=90°，.∠ADG=∠FAB, F11 区tan/FAB-=tan∠ADG-7=2 ①∠FAO②OA=OC③∠FOA④被一组对边截得 设GJ=m(0<m<2),则AJ=2+m, 的线段被对角线的中点平分 2,r(+1.0） 第14讲 三角形的基本知识 2 :EF∥AD,∴∠FEI=∠ADG, 考点过关 wFEI=-tm∠AG-H告 1.B2.D3B4C5.B6.557.3m .E1=2m 8.证明：方法一：，DEBC, =B1+1G2m+2岁”=-a ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAE. :∠BAD+∠BAC+∠CAE=180, a=2400 .'.∠B+∠BAC+∠C=180° 方法二：CD∥AB, 点F在G上.am+1+1m+1-3)-"空兰，即 ·∠A=∠ACD,∠B+∠BCD=180°， am+2m-2)="主，且m十20. .∠B+∠ACB+∠A=180 9.D10.C11.2412.2 13.解：(1)分别作出AB边和BC边的 a(m-2=7,@ 垂直平分线，与AB和BC边分别交 由①@可得一2。(m-2)=子·解得m,=0(会去. 于点V和点M,连接AM和CV相 交于点G, m=a=-5 8 如图所示，点G即为所求作的点 4 (2):点G是△ABC的重心， 二图象G对应的函数表达式为y=-(x+1D(:一3)= .AG=2MG. ,△ABG的面积等于5cm, ,.△BMG的面积等于2.5cm, ∴.△ABM的面积等于7.5cm. 第13讲角、相交线与平行线 又，AM是△ABC的中线，∴.△ABC的面积等于15m. 答案：15 考点过关 14.B15.A16.117.2<AB<8 1.42.两点之间，线段最短3.C4.D5.B6.35 综合集训 7.B8.C9.B10.A1L.B12.B13.109 14.(1)解：：AD∥BC,∴∠B+∠BAD=180, 1.B2B3B4C5100°6号7.10°818 :∠B=80°，∴∠BAD=100 9.解：(1) (2)证明：AE平分∠BAD, ∴.∠DAE=50 'ADBC.∴.∠AEB=∠DAE=50°. D :∠BCD=50°， (2)等边对等角（等腰三角形的性质）三角形内角和定理 ∴.∠AEB=∠BCD,.AE∥DC (3)作图如图.（答案不唯一） 15.C I6.C 17.4 19.A20.A2L.A 综合集训 1.B2.C3.B4.B5.A6.B7.A8.B9.C 10.20°11.120°12.1313.30° 14.(1)证明：DEBC,∠C=∠AED, 10.证明：：CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD. ,∠EDF=∠C,.∠AED=∠EDF, ,EF∥BC.∠FEC-∠BCD, .DF∥AC,∴∠BDF=∠A. .∠ACD=∠FEC,.EF=CF (2)解：△ABC是等腰直角三角形。 AE⊥CD,,∴.∠AEC=90°， ∠A=45,∠BDF=45, ∴.∠EAC+∠ACD=90°，∠AEF+∠FEC=90°， :DF平分∠BDE,∴.∠BDE=2∠BDF=90. ∴∠EAC=∠AEF,∴.AF=EF,.AF=CF. DEBC.∴∠B=90°. ,G是BC的中点， ∴.△ABC是等髅直角三角形 GF是△ABC的中位线FG=号AB, 18