2026年浙江省杭州市中考数学专题复习三：二次函数纯函数问题研究

2026年浙江省杭州中考专题复习三：二次函数纯函数综合问题研究 【知识点】二次函数含参数问题综合 1.已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（x1，y1），B（x1+t，y2），C（x1+2t，y3）三点．记m＝y2﹣y1，n＝y3﹣y2，下列命题正确的是（　　） A．若n﹣m＞2，则t＜﹣1 B．若n﹣m＜2，则t＞﹣1 C．若t＞1，则n﹣m＞2 D．若t＜1，则n﹣m＜2 2.已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣t）（a≠0），且A（0，m），B（2，n）为其图象上两点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，t＜4，则m＞n B．若a＜0，t＜4，则m＜n C．若a＞0，t＞4，则m＞n D．若a＞0，t＞4，则m＜n 3.二次函数y＝（x+1）2+（x+2）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，则（a﹣1）2+（b﹣1）2的值为（　　） A．0 B．1 C．10 D．13 4.关于的二次函数与轴只有一个交点，下列正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5.已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2 【知识点】二次函数之纯函数综合题 1.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． （1）当t＝2时，求抛物线的顶点坐标． （2）求证：mn≤0． （3）当2＜x＜3时，都有n＜y＜m，则t的取值范围为 　 ． 2.已知二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）． （1）求此二次函数的表达式． （2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． （3）已知点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+h的图象上，且﹣7＜2p+3q＜2，求m的取值范围． 3.已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＞0）的图象经过点A（2，﹣2）． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤5时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．若48，求a的取值范围． 4.二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（m，0），B（n，0）且m≠n． （1）当m＝﹣4，且n＝2时， ①求b，c的值； ②当t≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为10，求t的值； （2）若m＝4n，求2b+c的最小值． 5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴交于点A，过点A作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴．（用含m的式子表示） （2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，形成图形G．M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上的两点． ①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由． ②若对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2，直接写出m的取值范围． 6.在平面直角坐标系中，抛物线 过点 （1）请用含 的代数式表示 ． （2）若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． （3）当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 7.已知二次函数（为常数，）的图象经过点． （1）求常数a和b满足的关系式． （2）若二次函数图象与x轴只有一个交点，求二次函数的解析式． （3）当时，函数的最大值是最小值的2倍，求a的值． 8.已知二次函数． （1）当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （2）当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 9.已知二次函数， （1）若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②当时，函数的最小值为，求的最大值． （2）若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 10.在平面直角坐标系中，设二次函数是常数， 若时，图象经过点，求二次函数的表达式. 写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标. 已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证： 11.已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数解析式及其对称轴； （2）将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值； （3）当时，二次函数的最小值为，求的值． 12.已知二次函数的图像经过点，点． 设该函数图像的对称轴为直线． （1）若，求t的值． （2）若 求b的取值范围． （3）若，在范围内，该函数有最大值，求m的值． 13.在平面直角坐标系中，点和在抛物线 （常数)上． （1）求抛物线的对称轴． （2）求证： （3）取，将线段沿水平方向平移得到线，若线段与抛物线有交点，求点的横坐标x的取值范围． 14.已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）． （1）若b＝4，c＝3，求此二次函数的顶点坐标； （2）若此函数图象与x轴只有一个交点，且过点（3，1），求函数表达式； （3）若此函数的对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤t时，函数取到最大值为1，求c的取值范围． 15.设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3． （1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围． 16.已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年浙江省杭州中考专题复习三：二次函数纯函数综合问题研究 【知识点】二次函数含参数问题综合 1.已知二次函数y＝x2+bx+c过点A（x1，y1），B（x1+t，y2），C（x1+2t，y3）三点．记m＝y2﹣y1，n＝y3﹣y2，下列命题正确的是（　　） A．若n﹣m＞2，则t＜﹣1 B．若n﹣m＜2，则t＞﹣1 C．若t＞1，则n﹣m＞2 D．若t＜1，则n﹣m＜2 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c过点A（x1，y1），B（x1+t，y2），C（x1+2t，y3）三点， ∴y1bx1+c，y2＝（x1+t）2+b（x1+t）+c，y3＝（x1+2t）2+b（x1+2t）+c， ∴m＝y2﹣y1＝（x1+t）2+b（x1+t）+c﹣（bx1+c）＝t2+（2x1+b）t， n＝y3﹣y2＝（x1+2t）2+b（x1+2t）+c﹣[（x1+t）2+b（x1+t）+c]＝3t2+（2x1+b）t， ∴n﹣m＝3t2+（2x1+b）t﹣[t2+（2x1+b）t]＝2t2， 若n﹣m＞2，则2t2＞2， ∴t＞1或t＜﹣1， 故A错误，不符合题意； 若n﹣m＜2，则2t2＜2， ∴﹣1＜t＜1， 故B错误，不符合题意； 若t＞1，则2t2＞2， ∴n﹣m＞2，故C正确，符合题意； 若﹣1＜t＜1，则2t2＜2，即n﹣m＜2， 故D错误，不符合题意； 故选：C． 2.已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣t）（a≠0），且A（0，m），B（2，n）为其图象上两点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，t＜4，则m＞n B．若a＜0，t＜4，则m＜n C．若a＞0，t＞4，则m＞n D．若a＞0，t＞4，则m＜n 【解答】解：将x ＝ 0代入函数得：m＝a（0+1）（0﹣t）＝﹣at； 将x ＝ 2代入函数得：n＝a（2+1）（2﹣t）＝3a（2﹣t）． 计算m﹣n：m﹣n＝﹣at﹣3a（2﹣t）＝﹣at﹣6a+3at＝ 2at﹣6a＝2a（t﹣3）． 因此，m﹣n＝2a（t﹣3），其符号由a和t共同决定． 当a＜0时，m﹣n＝2a（t﹣3）的符号由（t﹣3）决定： 若t＜3：（t﹣3）＜0，则m﹣n＞0，即m＞n（选项A正确） 若t＞3：（t﹣3）＞0，则m﹣n＜0，．即m＜n（选项B正确） 若t＝3：m＝n，此时选项A、B均不成立． 结论：t＜4时，t可能位于3的左侧或右侧，因此选项A和B均不必然成立， 当a＞0时，m﹣n＝2a（t﹣3）的符号由（t﹣3）决定： 若t＞4：（t﹣3）＞0，则m﹣n＞0，即m＞n． 结论：选项C（m＞n）成立，选项D（m＜n）不成立． 故选：C． 3.二次函数y＝（x+1）2+（x+2）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，则（a﹣1）2+（b﹣1）2的值为（　　） A．0 B．1 C．10 D．13 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2+（x+2）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称， ∴y＝（x+a）2+（x+b）2的解析式为：y＝（﹣x+1）2+（﹣x+2）2， 即y＝2x2﹣6x+5， 又∵y＝（x+a）2+（x+b）2＝2x2+（2a+2b）x+a2+b2， ∴2a+2b＝﹣6，a2+b2＝5， ∴（a﹣1）2+（b﹣1）2的＝a2+b2﹣2a﹣2b+2＝5+6+2＝13． 故选：D． 4.关于的二次函数与轴只有一个交点，下列正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】求二次函数与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，根据△，一元二次方程有两个相等的实数根，求出、的数量关系，再进一步求出的值，进而选出正确答案． 【详解】解：关于的二次函数与轴只有一个交点， 令， ， ， ， ， 关于的二次函数， ， ， ， ， 因为方程有两个相等的实数根， ， 解得， ， ， A．当时，，， ， ， 当，，， ， ， 无法确定大小， 所以A．C错误； 当，，， ， 所以B错误；D正确； 故选：D． 5.已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2 【解答】解：抛物线对称轴为直线， 当x1+x2＜4时，x2﹣2＜2﹣x1， 则当a＞0时，y1＞y2；当a＜0时，y1＜y2； 当x1+x2＞4时，x2﹣2＞2﹣x1， 则当a＞0时，y2＞y1；当a＜0时，y1＞y2； 故A、B选项都不正确； 若a（x1+x2﹣4）＞0，则a与x1+x2﹣4同号，由上可知y1＜y2， 故C不正确； 若a（x1+x2﹣4）＜0，则a与x1+x2﹣4异号，由上可知y1＞y2， 故D正确； 故选：D． 【知识点】二次函数之纯函数综合题 1.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． （1）当t＝2时，求抛物线的顶点坐标． （2）求证：mn≤0． （3）当2＜x＜3时，都有n＜y＜m，则t的取值范围为t≥2　 ． 【解答】（1）解：当t＝2时，则y＝x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2﹣3， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣3）； （2）证明：∵二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象过点A（﹣1，m），B（2，n）． ∴m＝1+t﹣2＝t﹣1，n＝4﹣2t﹣2＝2﹣2t＝2（1﹣t）， ∴mn＝（t﹣1）•2（1﹣t）＝﹣2（t﹣1）2， ∵（t﹣1）2≥0， ∴﹣2（t﹣1）2≤0，即mn≤0． （3）解：二次函数y＝x2﹣tx﹣2的图象开口向上，对称轴为直线x， ∴点A（﹣1，m）关于对称轴的对称点为（1+t，m）， ∵当2＜x＜3时，都有n＜y＜m， ∴1+t≥3， ∴t≥2， 故答案为：t≥2． 2.已知二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）． （1）求此二次函数的表达式． （2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，函数图象恰好经过原点，求n的值． （3）已知点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+h的图象上，且﹣7＜2p+3q＜2，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣（x+1）2+h（h为常数）的图象经过点A（﹣2，3）． ∴3＝﹣（﹣2+1）2+h， 解得h＝4， ∴此二次函数的表达式为y＝﹣（x+1）2+4； （2）将抛物线先向左平移n（n＞0）个单位，再向上平移5个单位，得到y＝﹣（x+1+n）2+4+5，即y＝﹣（x+1+n）2+9， ∵图象恰好经过原点， ∴﹣（0+1+n）2+9＝0， 解得n＝2或n＝﹣4， ∵n＞0， ∴n的值为2． （3）∵点（p，m），（q，m）在二次函数y＝﹣（x+1）2+4的图象上， ∴p+q＝﹣2， ∴2p+2q＝﹣4， ∵﹣7＜2p+3q＜2， ∴﹣7＜﹣4+q＜2， ∴﹣3＜q＜6， ∵当x＝6时，y＝﹣（x+1）2+4＝﹣45， 当x＝﹣1时，y＝﹣（x+1）2+4＝4， ∴m的取值范围是﹣45＜m≤4． 3.已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＞0）的图象经过点A（2，﹣2）． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤5时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．若48，求a的取值范围． 【解答】解：（1）把A（2，﹣2）代入二次函数y＝ax2+bx﹣2中， 得﹣2＝4a+2b﹣2，整理可得2a+b＝0， 变形可得，即对称轴为直线x＝1； （2）∵y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3， 即当x＝1时，ymin＝a+b﹣2＝﹣3， 又∵2a+b＝0， 故a＝1，b＝﹣2， 因该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣2， ∵向右平移2个单位后的新二次函数表达式为y＝x2﹣6x+6， 可得对称轴为直线x＝3， 故当0≤x≤5时，ymin＝﹣3；ymax在x＝0处取到，即ymax＝6， ∴ymin+ymax＝﹣3+6＝3； （3）∵y＝ax2+bx﹣2＝ax2﹣2ax﹣2，且图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2． 则由韦达定理可得x1+x2＝2，x1•x2， ∴（x1+x2）（x2﹣x1）＝2（x2﹣x1）， ∵x2﹣x1， ∴2（x2﹣x1）＝4． ∵48，即4＜48， 整理得， 解得． 4.二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（m，0），B（n，0）且m≠n． （1）当m＝﹣4，且n＝2时， ①求b，c的值； ②当t≤x≤2时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为10，求t的值； （2）若m＝4n，求2b+c的最小值． 【解答】解：（1）①当m＝﹣4，n＝2时，A（﹣4，0），B（2，0）， 将A（﹣4，0），B（2，0）代入y＝x2+bx+c， 得， 解得． ②由①得，二次函数为y＝x2+2x﹣8， ∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣9），当x＝2时，y＝0． ∵当t≤x≤2时，二次函数的最大值与最小值的差为10， ∴当x＝t时，y＝1， 即t2+2t﹣8＝1， 解得，舍去）， ∴． （2）∵m＝4n， ∴A（4n，0）， ∴二次函数解析式为y＝（x﹣4n）（x﹣n）＝x2﹣5nx+4n2， ∴b＝﹣5n，c＝4n2． ∴2b+c＝4n2﹣10n， ∴当n时，2b+c取得最小值为． 5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴交于点A，过点A作直线l垂直于y轴． （1）求抛物线的对称轴．（用含m的式子表示） （2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，形成图形G．M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上的两点． ①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由． ②若对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2，直接写出m的取值范围． 【解答】解：（1）对称轴为直线xm； （2）①y1＞y2，理由如下： 当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2，图形G如图1所示： 此时若x1＜x2，故y1＞y2； ②当m＞0时，如图2所示： 此时翻折后的图象解析式为y＝﹣x2+2mx+m2， 故当x1＝1时，y1＝﹣1+2m+m2，当x2＝2时，y2＝﹣4+4m+m2， ∵y1＞y2，即﹣1+2m+m2﹣（﹣4+4m+m2）＞0， 解得m， 即； 当m＝0时，显然对于x1＝1，x2＝2，都有y1＞y2成立； 当m＜0时，对于x1＝1，x2＝2，恒有y1＜y2成立； 综上，m的取值范围为m． 6.在平面直角坐标系中，抛物线 过点 （1）请用含 的代数式表示 ． （2）若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． （3）当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：该抛物线关于y轴对称后的图象经过，则对称前该抛物线经过点． 设 ， 将代入，得 ， 解得, 该抛物线函数表达式为； 【小问3详解】 解：由（1），得， ∴． 由，得，记作 ， 抛物线的对称轴为直线 . 当 时，如图 1，当 时，随的增大而增大． 当时，，则 成立， 即 ， 解得， 所以． 当时，如图2，当时，随的增大而减小， 当时，，则成立， 即 恒成立． 所以或时，始终成立． 7.已知二次函数（为常数，）的图象经过点． （1）求常数a和b满足的关系式． （2）若二次函数图象与x轴只有一个交点，求二次函数的解析式． （3）当时，函数的最大值是最小值的2倍，求a的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【小问1详解】 解：将点代入， 可得，． ．（或均可） 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵二次函数图象与x轴只有一个交点， ． （舍去），． ． 【小问3详解】 解：由（1）得，抛物线的对称轴为直线， 当， 时，函数取最小值为， 时，函数取最大值为， ． ． 当， 时，函数取最大值为， 时，函数取最小值为， ． ， 或． 8.已知二次函数． （1）当函数图象过点时： ①求二次函数的表达式． ②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值． （2）当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ． 【答案】（1）①；② （2）或． 【小问1详解】 ①解：∵二次函的图象过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； ②解：∵和都是二次函数图象上的点， ，， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴的最小值是； 【小问2详解】 ∵ ∴对称轴为直线 ∵二次项系数为 ∴抛物线开口向上 ∵当时，二次函数有最小值， ①当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得，不符合题意，舍去； ②当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）； ③当时， ∴当时，二次函数有最小值， ∴ 解得； 综上所述，实数k值为或． 9.已知二次函数， （1）若抛物线的对称轴为直线， ①当函数图象过点时，求该二次函数的关系式； ②当时，函数的最小值为，求的最大值． （2）若当时，取值范围是，且该二次函数图象经过，两点，，求的取值的范围． 【答案】（1）①② （2）或 【小问1详解】 解：①由题意，得：， 解得：， ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为：； ∵时，，函数的最小值为， ∴， 解得：， ∴的最大值为； 【小问2详解】 解：∵当时，取值范围是， ∴当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称越远，函数值越大， ∵二次函数图象经过，两点，且， ∴， 解得：或； 故或． 10.在平面直角坐标系中，设二次函数是常数， 若时，图象经过点，求二次函数的表达式. 写出一组a，b的值，使函数的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标. 已知，二次函数的图象和直线都经过点，求证： 【答案】解：把代入得，， 当时，， ， ， 二次函数的关系式为； 解：令，则， 当时，则， ， 若，时，函数的图象与x轴只有一个公共点， 此时函数为， 此函数的顶点坐标为； 证明：二次函数的图象和直线都经过点， ， ， ， ，   11.已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数解析式及其对称轴； （2）将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值； （3）当时，二次函数的最小值为，求的值． 【答案】（1），对称轴为直线 （2） （3） 【小问1详解】 解：将代入函数表达式得：，则， 即抛物线的表达式为：， 则抛物线的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：当时， 设点、， 则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则， 则点、的坐标分别为：、， 则新抛物线的表达式为：， 即； 【小问3详解】 解：由（1）知，抛物线的顶点为， 当，即时， 抛物线在顶点处取得最小值，即，则； 当时，即时， 则抛物线在时取得最小值，即， 解得：（舍去）或6（舍去）， 综上，． 12.已知二次函数的图像经过点，点． 设该函数图像的对称轴为直线． （1）若，求t的值． （2）若 求b的取值范围． （3）若，在范围内，该函数有最大值，求m的值． 【答案】（1） （2） （3） 【小问1详解】 解：若时，二次函数的图像经过点， 则，解得：，即二次函数为 ∴对称轴为， 即； 【小问2详解】 ∵已知二次函数的图像经过点，点． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【小问3详解】 ∵， 若，在范围内，该函数有最大值， ①若，在范围内，函数有最大值， 即，当时，， ∴，（，不含题意舍去）， ∴， 当时，， ②若时，在范围内，函数有最大值， 即，当时，，解得，不合题意舍去， 综上所述：若，在范围内，该函数有最大值，的值为． 13.在平面直角坐标系中，点和在抛物线 （常数)上． （1）求抛物线的对称轴． （2）求证： （3）取，将线段沿水平方向平移得到线，若线段与抛物线有交点，求点的横坐标x的取值范围． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）点横坐标的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 证明：∵点和在抛物线上， ∴，， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， 当时，则点， 由（1）得抛物线的对称轴为直线， ∴点为抛物线顶点坐标， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点， 设解析式为， ∴， 解得：， ∴解析式， 设线段向右平移个单位， ∴， 联立得：， 整理得：， ∴， ∴， ∴平移后的解析式为， 当时，， ∴， 即此时的横坐标为， 当线段向左移动个单位时，即向左移个单位， 此时，的横坐标为， 综上，点横坐标的取值范围为． 14.已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）． （1）若b＝4，c＝3，求此二次函数的顶点坐标； （2）若此函数图象与x轴只有一个交点，且过点（3，1），求函数表达式； （3）若此函数的对称轴为直线x＝1，且当﹣1≤x≤t时，函数取到最大值为1，求c的取值范围． 【解答】解：（1）当b＝4，c＝3时， y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1， ∴二次函数的顶点坐标为（﹣2，﹣1）； （2）∵二次函数图象与x轴只有一个交点， ∴b2﹣4c＝0，即c， ∵二次函数图象过点（3，1）， ∴9+3b+c＝1， ∴c＝﹣3b﹣8， ∴b2＝﹣3b﹣8， 整理得：b2﹣12b+32＝0， 解得b＝﹣4或b＝﹣8， ∴c＝4或c＝16， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+4或y＝x2﹣8x+16； （3）∵二次函数的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2， 当t＜3时，二次函数y＝x2﹣2x+c在x＝﹣1时取得最大值， ∴1+2+c＝1， ∴c＝﹣2； 当t≥3时，二次函数y＝x2﹣2x+c在x＝t时取得最大值， ∴t2﹣2t+c＝1， ∴c＝﹣t2+2t+1＝﹣（t﹣1）2+2， ∵﹣1＜0， ∴当t＞1时，c随t的增大而减小， ∵t≥3， ∴当t＝3时，c取得最大值，最大值为﹣2， ∴c≤﹣2， 综上所述，c的取值范围为c≤﹣2． 15.设二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3． （1）若该函数的对称轴为直线x＝1，求该函数的顶点坐标； （2）判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由； （3）已知点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上，当1≤x1≤4时，都有y1＞y2，求x2的取值范围． 【解答】解：（1）∵该函数的对称轴为直线x＝1， ∴1，解得a＝1， ∴y＝﹣x2+2x+2， ∵y＝﹣x2+2x+2＝﹣（x﹣1）2+3， ∴该函数的顶点坐标为（1，3）； （2）令二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a+3的最大值5， 整理得a2﹣a﹣2＝0， 解得a＝2或a＝﹣1， ∴该函数存在最大值5，此时a＝2或a＝﹣1； （3）∵点P（6，3﹣a），M（x1，y1）和N（x2，y2）在函数图象上， ∴3﹣a＝﹣36+12a﹣a+3， 解得a＝3， ∴y＝﹣x2+6x， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x3， ∵当1≤x1≤4时，都有y1＞y2， ∴x2＜1或x2＞5． 16.已知二次函数y＝mx2﹣2mx+3，其中m≠0． （1）若二次函数经过（﹣1，4），求二次函数解析式． （2）若该抛物线开口向上，当﹣1≤x≤2时，抛物线的最高点为M，最低点为N，点M的纵坐标为9，求点M和点N的坐标． （3）在二次函数图象上任取两点（x1，y1），（x2，y2），当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 【解答】解：（1）把（﹣1，4）代入函数解析式得， m+2m+3＝4， ∴m， ∴函数解析式为：yx2x+3； （2）∵抛物线开口方向向上， ∴m＞0， ∵y＝mx2﹣2mx+3＝m（x﹣1）2+3﹣m， ∴抛物线的顶点为（1，3﹣m）， ∴当x＜1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， ∴最低点N（1，3﹣m）， ∵当x＝﹣1时，y＝3m+3， 当x＝2时，y＝3， 且m＞0， ∴3m+3＞3， ∴最高点M（﹣1，3m+3）， ∴3m+3＝9， ∴m＝2， 代入M点和N点坐标得：M（﹣1，9），N（1，1）； （3）①当m＞0时， 则有当x≤1时y随x增大而减小， 当x≥1时，y随x增大而增大， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a+2≤1， ∴a≤﹣1， ②当m＜0时， 则有当x≤1时y随x增大而增大， 当x≥1时，y随x增大而减小， 又∵当a≤x1＜x2≤a+2时，总有y1＞y2， 此时a≥1， 综上，当m＞0时a≤﹣1；当m＜0时，a≥1． 1 学科网（北京）股份有限公司 $