上海市高二下学期期中真题百题大通关（提升版）（范围：圆锥曲线、数列、导数及其应用、计数原理、条件概率）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第二册）

高二下学期期中真题百题大通关（提升版） （范围：圆锥曲线、数列、导数及其应用、计数原理、条件概率） 一、单选题 1．（23-24高二下·上海浦东新·期中）过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．（23-24高二下·上海·期中）在学习推理和证明的课堂上，王老师给出两个曲线方程，问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下列是两位同学的回答：甲：曲线关于对称；曲线关于原点对称；乙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积.则（    ） A．甲､乙两人都对 B．甲､乙两人都不对； C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·上海·期中）在三棱锥中，平面，，平面内动点的轨迹是集合．已知，且在棱所在直线上，，2，则下列说法不正确的是（   ） A．动点的轨迹是圆 B．平面平面 C．三棱锥体积的最大值为3 D．三棱锥外接球的半径不是定值 5．（22-23高二下·上海虹口·期中）已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 6．（22-23高二下·上海闵行·期中）1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉准备第二天再分，夜里，1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一只桃子，然后将其5等分，藏起自己的一份就去睡觉了；过了一会第2只猴子爬起来，先吃掉一只桃子，也将桃子5等分，藏起自己的一份睡觉了，以后的3只猴子也照此办理，问最初有多少只桃子？最后剩下多少个桃子？”在李政道先生的这个问题中，下列说法错误的是（    ） A．若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则（，3，4，5） B．若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则（，2，3，4，5）为等比数列 C．若最初有3121个桃子，则第五只猴子分得256个桃子（不含吃的） D．若最初有个桃子，则必为的倍数． 7．（23-24高二下·上海·期中）设，利用函数单调性比大小，可得（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·上海松江·期中）设定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二下·上海·期中）下列命题正确的有（    ）个 （1）函数在上存在导函数．且在上为严格增函数．则对所有的恒成立 （2）周期函数在上存在导函数，则导函数也为周期函数 （3）定义在上的函数，满足且对所有的恒成立，则对所有恒成立 A．3 B．2 C．1 D．0 10．（22-23高二下·上海松江·期中）已知函数的定义域为，其值域，则满足条件的函数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 11．（23-24高二下·上海·期中）对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是（   ） A．13 B．24 C．15 D．25 12．（23-24高二下·上海闵行·期中）对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（    ） 种． A．5 B．6 C．7 D．8 13．（23-24高二下·上海·期中）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．240 14．（23-24高二下·上海·期中）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（    ） A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0 15．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知A，B为同一次试验中的两个随机事件，且，，命题甲：若，则事件A与B相互独立；命题乙：“A与B相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题（    ） A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题 16．（23-24高二下·上海·期中）建平中学高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下： 甲 乙 丙 丁 甲获胜概率 0.3 0.3 0.7 乙获胜概率 0.7 0.6 0.3 丙获胜概率 0.7 0.4 0.4 丁获胜概率 0.3 0.7 0.6 则甲夺冠的概率为（    ） A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 二、填空题 17．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ． 18．（23-24高二下·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 19．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 20．（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点满足，则点的轨迹与圆的位置关系是 . 21．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，双曲线.设椭圆两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆的一个交点为，若且，则的值为 . 22．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 . 23．（23-24高二下·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 24．（23-24高二下·上海·期中）若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是 . 25．（23-24高二下·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的取值范围是 . 26．（23-24高二下·上海·期中）过焦点在轴上的椭圆的顶点引一条弦，弦的最大长度为，则 . 27．（23-24高二下·上海·期中）已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 28．（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 29．（23-24高二下·上海·期中）在数学教科书《选择性必修第一册》中，有一段对圆锥曲线统一定义的描述．其中提到：设椭圆的一个焦点为，长半轴长为，则一点在椭圆上当且仅当．由于圆不在考虑范围内，，上式经变形化为等价条件，其中是椭圆的离心率，我们还把直线称为椭圆的准线．这样，上式用文字叙述就是：椭圆是到焦点与到准线的距离之比等于离心率的点的轨迹，其中离心率满足．阅读以上文字，并回答以下问题：设椭圆恒过定点，则椭圆的中心到准线的距离的最小值 ． 30．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是 ①   ②   ③   ④ 31．（22-23高二下·上海普陀·期中）将数列（，）分组为：（1），，，，……，则第（，）组中的第一个数是 . 32．（22-23高二下·上海青浦·期中）数列满足：，，且（，），则该数列前100项和 33．（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知数列中，，且对于任意正整数有，则 . 34．（22-23高二下·上海嘉定·期中）“三个内角的度数构成等差数列”是“中有一个内角为”的 条件． 35．（23-24高二下·上海·期中）若函数的图象上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图象上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是 . 36．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为 ． 37．（23-24高二下·上海·期中）正项等比数列中，与是的两个极值点，则 . 38．（23-24高二下·上海·期中）如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是 ．    39．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数，定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，则实数的值为 ． 40．（23-24高二下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围为 ． 41．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是 . 42．（23-24高二下·上海·期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 . 43．（23-24高二下·上海·期中）关于的方程有两个不同实数根，则的取值范围是 ． 44．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知对任意成立，求实数a的取值范围为 . 45．（22-23高二下·上海松江·期中）若函数在上严格增，那么a的取值范围是 ． 46．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 ． 47．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是 ． 48．（22-23高二下·上海杨浦·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数 . 49．（22-23高二下·上海闵行·期中）若方程有三个不同实根，则实数的取值范围是 ． 50．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 51．（23-24高二下·上海·期中）在一个阳光明媚的周末，市射击俱乐部举办了一场盛大的射击比赛，来自各地的射击爱好者纷纷报名参加，甲乙作为一个组合报名参加了射击小组赛.该项比赛规则为：每个小组2人，每人每轮依次射击一次，共有2轮.若两人合计射中靶心次数不少于3次，则称这组为“神枪手组合”.已知甲、乙射中靶心的概率分别为和，若，那么甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的最大可能性为 （假设所有选手每次射击都互相独立）. 52．（23-24高二下·上海·期中）平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定 直线 53．（23-24高二下·上海·期中）今天星期三，再过1天是星期四，那么再过天是星期 . 54．（23-24高二下·上海·期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 . 55．（23-24高二下·上海·期中）关于的方程的正整数解是 56．（23-24高二下·上海·期中）已知个人排成一列，设事件表示“甲乙两人不能排在一起”，事件表示“丙必须排在前两位”，若，则 . 57．（23-24高二下·上海·期中）对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简： . 58．（23-24高二下·上海·期中）的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 59．（23-24高二下·上海·期中）若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是 . 60．（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 61．（23-24高二下·上海·期中）4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 .（结果用数字作答） 62．（23-24高二下·上海杨浦·期中）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，，，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为 . 63．（23-24高二下·上海·期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 ． 三、解答题 64．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知点是椭圆：的一个顶点． (1)若椭圆的焦点分别为、，求的面积； (2)设、是椭圆上相异的两点，有如下命题：“若，则与关于轴对称”；请判断该命题的真假，并说明理由． 65．（23-24高二下·上海浦东新·期中）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系． (1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由； (2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置． 66．（23-24高二下·上海·期中）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．    (1)求证：； (2)求抛物线的方程； (3)过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值． 67．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程； (3)若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率． 68．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值； (2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和． 69．（23-24高二下·上海·期中）已知，直线与双曲线相交于不同的点. (1)若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围； (2)若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值. 70．（23-24高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 71．（23-24高二下·上海·期中）设为抛物线上的动点． (1)若点的纵坐标为，求点与抛物线的焦点之间的距离； (2)过点分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于两点，求的值． 72．（23-24高二下·上海青浦·期中）已知抛物线的焦点为，直线经过点且与交于点． (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若，求线段的中点到轴的距离． 73．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的焦点是，，长轴长是短轴长的2倍，求椭圆上的点到直线距离的最大值． 74．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列满足：，；数列是各项都为正数的等比数列且满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 75．（23-24高二下·上海·期中）已知数列满足，，数列满足，． (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 76．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知数列的前n项和为，已知数列的各项均为正数，，且； (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (3)若，求对所有的正整数n都有成立的实数k的取值范围？ 77．（22-23高二下·上海普陀·期中）设数列的首项为常数，且. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的通项及前项的和； (3)若是严格增数列，求的取值范围. 78．（22-23高二下·上海青浦·期中）已知数列满足，． (1)求， (2)求数列的通项公式 (3)如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值 79．（22-23高二下·上海青浦·期中）（1）已知等比数列首项为，公比为q（），前n项和为，请推导等比数列的求和公式：； （2）已知等差数列前n项和为，满足，，求. 80．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知数列的前n项和． (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求的表达式． 81．（22-23高三下·上海虹口·期中）记为数列的前项和，已知，（为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求正整数的值. 82．（22-23高二下·上海嘉定·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． (1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 83．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，其中，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 84．（23-24高二下·上海·期中）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数” (1)判断函数是否为“函数”，并说明理由 (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围 85．（23-24高二下·上海·期中）如图是一块空地，其中是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量：三点在一条直线上，，（单位：百米）．开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点在直线段上，设（百米），矩形草坪的面积为（百米） (1)求的解析式 (2)当为多少时，矩形草坪的面积最大？ 86．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数， (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)设函数，求证：当实数时，函数在处取得极小值． 87．（23-24高二下·上海·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 88．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知函数在与时都取得极值. (1)求的值与函数的单调区间. (2)求该函数在的极值和单调性. (3)设，若恒成立，求的取值范围. 89．（22-23高二下·上海浦东新·期中）某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为平方米．当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元 (1)请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）； (2)为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？ 90．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的极值； (2)若对任意的，且都有，求实数m的取值范围． 91．（22-23高二下·上海青浦·期中）已知函数 (1)当时，求的最大值 (2)讨论函数的单调性 (3)对任意的，都有成立，求实数的取值范围 92．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数，常数． (1)若函数的图像在点处的切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间和极值，说明理由； 93．（22-23高二下·上海静安·期中）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当函数有且仅有一个驻点时，求实数a的取值范围． 94．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，设，判断是否是函数的极值点并说明理由； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 95．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知函数和． (1)当时，求证：是方程的唯一实根； (2)若对任意，函数的图像总在函数图像的上方，求实数m的取值范围． 96．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知（，，，为常数）和点，直线为函数在处的切线方程． (1)若，，求函数的极值； (2)若，，，试证明：当时，过点可以作3条不同的直线与相切； (3)上是否存在两个不同的点，在这两个点处的切线相同？请说明理由． 97．（22-23高二下·上海嘉定·期中）设实数.对任意给定的实数，都有． (1)当时，求的值； (2)若是整数，且满足成立，求的值； (3)当m=1时， 求 的二项展开式中系数最大的项是第几项． 98．（23-24高二下·上海杨浦·期中）（1）求的二项展开式中的常数项 （2）求的二项展开式中系数最大的项（结果保留通项形式） 99．（23-24高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 100．（22-23高二下·上海浦东新·期中）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，．飞机恰被一人击中而击落的概率为，恰被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落． (1)求飞机恰被一人击中的概率； (2)求飞机被击落的概率； (3)已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期期中真题百题大通关（提升版） （范围：圆锥曲线、数列、导数及其应用、计数原理、条件概率） 一、单选题 1．（23-24高二下·上海浦东新·期中）过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】B 【知识点】直线与抛物线交点相关问题 【分析】过点的直线与抛物线只有一个交点，则方程组只有一组解，分两种情况讨论即可： ①当该直线存在斜率时；②该直线不存在斜率时. 【详解】解：①当过点的直线存在斜率时，设其方程为：， 由方程组，消得， 若，方程为，解得，此时直线与抛物线只有一个交点； 若，令，解得，此时直线与抛物线相切，只有一个交点； ②当过点的直线不存在斜率时， 该直线方程为，与抛物线相切只有一个交点； 综上，过点与抛物线有且只有一个交点的直线有条． 故选：B． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系与分类讨论思想，解决基本方法是： ①代数法，转化为方程组解的个数问题；②几何法，数形结合； 2．（23-24高二下·上海·期中）在学习推理和证明的课堂上，王老师给出两个曲线方程，问同学们：你想到了什么？能得到哪些结论？下列是两位同学的回答：甲：曲线关于对称；曲线关于原点对称；乙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积.则（    ） A．甲､乙两人都对 B．甲､乙两人都不对； C．甲对，乙不对 D．乙对，甲不对. 【答案】C 【知识点】由方程研究曲线的性质、由标准方程确定圆心和半径、直线截距式方程及辨析 【分析】结合对称性判断甲的正确性；通过对比和与坐标轴在第一象限围成的图形面积来判断乙的正确性. 【详解】对于甲：交换方程中和的位置得，所以曲线关于对称， 和两个点都满足方程，所以曲线关于原点对称，甲回答正确. 对于乙：直线与坐标轴在第一象限围成的图形面积为， ，， 在第一象限，直线与曲线都满足， ， ， 所以在第一象限，直线的图象在曲线的图象上方， 所以正确. 圆与坐标轴在第一象限围成的图形面积为， 在第一象限，曲线与曲线都满足， ， ， ， 所以在第一象限，曲线的图象在曲线的图象下方， 所以，乙回答错误. 故选：C. 3．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线和直线，是双曲线的左，右顶点，是双曲线上异于两点的任意一点，直线分别交直线于两点，设的外接圆面积分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线中的最值问题 【分析】根据双曲线的标准方程可知，设直线斜率为，用表示，因为的外接圆半径之比为，，结合不等式求最小值. 【详解】如图： 因为为双曲线上异于的两点， 所以，即. 根据双曲线的对称性，不妨设在第一象限，设直线：，() 令 ，得. 用代替，得直线：，令得， 所以. 设，的外接圆半径分别为，，则，， 所以，当且仅当 此时两个三角形外接圆得面积比：. 故选：B 4．（23-24高二下·上海·期中）在三棱锥中，平面，，平面内动点的轨迹是集合．已知，且在棱所在直线上，，2，则下列说法不正确的是（   ） A．动点的轨迹是圆 B．平面平面 C．三棱锥体积的最大值为3 D．三棱锥外接球的半径不是定值 【答案】D 【知识点】轨迹问题——圆、证明面面垂直、多面体与球体内切外接问题 【分析】建立平面直角坐标系求出轨迹判断A，由平面的二面角为直角判断B，求出底面三角形面积得最大值判断C，求出外接球的半径判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以在平面内，以所在直线为轴， 以线段的中垂线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    则，由知， ，化简可得，即点的轨迹为圆，故正确； 对于B，根据以上证明可知，点和是圆与轴的两个交点， 如上图，由条件可知，点在圆上， 则，又平面，，平面， 所以，， 所以是二面角的平面角，则平面平面，故B正确； 对于C，当点到的距离为2时，此时的面积最大，此时最大面积是， 则三棱锥体积的最大值为，故C正确； 对于D，由以上证明可知，，且，如图，    取的中点，作平面，且， 所以， 所以三棱锥外接球的半径是定值，故D错误． 故选：D． 5．（22-23高二下·上海虹口·期中）已知数列，下列说法正确的是（    ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】将分奇偶项分别作差，判断出奇数项和偶数项的单调性，从而可得结果. 【详解】数列, 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故此时有最大项为； 当时，，， ， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故此时有最小项为， 综上，既有最大项，又有最小项. 故选：C 6．（22-23高二下·上海闵行·期中）1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉准备第二天再分，夜里，1只猴子偷偷爬起来，先吃掉一只桃子，然后将其5等分，藏起自己的一份就去睡觉了；过了一会第2只猴子爬起来，先吃掉一只桃子，也将桃子5等分，藏起自己的一份睡觉了，以后的3只猴子也照此办理，问最初有多少只桃子？最后剩下多少个桃子？”在李政道先生的这个问题中，下列说法错误的是（    ） A．若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则（，3，4，5） B．若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则（，2，3，4，5）为等比数列 C．若最初有3121个桃子，则第五只猴子分得256个桃子（不含吃的） D．若最初有个桃子，则必为的倍数． 【答案】C 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、等比数列的简单应用、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】根据数列的递推关系可得即可判断A，利用递推关系可得，根据等比数列的概念判断B，利用等比数列的通项公式判断C，利用等比数列的通项公式和求和公式可判断D. 【详解】设最初有个桃子,猴子每次分剩下的桃子依次为, 则, 若第只猴子分得个桃子(不含吃的)， 则, 所以, 即（，3，4，5）,故A正确; 由A，（，3，4，5）, 所以， 即（，3，4，5）是等比数列， 若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则， 所以（，2，3，4，5）是以为公比的等比数列，B正确； 由B知，（，3，4，5）是等比数列， 所以， 所以， 若最初有3121个桃子，即， 所以，C错误； 根据题意， 因为（，2，3，4，5）是以为公比的等比数列， 所以， 化简得， 因为，且为正整数， 所以，即必为的倍数，D正确， 故选:C. 7．（23-24高二下·上海·期中）设，利用函数单调性比大小，可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，得，判断函数在上的单调性，结合减函数的性质与不等式性质，判断出的大小关系. 【详解】令，则， 当时，在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 所以，即， 因为，所以， 又，所以， 即，又，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故选：B. 8．（23-24高二下·上海松江·期中）设定义在上的函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得为偶函数，然后求导可得在单调递增，再由函数的单调性与奇偶性列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】对于函数，并且定义域关于原点对称，是偶函数， ，当时，是增函数， 对于有， 由①得， 由②得， 由③得， ， . 故选：C 9．（23-24高二下·上海·期中）下列命题正确的有（    ）个 （1）函数在上存在导函数．且在上为严格增函数．则对所有的恒成立 （2）周期函数在上存在导函数，则导函数也为周期函数 （3）定义在上的函数，满足且对所有的恒成立，则对所有恒成立 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【知识点】简单复合函数的导数、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】命题（1），取，易得在上为严格增函数，但，从而判断出命题（1）错误；命题（2），根据条件，利用复合函数求导法则，即可得到，从而得到命题（2）正确；命题（3），构造函数，根据条件，得到在上单调递增，即可判断出命题（3）的正误，从而求出结果. 【详解】对于命题（1），取，则恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上为严格增函数，但，所以命题（1）错误， 对于命题（2），因为，所以，即是周期函数，所以命题（2）正确， 对于命题（3），令，则恒成立，即在上单调递增， 所以，当时，， 即在上恒成立，所以命题（3）正确， 故选：B. 10．（22-23高二下·上海松江·期中）已知函数的定义域为，其值域，则满足条件的函数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】A 【知识点】求已知函数的极值、已知函数的定义域求参数 【分析】利用导数法求出函数的极值，作出函数的大致图象，结合函数的定义域是值域的子集关系即可求解. 【详解】依题意，，其导数， 令则，解得或， 当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，取得的极小值为， 当时，取得的极大值为. 若，即，解可得或2， 即函数与的交点为和， 在同一坐标系中作出函数和的图像，如图所示 若函数的定义域为的值域为的子集，则有 ，且， 若时，即时，不能满足的值域为的子集， 同理，时，即时，不能满足的值域为的子集， 故只有当月.时，的值域为，满足的值域为的子集， 符合题意； 故这样的函数有且只有一个. 故选：A. 11．（23-24高二下·上海·期中）对于各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数），如果在时有，则称与是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”．例如，数组中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4．若各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是（   ） A．13 B．24 C．15 D．25 【答案】A 【知识点】实际问题中的组合计数问题 【分析】利用组合计数问题，结合排除法求解即得. 【详解】在各数互不相等的正数数组（是不小于2的正整数）中任取2个数， 这2个数要么“顺序”（当时有），要么“逆序”，因此“顺序数”与“逆序数”的和为， 各数互不相等的正数数组的“逆序数”是2，则其“顺序数”为， 显然数组的“逆序数”等于数组的“顺序数”， 所以的“逆序数”是13. 故选：A 12．（23-24高二下·上海闵行·期中）对于定义域为的函数，若对任意的，当时都有，则称函数为“增函数”，若函数的定义域，值域为，则函数为“增函数”的有（    ） 种． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】由题意，，再根据列举法求解即可. 【详解】因为函数的定义域，值域为， 所以要满足“增函数”的定义，一定是，； 元素的取值情况有如下几种： ①三个元素均与7对应，即，符合题意； ②三个元素中有2个元素与7对应，则有，或，，两种情况； ③三个元素中仅有一个元素与7对应，则有，或，，或，，三种情况； 综上可得共有6种情况. 故选：B 13．（23-24高二下·上海·期中）某校组队参加辩论赛，从6名学生中选出4人分别担任一、二、三、四辩，若其中学生甲必须参加且不担任四辩，则不同的安排方法种数为（    ） A．180 B．120 C．90 D．240 【答案】A 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、排列数的计算、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】由分步乘法原理计算，先排甲，再排其余5人即可. 【详解】分步完成： 甲不担任四辩，共有3种方法； 剩下5名同学任选3人，且任意排序，共有种， 所以一共有种， 故选：A. 14．（23-24高二下·上海·期中）此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（    ） A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0 【答案】A 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】结合条件概率公式和互斥事件的概率加法公式求解即可. 【详解】设“考生答对题目”为事件，“考生知道正确答案”为事件， 则， 所以， 故选：A. 15．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知A，B为同一次试验中的两个随机事件，且，，命题甲：若，则事件A与B相互独立；命题乙：“A与B相互独立”是“”的充分不必要条件；则命题（    ） A．甲乙都是真命题 B．甲是真命题，乙是假命题 C．甲是假命题，乙是真命题 D．甲乙都是假命题 【答案】B 【知识点】独立事件的判断、计算条件概率、判断命题的充分不必要条件、判断命题的真假 【分析】结合对立事件概率公式和条件概率公式由可推出，由此判断命题甲，结合独立事件概率公式，条件概率公式判断命题乙的条件与结论的关系，判断命题乙，由此可得结论. 【详解】因为， 所以， 所以，故， 所以事件A与B相互独立，命题甲正确， 若A与B相互独立，则与相互独立，与相互独立， ， ， 所以， 若，所以， 所以， 所以 所以， 所以， ，故事件与事件相互独立， 所以事件与事件相互独立， 所以“A与B相互独立”是“”的充分必要条件， 所以命题乙为假命题， 故选：B. 16．（23-24高二下·上海·期中）建平中学高二年级进行篮球比赛，甲、乙、丙、丁四个班级进入半决赛.规定首先甲与乙比、丙与丁比，这两场比赛的胜利者再争夺冠军.通过小组赛获奖统计估计出他们之间相互获胜的概率如下： 甲 乙 丙 丁 甲获胜概率 0.3 0.3 0.7 乙获胜概率 0.7 0.6 0.3 丙获胜概率 0.7 0.4 0.4 丁获胜概率 0.3 0.7 0.6 则甲夺冠的概率为（    ） A．0.15 B．0.162 C．0.3 D．0.25 【答案】B 【知识点】独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】分丙、丁的输赢情况，结合独立事件的乘法公式与全概率公式即可得解. 【详解】设为甲赢乙的概率，为甲赢丙的概率，为甲赢丁的概率， 分别为丙赢丁和丁赢丙的概率，为甲夺冠的概率， 则. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于甲夺冠可以分别在丙和丁输赢的情况下. 二、填空题 17．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交该双曲线于点、，且，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】设，则根据题意可知，，，，又易知，在中，由勾股定理建立方程，即可求解． 【详解】设，则根据题意可知，， 所以，，又易知， 在中，由勾股定理可得：， 解得，又， 所以， 所以的面积为． 故答案为： 18．（23-24高二下·上海浦东新·期中）省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥当石拱桥拱顶离水面时，水面宽，当水面下降时，水面的宽度为 米 【答案】 【知识点】求实际问题中的抛物线方程 【分析】建立坐标系，设出抛物线方程为，从而可得A在抛物线上，代入可求出抛物线方程，再令，即可求解． 【详解】建利坐标系如图，设抛物线方程为且， 则根据题意可知图中坐标为， 所以，可得， 所以抛物线方程为， 令，代入方程，解得， 可得到水面两点坐标分别为 所以水面的宽度为米． 故答案为： 19．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】联立方程，消得，再由题设条件即可求出结果. 【详解】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解， 则，解得， 故答案为：． 20．（23-24高二下·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点满足，则点的轨迹与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【知识点】轨迹问题——圆、判断圆与圆的位置关系 【分析】由题意得轨迹为圆：，再由圆心距和、比较，即能得到两圆位置关系. 【详解】设，因为，化简得到圆：，是以为圆心，2为半径的圆； 圆是以为圆心为半径的圆，则，，所以两圆相交. 故答案为：相交. 21．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆，双曲线.设椭圆两个焦点分别为，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，记双曲线的一条渐近线与椭圆的一个交点为，若且，则的值为 . 【答案】 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据，可得，由椭圆定义即可解得其离心率，由渐近线方程可得，根据双曲线的离心率公式即可解得离心率. 【详解】如图所示，椭圆， 因为, 所以， 又因为， 所以， 故， 双曲线的一条渐近线设为， 即，故， 所以双曲线离心率， 所以. 故答案为：. 22．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的焦点为F，第一象限的A、B两点在抛物线上，且满足，，若线段AB中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为 . 【答案】 【知识点】斜率公式的应用、抛物线定义的理解、由弦长求参数 【分析】先根据焦半径公式得到的关系，由弦长公式求解出直线的斜率，再结合斜率坐标公式以及点在抛物线上求出的值. 【详解】设直线的斜率为，， 由，得，解得， 又，则，由都在第一象限，得， 而，且，则， 所以抛物线方程为， 故答案为： 23．（23-24高二下·上海·期中）若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、对勾函数求最值 【分析】根据椭圆和双曲线方程可得出的表达式，再结合并利用对勾函数性质可求得的最大值为. 【详解】由椭圆可得， 由双曲线可得， 所以， 又，由对勾函数性质可得，当且仅当时，等号成立； 所以， 即的最大值为，当且仅当时，等号成立； 故答案为： 24．（23-24高二下·上海·期中）若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是 . 【答案】1 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的焦点、焦距、根据双曲线方程求a、b、c、求双曲线的焦点坐标 【分析】分别求出椭圆和双曲线的焦点即可求参. 【详解】双曲线的焦点在x轴上, 椭圆中, 所以, 可得. 故答案为：1. 25．（23-24高二下·上海·期中）已知点在椭圆上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据椭圆的有界性求范围或最值 【分析】由椭圆方程进行代换得，再结合三角函数的知识即可求得答案. 【详解】椭圆上的点可设为，即， 所以， 故答案为：. 26．（23-24高二下·上海·期中）过焦点在轴上的椭圆的顶点引一条弦，弦的最大长度为，则 . 【答案】 【知识点】求椭圆中的弦长 【分析】设，由，利用二次函数的性质求解. 【详解】依题意，设，则，， 则， 当时，由二次函数的性质得，当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得，当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得， 当时，，即， 解得或（舍去）， 故答案为：2 27．（23-24高二下·上海·期中）已知，在拋物线上存在两个不同的点关于直线对称，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】抛物线中的参数范围问题、抛物线的中点弦 【分析】首先设处对称的两点，利用点差法求中点坐标，利用中点和抛物线的关系，即可列式求解. 【详解】设抛物线上关于直线对称的两点为，， 则，两式相减得， 由条件可知，，即， 所以中点的纵坐标为，横坐标为，即中点坐标为， 由题意可知，中点应在抛物线内，即，得. 故答案为： 28．（23-24高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为 . 【答案】或 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， 设直线l的方程为，即. 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， 结合点到直线距离公式，得， 化简得，解得，即直线l的方程为. 故答案为：或. 29．（23-24高二下·上海·期中）在数学教科书《选择性必修第一册》中，有一段对圆锥曲线统一定义的描述．其中提到：设椭圆的一个焦点为，长半轴长为，则一点在椭圆上当且仅当．由于圆不在考虑范围内，，上式经变形化为等价条件，其中是椭圆的离心率，我们还把直线称为椭圆的准线．这样，上式用文字叙述就是：椭圆是到焦点与到准线的距离之比等于离心率的点的轨迹，其中离心率满足．阅读以上文字，并回答以下问题：设椭圆恒过定点，则椭圆的中心到准线的距离的最小值 ． 【答案】 【知识点】椭圆定义及辨析、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】由椭圆恒过定点可得，设可得，进而可得有正根，可求椭圆的中心到准线的距离的最小值. 【详解】椭圆恒过定点，可得， ， 设椭圆的中心到直线的距离为， 椭圆的焦距为，同时可设， ， ， 有正根，则， 即只需，且时，方程有解， 或， 椭圆恒过定点， 则椭圆的中心到准线，， 则椭圆的中心到准线的距离的最小值为. 故答案为：. 30．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知数列是等差数列，则下列数列中必为等差数列的序号是 ①   ②   ③   ④ 【答案】① ② ③ 【知识点】判断等差数列 【分析】根据等差数列的通项公式及单调性判断各项是否等差数列即可. 【详解】令的公差为，则， ，即是首项为，公差为的等差数列； ，即是首项为，公差为的等差数列； ，即是首项为，公差为的等差数列； 若，则先递减，后递增，不可能为等差数列. 故答案为：① ② ③ 31．（22-23高二下·上海普陀·期中）将数列（，）分组为：（1），，，，……，则第（，）组中的第一个数是 . 【答案】 【知识点】根据规律填写数列中的某项、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的求和公式计算第组中的第一个数位于数列的第几项即可. 【详解】由条件可知第组即有项，则第组的第一个数是数列的第项， 计算， 即为第组中的第一个数. 故答案为： 32．（22-23高二下·上海青浦·期中）数列满足：，，且（，），则该数列前100项和 【答案】 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、分组（并项）法求和、数列周期性的应用 【分析】根据递推公式求得数列前几项，观察可得是以6为周期的数列.进而求出，即可根据周期性得出答案. 【详解】由已知可得，，，，， ，，， 所以，是以6为周期的数列. 又， 所以，. 故答案为：5. 33．（22-23高二下·上海奉贤·期中）已知数列中，，且对于任意正整数有，则 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】由题意可得,又,则数列是以1为首项,1为公差的等差数列,然后结合等差数列通项公式的求法求解即可. 【详解】已知数列中,,且对于任意正整数有, , ,即, 又 所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列，即, 又∵,∴. 故答案为:. 34．（22-23高二下·上海嘉定·期中）“三个内角的度数构成等差数列”是“中有一个内角为”的 条件． 【答案】充要 【知识点】探求命题为真的充要条件、等差中项的应用 【分析】利用等差中项的性质、三角形的内角和定理结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若三个内角的度数构成等差数列，不妨设、、成等差数列， 则，可得， 即“三个内角的度数构成等差数列”“中有一个内角为”； 若中有一个内角为，不妨设，则， 所以，、、成等差数列， 即“三个内角的度数构成等差数列”“中有一个内角为”. 因此，“三个内角的度数构成等差数列”是“中有一个内角为”的充要条件. 故答案为：充要. 35．（23-24高二下·上海·期中）若函数的图象上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图象上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由对称性求函数的解析式、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求出函数图象关于原点对称的图象对应的函数，再借助导数求出方程在上有两根的的取值范围. 【详解】函数图象关于原点对称的图象对应的函数为， 由函数的图象上仅只两组点关于原点对称， 得函数与的图象有且只有两个交点， 即方程在上有两个不等实根，因此方程在上有两个不等实根， 即直线与函数的图象在上有两个交点， 由，求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，函数在处取得最大值，， 且恒成立，又时，， 作出直线与函数的图象在上的图象， 观察图象知，当时，直线与函数的图象在上的图象有两个交点， 所以方程在上有两个不等实根，实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 36．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，若存在实数使在上有2个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、基本初等函数的导数公式、利用导数研究函数的零点 【分析】由题意可知：原题意等价于与在内有2个交点，求在处的切线方程，结合图象分析求解. 【详解】令，可得， 原题意等价于与在内有2个交点， 且，的横截距为， 因为，则， 即切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即， 即在处的切线方程为，该切线的横截距为， 结合图象可知：若与在内有2个交点， 则，即的取值范围为. 故答案为：. 37．（23-24高二下·上海·期中）正项等比数列中，与是的两个极值点，则 . 【答案】2 【知识点】对数的运算、等比中项的应用、根据极值点求参数 【分析】求导后，由题意和韦达定理得到，再根据等比中项的性质得到，最后根据对数的运算求出结果即可. 【详解】， 所以与是方程的两根， 所以在正项等比数列中，， 所以， 故答案为：2. 38．（23-24高二下·上海·期中）如图，用一块形状为半椭圆的铁皮截取一个以短轴为底的等腰梯形，记所得等腰梯形的面积为，则的最大值是 ．    【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、面积、体积最大问题、求椭圆中的最值问题 【分析】设，结合椭圆的几何性质，求得梯形的面积为，化简得到，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解. 【详解】设点坐标为，由点在椭圆上知，得， 等腰梯形的面积为， ， 令， ， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则在区间上，有唯一的极大值点， 所以当时，有最大值为； 即当时，有最大值为. 故答案为：. 39．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数，定义的导函数为，的导函数为……以此类推，若，则实数的值为 ． 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】根据函数的特征，即可求，即可求解的值. 【详解】，，，， 发现函数的导函数中第一部分是周期为4的函数，第二部分的导数不变， ，所以，， 则. 故答案为：. 40．（23-24高二下·上海·期中）若函数在上为严格增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】对求导，根据条件，将问题转化成在恒成立，令，得到在区间上恒成立，分和两种情况，当时，通过分离常量，转化成求的最小值，即可解决问题. 【详解】因为，所以， 令，则， 由题知在区间上恒成立， 当时，恒成立，当时，得到在区间上恒成立， 易知在区间上单调递减，得到， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 41．（23-24高二下·上海·期中）函数的严格递减区间是 . 【答案】. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导并结合函数的定义域，求出函数的单调减区间即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令，则且，即的严格递减区间为. 故答案为： . 42．（23-24高二下·上海·期中）设是定义在上的偶函数，为其导函数，，当时，有恒成立，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设，求导得，根据题意得在上单调递增，再根据函数的奇偶性和函数零点即可得到不等式解集. 【详解】设,则 当时,有恒成立, 当时,在上单调递增, 是定义在上的偶函数, ， 即是定义在上的奇函数, 在上也单调递增. 又. 不等式的解可等价于即的解, 或, 不等式的解集为. 故答案为：. 43．（23-24高二下·上海·期中）关于的方程有两个不同实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究方程的根 【分析】由方程解的问题转化为零点问题，再进行参数的讨论求解即可. 【详解】令，， 因为有两个不同实数根，所以有两个不同的零点， 若，恒成立，所以在上单调递增，不可能有两个零点. 若，令，则，所以，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为有两个零点，所以，解得，所以. 故答案为： 44．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知对任意成立，求实数a的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将不等式两边取对数，分离参变量并构造函数，求出函数的最值即可得解. 【详解】，，而， 于是得：，， 令，，， 当时，，当时，， 因此，在上单调递增，在上单调递减， 即当时，， 于是得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 45．（22-23高二下·上海松江·期中）若函数在上严格增，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据函数严格增可知导数不小于0恒成立，分离参数后求最值即可得解. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立， 而在上严格减， 所以， 故. 故答案为： 46．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】不等式转化为，令，利用导数说明函数的单调性，结合单调性解函数不等式. 【详解】不等式转化为， 令，则，在上单调递减， ，，的解集为， 即不等式的解集为. 故答案为： 47．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由参变分离可得对任意的都有成立，令，，只需，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案． 【详解】因为对任意，都有成立， 所以对任意，都有即成立， 令，， ， 令，，， 所以在上单调递增， 所以， 所以在上，单调递增，所以， 所以，所以的取值范围为. 故答案为：． 48．（22-23高二下·上海杨浦·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】由可得， 则线在点处的切线的斜率为：， 故. 故答案为： 49．（22-23高二下·上海闵行·期中）若方程有三个不同实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根 【分析】将问题转化为函数与函数的图象有三个不同的交点，利用导数讨论函数的单调性和极值，数形结合求解. 【详解】由，可得， 则关于的方程有三个不同实根， 即函数与函数的图象有三个不同的交点， ， 令解得或，令解得， 所以函数在单调递增，单调递减，单调递增， ， 作出函数的图象如下， 由图可知，解得， 故答案为:. 50．（23-24高二下·上海·期中）已知，则 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数、组合数的性质及应用 【分析】根据二项式通项公式知，由组合数的性质得计算即可. 【详解】根据题意， 因为多项式， 所以由二项分布的通项公式得 . 故答案为：. 51．（23-24高二下·上海·期中）在一个阳光明媚的周末，市射击俱乐部举办了一场盛大的射击比赛，来自各地的射击爱好者纷纷报名参加，甲乙作为一个组合报名参加了射击小组赛.该项比赛规则为：每个小组2人，每人每轮依次射击一次，共有2轮.若两人合计射中靶心次数不少于3次，则称这组为“神枪手组合”.已知甲、乙射中靶心的概率分别为和，若，那么甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的最大可能性为 （假设所有选手每次射击都互相独立）. 【答案】 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】先表示出甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的概率，转化为关于的二次函数，结合均值不等式和二次函数求最值得到概率的最大值. 【详解】甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号有两种情况，分别为四枪全射中靶心和三枪射中靶心， 四枪射中靶心的概率为，三枪射中靶心的概率为， 所以甲乙小组最后获得“神枪手组合”称号的概率， 由知 设，则，在时取得最大值，， 故答案为：. 52．（23-24高二下·上海·期中）平面上有8个点，其中有3个点在同一条直线上，除此之外，不再有任意三点共线，由这些点可以确定 直线 【答案】26 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、几何组合计数问题 【分析】由分类加法和分步乘法结合组合数的性质计算可得. 【详解】先分类，再分步. 当取3个共线的点中的两个时，可确定1条； 当取不共线的5个点中的两个时，可确定条； 当取不共线的5个点中的一个与共线三个点点中的一个时，可确定条； 所以一共26条. 故答案为：26 53．（23-24高二下·上海·期中）今天星期三，再过1天是星期四，那么再过天是星期 . 【答案】天(或日) 【知识点】整除和余数问题 【分析】首先由，再利用二项展开式即可得解. 【详解】由 ， 所以除余，所以再过天是星期天. 故答案为：天（或日）. 54．（23-24高二下·上海·期中）建平中学“9.30”活动需要4个不同节目的志愿者服务队，有7名志愿者被分配到这4个服务队，7人中有5名高二学生和2名高一学生，1名高一学生至少需要1名高二学生进行工作的传授，每个服务队至少需要1名高二学生，且2名高一学生不能分配到同一个服务队，则不同的分配方案种数是 . 【答案】 【知识点】实际问题中的组合计数问题、分组分配问题 【分析】先把5名高二学生分为人数为的四组，再分到4个不同节目的志愿者服务队，然后把2名高一学生分配到4个不同节目的志愿者服务队中的2个，由乘法原理计算可得． 【详解】根据题意，可先把5名高二学生分为人数为的四组，再分到4个不同节目的志愿者服务队，共有种分法， 然后把2名高一学生分配到4个不同节目的志愿者服务队中的2个，有种分法， 所以共有种不同的分配方案. 故答案为： 55．（23-24高二下·上海·期中）关于的方程的正整数解是 【答案】8 【知识点】排列数的计算、组合数的计算 【分析】根据组合数的性质及排列数转化为的方程，解得即可． 【详解】因为，且， 所以， 所以， 解得． 故答案为：8． 56．（23-24高二下·上海·期中）已知个人排成一列，设事件表示“甲乙两人不能排在一起”，事件表示“丙必须排在前两位”，若，则 . 【答案】4 【知识点】计算古典概型问题的概率、元素（位置）有限制的排列问题 【分析】根据条件，利用排列及古典概率公式，建立等式，即可求出结果. 【详解】因为事件表示“甲乙两人不能排在一起”，所以， 事件表示“丙必须排在前两位”，则， 所以，解得， 故答案为：. 57．（23-24高二下·上海·期中）对一个量用两种方法各算一次，由结果相同构造等式，这种方法称为“算两次”方法，已知，考察展开式中的系数，并据此化简： . 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项式定理的通项公式列方程求解即可. 【详解】等式两边含的系数是相同的， 则, 即. 故答案为： 58．（23-24高二下·上海·期中）的二项展开式中的常数项为 ．（结果用数字表示） 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】由通项公式，令即可求得，代入即可得解. 【详解】， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 59．（23-24高二下·上海·期中）若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是 . 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、几何组合计数问题、异面直线的概念及辨析 【分析】根据给定条件，利用古典概率，结合组合应用问题列式计算即得. 【详解】从正方体的12条面对角线中，随机选取两条的试验有个基本事件， 由于任意两个面的4条对角线中有2对异面直线，因此能成异面直线的对数是， 所以它们成异面直线的概率是. 故答案为： 60．（23-24高二下·上海·期中）小张一次买了三串冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一串只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有 种.（结果用数字作答） 【答案】2520 【知识点】其他排列模型 【分析】考查排列问题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，，则由每一串只能从上往下吃可知每一串冰糖葫芦相对位置是已定的，所以根据定序问题处理即可求出答案. 【详解】由题，记三串冰糖葫芦从上往下依次为，，， 则因为每一串只能从上往下吃， 所以在前被吃，在前而在前被吃，即它们被吃的相对位置是已定的，同理被吃的相对位置也是已定的， 所以根据排列中定序问题可得不同的吃完的顺序有种. 故答案为：2520. 61．（23-24高二下·上海·期中）4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是 .（结果用数字作答） 【答案】384 【知识点】相邻问题的排列问题 【分析】视每对双胞胎为一个整体作全排列，再排列各对双胞胎即得. 【详解】每对双胞胎视为一个整体作全排列，有种，而每对双胞胎的排列有， 所以不同的站法种数是是. 故答案为：384 62．（23-24高二下·上海杨浦·期中）某工厂有甲、乙、丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为，，，假设这三条生产线产品产量的比为，现从这三条生产线上随机任意选取1件食品为次品的概率为 . 【答案】0.047/ 【知识点】利用全概率公式求概率 【分析】借助全概率公式计算即可得. 【详解】记事件：选取的产品为次品， 记事件：此件次品来自甲生产线， 记事件：此件次品来自乙生产线， 记事件：此件次品来自丙生产线， 由题意可得， ，，， 由全概率的公式可得 ， 从这三条生产线上随机任意选取1件产品为次品数的概率为0.047. 故答案为：0.047. 63．（23-24高二下·上海·期中）某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，在下雨天里，刮风的概率为，则既刮风又下雨的概率为 ． 【答案】/0.1 【知识点】计算条件概率 【分析】利用条件概率的计算公式求解即可 【详解】记“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”， 则， 所以. 故答案为： 三、解答题 64．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知点是椭圆：的一个顶点． (1)若椭圆的焦点分别为、，求的面积； (2)设、是椭圆上相异的两点，有如下命题：“若，则与关于轴对称”；请判断该命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)； (2)假命题，理由见解析 【知识点】判断命题的真假、椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题 【分析】由题意，结合题目所给信息以及三角形面积公式进行求解即可； 设出，两点的坐标，将转化成，结合，两点均在椭圆上，推出，分别讨论当和这两种情况，进而即可求解． 【详解】（1）因为点是椭圆：的一个顶点， 所以； （2）不妨设，， 若，即，即， 因为，两点均在椭圆上， 所以，整理得， 当时，，对称； 当时，， 因为，，所以， 则存在，此时，不关于轴对称． 综上，命题：“若，则与关于轴对称”为假命题． 65．（23-24高二下·上海浦东新·期中）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系． (1)工人计划将树苗运送至处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由； (2)工人将处树苗运送到苗圃内点处时，发现从两个入口、运输的最近距离相等，求出的点所有可能的位置． 【答案】(1)经过入口运送较近，理由见解析 (2)点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点． 【知识点】求平面两点间的距离、利用双曲线定义求方程、双曲线的其他应用 【分析】由题意可得，的坐标，计算，，比较与即可求解的结论； 设点，由，可得，可得点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，求出，的值即可得出双曲线方程，从而可得结论． 【详解】（1）由题意可得，，， ，， 经过口时最短距离：， 经过口时最短距离：． 因为, 所以经过入口运送较近． （2）设点，已知 ，可得 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 所以点所有可能的位置是在苗圃内所对应的点． 66．（23-24高二下·上海·期中）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．    (1)求证：； (2)求抛物线的方程； (3)过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】根据抛物线的方程求参数、抛物线中的定值问题、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】（1）将点代入抛物线方程即可证明；（2）设，表示出，，利用抛物线的定义，点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于，的方程，求解即可；（3）设过点作直线的方程为：，，，联立方程，由韦达定理得到，，分别表示出，，化简即可得到答案. 【详解】（1）因为点在抛物线上， 所以，化简得，得证； （2）由，可得， 设，则，， 则，故， 即， 又点在抛物线上， 则， 联立，解得， 所以抛物线的方程为 （3）设过点作直线的方程为：，，      联立，得， 则，，， 则，， 所以， 化简得， ， 化简得：， 所以 67．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程； (3)若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、椭圆中向量点乘问题、根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）设，利用得，求解，证明是等边三角形； （2）求出点坐标，利用是直角三角形，得到其外接圆圆心为，半径为，然后求解所求椭圆的方程； （3）求出椭圆方程，设直线方程为，,，联立方程，由韦达定理结合条件化简可得结果. 【详解】（1）设，由，， 则，， 因为，所以，解得：， 故，由，， 则，即， 所以，则， 又因为，所以是等边三角形； （2）由(1)知，，故，此时点， 又为直角三角形，故其外接圆圆心为，半径为， 所以，解得：，，， 所以椭圆的方程为： （3）若，则，， 所以椭圆的方程为： 则，，， ①当直线与轴重合时，则，，所以，不满足题意. ②设直线方程为，,, 则，，， 则 由，化简得：， 则有， 因为， 所以， 因为，，化简得：， 即， 即，则， 所以直线的斜率 68．（23-24高二下·上海·期中）双曲线的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线交于两点． (1)若的倾斜角为，是等边三角形，求的值； (2)设，若直线的斜率等于2，求两点的横坐标之和． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用韦达定理求其他值、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由直线的倾斜角可求得点坐标，再利用等边三角形性质可得； （2）求出双曲线方程和直线方程，联立后利用韦达定理即可得两点的横坐标之和为. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，则可得， 当的倾斜角为时，不妨设，如下图所示： 将点代入可得，又； 解得； 由是等边三角形可得，即， 联立解得或（舍）； 所以可得； （2）当时，双曲线方程为，此时 又直线的斜率等于2，所以直线方程为， 不妨设，联立直线和双曲线方程， 整理可得， 显然，由韦达定理可得， 即两点的横坐标之和为. 69．（23-24高二下·上海·期中）已知，直线与双曲线相交于不同的点. (1)若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围； (2)若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）直线与双曲线方程联立，消元得到一个元二次方程，由题意得到不等式组，解这个不等式组即可求出实数的取值范围； （2）利用圆的性质.利用平面向量的数量积，结合（1）中的一元二次方程，可以求出实数的值. 【详解】（1）直线与双曲线方程联立得：， 因为直线与双曲线相交于不同的两点分别在双曲线的左、右两支上， 所以有：， 因此实数的取值范围为； （2）设，因为线段为直径的圆经过坐标原点， 所以有，即， 由（1）可知：， 则， 即. 70．（23-24高二下·上海·期中）已知、、是我方三个炮兵阵地，地在地的正东方向，相距6km；地在地的北偏西，相距4km．为敌方炮兵阵地．某时刻地发现地产生的某种信号，12s后地也发现该信号（该信号传播速度为km/s）．以方向为轴正方向，中点为坐标原点，与垂直的方向为轴建立平面直角坐标系．    (1)判断敌方炮兵阵地可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程； (2)若地与地同时发现该信号，求从地应以什么方向炮击地？ 【答案】(1)在以为焦点的双曲线右支上， (2)炮击的方位角为北偏东. 【知识点】利用双曲线定义求方程、双曲线的其他应用、求直线与双曲线的交点坐标 【分析】（1）依题意可得，根据双曲线的定义可知在以、为焦点的双曲线右支上，即可求出轨迹方程； （2）首先求出点坐标，依题意点在线段的垂直平分线上，求出的垂直平分线方程，再联立（1）中轨迹方程，求出点坐标，即可求出，从而确定方向. 【详解】（1）依题意，， 又，即， 故在以、为焦点的双曲线右支上， 设双曲线方程为，则且， 所以，所以双曲线方程为. （2）因为且，所以，， 所以， 因为，所以点在线段的垂直平分线上， 因为，中点， 所以直线的方程为， 由 （1） 知点还在上， 由，解得（负值已舍去），所以， 因此，则，所以， 故炮击的方位角为的北偏东.    71．（23-24高二下·上海·期中）设为抛物线上的动点． (1)若点的纵坐标为，求点与抛物线的焦点之间的距离； (2)过点分别作两条直线交抛物线于、两点，交直线于两点，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】抛物线上的点到定点的距离及最值、直线与抛物线交点相关问题 【分析】（1）根据题意，求得点，结合抛物线的定义，即可求解； （2）根据题意，求得，的直线方程,令时，求得，即可求解. 【详解】（1）解：由抛物线，可得， 因为点的纵坐标为，即，可得，即点， 根据抛物线的定义，可得. （2）解：由点，且，，可得， 所以的直线方程为，的直线方程为 当时，可得， 所以. 72．（23-24高二下·上海青浦·期中）已知抛物线的焦点为，直线经过点且与交于点． (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若，求线段的中点到轴的距离． 【答案】(1) (2)1 【知识点】三角形面积公式及其应用、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线联立，求出，的值，进而得出，则由求出的面积； （2）因为是焦点弦，所以能求出值，设出直线方程与抛物线联立，解出直线方程，把中点横坐标代入求出纵坐标即为所求. 【详解】（1）因为抛物线，焦点为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立得，则，，， 则， 又 所以，. （2）因为直线经过点且与交于点，设，， 因为，所以直线斜率一定存在，设方程为， 组成方程组，则有， 则，，， 因为，所以，则， 当时，直线方程为，且， 所以中点纵坐标为，此时中点到轴的距离为， 根据对称性，当时，中点到轴的距离也为， 所以线段的中点到轴的距离为. 73．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆的焦点是，，长轴长是短轴长的2倍，求椭圆上的点到直线距离的最大值． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题 【分析】先求与直线平行，且与椭圆相切的直线方程，再求两平行直线间的距离得解. 【详解】由题意，，， 所以，即，解得，， 所以椭圆方程为， 设与直线平行的直线方程为， 联立，消元得， 由，解得或， 当时，两平行直线间的距离， 当时，两平行直线间的距离， 因为， 所以椭圆上的点到直线距离的最大值为. 74．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知数列满足：，；数列是各项都为正数的等比数列且满足，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据等差数列基本量求出的通项公式，设等比数列的公比为，即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得. 【详解】（1）因为，，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故； 设等比数列的公比为，又，，所以， 解得或（舍去），所以. （2）由（1）可得， 所以 . 75．（23-24高二下·上海·期中）已知数列满足，，数列满足，． (1)求证：为等差数列，并求通项公式； (2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）证明为常数即可证明为等差数列，根据等差数列通项公式即可求的通项公式，进而求出的通项公式； （2）根据累乘法求出，再求出，根据的通项公式特征，采用裂项法求其前项和，求单调性并求其范围即可求出的范围． 【详解】（1）因为，，两边同时除以可得： ，从而，， 所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以， 则； （2）由，， 所以，则， 所以， 所以 则， 因为中的每一项，所以为递增数列， 所以，因为， 所以，即实数的取值范围为. 76．（22-23高二下·上海长宁·期中）已知数列的前n项和为，已知数列的各项均为正数，，且； (1)求数列的通项公式； (2)求证：数列是等差数列，并求出的通项公式； (3)若，求对所有的正整数n都有成立的实数k的取值范围？ 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）利用求数列通项公式即可； （2）由题设得，即可证结论，进而写出的通项公式； （3）由（1）（2）得，作差法判断单调性，结合已知不等式知在上恒成立，结合二次函数性质求参数范围. 【详解】（1）时，则，故， 而，则，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以. （2）由，则，即，而， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，且，即. （3）由（1）（2）知：，而， 所以为递减数列，要使对所有的正整数n都有成立， 则，即在上恒成立， 当，即时，在上恒成立； 当，即时，只需，可得； 综上，. 77．（22-23高二下·上海普陀·期中）设数列的首项为常数，且. (1)证明：是等比数列； (2)若，求数列的通项及前项的和； (3)若是严格增数列，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)， (3) 【知识点】由递推关系证明等比数列、等比数列的单调性、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】（1）由条件的递推公式构造数列，利用等比数列定义证明即可； （2）由（1）的结论及等比数列求和公式计算即可； （3）利用数列与函数的单调性，分类讨论计算即可. 【详解】（1）由可得：，即是常数， 又，即，故是以为首项，-2为公比的等比数列； （2）结合（1）可得：， 记为前项的和， 则 ； （3）由上可得：， 若为严格增数列，则， 对任意自然数恒成立，化简得， 若为偶数，则，令，显然在定义域上单调递减，即， 若为奇数，则，令，显然在定义域上单调递增，即， 综上 78．（22-23高二下·上海青浦·期中）已知数列满足，． (1)求， (2)求数列的通项公式 (3)如果数列满足，，若对，恒成立，求的最小值 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】确定数列中的最大（小）项、根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）根据数列递推式即可求得答案； （2）利用累加法即可求得数列的通项公式； （3）利用（2）的结论可得，以及的表达式，分类讨论求得的最大值和最小值，结合函数单调性可得的最值，再结合恒成立，可得范围，即可求得答案. 【详解】（1）由题意得； （2）， ， 累加可得， 又，又也适合该式， 故. （3）由（2）知， 当n为奇数时，， 单调递减，且， ； 当n为偶数时，， 单调递增，且， ，而， 综上，的最大值和最小值分别为，，函数在上单调递增， 由对，恒成立， ∴， 的最小值为. 79．（22-23高二下·上海青浦·期中）（1）已知等比数列首项为，公比为q（），前n项和为，请推导等比数列的求和公式：； （2）已知等差数列前n项和为，满足，，求. 【答案】（1）答案见解析 ；（2）． 【知识点】求等差数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）直接利用错位相减法即可求解； （2）先求等差数列的公差，然后利用等差数列前n项和公式即可求解. 【详解】（1）的前n项和为 ，① 两边同乘公比q得，② ①②得， 因为，所以. （2）设等差数列的公差为，则， 因为，所以，所以，所以， 所以. 80．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知数列的前n项和． (1)求证：数列是等差数列； (2)令，求的表达式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】判断等差数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据求出数列的通项，再根据等差数列的定义即可得证； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）由， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以， 又， 所以数列是等差数列； （2）， 则 . 81．（22-23高三下·上海虹口·期中）记为数列的前项和，已知，（为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)设，若，求正整数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、前n项和与通项关系 【分析】（1）计算，确定数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，得到通项公式. （2）验证时不成立，当时，确定，代入计算得到，解得答案. 【详解】（1）由，，得， 且当时，，即.    故数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列，， 故数列的通项公式为， （2）当时，，又. 当时，，不满足条件；     当时， 由， 解得. 82．（22-23高二下·上海嘉定·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元()的管理费，预计当每件产品的售价为x元() 时，一年的销售量为 万件． (1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x的函数关系式(并写出函数的定义域)； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、利润最大问题 【分析】（1）通过利润＝每件产品利润×售价，代入计算即可． （2）通过利润表达式求导函数，由a的范围分类讨论原函数的单调性，并求出a在不同范围内的利润的最值即可． 【详解】（1）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：． （2）． 令得或（不合题意，舍去）． ，．在两侧的值由正变负． 所以当即时， ． 当即时，， 所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）； 若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． 83．（23-24高二下·上海·期中）已知函数，，其中，． (1)求函数在点处的切线方程； (2)函数，，是否存在极值点，若存在，求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，极小值点，无极大值点 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、求已知函数的极值、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）分别求出的值即可得解； （2）求导得，分是否大于0并结合极值点的定义讨论即可； （3）分是否等于1进行讨论，当时，可借助（2）中结论进行求解. 【详解】（1），，因为，所以， 所以在点的切线方程为，即； （2）设，定义域， 当时，恒成立，所以在严格增，所以不存在极值点； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 所以在严格减，在严格增， 所以函数存在一个极小值点，无极大值点； （3）原不等式， 当时，恒成立； 当时，，即， 由（2）知时，，此时， 所以此时， 所以此时，且由以上分析可知，当时，， 综上，实数的取值范围为. 84．（23-24高二下·上海·期中）定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数” (1)判断函数是否为“函数”，并说明理由 (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围 【答案】(1)是；理由见解析； (2). 【知识点】函数新定义、根据极值求参数、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数求出函数的极大值并判断得解. （2）由函数有极值得，再求出极大值解不等式即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，满足“函数”的定义， 所以函数是“函数”. （2）依题意，函数在上有极大值，且极大值为负数； 求导得，显然，否则恒成立，函数在上单调递增，无极值， 则当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，解得， 所以实数的取值范围为. 85．（23-24高二下·上海·期中）如图是一块空地，其中是直线段，曲线段是抛物线的一部分，且点是该抛物线的顶点，所在的直线是该抛物线的对称轴．经测量：三点在一条直线上，，（单位：百米）．开发商计划利用这块空地建造一个矩形游泳池，矩形顶点都在空地的边界上，其中点在直线段上，设（百米），矩形草坪的面积为（百米） (1)求的解析式 (2)当为多少时，矩形草坪的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，矩形的面积取得最大值 【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、面积、体积最大问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用二次函数模型解决实际问题 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用点的坐标求解直线方程以及抛物线方程，即可根据点的位置分类讨论求解， （2）利用导数求解函数的单调性，即可求解时的最值，利用二次函数的性质即可求解上的最值，结合分段函数的性质即可求解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由于, 所以点的坐标为，点的坐标为， 由于三点在一条直线上，所以直线， 由于，所以,故点的坐标为 由于抛物线的顶点为，对称轴为，可设抛物线方程为 将点的坐标代入得，所以抛物线方程为， 直线的方程是，直线的方程是， 因为设，所以当时，点的坐标为，点的坐标为， 所以矩形的面积， 当时，的坐标为， 所以矩形的面积为， 所以矩形的面积为， （2）当时，， 令，得， 所以，当时，；当时，， 所以，当时，矩形的面积取得最大值， 当时，， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，矩形的面积取得最大值， 又， 综上，当时，矩形的面积取得最大值. 86．（23-24高二下·上海闵行·期中）已知函数， (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)设函数，求证：当实数时，函数在处取得极小值． 【答案】(1) (2)当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (3)证明见解析 【知识点】函数极值点的辨析、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）代入，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导后分与讨论即可； （3）求导后可得，再求导分析的单调性，进而可得的正负区间，从而得到的单调性证明即可. 【详解】（1）当时，，，则，， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）由题意，，则当时，恒成立，单调递增； 当时，令有，故当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时，单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由题意，，，则， 令，则，即为增函数. 又，故在上，在上. 故在上单调递减，在上单调递增. 故当实数时，函数在处取得极小值. 87．（23-24高二下·上海·期中）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)递增区间是，，递减区间是； (2). 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，再解导函数大于0、小于0的不等式得解. （2）利用导数按和探讨在上的单调性，结合零点存在性定理求解即得. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， 求导得，当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，；递减区间是. （2）函数，求导得， 当，即时，，，函数在上单调递增， 由函数在区间上恰有一个零点，得， 解得，因此； 当，即时，当时，，即函数在上递减， 又，要函数在区间上恰有一个零点，当且仅当， 则与矛盾， 所以的取值范围是. 88．（22-23高二下·上海普陀·期中）已知函数在与时都取得极值. (1)求的值与函数的单调区间. (2)求该函数在的极值和单调性. (3)设，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，增区间，减区间 (2)极大值是，极小值是；增区间、，减区间 (3)或 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）根据极值点求得，结合导数求得的单调区间. （2）根据的单调区间求得在的极值和单调性. （3）根据在区间上的最大值列不等式，从而求得的取值范围. 【详解】（1）， 由于在与时都取得极值， 所以，解得， ， 所以在上单调递增， 在上单调递减， 所以是的极大值，是的极小值. 所以，增区间，减区间. （2）， 由（1）得在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，所以在区间上， 极大值是， 极小值是. （3）由上述分析可知，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，， ， 所以在区间上的最大值是， 在区间上恒成立，所以， ，解得或. 89．（22-23高二下·上海浦东新·期中）某网球中心在平方米土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为平方米．当该中心建设块球场时，每平方的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用元 (1)请写出当网球中心建设块球场时，该工程每平方米的综合费用的表达式，并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）； (2)为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？ 【答案】(1)，定义域为 (2)8 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）先求出每平方米的平均环保费用，再根据综合费用是建设费用与环保费用之和求出的表达式即可； （2）利用导数得到的单调性，进而求出取最小值时的值即可． 【详解】（1）由题意可知，， 因为每平方米的平均环保费用为元， 因为每平方米的平均建设费用为可近似地用函数关系式， 所以每平方米的综合费用， 其中函数的定义域为. （2）由（1）可知， 则， 令得，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得极小值即为最小值， 所以当该网球中心建8个球场时，该工程每平方米的综合费用最省． 90．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在处的切线与直线平行． (1)求函数的极值； (2)若对任意的，且都有，求实数m的取值范围． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求得，再利用导数判断的单调性和极值； （2）由题意分析可得在为增函数，进而可得在恒成立，构建，利用导数判断其单调性和最值，即可得结果. 【详解】（1）由题意可知的定义域为，且， 可得的图象在处的切线斜率为，由切线与直线平行， 可得，即， 所以，， 由，可得，由，可得， 则在单调递增，在单调递减， 可得在处取得极大值为，无极小值. （2）不妨设，则， 若，， 可得，即有， 设在为增函数， 即有对恒成立， 可得在恒成立， 令，则的定义域为，且， 由，可得，由，可得， 可得在递减，在递增， 则在处取得极小值，且为最小值， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 91．（22-23高二下·上海青浦·期中）已知函数 (1)当时，求的最大值 (2)讨论函数的单调性 (3)对任意的，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，研究函数的单调性，从而得出最值； （2）结合函数的定义域，分类讨论的范围，解导函数的不等式即可； （3）先证明恒成立，分析出，先找到符合题意的的范围， 然后证明该范围的补集不符题意即可. 【详解】（1）时，， 由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 故函数； （2）定义域为，， 当时，，在上递增； 当时，令，解得，令，解得. 于是时递增；时递减 （3）任意都有成立，故，即. 设，由增函数加增函数得增函数，在上单调递增， 又，，故存在唯一的，使得； 设，，当时，单调递增， 当时，单调递减， 于是时，取得最小值，故恒成立. 于是，即， 当，即时取得等号. 显然时，符合题意； 当时，对不等式，取,即， 根据上面的分析：，得到，即， 但，，即得到矛盾，于是不成立. 综上， 92．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知函数，常数． (1)若函数的图像在点处的切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间和极值，说明理由； 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为，，无极大值. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意由，即可求出的值； （2）求出函数的导函数，再求出函数的单调区间与极值即可. 【详解】（1）因为，所以，，则， 因为函数的图像在点处的切线方程为， 所以，解得. （2）函数的定义域为，， 又，在上单调递增，由，解得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在取得极小值，即，无极大值， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为， ，无极大值. 93．（22-23高二下·上海静安·期中）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当函数有且仅有一个驻点时，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】（1）求出导函数计算，再求得，由点斜式得切线方程； （2）根据题意，由方程有且仅有一个正实根求出实数a的取值范围即可． 【详解】（1）时，，则， 所以切线的斜率为，又， 所以在点处的方程为，即； （2）的定义域是，， 因为函数有且仅有一个驻点，所以方程有且仅有一个正实根. 显然当时不符合题意． 对于方程， 若，则或（舍）， 当时，由，得， 所以，符合方程有且仅有一个正实根； 若，则或， 当时，方程的两根满足， 所以方程的一根为正，一根为负，符合只有一正根，满足题意； 当时，方程的两根满足， 又，所以方程的两根均为正，不满足题意； 若，方程无实根，不符合题意. 综上，的范围是． 94．（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若，设，判断是否是函数的极值点并说明理由； (3)设，点在函数的图像上，且的横坐标.曲线是由所有的线段构成的折线图，求证：对于任意的，直线与的交点不可能有无穷多个. 【答案】(1) (2)不是，理由见详解 (3)证明见详解 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）由导数的几何意义直接计算即可； （2）由极值点定义，结合三角函数的有界性判断导函数在附近的符号即可； （3）判断折线段的范围结合与的大小即可得证. 【详解】（1）由条件可得， ，∴曲线在处的切线方程为， 即； （2）不是函数的极值点，理由如下： ，， 当时，易知，即， 当时，易知，即， 时，， 故当时，有，所以不是函数的极值点； （3）由题意可得， 当时，， 即， 当时，， 即， 故折线段的端点都在函数上， 考虑交点个数是否无穷，在时显然为有限个， 当时，折线段构成的折线图在两函数之间，如图所示， 下面讨论与在时的交点个数， 令，则， 令，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以， ①当时，，即时，始终的上方， 此时始终的上方，故与折线段构成的折线图没有交点； ②当时，，此时与相切， 故与折线段构成的折线图至多有一个交点； ③当时，，且时，，时，， 即及使得， 故此时与有两个交点，不妨设， 则当时，，在的上方， 故与折线段构成的折线图有有限个交点； 综上，，都有与折线段构成的折线图有有限个交点.    95．（22-23高二下·上海黄浦·期中）已知函数和． (1)当时，求证：是方程的唯一实根； (2)若对任意，函数的图像总在函数图像的上方，求实数m的取值范围． 【答案】(1)详见解析； (2) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先利用导数求得有唯一零点，进而证得是方程的唯一实根； （2）先将题给条件转化为在上恒成立，按m分类讨论并利用导数求得的单调性和极值，进而求得实数m的取值范围． 【详解】（1）令， 则， 则在上为减函数，又， 则有唯一零点，则当时， 是方程的唯一实根. （2）对任意，函数的图像总在函数图像的上方， 则在上恒成立， 令， 则， 若时，在上恒成立， 则在上单调递减，又， 则恒成立，这与在上恒成立矛盾，不符合题意； 若时，方程的判别式 当即时，在上恒成立， 则在上恒成立， 则在上单调递增，又， 则在上恒成立，即对任意， 函数的图像总在函数图像的上方； 当即时，方程有两个不相等的实根， 设两根为，且，则， 则方程有两个不相等的正实根，且 则当时，， 则在上单调递减，又， 则在上，这与在上恒成立矛盾，不符合题意. 综上，实数m的取值范围为． 96．（22-23高二下·上海闵行·期中）已知（，，，为常数）和点，直线为函数在处的切线方程． (1)若，，求函数的极值； (2)若，，，试证明：当时，过点可以作3条不同的直线与相切； (3)上是否存在两个不同的点，在这两个点处的切线相同？请说明理由． 【答案】(1)时函数取得极大值, ,时函数取得极小值,. (2)证明见解析； (3)不存在，证明见解析； 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值 【分析】(1)根据导函数，即可求出极值. (2)转化为的图像与的有三个不同的解交点，即可求解. (3)假设存在这样的两点,分别为，分别求出切线方程，利用两条切线的斜率和截距均相等，即可求证. 【详解】（1）若则, 则, 易知和时, ,此时函数 是严格增函数, 时, ,此时函数是严格减函数, 故时函数取得极大值, ,时函数取得极小值,. （2）若,则,故, ,则可化为: , 设函数上的一个切点为, 有, 故在该点的切线方程为 又该切线过点,代入,整理得: 令,故, 易知函数在和是严格减函数,在是严格增函数, 又 故有三个不同的解,即过点可以作3条不同的直线与相切. （3）不存在,证明如下, 假设存在这样的两点,分别为 , ,故过A、B两点的切线方程分别为:和, 由题意:,得， 又得，, 整理得: ， 将代入上式得,, 同理得, 故是方程的两个根， 又，得 ,这与假设矛盾; 综上,不存在这样的两个点,在这两个点处的切线相同. 【点睛】方法点睛：对于过某一点可作曲线的几条切线问题，可以先设切点，求出切线方程，再将点带入，把问题转化为方程有几个解的问题. 97．（22-23高二下·上海嘉定·期中）设实数.对任意给定的实数，都有． (1)当时，求的值； (2)若是整数，且满足成立，求的值； (3)当m=1时， 求 的二项展开式中系数最大的项是第几项． 【答案】(1) (2) (3)第25项或第26项. 【知识点】求系数最大（小）的项、求指定项的系数 【分析】（1）直接利用二项式定理通项公式计算得到答案. （2）计算，代入计算得到，取计算得到答案. （３）假设展开式系数最大的项为第项.则，解出即可． 【详解】（1）展开式的通项为，故. （2）展开式的通项为， ， 由得，又知， 取，可知. （3）展开式的通项为：， 假设展开式系数最大的项为第项.则 化简得到 即解得即，则． 则的二项展开式中系数最大的项是第25项或第26项． 98．（23-24高二下·上海杨浦·期中）（1）求的二项展开式中的常数项 （2）求的二项展开式中系数最大的项（结果保留通项形式） 【答案】（1）84；（2） 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】（1）应用二项式展开式的通项公式，保证的指数为时，求出的值，进而求出常数项即可； （2）求二项展开式中系数最大的项，只需保证该项系数比较前后两项系数满足不等式，求解得出的值，进而求出该项即可. 【详解】（1）设为常数项，则， 则的二项展开式中的常数项为； （2）设为系数最大的项，则， 则， 则的二项展开式中系数最大的项为：. 99．（23-24高二下·上海浦东新·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记向上的点数分别为x，y，将事件“为整数”记为A，将事件“为偶数”记为B，将事件“为奇数”记为C； (1)试判断事件B与事件C是否相互独立？并说明理由； (2)求的值. 【答案】(1)事件B与事件C相互独立，理由见解析； (2). 【知识点】独立事件的判断、计算条件概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）列举所有的基本事件，再由古典概型的概率公式，相互独立事件的定义判断事件B与事件C是否相互独立； （2）结合条件概率的概率公式计算可得. 【详解】（1）先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，， 则基本事件总数为，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共36种情况， 满足事件的有，，，，，， ，，，，，，， ，，，，，，共个， 故； 满足事件的有，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共个， 故， 满足事件的有，，， ，，， ，，，共个， 所以， 所以事件与事件相互独立， （2）满足事件的有，，，，，，，共种， 所以， 所以， 100．（22-23高二下·上海浦东新·期中）甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，．飞机恰被一人击中而击落的概率为，恰被两人击中而击落的概率为，若三人都击中，飞机必定被击落． (1)求飞机恰被一人击中的概率； (2)求飞机被击落的概率； (3)已知飞机被击落，求三人都击中飞机的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】(1)(2)根据独立事件概率乘法公式可得; (3)根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）设“飞机被击落”，“飞机被i人击中”，，，，则， 依题意，，，． 由全概率公式， 为求，设“飞机被第i人击中”，，，， 将数据代入计算得 （2） 于是 ． （3）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$