高二数学下学期期末模拟卷（沪教版选择性必修第一册+选择性必修第二册，高效培优）

**基本信息** 沪教版高二数学期末模拟卷，覆盖选择性必修两册，以物流调度、环境保护等现实情境设计问题，考查直线与方程、概率统计、导数等知识，注重数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题54分|直线垂直、排列组合、数列递推、二项式系数|基础与中档题结合，如第7题独立性检验融入中学生追星调查，培养数据意识| |选择题|4题18分|条件概率、等额本金还款、双曲线离心率、函数极值点|第14题结合贷款还款实际问题，体现数学应用| |解答题|5题78分|立体几何证明与线面角、导数单调性与恒成立、统计回归、双曲线综合、物流概率调度|第21题物流调度系统综合概率与数列证明，考查逻辑推理；第19题环境保护数据回归分析，发展模型观念|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．5 2．114 3．3 4． 5．5 6． 7．48 8． 9．8 10． 11．/ 12． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.） 1 2 3 4 D A D A 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【解析】（1）因为，且，所以四边形是等腰梯形. 取的中点，连接、.是中点，故，； 又是中点，菱形中，，故，. 因此且，四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，故平面.（5分）    （2）由，菱形边长为，故为正方形，进而. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 故可以为原点，分别以为轴，以过点的平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系. 由（1）易得，，，，，. 故，，.（8分） 设平面的法向量， 则，故可取.（10分） 设直线与平面所成角为， 则.（12分） 因为，故.（14分）   18．（14分） 【解析】（1）由题意得， 当时，，在上单调递增，（2分） 当时，令.， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增.（4分） 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增.（6分） （2）当时，由（1）知在上单调递增，，，不合题意， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ，（10分） 即，解得， 综上，实数m的取值范围为（14分） 19．（14分） 【解析】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为.（3分） （2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现. 随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正， 又因为相关系数，故相关系数在区间上.（7分） （3）采用方程时，2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为 ， 所以，可得.（10分） 故采用方程时， 2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.（14分） 20．（18分） 【解析】（1）由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为.（4分） （2）解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：，（6分） 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为；（10分） 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. （3）不妨取，，则直线的斜率，（11分） 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得，（13分） 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得：（15分） 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为.（18分） 21．（18分） 【解析】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则.（3分） （2）（i）证明： 第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，，（5分） 由题意得， ，， 则 ，（8分） 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列.（10分） （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②，（13分） ①②联立得， 设第n次提前送达事件为 则 ，（16分） 随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率.（18分） 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第一册+选择性必修第二册。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知直线与直线垂直，则______． 【答案】 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，得. 2．现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答） 【答案】114 【分析】根据排列组合知识，结合部分平均分组法、捆绑法求解即可. 【详解】先将5人分为3组，有两种分法（3,1,1；2,2,1）：， 再将3组进行全排列，方案数 ：， 把甲乙看作1个整体，相当于4个元素分到3组，共有（1种分法：2,1,1）：， 再将3组进行全排列，方案数：， 所以满足上述要求的不同安排方案数为：. 3．已知数列满足，且，则_________． 【答案】 【详解】由题意可知，，，，， 以此类推，可知. 4．的展开式中，的系数为_____． 【答案】 【分析】先写出的展开式，再将每一项与组合即可求得的系数. 【详解】， 则的系数为. 5．已知点在直线上，是数列{an}的前n项和，则使成立的最小正整数n=_________. 【答案】5 【分析】先由题意求得，由求得的取值范围，从而求得正确答案 【详解】∵点在直线上， ∴，即 由得，即 解得 使成立的最小正整数为 6．圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算求解. 【详解】设上底面圆半径为1，下底面圆半径为2，以下底面圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则由已知有， 连接，因为，所以，所以， 所以， 即. 7．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】48 【分析】设男生人数为，由题可得列联表，然后由题设可得关于不等式，据此可得答案. 【详解】设男生人数为，则女生人数为，男生追星人数为，不追星人数为， 女生追星人数为，不追星人数为，据此可得列联表如下： 追星 不追星 总计 男生 女生 总计 则由独立性检验相关计算公式结合题设，可得： . 又为保证所有人数为正整数，需为的倍数，则. 8．已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为__________． 【答案】 【分析】先求导，进而得在上恒成立，得，令，利用导数研究单调性进而求解. 【详解】由题意得：在上恒成立，所以， 令，所以， 当时，，所以在单调递增， 所以，所以，所以实数的最大值为. 9．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，若准线上的点到直线的距离为，则__________． 【答案】8 【分析】先由准线上的点确定抛物线参数，利用点到直线距离求出直线斜率，联立方程结合韦达定理与焦点弦长公式求解弦长. 【详解】由抛物线的准线方程为， 点在准线上，得，解得. 因此，抛物线方程为，焦点. 当直线斜率不存在时， 直线方程为，点到直线的距离为， 与题设距离矛盾，故直线斜率存在. 设直线的方程为，整理为， 由点到直线的距离公式得，化简得，即， 两边平方后整理得，解得. 联立，消去得，， 设，，由韦达定理得， 由抛物线焦点弦长公式得. 10．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性，结合能成立求出范围. 【详解】令，则，故在上单调递减， 由，可得，，即， 因关于的不等式在上有解， 故当时，有解，即有解， 因为，所以， 即的取值范围为． 11．已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______． 【答案】/ 【分析】先根据题意得到所需各点的坐标，再结合即可得到与的关系，进而结合椭圆基本参数的关系即可求其离心率． 【详解】设椭圆的半焦距为，则， 依题意可得，，， 将代入椭圆，得， 又在第一象限，则， 四边形的面积为 ， 化简整理得，所以的离心率为． 12．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】将问题化为能成立，应用导数研究右侧的最大值，即可得范围. 【详解】要使得存在满足， 先将不等式进行等价变形为， 两边同乘得， 整理为关于的不等式，即， 令，问题转化为存在使得，即， 对求导，​令，则，即， 由、、在上单调递增，且，， 根据函数的单调性知在上单调递增，而， 所以，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 观察到时，代入得，恰与等价，此时， 故极值点满足，即，故， 因此，存在使成立，当且仅当，则实数的取值范围是. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项.） 13．若事件M，N满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及条件概率公式求解. 【详解】由，得， 由，得， 因此. 14．某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 【答案】A 【分析】在“等额本金还款法”下，每年偿还的本金是固定的，但利息会随着剩余本金的减少而减少。这导致每年的总还款额构成一个等差数列，根据题意算出首项和公差即可求解. 【详解】设第一年的还款金额为， 由于第一年要还本金元以及利息元，因此万元， 由于每年都会偿还万元的本金，因此每年的利息会比上一年减少元，即万元， 因此，这个等差数列的公差万元， 因此，这个等差数列的通项公式为， 则第三年的还款金额为万元，故A正确. 15．已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作垂直轴，垂足为，根据几何关系用表示出点坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率. 【详解】如图，过点作垂直于轴，垂足为， 因为，所以，所以， 又，所以， 根据双曲线对称性，不妨设点在第二象限，则， 将点坐标代入双曲线方程得：， 整理得， 将代入上式，整理得， 两边同时除以，整理得，解得. 16．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和有两个交点，然后利用导数求的单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围即可. 【详解】因为 ，所以， 由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解， 即和有两个交点，且， 而当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，而时， ， 当时，；其大致图象如下： 若和有两个交点，只需，故A正确. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．(14分) 如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 【答案】(1)因为，且，所以四边形是等腰梯形. 取的中点，连接、.是中点，故，； 又是中点，菱形中，，故，. 因此且，四边形是平行四边形，所以. 又平面，平面，故平面.    (2) 【分析】（1）取的中点，连接、.根据中位线以及菱形的性质得到四边形是平行四边形，再根据线面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，应用线面角正弦公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由，菱形边长为，故为正方形，进而. 又平面平面，交线为，平面，故平面. 故可以为原点，分别以为轴，以过点的平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系. 由（1）易得，，，，，. 故，，. 设平面的法向量， 则，故可取. 设直线与平面所成角为， 则. 因为，故.    18．(14分) 已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增. (2) 【分析】（1）先对函数求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （2）利用（1）可知的单调性与的关系，分情况讨论，进而利用即可求解. 【详解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递增， 当时，令.， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，，，不合题意， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为 19．(14分) 某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） (3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 【答案】(1)； (2)散点图； (3)的预测值与实际值之差的绝对值更小. 【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可； （2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间； （3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可. 【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为. （2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现. 随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正， 又因为相关系数，故相关系数在区间上. （3）采用方程时，2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为 ， 所以，可得. 故采用方程时， 2023年预测值为， 预测值与实际值差值绝对值为； 因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小. 20．(18分) 已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在实数符合题意，此时的取值范围为 【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离； （2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解； （3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解. 【详解】（1）由题意可知：，， 则，，渐近线方程为，即， 所以点到双曲线渐近线的距离为. （2）解法一：因为， 由余弦定理可得， 整理得：， 因点是双曲线上一点，则，可得， 代入可得，，则， 所以的面积为； 解法二：设，则，即， 可得，， 因为，即，解得， 所以的面积为； 解法三：因为，即， 由中线长定理可知：， 因为，可得， 代入可得，，可得， 解得，则，， 所以的面积为. （3）不妨取，，则直线的斜率， 依题意，设直线：，则，设直线：，则，，， 联立方程，消去x可得， 则，， 可得， 可知函数在内单调递增，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故， 因，所以； 同理可得： 可知在内单调递减，则， 且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故； 由题意可知：，可得，解得， 所以存在实数符合题意，此时的取值范围为. 21．(18分) 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 【答案】(1) (2)（i），，证明： 第一次随机选择，则， 若第一次提前送达，概率为，若第一次未提前送达，则概率为， 则，， 由题意得， ，， 则 ， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. （ii）， 能提高. 【分析】（1）由题意，根据全概率公式，即可求得答案. （2）（i）根据条件，代入数据，求出，；分别求出和的表达式，即可得的表达式，化简整理，结合等比数列的定义，即可得证. （ii）由（i）得的通项公式，同理可得的通项公式，联立可得和，求出第n次提前送达的概率，分析比较，即可得答案. 【详解】（1）每次随机选择一种方案，则三种方案被选中的概率均为， 设物流提前送达为事件D，则. （2）（i）略 （ii）由（i）得①， 同理 ，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②， ①②联立得， 设第n次提前送达事件为 则 ， 随着n增大，逐渐增大，且， 所以当时，， 因此从第2次起，智能自适应调度系统逐步提高物流提前送达的概率. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修第一册+选择性必修第二册。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．已知直线与直线垂直，则______． 2．现安排5名学生去参加3个项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数为________．（用数字作答） 3．已知数列满足，且，则_________． 4．的展开式中，的系数为_____． 5．已知点在直线上，是数列{an}的前n项和，则使成立的最小正整数n=_________. 6．圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 7．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有______人． 参考数据及公式：，其中． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 8．已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为__________． 9．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，若准线上的点到直线的距离为，则__________． 10．记函数的导函数为，已知，且，，若关于的不等式在上有解，则的取值范围为________． 11．已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，过点且垂直于轴的直线交于点（在第一象限），若四边形的面积，则的离心率为______． 12．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是_________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项.） 13．若事件M，N满足，，则（   ） A． B． C． D． 14．某大学届毕业生小张向银行贷款元用于自主创业，并跟银行约定按照“等额本金还款法”分年进行还贷，贷款的年利率为，则小张第年的还款金额为（    ） A．万元 B．万元 C．万元 D．万元 15．已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为（     ） A．4 B． C． D． 16．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．(14分) 如图，在五面体中，平面平面，底面是边长为2的菱形．，，．    (1)若点，分别为棱和棱的中点，求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角． 18．(14分) 已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 19．(14分) 某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下： 颗粒物密度 101.02 87.02 57.47 21.85 11.76 8.86 5.03 4.63 3.86 二氧化硫密度 119.47 81.94 53.20 9.16 6.60 4.40 3.31 3.35 3.86 (1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？ (2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论） (3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？ 参考数据： 20．(18分) 已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点． (1)求点到双曲线渐近线的距离； (2)若，求； (3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．(18分) 在全球化的现代社会中，物流网络已成为支撑经济发展、促进区域协同的关键基础设施.物流能否准时送达，将影响到消费者的购物体验，而物流提前送达往往能够超越客户预期，显著提升满意度.某物流公司每天需要从干线枢纽发送包裹至目的地城市.从干线枢纽到目的地城市，有三种方案供选择： 方案A：选择高速支线，物流提前送达的概率为； 方案B：选择高速干线，物流提前送达的概率为； 方案C：选择国道线路，物流提前送达的概率为. (1)物流公司每次随机选择一种方案，求物流提前送达的概率； (2)物流公司研发了一套智能自适应调度系统，这套系统的核心算法如下： ①第1次，随机选择一种方案； ②从第2次起，若前一次物流提前送达，则沿用此方案；若前一次未提前送达，则在三种方案中随机选择一种.记第n次选择方案A，B，C的概率分别为，，. （i）求，，并证明：数列为等比数列； （ii）求和，并判断智能自适应调度系统能否提高物流提前送达的概率. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $