上海市高一下学期期中真题百题大通关（提升版)（范围：三角、三角函数）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第二册）

高一下学期期中真题百题大通关（提升版） （范围：三角、三角函数） 一、单选题 1．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据三角函数定义判断A，举反例判断BC，结合两角和差余弦公式判断D. 【详解】①当时，，①错误； ②同时满足的角，②错误； ③当， 故存在角和使得等式成立，③错误 ④正确，过程如下： 故选：A. 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题、和差化积公式 【分析】根据辅助角公式可得，即可利用换元法，结合二倍角公式以及和差化积公式，得，即可利用三角函数性质求解. 【详解】由可得, 故, 由于,设，则， 从而 即，进而， 由于,所以，因此中至少一个为0， 因此至少一个为0， 即至少一个为0，故中至少一个为0. 故选：B. 3．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】充分条件的判定及性质、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】分别对各选项化简，分析是否能得出△ABC为直角三角形即可. 【详解】①由正弦定理，，则，即， 故或，即或， 故不能推出△ABC为直角三角形，故①错误； ②，则， 即，故. 因为，故或， 即（舍）或，则不能推出△ABC为直角三角形，故②错误； ③，则， 即， 故， 即， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故③正确； ④，则， 即， 故， 故， 即，故. 因为，故，即，则△ABC为直角三角形，故④正确. 综上有③④是△ABC为直角三角形的充分条件. 故选：B 4．（23-24高一下·上海·期中）若，则是第（    ）象限角 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 【答案】B 【知识点】由三角函数式的符号确定角的范围或象限、二倍角的正弦公式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数单调性可得，根据倍角公式结合齐次式问题可得，即可得结果. 【详解】因为在上单调递减，且，可得. 从而，这说明，所以存在，且 . 由，可得，所以是第一或三象限角. 故选：B. 5．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】结合同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式与二倍角公式计算即可得. 【详解】，，，， ，， ， . 故选：B. 6．（22-23高一下·上海嘉定·期中）在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、诱导公式二、三、四、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由结合，可得，从而可得，即可判断B正确；取和，可以判断ACD错误. 【详解】在中，因为，所以， 所以， 因为，所以， 对于B，因为，所以，即， 将上式两边同时除以， 得 所以，B正确； 由可知，令，此时， 则，，； 令，此时， 则，，. 对于A，当时，， 当时，，两者不相等，不为常数，A错误； 对于C，当时，， 当时，，两者不相等，不为常数，C错误； 对于D，当时，， 当时，，两者不相等，不为常数，D错误. 故选：B 7．（22-23高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】根据象限角的概念判断即可. 【详解】若是第一象限角，则， ，则是第四象限角，故D错误； ，则是第一象限角，故A错误； ，则是第二象限角，故B错误； ，则是第三象限角，故C错误. 故选：C. 8．（22-23高一下·上海虹口·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、余弦定理边角互化的应用 【分析】设的边上的高分别为,由此可令，，由余弦定理即可判断三角形形状. 【详解】设的内角的对边分别是， 且边上的高分别为, 则,令，则， 故，故A为钝角， 又，A为三角形最大角，故该三角形为钝角三角形， 故选：C 9．（22-23高一下·上海·期中）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理结合商数关系得到判断. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 即，所以， 故是等边三角形， 故选：D. 10．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、二倍角的余弦公式 【分析】取，可得；再取，，检验满足题意，即可得最值. 【详解】因为， 取，则， 可得，即； 当，时， ； 综上所述：的最大值为2. 故选：D. 11．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（    ） A．存在常数a，使得函数为奇函数 B．存在常数a，使得函数为偶函数 C．存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D．无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含sinx(型)函数的定义域、二倍角的余弦公式 【分析】根据函数的定义域即可求解. 【详解】由于， 且，故, 由于定义域不关于原点对称，因此无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数， 故选：D 12．（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【知识点】cosx（型）函数对称性的其他应用、利用余弦函数的单调性求参数 【分析】分析得当且时，恰好取到半个周期的值，即1013个不同的值． 【详解】， 当且时，恰好取到半个周期内的值，且单调递减， 所以在半个周期内有个不同的值， 再根据对称性得在1个周期内有个不同的值， 由集合中元素的互异性得，集合中的元素个数为， 故选：B． 13．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图象关于点对称； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】先化简解析式，再代入判断是否对称中心，再将函数的图象向左平移个单位长度，得到新解析式即可判断. 【详解】由题意知， ， 代入得，所以（1）错误； 将函数的图象向左平移个单位长度得到，所以（2）正确. 故选：C. 二、填空题 14．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】设，结合题意可得，结合两家和差公式整理即可. 【详解】设， 由题意可得：， 因为，即，则， 两式平方相加可得，则， 所以. 故答案为：. 15．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【详解】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 16．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】由题意知，因为角的终边与角的终边关于直线对称， 则， 故答案为： 17．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式求解即可． 【详解】 ， 故答案为： 18．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理求得，再根据余弦定理可得求解即可. 【详解】由余弦定理可得，即. 由正弦定理，故. 又，故，即. 又，故， 故. 故答案为：. 19．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用、正弦定理解三角形、三角恒等变换的化简问题 【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，设，再利用正弦定理可得，分析可知，即可求三角形面积. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 又因为， 可得， 整理可得， 且，则，可得，整理可得， 且，则，可得，即， 如图，设，则， 在中，由正弦定理可得， 即，解得， 且为锐角，可得，即 可知，则， 所以的面积为. 故答案为：. 20．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用同角公式及和角的正弦公式计算即可. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 21．（23-24高一下·上海·期中）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ． 【答案】. 【知识点】弧长的有关计算 【分析】易得每次旋转的轨迹都为圆的一部分，算出每次旋转的圆心角和半径即可求出答案. 【详解】第一次是以为旋转中心， 以为半径旋转， 此次点走过的路径是. 第二次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是. 第三次是以为旋转中心，以为半径旋转，此次点走过的路径是， 点三次共走过的路径是. 故答案为:. 22．（23-24高一下·上海奉贤·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 【答案】 【知识点】几何图形中的计算 【分析】连接，利用余弦定理分别得到，的长，再利用圆内接四边形的面积公式即可得到答案. 【详解】连接 因为在圆内接四边形中，，，，，所以， 在中，由余弦定理可得：， 所以在中，由余弦定理可得：， 化简可得，解得或(舍去)， 所以，则圆内接四边形的面积公式为 故答案为： 23．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 . 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】先利用已知条件和同角三角函数的基本关系求出，然后利用两角和的余弦公式求解. 【详解】因为，，，， 所以，， 所以 . 故答案为： 24．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】由三角形的面积公式、余弦定理可得，即，又可得和，代入即可得出答案. 【详解】因为，则， 所以，即， 即，因为， 所以，即， 又因为，所以，所以， 所以由可得：，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故答案为：. 25．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 【答案】 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知三角函数值求角 【分析】根据给定条件，利用同角公式、差角的余弦公式求出即可. 【详解】由，，得，而， 则，，， 又，则， 因此 ， 所以. 故答案为： 26．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用二倍角的正切公式求出，再利用正余弦齐次式法求值. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 27．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 【答案】或 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理可求得或，再由三角形面内角和可得C的值. 【详解】利用正弦定理可求得， 又，可得或； 因为，可得或. 故答案为：或 28．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据点所在终边的关系并利用三角函数定义，结合诱导公式求出点的坐标是. 【详解】设点所在角的终边为，所以点所在角的终边为， 易知， 可得， 所以点的坐标为，即. 故答案为： 29．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 【答案】/ 【知识点】利用平方关系求参数、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】根据根与系数关系并利用同角三角函数值之间的基本关系可求得结果. 【详解】利用方程的根与系数关系可得， 又，即， 解得或， 当时，，不合题意； 当时，原方程的根为，在区间内，符合题意； 故答案为： 30．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ； 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值. 【详解】， ， ， ， . 故答案为：. 31．（22-23高一下·上海奉贤·期中）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是 ． ①．若，则 ②．若，则是锐角三角形 ③．若，则是直角三角形 ④．若，则为等腰三角形 ⑤．若锐角中，则恒成立 【答案】①③ 【知识点】cos2x的降幂公式及应用、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可． 【详解】对于①，若，则， ， 在递减，所以，故①正确； 对于②，中，∵，则，∴角C为锐角， 但锐角三角形需判定三个顶角均为锐角，所以不一定是锐角三角形，故②错误； 对于③，若，即，化简可得，所以是直角三角形，故③正确； 对于④，由正弦定理及，得 所以或， 则为等腰三角形或直角三角形，故④错误． 对于⑤．角A，B，C分别取，代入不成立． 故选：①③． 32．（22-23高一下·上海宝山·期中）如果的三边、、满足，则角的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理和重要不等式可求的范围，进而可求角的取值范围. 【详解】因为，所以 由余弦定理得， 当且仅当时取等号，又， 所以. 故答案为： 33．（22-23高一下·上海宝山·期中）在中，，，面积，则边长为 ． 【答案】或 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据三角形面积公式求出角，再根据余弦定理求得. 【详解】，， 又，所以或， 当时，根据余弦定理得： ，； 当时，根据余弦定理得： ，， 故答案为：或. 34．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 【答案】2 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理即可判断三角形有两解. 【详解】在中，，，， ，由则，如图： 所以此时有两解. 故答案为: 2. 35．（22-23高一下·上海虹口·期中）在中，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】运用余弦定理先求出，再利用正弦定理求出关于的表达式，作恒等变换，根据正弦函数的性质求出的值域. 【详解】， 由正弦定理得，。 又， ， ； 令，，则， ； 故答案为：. 36．（22-23高一下·上海虹口·期中）若方程的两根为与，则 ． 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据两角和差的正余弦公式化简后转化为正切函数即可得解. 【详解】由题意，， ， 故答案为： 37．（22-23高一下·上海·期中）已知，则= ． 【答案】/0.6 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】由得到，再由求解. 【详解】解：因为， 所以， 故答案为： 38．（22-23高一下·上海青浦·期中）在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 【答案】①③④ 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理求外接圆半径 【分析】由题设可得到上的高为，根据各项三角形解的个数及三角形性质判断的范围，应用正弦定理求外接圆半径. 【详解】 由，即到上的距离为， 若有两解，则，即，①对； 若有唯一解，则或，即，②错； 若无解，则，即，③对； 当时，△ABC外接圆半径，④对. 故答案为：①③④ 39．（22-23高一下·上海徐汇·期中）若不等式对任意都成立，则实数的最小值为 ． 【答案】144 【知识点】正弦定理边角互化的应用、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】利用正弦定理角化边，可得恒成立，化简为恒成立，将化为二次函数性形式，结合二次函数性质即可求得答案. 【详解】由对任意都成立，可得， 即恒成立， 又因为中，， 则 ， 当时，取得最大值144，即， 故，即实数的最小值为144， 故答案为：144 40．（22-23高一下·上海徐汇·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用正余的倍角公式，将转化成齐次式即可求出结果. 【详解】因为，又，所以. 故答案为：. 41．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据题意得到，求得或，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 解得或， 又由 因为，或，所以. 故答案为：. 42．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数，（），若函数在区间内没有零点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】先由二倍角公式和辅助角公式得到，再令，得到，，根据函数在区间内没有零点，得到，然后由，得到k的范围，然后将函数在区间内没有零点，转化为在内没有整数求解. 【详解】解：， 由，得，即，. 函数在区间内没有零点， ，若. 则， 若函数在区间内没有零点，等价于在内没有整数， 则，即， 若内有整数，. 则当时，由，得，即 若当时，由，得，即，此时. 当时，由，得，即此时超出范围. 即若内有整数，则或. 则若内没有整数，则或， 故答案为：. 43．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 【答案】/－0.6 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】诱导公式化简后，弦化切，再代入计算． 【详解】因为， 所以． 故答案为：． 44．（22-23高一下·上海浦东新·期中）方程在区间上的解集为 . 【答案】 【知识点】已知三角函数值求角、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角公式化简并解方程即可求解. 【详解】由得， 即，解得或， 因为，所以或， 所以方程在区间上的解集为, 故答案为：. 45．（22-23高一下·上海普陀·期中）若，则 . 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】将，转化为，再利用两角和与差的正弦函数求解. 【详解】解：因为， 所以， 展开整理得， 两边同除以， 得， 故答案为：-3 46．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 【答案】 【知识点】解正弦不等式、求对数型复合函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】 根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得： ， 解得：或， 故函数的定义域是， 故答案为： 47．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【知识点】辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据给定条件，利用辅助角公式，结合正弦型函数的有界性建立不等式求出最值即得. 【详解】函数的定义域为R，， 则，即， 解得，于是， 所以函数的最大值与最小值之和为. 故答案为： 48．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 【答案】5 【知识点】求函数零点或方程根的个数、正弦函数图象的应用、对数函数图象的应用 【分析】将零点问题转化为函数交点问题，作出函数图像，求出交点个数即可. 【详解】方程的实数解的个数， 即为函数与图象交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数共有5个交点， 所以方程的实数解的个数为5. 故答案为：5. 49．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是 ． 【答案】①② 【知识点】正弦函数图象的应用、余弦函数图象的应用、求含sinx(型)函数的值域和最值、求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】作出函数的图象，利用图象逐项判断，可得出合适的选项． 【详解】对于③，因为， 当时， ， 当时，， 所以，函数为周期函数， 作出函数的图象（图中实线）如下图所示： 结合图形可知，函数的最小正周期为，③对； 对于①，由图可知，函数的值域为，①错； 对于②，由图可知，当且仅当或时， 函数取得最大值1，②错； 对于④，由图可知，当且仅当时，，④对． 故答案为：①②． 50．（23-24高一下·上海·期中）在锐角中，分别为三内角的对边，若，则b的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】由正弦定理可得，再根据锐角三角形求角B的取值范围，即可得结果. 【详解】由正弦定理可得， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，可得， 所以b的取值范围是. 故答案为：. 51．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由，求得，转化为在区间上总存在唯一确定的，使得，又由，得到，即可求解. 【详解】由函数，因为， 所以， 又因为在区间上总存在唯一确定的，使得， 即在区间上总存在唯一确定的，使得， 因为，结合三角函数的性质，可得 故答案为：. 52．（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 【答案】 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据偶函数结合可得，再根据两角和差的正弦公式求解即可. 【详解】由（其中常数）是R上的偶函数可得， 又可得，故. 又，即，，故， 则. 故 . 故答案为： 53．（23-24高一下·上海·期中）已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为 . 【答案】 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、利用正弦函数的对称性求参数、由正弦（型）函数的周期性求值、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】对于①：根据周期性可得；对于②：根据对称性可得或；对于③：结合正弦函数单调性分析求解. 【详解】对于①：因为，由题意可得：，则； 对于②：可得，解得， 且，可得或，则或； 对于③：因为，则， 且在内单调递增，可知在内单调递增， 可知不合题意，符合题意； 综上所述：. 故答案为：. 54．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】首先求出函数在，依题意时的值域包含，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【详解】当时， 因为对于任意，都存在，使得， 所以当时的值域包含， 又， 所以，则的最小值为. 故答案为： 55．（23-24高一下·上海·期中）设均为大于1的自然数，，若存在实数，使得，则有序实数对为 . 【答案】 【知识点】辅助角公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由题意变形得，根据三角函数的有界性得到，结合均为大于1的自然数，分，，分别求解即可. 【详解】由已知得，即， 所以，又，且存在实数使其成立， 所以， 又均为大于1的自然数，， 所以，即， 也即， 当时，，则，此时，与矛盾，不等式不成立； 当时，，此时； 当时，，则，与矛盾，不等式不成立， 所以，所以有序实数对为. 故答案为：. 56．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】先解出函数的单调区间，再列不等式组解出实数的取值范围即可. 【详解】由函数图象可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 若在上单调递减，在上单调递增， 则，解得. 故答案为：. 57．（23-24高一下·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 【答案】 【知识点】正切函数对称性的应用、求正切（型）函数的对称中心、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、函数对称性的应用 【分析】由正切和正弦函数的性质可知两函数的交点关于对称，作出图象，结合图象即可得出答案. 【详解】因为的对称中心为，， 的对称中心为，， 所以两函数的交点也关于对称，， 又因为函数，的最小正周期为， 作出两函数的在的图象，如下图， 由此可得两函数图象共6个交点，设这6个交点的横坐标依次为， 且， 其中关于对称，，关于对称，， 所以. 故答案为：. 58．（23-24高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是 ． 【答案】 【知识点】正弦函数图象的应用、二倍角的余弦公式 【分析】设，进而可得点坐标，再根据条件列式，利用三角公式是计算可得答案. 【详解】设， 其中， 则， 于是． 因为是中点， 所以， 即或，又因为， 所以，即点的纵坐标是. 故答案为：. 59．（23-24高一下·上海·期中）已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、正弦函数图象的应用 【分析】根据复合型三角函数最小正周期的计算公式，结合其图像性质列不等式求解. 【详解】因为，所以函数的最小正周期． 因为在区间上有5个零点， 所以，即， 可得； 故答案为：. 60．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求sinx的函数的单调性、求含sinx的函数的奇偶性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】求得的周期和奇偶性，结合题意，只需求在的值域即可；再根据的单调性即可求得结果. 【详解】因为，定义域为，故为偶函数； 又，故的一个周期为； 根据题意可得：的值域，也就是在的值域，也就是上的值域； 当，，又在上均为单调增函数，故在单调递增， 又，当趋近于时，趋近于，故的值域为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求得的周期以及判断其是偶函数，同时要注意已知条件的利用，属中档题. 61．（23-24高一下·上海·期中）已知等边的边长为6，点在边上，且，则 . 【答案】24 【知识点】数量积的运算律 【分析】由平面向量的线性运算，结合平面向量数量积的运算求解． 【详解】由题设知等边的边长为6，点在边上，且， 则． 故答案为：24． 三、解答题 62．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)4. 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和差角的正余弦公式计算即得. （2）由（1）的信息，利用和差角的余弦公式、二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 即 则，而， 因此，， 则，所以. （2）由（1）知，， . 63．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）先求出的值，在分式的分子分母中同时除以，实现弦化切，再将的值代入分式计算即可； （2）首先将原式变形为，再将齐次分式化简为表示，计算求值 【详解】（1）由， 所以 （2） 64．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)； (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦）、诱导公式五、六、二倍角的正切公式 【分析】（1）由同角关系求，再由结合诱导公式求值； （2）根据同角关系求，根据求出，再由二倍角正切公式求. 【详解】（1） （2）由题意可知 ， ， . 65．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 【答案】（1）；（2）1 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）根据平方公式分别求解，再利用和差角公式求解即可得的值； （2）根据方程的根又韦达定理可得，利用三角形内角和与两角和差的正切公式即可求的值. 【详解】（1）已知，，且及都是锐角， 所以，， 所以 又，所以，故； （2）因为与是方程的两个根 所以 在中，， 所以. 66．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，求； （2）已知，且，，用，表示，求． 【答案】（1）；（2），． 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值； （2）求出、的取值范围，利用同角三角函数的基本关系求出、的值，用、表示出，利用两角和的余弦公式可求得的值. 【详解】解：（1）因为，，则， 因此，； （2）因为，则，， 因为，， 则， ， 因为， 所以， . 67．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．    (1)求我边防巡逻艇的航速； (2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）． 【答案】(1)28海里/小时； (2)北偏东 【知识点】距离测量问题、角度测量问题 【分析】由题设条件可得，，，根据余弦定理即可求出和． 【详解】（1）由题意，，， 又可疑船速为12海里/小时，经过半小时两船相遇于点， 在中，由余弦定理得， ， ，又， 故我边防巡逻艇的航速为28海里/小时． （2）在中，， 由余弦定理得， ，则， 即我边防巡逻艇的航向角约为北偏东． 68．（22-23高一下·上海静安·期中）已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】数与式中的归纳推理、无条件的恒等式证明、cos2x的降幂公式及应用、二倍角的余弦公式 【分析】（1）根据归纳推理，即可得结论； （2）利用二倍角公式的变形结合两角和差的余弦公式，即可证明结论. 【详解】（1）由题意可得出具一般性的关于三角的等式为：； （2）证明：因为，， 故 ， 即. 69．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c，，. (1)若，求ABC的面积； (2)设线段AB的中点为D，若，求ABC外接圆半径R的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理得知，进而根据同角基本关系式，再根据三角形面积公式计算即可； （2）在中由余弦定理得，进而在中，，再根据正弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，根据正弦定理得， 因为， ， 所以， 因为，所以， 所以的面积为. （2）因为线段的中点为，，，， 所以在中，由， 解得（舍）， 所以在中，，即， 因为，所以， 所以由正弦定理得外接圆半径满足， 所以外接圆半径    70．（22-23高一下·上海松江·期中）松江区计划在科创云声召开一次展览会，需要搭建一个三角形展台．如图所示，OA、OB为展台固定墙壁（墙壁OA、OB足够长），两面形成120°角，现有两个方案：    方案一：在墙壁OB上取两点P、Q，用长度为的移动围挡围成一个以PQ为斜边的直角（只有MP，MQ两边为移动围挡）； 方案二：在墙壁OA、OB上分别取点E、F用长度为的移动围挡EF依托墙壁围成；分别求出两个方案下展台面积的最大值；若现有材料下所围成展台的面积越大方案越好，请问选择哪个方案？ 【答案】的面积的最大值为，的面积的最大值为，选方案2 【知识点】基本（均值）不等式的应用、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】设，表示出的面积，利用基本不等式可求出其最大值，设，利用余弦定理结合基本不等式可求出的最大值，从而可求出的最大值，比较大小即可得结论. 【详解】方案1，设， 因为，所以， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的面积的最大值为， 方案2，设，则由题意可得， 在中， 即，则， 所以，当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为， 因为， 所以方案2好，选方案2. 71．（22-23高一下·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求的值； (2)若的面积为，且，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可得结果； （2）根据三角形面积公式求出，再根据余弦定理可求出结果. 【详解】（1）由及正弦定理得， 得，得， 因为，所以，所以. （2）由（1）知，，又，所以， 因为的面积为，所以，得， 由余弦定理得， 所以. 72．（21-22高一下·上海黄浦·期中）已知函数，满足． (1)求实数a的值，以及函数的最小正周期（无需证明）； (2)求在区间上的零点个数； (3)是否存在正整数n，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)4个； (3)存在，2021. 【知识点】求函数零点或方程根的个数、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、根据函数零点的个数求参数范围、已知函数类型求解析式 【分析】（1）根据代入即可求解的值，结合三角函数性质确定周期为； （2）利用换元法设，将原方程转换为关于的一元二次方程，解出，进而可得零点个数； （3）根据的最小正周期为，且内有4个零点，可解得． 【详解】（1），又， 解得，所以， 函数的最小正周期为. 理由为：因为， ， 所以，所以函数为周期函数，周期为， 当时，， 设则 ， 所以，其中当且仅当时，， 当时， 设，则， 于是， 所以， 所以在只有时，， 故函数的最小正周期为. （2）当时， 设则 ， 令，可得或， 或， 又， 或或或，其中， 所以函数在区间上的零点个数为个； （3）当时，． 设，则， 于是，令， 解得或，故在没有实根． 结合（2）可得，在上有4个零点， 而， 所以函数在恰有2022个零点. 即存在，使得在区间上恰有2022个零点. 73．（22-23高一下·上海徐汇·期中）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，设、，分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求的值． 【答案】 【知识点】由单位圆求三角函数值、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】用的三角函数表示，根据可解出. 【详解】由已知，得， ，得， 即， 化简得，解得， 又，， ∴ 74．（22-23高一下·上海静安·期中）在中，已知，，，求和. 【答案】或，或 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】与正弦定理可得，则或，即可求出，再由两角和与差的余弦公式结合三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】因为，所以，所以， 由正弦定理可得：，则，则， 则或. 若，，则， 则， 若，，则， 则. 故或，或. 75．（22-23高一下·上海静安·期中）已知为锐角，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、给值求角型问题 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系求得，然后算出的值； （2）结合，，可得，，即可求出的值. 【详解】（1）∵为锐角，，且，∴； ∵为锐角，，且，∴， ∴， （2）因为为锐角，，所以， ，所以，， 所以，∴； 76．（22-23高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和． (1)求，的值． (2)求，的值． 【答案】(1)，； (2)，. 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】（1）根据给定条件，利用三角函数定义求出，再利用平方关系求解作答. （2）利用（1）的结论，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答. 【详解】（1）依题意，，而为锐角， 所以，. （2）由（1）知，，，， 于是，， 所以， . 77．（22-23高一下·上海杨浦·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的严格减区间与对称轴方程； (2)若，关于x的方程恰有三个不同的实数根，，求实数的取值范围及的值. 【答案】(1)，；， (2)， 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由数量积的坐标表示求得，结合正弦函数的基准减区间和对称轴求得的严格减区间和对称轴； （2）方程化简得和，由正弦函数性质和的范围，同时得出和，求得结论． 【详解】（1） ，解得， 令，解得， 所以函数的严格减区间为，， 对称轴方程为； （2）， 即，形为， 所以， 当，有一个解，不妨设为， 则，即有不同于的两个解， 因为，所以， 且在上严格递增，在上严格递减， 要想有不同于的两个解，则，解得， 此时的两根关于对称，则， 所以. 78．（22-23高一下·上海浦东新·期中）三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式： （1）；（2）． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 【答案】，证明见详解. 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】观察结构猜想等式，利用三角恒等变换证明即可. 【详解】猜想 证明：由诱导公式可得， 所以 79．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）在中，由余弦定理计算即可求解； （2）设，在中，由余弦定理和基本不等式计算可得，结合三角形的面积公式计算即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得， 即，由解得， 所以； （2）设，在中，由余弦定理， 得， 当且仅当时等号成立，此时， 所以. 又，， 所以， 所以， 故四边形ABCD的面积的最大值为. 80．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】（1）利用平方关系求出，再利用诱导公式及商数关系计算作答. （2）利用（1）中信息，结合二倍角的正余弦公式求解作答. 【详解】（1）因为，则，， 所以. （2）由（1）知，， 所以. 81．（22-23高一下·上海长宁·期中）已知函数，； (1)用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图像（体现作图过程）； (2)若的图像关于点对称，且，求的值； (3)不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)． 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、利用正弦函数的对称性求参数、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、五点法画正弦函数的图象 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简函数式，然后令等于，列表，描点，连线可得； （2）由（1）得的图象在轴右侧的一个对称中心，由图象平移可得值； （3）不等式化为，由的最大值和最小值可得的不等关系，从而得其范围． 【详解】（1）， 最小正周期是， 列表： 0 0 2 0 0 描点，连线 （2）由（1）知的图象在点右侧关于点对称，把它向左平移个单位，则图象关于点对称，因此； （3）， 由（1）知时,，又,,即, 所以，解得． 82．（22-23高一下·上海普陀·期中）在中，角、、的对边分别为、、.设向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由题，得，利用正弦定理以及和差公式，诱导公式，逐步化简，即可求解； （2）由题目条件，结合余弦定理和面积公式，得，，然后两式相加即可求得本题答案. 【详解】（1）由于，故， 利用正弦定理，有， 又，故， 由于为三角形内角，故，因此，进而； （2）由（1）知，由余弦定理知，即. 由知，即. 将上面两式相加得，故，因此的周长为. 83．（22-23高一下·上海普陀·期中）设，. (1)若函数是定义在上的奇函数，求的值； (2)若，求函数在区间上的取值范围. 【答案】(1)0 (2) 【知识点】由奇偶性求参数、三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）由奇函数的定义，列出等式，即可解出的值； （2）由，可得的取值，然后对恒等变形得，由条件得的取值范围是，由此即可求得的取值范围. 【详解】（1）由题意知，对于任意给定的实数，有， 即， 移项整理得， 因此. （2）由题意知，解得. 故. 当时，的取值范围是， 的取值范围是， 因此函数在区间上的取值范围是. 84．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； 【详解】（1）由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； （2）由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是. 85．（22-23高一下·上海长宁·期中）已知函数，. (1)求函数的最小正周期，值域； (2)定义：对于任意实数，，，设，（为常数），若对任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的最小正周期为，值域为. (2) 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、三角函数图象的综合应用、二倍角的余弦公式 【分析】（1）结合二倍角余弦公式和辅助角公式化简，由三角函数的性质求解即可； （2）根据题意可得，，求出的值域，列出关于的不等式组，即可求解. 【详解】（1）， 所以函数的最小正周期为， 因为，所以，所以， 所以函数的值域为. （2）若对于任意，总存在，使得恒成立， 则，， 当，则，即， 若，则，即， 即时，， 同理当，即时，， 故，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 若，则，即， 即时，， 同理当，即时，， 故，所以，解得， 故 86．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求方程的解集； (3)若对任意的，使得恒成立，求实数的值. 【答案】(1)答案见详解 (2) (3)答案见详解 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、正弦函数图象的应用、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，以为整体，结合正弦函数单调性分析求解； （2）由题意可得，以为整体，结合正弦函数分析求解； （3）由题意可知：，分类讨论，结合诱导公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得：， 令，解得； 令，解得； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，即， 则或，解得或， 所以方程的解集为. （3）因为， 可知， 若，即，可知； 若，即， 且，可知； 若，即， 且，可知； 若，即， 且，可知； 综上所述：或或或. 87．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的单调增区间； (2)已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求的面积. 【答案】(1) (2). 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换化简，可得的表达式，利用正弦函数单调性即可求得答案； （2）利用（1）的结果求得，由余弦定理求出，再利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）由题意可知， ， 由， 解得 所以函数的单调增区间为. （2）由， 所以，即， 又因为， 所以. 又因为， 所以由余弦定理得， 即， 解得或（舍去）， 故的面积为. 88．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时取最小值，当时取最大值； (3). 【知识点】函数不等式恒成立问题、求sinx型三角函数的单调性、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求出增区间即得. （2）求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求出最值即得. （3）求出的范围，利用诱导公式、二倍角公式变形给定的不等式，借助换元法分离参数，利用单调性求出最大值即得. 【详解】（1）依题意，， 由，得， 所以的单调递增区间是. （2）当时，，则当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值. （3）由（1）知，， 当时，令， 原不等式等价于， 函数在上单调递减，当时，，因此， 所以实数的取值范围. 【点睛】结论点睛：求函数的单调区间时，可把看成一个整体， 由求得函数的单调递减区间， 由求得函数的单调递增区间． 89．（23-24高一下·上海·期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 【答案】(1)80m (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （2）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 【详解】（1）由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（舍去）或， 即； （2）由，故，，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令，， 则 ， 有最大值，此时，即时取得， 此时平方米. 90．（23-24高一下·上海·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)处于向下的运动状态，理由见解析 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解； （2）结合（1）可得，，从而根据的取值范围可得的取值范围，即可判断单调性，进而即可得到盛水筒P的运动状态． 【详解】（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接， 过点作于点，过点分别作于点，于点， 则，， 因为筒车转一周需要1分钟，所以，故， 在中，， 所以，即． （2）盛水筒处于向下运动的状态， 结合（1）可得，， 则当时，，此时单调递减， 所以盛水筒处于向下运动的状态． 91．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 【答案】(1)； (2) 【知识点】基本不等式求和的最小值、正弦定理求外接圆半径、用和、差角的正切公式化简、求值、求含tanx的函数的单调性 【分析】（1）利用正弦定理求出的外接圆半径，再设出圆心坐标，借助勾股定理求解即得. （2）利用直角三角形边角关系，用点的纵坐标表示，再利用差角的正切公式建立函数关系，借助基本不等式求解即得. 【详解】（1）在中，设其外接圆半径为，,， 由正弦定理得，解得， 显然的外接圆圆心在线段的中垂线，即轴上，设圆心坐标为， 于是，解得， 所以的外接圆的圆心坐标为. （2）设点，显然，而轴， 则， 于是， 当且仅当，即时取等号，而是锐角，正切函数在上单调递增， 因此最大，当且仅当最大， 所以当最大时，点的坐标是. 【点睛】关键点点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键. 92．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)，或 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数在生活中的应用、辅助角公式 【分析】（1）延长交于，延长交于，根据边角关系得出，，再求即可； （2）令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）延长交于，延长交于， 由是正方形，是矩形，可知，， 由，可得，， 所以，， 故； （2）令由，可得， 所以， 则， 因为，， 所以，所以， 所以当，即或，即或时，取得最大值， 所以，此时或.    93．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知函数，. (1)设，求函数的值域； (2)求方程，的解集（其中是第（1）小题中的函数）； (3)在中，角A、B、C所对应的边为a、b、c.若、，的面积为.求的值. 【答案】(1)； (2)； (3)或. 【知识点】已知三角函数值求角、求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式求出，再利用正弦函数的性质求出值域作答. （2）由（1）的函数，由给定正弦值求出对应角作答. （3）由（1）结合已知求出角，由三角形面积公式求出，再由余弦定理、正弦定理求解作答. 【详解】（1）依题意，， 显然，所以函数的值域为. （2）由（1）及，得，由，得， 所以，解得：， 所以所求解集是. （3）由，即，，得或， 又，解得， 若，则，解得，因此； 若，则，解得，因此， 所以或. 94．（22-23高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、几何中的三角函数模型、三角函数在生活中的应用、三角恒等变换的实际应用 【分析】（1）由题意，求出，，，进而求出，再利用矩形面积公式即可算出结果． （2）设，用的三角函数表示出，，，进而表达出，再利用矩形面积公式结合三角函数的性质即可算出结果． 【详解】（1）由题意，则，，， ， ； （2）设，则，， ， ， ， 故当时，即时，取得最大值． 95．（22-23高一下·上海普陀·期中）（1）结合函数单调性的定义，证明函数在区间上为严格增函数； （2）某国际标准足球场长105m，宽68m，球门AB宽7.32m．当足球运动员M沿边路带球突破时，距底线CA多远处射门，对球门所张的角最大？（精确到1米） 【答案】（1）证明见解析（2）34m 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、三角函数在生活中的应用、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可； （2）根据两角差的正切公式解得条件表示出张角的正切，然后根据基本不等式即得. 【详解】（1）设任意的且， 则， 因为且， ，，， 所以，即， 即对任意的，当时，都有， 故在区间上是严格增函数； （2）设运动员在，球门为， 依题意，， 设，则， 则， 则 ， 当且仅当米时等号成立， 所以距底线米处射球门，对球门所张的角最大.    96．（22-23高一下·上海静安·期中）已知. (1)若，求的单调递增区间； (2)若，求的最大值，并指出相应的值； (3)当时，的值域； (4)作出函数的大致图象. 【答案】(1)， (2)最大值为，， (3) (4)答案见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象、求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先利用二倍角和降幂公式，再利用辅助角公式化一角一函数，就可借助正弦函数的单调增区间即可求得函数的单调递增区间； （2）直接根据三角函数的有界性，求其最值，并求对应的值； （3）通过的范围，求出的范围，进而求出，可得的值域. （4）根据五点法作图可得. 【详解】（1）， 解不等式，得， 的单调增区间为； （2）当，即时，取最大值为2. （3），， 则，， 即当时，的值域为. （4）根据五点法作一个周期函数图象，列表 0 x y 0 2 0 -2 0 描点连线可得图象如图：    97．（22-23高一下·上海虹口·期中）在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，高423米的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼（以下简称“国留中心’）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东堇最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米，“在同学们的叹中，老师提出了问盈：国贸中心真有这么高我们能否运用所学知识测量脸证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案． 第一小组采用的是“两次测角法”，他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图1）． 第二小组采用的是“镜面反射法”，在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤： ①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米； ②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出国贸中心的高度（如图2）． 实际操作中，第一小组测得米，，最终算得国贸中心的高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心的高度为假设测量者的身高h都为1.60米．    (1)请你用所学知识后两个小组完成计算（参考数据：，结果保留整数）； (2)你认为哪个小组的方案更好？请说明理由． 【答案】(1)； (2)第一组方案更好，理由见解析 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据三角函数知识得到，根据相似得到，代入数据计算得到答案. （2）第一组方案测量方法容易理解，普适性强，计算思路简洁，操作性强，故更好. 【详解】（1）第一小组：，，， 故， ； 第二小组：，， ，， 故，故， 故. （2）第一组方案更好： ①：测量方法容易理解，普适性强； ②：计算思路简洁； ③：操作性强； 98．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草（如图），、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取． (1)用及表示和； (2)求的最小值． 【答案】(1)，； (2) 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数在生活中的应用、辅助角公式 【分析】（1）先利用及R表示出的长，即可表示出，进而设的中点为O，连接，表示出的长，结合三角形面积公式即可表示出； （2）利用（1）的结论可得的表达式，结合三角函数之间的关系化简，并利用函数单调性，即可求得答案. 【详解】（1）因为，故， 所以， 设的中点为O，连接，则, 设交于点E， 则， 则， 同理求得， 故. （2）由（1）的结论可得， 令，则， 故，所以， 由于，在上单调递增， 则，故，即的最小值为. 99．（22-23高一下·上海宝山·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． (1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； (2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 【答案】(1)； (2)①0点到4点以及12点到16点进入港口；②该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 【知识点】解正弦不等式、由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据给定的图形，求出函数模型中的各个参数作答. （2）①根据给定条件，列出不等式求解作答；②求出最小水深的函数关系，数形结合求解作答. 【详解】（1）观察图形知，，解得，，，解得， 显然函数的图象过点，即，又，因此， 所以函数表达式为. （2）①依题意，，整理得， 即有，即， 解得或， 所以该船可以在0点到4点以及12点到16点进入港口. ②由①的结论知，该船明日0点即可进港开始卸货， 设自0点起卸货小时后，该船符合安全条例的最小水深为， 如图，函数与的图像交于点， 即卸货5小时后，在5点该船必须暂时驶离港口，此时该船的吃水深度为4.5米， 令，即，， 解得，显然， 该船在11点可返回港口继续卸货，5小时后完成卸货，此时为16点， 综上所述，方案如下：该船在0点进港开始卸货，5点暂时驶离港口，11点返回港口继续卸货，16点完成卸货任务. 【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求. 100．（22-23高一下·上海长宁·期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请写出表格中空格处的值，写出函数的解析式，并画出函数的大致图像； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调减区间. 【答案】(1)，，，图象见解析 (2) 【知识点】五点法画正弦函数的图象、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据表中的数据以及五点作图的规律直接求解即可； （2）根据平移变换及周期变换的规则可得函数的解析式,求出定义域，再由复合函数的单调性求解即可. 【详解】（1）设第一行两个数分别为，第四行待求数为， 依题意可知，，解得， 又，所以， 故由，，解得， 又， 综上：，，, 函数图象为： （2）函数的图象向右平移个单位，得到，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数， 函数中，，即， 所以，即， 所以， 即函数的定义域为， 因为为减函数， 所以当为增函数时，即时， 函数为减函数. 即函数的单调减区间为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一下学期期中真题百题大通关（提升版） （范围：三角、三角函数） 一、单选题 1．（23-24高一下·上海黄浦·期中）下列命题中，真命题的个数为（    ） ①若角的终边经过点，则； ②同时满足的角 ③不存在角和使得等式成立； ④任意的角和都满足等式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知满足，，则下列选项中正确的为（    ） A．的三个内角一定都是 B．的三个内角至少有一个是 C．的三个内角可能均不是 D．以上说法均错误 3．（23-24高一下·上海·期中）在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列四个条件中有几个是△ABC为直角三角形的充分条件（    ） ①； ②； ③； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高一下·上海·期中）若，则是第（    ）象限角 A．一或二 B．一或三 C．二或三 D．二或四 5．（23-24高一下·上海·期中）若，，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·上海嘉定·期中）在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23高一下·上海嘉定·期中）若是第一象限角，则下列各角是第三象限角的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·上海虹口·期中）某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是，则该三角形（    ）． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．有可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 9．（22-23高一下·上海·期中）若，且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 10．（23-24高一下·上海徐汇·期中）设a，b为实数，满足对任意实数x，都有．则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 11．（23-24高一下·上海徐汇·期中）已知，其中a为常数，则下列说法中正确的是（    ） A．存在常数a，使得函数为奇函数 B．存在常数a，使得函数为偶函数 C．存在常数a，使得函数既是奇函数，又是偶函数 D．无论常数a为何值，函数既非奇函数，又非偶函数 12．（23-24高一下·上海·期中）设是正整数，集合．当时，集合元素的个数为（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 13．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出下列结论： （1）函数的图象关于点对称； （2）将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象； 则下列说法正确的是（    ） A．（1）（2）都正确 B．（1）正确（2）错误 C．（1）错误（2）正确 D．（1）（2）都错误 二、填空题 14．（23-24高一下·上海徐汇·期中）如图所示，已知线段是直角三角形与直角三角形的公共斜边，且满足，则 ． 15．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 16．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，其终边过点，角的终边与角的终边关于直线对称，则 . 17．（23-24高一下·上海黄浦·期中）若，则 . 18．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 19．（23-24高一下·上海·期中）已知分别为三内角的对边，且，若，角B的平分线，则的面积为 . 20．（23-24高一下·上海·期中）已知，，则 ． 21．（23-24高一下·上海·期中）如图，长为2，宽为1的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成30°角，则点走过的路程是 ． 22．（23-24高一下·上海奉贤·期中）由于四边形不具有稳定性，所以求四边形面积公式需要有限制条件.我们将四个点在圆上的四边形称为圆内接四边形，圆内接四边形具有对角互补的性质.印度数学家婆罗摩笈多发现了圆内接四边形的面积公式为，其中、、、分别为圆内接四边形的4条边，，与海伦公式有类似之处.已知在圆内接四边形中，，，，，则四边形的面积为 . 23．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 . 24．（23-24高一下·上海·期中）已知的面积为，角，，所对的边分别为，，，且，则 . 25．（23-24高一下·上海·期中）已知，，，，则 .（结果用反三角表示） 26．（23-24高一下·上海·期中）已知，则的值为 . 27．（23-24高一下·上海浦东新·期中）在中，若，，，则C的值为 . 28．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若点，将绕坐标原点逆时针旋转至.则点的坐标是 . 29．（23-24高一下·上海浦东新·期中）若及是关于的方程的两个实根，则实数的值为 . 30．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知，则的值为 ； 31．（22-23高一下·上海奉贤·期中）的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的序号是 ． ①．若，则 ②．若，则是锐角三角形 ③．若，则是直角三角形 ④．若，则为等腰三角形 ⑤．若锐角中，则恒成立 32．（22-23高一下·上海宝山·期中）如果的三边、、满足，则角的取值范围为 ． 33．（22-23高一下·上海宝山·期中）在中，，，面积，则边长为 ． 34．（22-23高一下·上海徐汇·期中）在中，，，，则的解的个数是 个. 35．（22-23高一下·上海虹口·期中）在中，，且，则的取值范围是 ． 36．（22-23高一下·上海虹口·期中）若方程的两根为与，则 ． 37．（22-23高一下·上海·期中）已知，则= ． 38．（22-23高一下·上海青浦·期中）在中，已知，，设，以下说法正确的是 ①若有两解，；②若有唯一解， ③若无解，；④当，外接圆半径为6 39．（22-23高一下·上海徐汇·期中）若不等式对任意都成立，则实数的最小值为 ． 40．（22-23高一下·上海徐汇·期中）若，则 ． 41．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知，则的取值范围是 . 42．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知函数，（），若函数在区间内没有零点，则的取值范围为 . 43．（22-23高一下·上海浦东新·期中）已知，则 ． 44．（22-23高一下·上海浦东新·期中）方程在区间上的解集为 . 45．（22-23高一下·上海普陀·期中）若，则 . 46．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的定义域为 47．（23-24高一下·上海徐汇·期中）函数的最大值与最小值之和为 ． 48．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 49．（23-24高一下·上海·期中）对于函数，给出四个命题： ①该函数的值域为； ②当且仅当时，该函数取得最大值； ③该函数是以2π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当，． 上述命题中，假命题的序号是 ． 50．（23-24高一下·上海·期中）在锐角中，分别为三内角的对边，若，则b的取值范围是 . 51．（23-24高一下·上海嘉定·期中）设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则的取值范围为 ． 52．（23-24高一下·上海·期中）已知（其中常数）是R上的偶函数，若，，则的值为 . 53．（23-24高一下·上海·期中）已知，其中，满足以下三个条件：（1）函数的最小正周期为；（2）函数的图象关为直线对称；（3）函数在上是严格减函数.则函数的表达式为 . 54．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 55．（23-24高一下·上海·期中）设均为大于1的自然数，，若存在实数，使得，则有序实数对为 . 56．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是 . 57．（23-24高一下·上海·期中）若函数，，则和在的所有公共点的横坐标的和为 . 58．（23-24高一下·上海·期中）如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是 ． 59．（23-24高一下·上海·期中）已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是 ． 60．（23-24高一下·上海·期中）已知函数的性质中以下两个结论是正确的：①偶函数在区间上的取值范围与在区间上的取值范围是相同的；②周期函数在一个周期内的取值范围也就是在定义域上的值域，由此可求函数的值域为 . 61．（23-24高一下·上海·期中）已知等边的边长为6，点在边上，且，则 . 三、解答题 62．（23-24高一下·上海徐汇·期中）在中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c，满足． (1)求的值； (2)求的值． 63．（23-24高一下·上海·期中）已知． (1)求的值； (2)求的值． 64．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 65．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，且及都是锐角.求的值； （2）在中，已知与是方程的两个根.求. 66．（22-23高一下·上海嘉定·期中）（1）已知，，求； （2）已知，且，，用，表示，求． 67．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．    (1)求我边防巡逻艇的航速； (2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）． 68．（22-23高一下·上海静安·期中）已知下列是两个等式： ①； ②； (1)请写出一个更具一般性的关于三角的等式，使上述两个等式是它的特例； (2)请证明你的结论； 69．（22-23高一下·上海闵行·期中）已知ABC三个内角A、B、C对应边分别为a、b、c，，. (1)若，求ABC的面积； (2)设线段AB的中点为D，若，求ABC外接圆半径R的值. 70．（22-23高一下·上海松江·期中）松江区计划在科创云声召开一次展览会，需要搭建一个三角形展台．如图所示，OA、OB为展台固定墙壁（墙壁OA、OB足够长），两面形成120°角，现有两个方案：    方案一：在墙壁OB上取两点P、Q，用长度为的移动围挡围成一个以PQ为斜边的直角（只有MP，MQ两边为移动围挡）； 方案二：在墙壁OA、OB上分别取点E、F用长度为的移动围挡EF依托墙壁围成；分别求出两个方案下展台面积的最大值；若现有材料下所围成展台的面积越大方案越好，请问选择哪个方案？ 71．（22-23高一下·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求的值； (2)若的面积为，且，求a的值． 72．（21-22高一下·上海黄浦·期中）已知函数，满足． (1)求实数a的值，以及函数的最小正周期（无需证明）； (2)求在区间上的零点个数； (3)是否存在正整数n，使得在区间上恰有2022个零点，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由． 73．（22-23高一下·上海徐汇·期中）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点B，设、，分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求的值． 74．（22-23高一下·上海静安·期中）在中，已知，，，求和. 75．（22-23高一下·上海静安·期中）已知为锐角，，. (1)求的值； (2)求的值. 76．（22-23高一下·上海·期中）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，锐角α、β的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的正半轴重合，它们的终边与单位圆分别交于A、B两点，已知A、B两点的横坐标分别为和． (1)求，的值． (2)求，的值． 77．（22-23高一下·上海杨浦·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的严格减区间与对称轴方程； (2)若，关于x的方程恰有三个不同的实数根，，求实数的取值范围及的值. 78．（22-23高一下·上海浦东新·期中）三角比内容丰富，公式很多．若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘．现有如下两个恒等式： （1）；（2）． 根据以上恒等式，请你猜想出一个一般性的结论并证明． 79．（22-23高一下·上海宝山·期中）如图，四边形中，． (1)求线段的长； (2)求四边形面积的最大值． 80．（22-23高一下·上海宝山·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 81．（22-23高一下·上海长宁·期中）已知函数，； (1)用“五点作图法”画出函数在一个周期内的图像（体现作图过程）； (2)若的图像关于点对称，且，求的值； (3)不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； 82．（22-23高一下·上海普陀·期中）在中，角、、的对边分别为、、.设向量，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 83．（22-23高一下·上海普陀·期中）设，. (1)若函数是定义在上的奇函数，求的值； (2)若，求函数在区间上的取值范围. 84．（22-23高一下·上海闵行·期中）在中，角的对边分别为，已知. (1)求角的大小； (2)若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； 85．（22-23高一下·上海长宁·期中）已知函数，. (1)求函数的最小正周期，值域； (2)定义：对于任意实数，，，设，（为常数），若对任意，总存在，使得恒成立，求实数的取值范围. 86．（23-24高一下·上海·期中）已知函数. (1)求的单调区间； (2)求方程的解集； (3)若对任意的，使得恒成立，求实数的值. 87．（23-24高一下·上海·期中）已知向量，，函数. (1)求函数的单调增区间； (2)已知，，分别为内角，，的对边，，，且，求的面积. 88．（23-24高一下·上海·期中）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)当时，求的最值及取到最值时的值； (3)当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 89．（23-24高一下·上海·期中）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等.某种植园准备将如图扇形空地分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且. (1)当米时，求的长； (2)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大.设，求面积的最大值. 90．（23-24高一下·上海·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 91．（23-24高一下·上海·期中）足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置处起脚射门进球的可能性最佳（即点对球门所张的角最大），假如每条虚线都表示在规定的区域内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点，为了研究方便，如图建立坐标系，设、，在轴的上方. (1)若，求此时的外接圆的圆心坐标 (2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求当最大时，点的坐标 92．（23-24高一下·上海嘉定·期中）如图，有一块边长为3m的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为2m的扇形，设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积为．    (1)求关于的函数表达式； (2)求的最大值及取得最大值时的值． 93．（22-23高一下·上海嘉定·期中）已知函数，. (1)设，求函数的值域； (2)求方程，的解集（其中是第（1）小题中的函数）； (3)在中，角A、B、C所对应的边为a、b、c.若、，的面积为.求的值. 94．（22-23高一下·上海闵行·期中）某地为庆祝中华人民共和国成立七十周年，在一个半径为米、圆心角为60°的扇形草坪上，由数千人的表演团队手持光影屏组成红旗图案，已知红旗图案为矩形，其四个顶点中有两个顶点、在线段上，另两个顶点、分别在弧、线段上.    (1)若，求此红旗图案的面积；（精确到） (2)求组成的红旗图案的最大面积.（精确到） 95．（22-23高一下·上海普陀·期中）（1）结合函数单调性的定义，证明函数在区间上为严格增函数； （2）某国际标准足球场长105m，宽68m，球门AB宽7.32m．当足球运动员M沿边路带球突破时，距底线CA多远处射门，对球门所张的角最大？（精确到1米） 96．（22-23高一下·上海静安·期中）已知. (1)若，求的单调递增区间； (2)若，求的最大值，并指出相应的值； (3)当时，的值域； (4)作出函数的大致图象. 97．（22-23高一下·上海虹口·期中）在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，高423米的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼（以下简称“国留中心’）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东堇最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米，“在同学们的叹中，老师提出了问盈：国贸中心真有这么高我们能否运用所学知识测量脸证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案． 第一小组采用的是“两次测角法”，他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了s米后，到达B点，在B点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图1）． 第二小组采用的是“镜面反射法”，在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤： ①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米； ②正对国贸中心，将镜子前移a米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米，然后计算出国贸中心的高度（如图2）． 实际操作中，第一小组测得米，，最终算得国贸中心的高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心的高度为假设测量者的身高h都为1.60米．    (1)请你用所学知识后两个小组完成计算（参考数据：，结果保留整数）； (2)你认为哪个小组的方案更好？请说明理由． 98．（22-23高一下·上海徐汇·期中）已知、两地相距，以为直径作一个半圆，在半圆上取一点，连接、，在三角形内种草（如图），、分别为弧、弧的中点，在三角形、三角形上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面积为，取． (1)用及表示和； (2)求的最小值． 99．（22-23高一下·上海宝山·期中）在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐．一般早潮叫潮，晚潮叫汐．受潮汐影响，港口的水深也会相应发生变化．下图记录了某港口某一天整点时刻的水深y（单位：米）与时间x（单位：时）的大致关系： 假设4月份的每一天水深与时间的关系都符合上图所示． (1)请运用函数模型，根据以上数据写出水深y与时间x的函数的近似表达式； (2)根据该港口的安全条例，要求船底与水底的距离必须不小于3.5米，否则该船必须立即离港．一艘船满载货物，吃水（即船底到水面的距离）6米，计划明天进港卸货． ①求该船可以进港的时间段； ②该船今天会到达港口附近，明天0点可以及时进港并立即开始卸货，已知卸货时吃水深度以每小时0.3米的速度匀速减少，卸完货后空船吃水3米．请设计一个卸货方案，在保证严格遵守该港口安全条例的前提下，使该船明天尽早完成卸货（不计停靠码头和驶离码头所需时间）． 100．（22-23高一下·上海长宁·期中）某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表： 0 0 1 0 0 0 0 0 (1)请写出表格中空格处的值，写出函数的解析式，并画出函数的大致图像； (2)将函数的图像向右平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求的单调减区间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$