精品解析： 上海市同济大学第二附属中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷

同济二附中2023-2024学年第二学期 高一年级数学学科试卷 （完成时间： 120分钟 满分： 150分） 一、填空题（本题满分54分， 共12小题， 第 1—6题每题4分， 7——12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为______. 2. 函数在处的导数为________． 3. 若角终边上一点， 则________． 4. 已知，则________． 5. 在中，若，则__________． 6. 已知，则=__________． 7. 记的内角的对边分别为，若，则角______. 8. 已知扇形的周长为，当扇形的面积最大时，扇形圆心角弧度为_______． 9. 已知角的终边与单位圆交点的坐标是.将的终边绕坐标原点逆时针转动30°得到角，则角的终边与单位圆交点的坐标是_______. 10. 下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是______.（只填写正确说法的序号） 11. 关于的方程有实数解，则实数的取值范围是______________. 12. 已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为____________. 二、选择题（， 共4小题， 13、14每题4分， 15、16每题5分） 13. 下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 下列命题中，真命题为（ ） A. 若点为角终边上一点， 则 B. 同时满足的角有且只有一个 C. 的解集为 D. 如果角满足那么角是第二象限角 15. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A B. C. D. 16. 在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 三、解答题（本大题满分78分，共5小题） 17 （1） 化简：． （2） 已知，求的值． 18. 已知． （1）求的导函数以及驻点； （2）求单调性； 19. 已知的一段图象如下图所示． （1）求函数解析式； （2）求函数的单调增区间； （3），求函数的值域． 20. 彩云湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，. （1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的属离防护栏（用根号表示）？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 21. 已知函数对任意的实数x满足且，则称为M函数． （1）判断是否为M函数，并说明理由； （2）函数为M函数，且当时，，求在时的解析式； （3）函数为M函数，且当时，，则当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 同济二附中2023-2024学年第二学期 高一年级数学学科试卷 （完成时间： 120分钟 满分： 150分） 一、填空题（本题满分54分， 共12小题， 第 1—6题每题4分， 7——12题每题5分） 1. 函数的最小正周期为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期的计算方法，即可求解. 【详解】根据正弦型函数的最小正周期的计算公式，可得： 函数的最小正周期为. 故答案为：. 2. 函数在处的导数为________． 【答案】6 【解析】 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】. 故答案为：6. 3. 若角终边上一点， 则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦函数的定义即可求解． 【详解】根据正弦函数的定义，. 故答案为：． 4. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由诱导公式得，再根据二倍角公式代入求值即可． 【详解】， ， 故答案为：． 5. 在中，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给条件，结合余弦定理可求得角C的值． 【详解】在三角形中，由余弦定理可知， 又因为，所以， 又，所以. 故答案为：. 6. 已知，则=__________． 【答案】 【解析】 【分析】化为分式，利用齐次式求解即可 【详解】 故答案为 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，齐次式值，将原式化为分母为1 是关键，是基础题 7. 记的内角的对边分别为，若，则角______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理进行化简，继而求得，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得 , 因为，则, 故，即， 又，所以, 故答案为：. 8. 已知扇形的周长为，当扇形的面积最大时，扇形圆心角弧度为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据扇形的弧长与半径的关系，建立等式，然后根据面积公式转化成关于r的二次函数，通过解二次函数最值即可得到结论. 【详解】因为扇形的周长为20， 所以，即 则扇形的面积为 所以当半径时，扇形的面积最大为25， 此时， 故答案为：2 【点睛】本题考查扇形相关性质，同时利用二次函数性质，难度较易. 9. 已知角的终边与单位圆交点的坐标是.将的终边绕坐标原点逆时针转动30°得到角，则角的终边与单位圆交点的坐标是_______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得的值，，然后利用两角和的正余弦公式可求得结果 【详解】解：因为角的终边与单位圆交点的坐标是. 所以， 因为将的终边绕坐标原点逆时针转动30°得到角，所以， 所以， ， 所以角的终边与单位圆交点的坐标是， 故答案为： 10. 下列关于函数的说法：①在区间上为严格增函数；②最小正周期为；③图像的对称中心为.其中正确的说法是______.（只填写正确说法的序号） 【答案】①③ 【解析】 【分析】直接利用正切函数的图象和性质的应用即可判断. 【详解】对于①，令，解得， 当时，，所以函数在区间上严格增函数，①正确； 对于②，函数的最小正周期为，②错误； 对于③，令，解得， 所以函数图象的对称中心为，③正确. 故答案为：①③ 11. 关于的方程有实数解，则实数的取值范围是______________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：． ,,, 即,． 故答案为： 考点：1三角函数值域;2配方法求值域． 12. 已知函数（），其图像的一个对称中心是，将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.若对任意，当时，都有，则实数的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的对称性求出的值，利用图象变换关系求出，构造函数，将条件转化为当,，为增函数，利用函数的单调性进行求解即可． 【详解】一个对称中心是， ，，即，， ，当时，，即， 将图像向左平移个单位长度后得到函数的图像， 即， 由，得， 设，则不等式等价为当时，， 即若对任意,，为增函数． ， 当,时，,，所以,， 因为对任意,，为增函数， 所以，所以，所以， 即的最大值为． 故答案为：． 二、选择题（， 共4小题， 13、14每题4分， 15、16每题5分） 13. 下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A选项，函数不是周期函数；BC选项，不满足奇偶性；D选项满足要求. 【详解】A选项，函数图象如下： 不是周期函数， BC选项，与是偶函数， D选项，的周期为且， 故为奇函数，D正确. 故选：D． 14. 下列命题中，真命题为（ ） A. 若点为角终边上一点， 则 B. 同时满足的角有且只有一个 C. 的解集为 D. 如果角满足那么角是第二象限的角 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦函数的定义及的正负即可判断A；由已知得出即可判断B；由正切值求得角即可判断C；根据象限角的定义即可判断D． 【详解】对于A，点为角终边上一点， 若，则 ，若，，故A错误； 对于B，同时满足的角为，故B错误； 对于C，的解集为，故C正确； 对于D，如果角满足，那么角是第三象限角，故D错误； 故选：C． 15. 若函数在处的导数等于，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算作答. 【详解】由已知得 ． 故选：D． 16. 在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据结合对数运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为关于的二次方程有两个相等的实根， 则，可得， 则，即，可知角C为直角，即直角三角形. 故选：B. 三、解答题（本大题满分78分，共5小题） 17. （1） 化简：． （2） 已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可化简； （2）由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式即可求解． 【详解】（1） ． （2） ， ， 则． 18. 已知． （1）求的导函数以及驻点； （2）求的单调性； 【答案】（1），驻点为 （2）的减区间为，增区间为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，令可求出函数的驻点； （2）利用函数的单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间. 【小问1详解】 ， 令， 所以函数的驻点为. 【小问2详解】 由题意得，的定义域为. ，， 所以的减区间为，增区间为. 19. 已知的一段图象如下图所示． （1）求函数的解析式； （2）求函数单调增区间； （3），求函数的值域． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，依次求得的值. （2）利用整体代入法求得的单调增区间. （3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域. 【详解】（1）由题意知：， ， ，由于， 所以， 所以函数的解析式：； （2）由，得， 增区间； （3），. ． ∴函数在区间上的值域为． 20. 彩云湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边、、、修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，. （1）如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的属离防护栏（用根号表示）？ （2）考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？ 【答案】（1）m （2）修建观赏步道时应使得， 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式求出，得到，利用余弦定理运算求解； （2）先得到烧烤区的占地面积最大时，m，，设，利用正弦定理得到，由面积公式得到，结合，得到面积的最大值，及，得到答案. 【小问1详解】 因为，解得：， 又因为C是钝角，所以， 由余弦定理得： ， 故需要修建m的隔离防护栏. 【小问2详解】 因为， 当且仅当时取到等号，此时m， 设，， 在中，， 解得：， 故 ， 因为，所以， 故当，即时，取的最大值为1， 可得， 当且仅当时取到等号，此时m， 所以修建观赏步道时应使得，. 21. 已知函数对任意的实数x满足且，则称为M函数． （1）判断是否为M函数，并说明理由； （2）函数为M函数，且当时，，求在时的解析式； （3）函数为M函数，且当时，，则当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S． 【答案】（1）判断见解析； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由“M函数”的定义即可判断是不是M函数； （2）由“M函数”的定义，结合函数的周期，即可得到所求函数的解析式； （3）根据已知条件得函数在上的图象，结合图象对称性和周期性及值域即可求解. 【小问1详解】 不是M函数；证明如下： ， ，所以不是M函数； 【小问2详解】 因为函数对任意的实数x满足， 所以函数的周期为， ，所以， 因为当时，， ， 所以在时的解析式为 【小问3详解】 由（2）知，在时的解析式为， ，， ，， ， 作出函数的图象，如图所示， 关于x的方程（a为常数）有解等价于函数 与的图象有交点， 由图可知，当时，方程（a为常数）有3个解， 其方程所有解的和为， 当或时，方程（a为常数）有4个解，其方程所有解的和为， 当时，方程（a为常数）有6个解，其方程所有解的和为， 当时，方程（a为常数）有8个解，其方程所有解和为， 综上所述，当，关于x的方程（a为常数）所有有解的和为S，则 【点睛】解决此题的关键，第一问利用已知条件给出M函数定义即可，第二问主要利用周期性求函数的解析式，注意变量范围即可；第三问利用函数的周期性求解出所在范围的解析式，再将方程的根转化为函数与函数的图象交点的个数，进而利用对称性即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$