2025届上海市徐汇区高三4月二模考试数学试卷

2025年上海市徐汇区数学二模试卷参考答案 2025.4 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1． 2 . 3. 4. 5. 90 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. B 14. A 15. C 16. B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1） 设正方形，的中心分别为，连接，则平面. 分别取，的中点，，连接，，，则，. 又，分别为等腰梯形底边，的中点，所以. 由可得四边形是一个直角梯形. 又，为侧面与底面所成二面角的平面角. 由条件知， 所以. 所以侧面与底面所成二面角的大小为 （2）设圆台上底面圆半径cm，下底面圆半径cm，高cm， 则圆台的体积为． 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与正四棱台的体积之比为. 18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1） （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 解：（1） 由题意，，的概率等于. 令，则. 因此， . 故净含量误差超过5g的概率约为. （2） 可能的取值为0、1、2、3. （3） 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为. 故服从二项分布. 记，从而的分布为 ， 因此. 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 解：（1）由已知可得，即， 所以点的坐标为， 点到准线的距离为. （2）证明：由已知可知直线的斜率存在且不等于并过点， 设的方程为，与相交于， 由得， 则，， ， 同理可得， 所以. （3）由已知可得直线的方程为， 由，解得，，不妨令， 则，， 在中，， 在中，， 由及得 设点，于是， 整理得， 所以点在以点为圆心，2为半径的圆上（除去与直线的两个交点）， 因为圆心在直线上，则点到直线距离的最大值为， 所以面积最大值为. 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） （1）证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. （2）解：，， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动，因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值，而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. （3）解：，， 记，即. 由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，于是， 则， 又，则， ，得，则. 又因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海市徐汇区数学二模试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 2025.4 1、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知全集，，则______. 2. 复数（其中为虚数单位）的虚部是________． 3. 在空间直角坐标系中，向量若，则____. 4．已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是_____________． 5．右图是一个列联表，则__________. 6. 已知，则的值为_____________. 7. 已知平面，是直角三角形，且，，则点P到直线BC的距离是_____. 8. 已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且 则的大小为__________. 9. 已知两个随机事件，若，，，则_______. 10.已知双曲线的左焦点为，右焦点为.若双曲线的右支上存在一点，使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切，切点为线段的中点，则该双曲线的离心率为________. 11.如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为__________米. 12. 设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是__________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.已知两个随机事件，则“与互斥”是“与对立”的 　　 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 14. 在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为（       ） A． B．1 C． D．2 15. 在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，正四面体与桌面贴合的面为，操作次后，正四面体与桌面贴合的面是的概率记为. 现有下列两个结论：①；②. 则下列说法正确的是（ ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①、②都正确 D．①、②都错误 16. 已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数不可能是（ ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm．    （1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小； （2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 18. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知函数，其中. （1）解关于的不等式； （2）若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 19. （本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差. 已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布. （1）随机抽取一包该公司生产的糖果，求其净含量误差超过5g的概率（精确到）； （2）随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为. 求的分布和期望（精确到）. 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数. 20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知抛物线，点是抛物线的焦点． （1）求点的坐标及点到准线的距离； （2）过点作相互垂直的两条直线，交抛物线于点、，交抛物线于点、，求证：为定值，并求出该定值； （3）过点且斜率为的直线交抛物线于两点，设点不在直线上且为的内角平分线，求面积的最大值. 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. （1） 已知函数，其中， 求证：对任意实数，都有； （2） 设，，若函数的最小导周期为， 记，当实数变化时，求的最小值； （3）设，，若函数满足对恒成立， 且存在使得，试用表示，并证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$