精品解析：吉林省白山市抚松县第一中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（平行班）

高二年级下学期第一次月考 数学试题（平行） 满分：150分 时间120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的导数，进而求出，再代入计算作答. 【详解】对函数求导得，，当时，，解得，则， 所以. 故选：A 2. 已知，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出在点处的导数即为切线的斜率，直接写出切线方程即可. 【详解】因为，所以，， 所以切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为， 故选：D. 3. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极小值点 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC选项，根据导数的定义和几何意义即判断D选项，从而得出答案. 【详解】由图像知，当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在区间，内单调递增，在区间内单调递减， 是的极大值点，3是的极小值点，故ABC错误； 又因为，所以曲线在处切线斜率小于零，故D正确. 故选：D. 4. 设某质点的位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则质点在第时的瞬时速度等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义可求得质点在第时的瞬时速度. 【详解】质点在第时的瞬时速度为. 故选：D. 5. 设（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，利用导数法求函数的单调性及最值，结合对数函数的单调性及不等式的性质即可求解. 【详解】 令则， 令，即，解得 当时，， 所以在上单调递增. 所以 所以，即， 令则， 令即，解得， 当时，， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，即（当且仅当时等号成立）. 因为 所以即 所以. 故选：A. 6. 已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导，令，利用导数判断函数的单调性，再由分类讨论即可得解. 【详解】由，得， 令， 则， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以， 所以函数在上是增函数， 所以， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，满足题意； 当时，则存在，使得， 且当，，函数单调递减， 所以，故不恒成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：B. 7. 若函数与的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可. 【详解】与只有1个交点等价于函数 只有1个零点， 即只有1个解， 令，则，， 当时，单调递增，当时，单调递减，并且， 所以， ，函数的大致图像如下图： ，原不等式为： ，即， 令，显然在时是增函数，又， 的解集是. 故选：C. 8. 关于函数，下列说法错误的是（ ） A. 是的极小值点； B. 函数有且只有1个零点； C. 存在正整数，使得恒成立； D. 对任意两个正实数，且，若，则. 【答案】C 【解析】 【分析】由导数求极值最值可知A正确，由函数单调性和零点存在性定理可知B正确，构造，利用导数判断单调性可知D正确. 【详解】（），， 当时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 所以是的极小值点，A正确； 所以极小值为， 图像如下图所示： 设，因为是正整数，最小值为1，如上图所示， 当时，有， 故不满足恒成立， 当时，由图像可知，与的图像必有交点， 故不存在正整数，使得恒成立.C错误； 设（）， ， 因为，所以， 所以在上单调递减， ， 所以，使得， 即函数有且只有1个零点，B正确； 要证，即证， 不妨设，由知，，. 设，， ， 在上单调递减， 所以， 所以，即， 又因为， ，， 又因为在上单调递增， 所以有，即，D正确. 故选：C 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用求导公式及导数的运算法则逐项计算即得. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 由求导公式得C正确，由商的导数运算法则得D正确. 故选：CD 10. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象判断出的符号，由此确定正确答案. 【详解】根据函数的图象可知， 在区间，单调递增； 在区间，单调递减. 所以有个极值点、是的极大值点、在上单调递增， 是的极小值点， 所以ABD选项正确，C选项错误. 故选：ABD 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 有解 C. 不存在极值点 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由对数函数的性质即可求解定义域；对于B，根据对数与指数幂的关系由得，结合定义域解该方程即可得解；对于C，先求导函数，接着利用导数工具研究的性质，于是得图象的性质以及和图象的关系特征，进而得无零点，即不存在极值点；对于D，作差结合基本不等式判断的正负即可得解. 【详解】对于A选项，由对数函数的性质知的定义域为，故A错误； 对于B选项，令，则，即，解得（舍去）或，故B正确； 对于C选项，，则， 设函数，则为增函数，令，解得， 则时，，单调递减，时，，单调递增，且在上， 所以由图象的性质可知的图象为的图象向左平移一个单位长度得到，且两者无交点， 则无零点，即不存在极值点，故C正确； 对于D选项，因为， 当时，， 故即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 曲线的对称中心为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，设函数的对称中心为，则，等式两边求导可得出的对称轴方程，可得出的值，再由求出的值，即可得出对称中心的坐标. 【详解】设，设函数的对称中心为，则， 等式两边求导得，即， 所以，函数的图象关于直线对称， 因为，故函数的图象关于直线对称，则， 因为， 所以，函数的对称中心为. 故答案为：. 13. 已知对任意恒成立，求正数的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】当时，条件显然成立，所以只需处理的情况即可，此时 ，令， 求导，利用函数的单调性转换求解即可. 【详解】， 又，所以， 当时，上式显然成立， 所以只需处理的情况即可，此时 ， 令， 恒成立，所以严格递增， 在恒成立即可， 令，则， 令， 当时，，严格增， 当时，，严格减， 所以，所以， 故答案为：. 14. 已知直线是曲线和的公切线，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】令，则， 因为直线是曲线的切线， 所以由解得，此时 所以在处的切线为，所以， 又是的切线， 联立得， 令解得， 所以， 故答案为： 四、解答题 15. （1） 已知函数在处取得极小值，求的极大值； （2） 已知函数，若，求在区间的最小值. 【答案】（1） 极大值为4；（2） 【解析】 【分析】（1）先由求出，再检验是否符合题意即可； （2）根据函数的单调性与给所区间的关系分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. （2）， 令，解得或， 当时，则当或时，当时， 所以的单调增区间为，，单调减区间为； 若，即时在上单调递减， 所以在上的最小值为， 若，即时，在单调递减，在单调递增， 所以在的最小值为， 所以. 16. 用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 【答案】长为m，宽为1m，高为m时，体积最大，最大体积为3 【解析】 【分析】设出长方体的宽为m，表达出长方体的长和高，从而体积，并根据长宽高均大于0，求出，求导后得到的单调性和极值，最值情况，并确定此时的长、宽、高. 【详解】设长方体的宽为m，则长方体的长为m，故长方体的高为m， 由，解得：， 设长方体的体积为， 故， 则， 令，解得：， 令，解得：， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，最大值为， 此时长为m，宽为1m，高为m. 17. 已知函数. （1）求函数在区间上的平均变化率； （2）设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； （3）求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】（1）2 （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据平均变化率公式，即可求解； （2）利用导数求的几何意义求切线斜率，利用斜率相等，即可求解； （3）首先设切点，利用导数的几何意义求切线方程. 【小问1详解】 函数在区间上的平均变化率为； 【小问2详解】 ，，， ，，， 由题意可知，，得； 【小问3详解】 ，设切点为，， 则曲线在点处的切线方程为，切线过点， 则，化简为， 即，则， 得或， 当时，切线方程为， 当时，切线方程为， 综上可知，切线方程为或. 18. 已知函数. （1）证明曲线在处的切线过原点； （2）讨论的单调性； 【答案】（1）证明如下： 由题设得，所以， 又因为，所以切点为，斜率， 所以切线方程为，即恒过原点． （2） 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）可求得切点为，斜率，则切线方程为，则恒过原点； （2）首先求函数的导数，当时，和，可得的单调区间；当时，令，当时由的判别式和，讨论出函数的单调区间；当时，的判别式，讨论出函数的单调区间. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减； 当时，令，则， 当且时，即时，，在上单调递增， 当时，， 由，则，或，则， 所以在上单调递增，在上单调递增； 由，则，则， 所以在上单调递减； 当时，，则为开口向下的二次函数， 对称轴，，， 由，则，则，所以在上单调递增， 由，则，则，所以在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 19. 已知函数且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. 【答案】（1）； （2）证明：由（1）可知时，， 记，则， 令，解得：， 当时，时， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，所以在区间上有唯一零点且， 在上为正、在上为负、在上为正， 所以必存在唯一极大值点，且， 所以， 由可知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以； 综上所述，存在唯一的极大值点，且． 【解析】 【分析】（1）（方法一）由等价于，得出是极小值点，再由可得答案；（方法二）由等价于，求出．时由不合题意．当时只需可得答案； （2）利用导数研究的单调性、极值情况，依据单调性证极大值的范围. 【详解】（1）（方法一） 因为， 则等价于， 是极小值点． 又， 检验，当时，，当时单调递减； 当时单调递增， ，符合题意； （方法二）因为， 则等价于， 求导可知． ①当时，即在上单调递减， 所以当时，，不合题意． ②当时， 因为当时，当时， 所以，只需， ， 所以在单调递增，在单调递减， ，所以的解只有； （2）略 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期第一次月考 数学试题（平行） 满分：150分 时间120分钟 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极小值点 C. 在区间上单调递减 D. 曲线在处的切线斜率小于零 4. 设某质点的位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则质点在第时的瞬时速度等于（ ） A. B. C. D. 5. 设（e为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若时，恒有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数与的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 关于函数，下列说法错误的是（ ） A. 是的极小值点； B. 函数有且只有1个零点； C. 存在正整数，使得恒成立； D. 对任意两个正实数，且，若，则. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则（ ） A. 有个极值点 B. 是的极大值点 C. 是的极大值点 D. 在上单调递增 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 的定义域为 B. 有解 C. 不存在极值点 D. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 曲线的对称中心为_______． 13. 已知对任意恒成立，求正数的取值范围_____． 14. 已知直线是曲线和的公切线，则的值为_____. 四、解答题 15. （1） 已知函数在处取得极小值，求的极大值； （2） 已知函数，若，求在区间的最小值. 16. 用长为的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？ 17. 已知函数. （1）求函数在区间上的平均变化率； （2）设，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求实数的值； （3）求过点且与曲线相切的直线方程. 18. 已知函数. （1）证明曲线在处的切线过原点； （2）讨论的单调性； 19. 已知函数且. （1）求a； （2）证明：存在唯一的极大值点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $