精品解析：吉林省四平市2024～2025学年八年级下学期第一次月考数学试卷

第一次月考八年数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，然后解不等式即可． 【详解】解：式子有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、是二次根式，故本选项符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 5，8，10 B. 1，1， C. 2，7，7 D. 10，20，30 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知该定理的内容是解题关键，注意：在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理逐项判断即得答案. 【详解】解：A、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取的中点C、D，量得，则A、B之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线的知识，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键，根据题意知是的中位线，利用中位线的定理可知，即可解答． 【详解】解：∵C，D是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 5. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解本题的关键．利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可． 【详解】解：，，， ， 少走的路长为， 故选：D． 6. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键．由菱形的性质可得，再运用勾股定理可得，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ， ， ， ， ， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若正方形的边长是，则它的一条对角线的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质和勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．根据正方形的性质和勾股定理即可得到正方形的一条对角线的长． 【详解】解：∵正方形的边长是， ∴它的一条对角线的长是， 故答案为： 8. 若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，与最简二次根式是同类二次根式，据此即可求出x的值． 【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，， ， 解得：． 故答案为：4． 9. 如图，在平行四边形中，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的对角相等的性质得到，然后由邻补角的定义解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， 则， 所以， 故答案为：． 10. 如图，在中，对角线相交于点 O，且，若要使为矩形，则的长度为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定．根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当，即时，为矩形， 此时的长度为3． 故答案为：3 11. 如图，在中，，，点M是边上一点（不与点A、B重合），作于点于点F，连接，则的最小值是_______． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键．连接，根据矩形的性质可得，当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， 四边形是矩形， ， ∵，，， ， 当时，取得最小值，即取得最小值， ， ． ． 即的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算除法和乘法，再化为最简二次根式，然后算加减即可． 【详解】解： ． 13. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先计算二次根式的乘方、化简二次根式、计算二次根式的除法，再进行加减法计算即可． 【详解】解： 14. 如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，EF//AD，求证：四边形AEFD是菱形． 【答案】证明见解析． 【解析】 【详解】试题分析：先证明四边形DAEF是平行四边形，再由角的关系求得∠AED=∠1，根据等角对等边得AD=AE，再依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得四边形AEFD是菱形 试题解析：如图 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DF∥AE， ∵EF∥AD， ∴四边形DAEF是平行四边形， ∵∠2=∠AED， ∵DE是▱ABCD的∠ADC的平分线 ∴∠1=∠2， ∴∠AED=∠1． ∴AD=AE． ∴四边形AEFD是菱形． 考点：1．菱形的判定与性质；2．平行四边形的性质． 15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图（在每个图中分别画一个符合要求的图形即可）． （1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长分别为； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； （3）在图③中，画一个平行四边形，使它的周长为整数，且不是特殊的平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】此题考查勾股定理及其逆定理、平行四边形的判定等知识，根据要求准确作图是关键． （1）利用勾股定理和网格的特点进行作图即可； （2）根据勾股定理的逆定理和勾股定理进行作图即可； （3）根平行四边形的判定和网格的特点作图即可． 【小问1详解】 解：如图①即为所求， 【小问2详解】 如图②即为所求． 【小问3详解】 如图③即为所求． 16. 如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵点D是的中点， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，则， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定，先证明，，即可得到结论． 【详解】略 17. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及平方差公式应用，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先求出，，然后将变形，再整体代入求值即可； （2）先将变形，然后再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 18. 如图，的对角线相交于点过点O且与分别相交于点E、F．连接． （1）求证：； （2）若的周长是18，求的周长． 【答案】（1） 证明：在中， ， 在和中， ∴ （2）36 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． （1）证明即可得到答案； （2）证明四边形是菱形，根据菱形的性质即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形， ，即， 即 ， 即的周长是36． 19. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理的逆定理证明，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 故蔬菜区边的长为． 【小问2详解】 解：∵， ，， 则，， 即， ∴， ∴劳动基地的面积为：， 故劳动基地（四边形）的面积为． 20. 如图，在矩形中，．为对角线，E、F分别是的中点，交对角线于点O． （1）求的长； （2）点G是对角线上的点，，求的长． 【答案】（1） （2）1或4 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题关键是熟练运用相关知识进行推理及计算； （1）先由矩形的性质得到 ，，进而得到再由，证明即可； （2）证明四边形是矩形，得到，再由直角三角形斜边中线的性质得到，则或． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴ ∵E，F分别是AD，BC的中点， ∴， ∴； ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵E、F分别是的中点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴或， ∴的长为1或4． 21. 折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． （1）在图3中，________，________． （2）在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． （3）若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 【答案】（1），5 （2） 为等边三角形； 理由如下： 由折叠可知：垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，进行求解即可． （2）由折叠的性质可得，由线段中垂线的性质可得，可得结论； （3）根据点A的对应点恰落在矩形的对称轴上，分两种情况讨论，①当点落在上时，②如当点落在上时，由折叠的性质和勾股定理可求解． 【小问1详解】 解：∵对折矩形纸片，使与重合， ∴， 由折叠可得：； 故答案为：，5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：解：①如图，当点落在上时， ∵为矩形的对称轴， ∴，，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠可知： ，，设，则：， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：， ∴ ②如图，当点落在上时 由（2）可知：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴或（舍去）， 综上所述，的长为或； 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22. 如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示的长． （2）求当t为何值时，分别满足下面的条件： ①； ②． （3）如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①；② （3）存在，t的值为6或 【解析】 【分析】（1）根据时间、速度、路程之间的关系即可求解； （2）①证明四边形为平行四边形，则，设动点的运动时间为秒，则，，列方程并解方程即可求出答案；②证明四边形是矩形，则，据此列方程并解方程即可求出答案； （3）假设在线段上存在一点，使得使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形，分两种情况，画出图形进行解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，，， ∴； 【小问2详解】 连接，如图所示， 若， ∵ ∴四边形为平行四边形， ， 设动点的运动时间为秒，则，， ， 解得：，符合题意， 当，满足； ②∵， ∴与之间的距离为， 当时，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ 解得 【小问3详解】 解：t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形． 理由如下：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，，如图， 设动点的运动时间为秒，则， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 此时，， 当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形． 第二中情况如图， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， 综上可知，t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，解题关键是能正确建立方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一次月考八年数学 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. 5，8，10 B. 1，1， C. 2，7，7 D. 10，20，30 4. 如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取的中点C、D，量得，则A、B之间的距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，，交 于点O，于点E，连接，则的长为 （ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若正方形的边长是，则它的一条对角线的长是_______． 8. 若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______． 9. 如图，在平行四边形中，，则______． 10. 如图，在中，对角线相交于点 O，且，若要使为矩形，则的长度为________． 11. 如图，在中，，，点M是边上一点（不与点A、B重合），作于点于点F，连接，则的最小值是_______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 计算： 13. 计算：． 14. 如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，EF//AD，求证：四边形AEFD是菱形． 15. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点分别按下列要求画图（在每个图中分别画一个符合要求的图形即可）． （1）在图①中，画一个三角形，使它的三边长分别为； （2）在图②中，画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数； （3）在图③中，画一个平行四边形，使它的周长为整数，且不是特殊的平行四边形． 16. 如图，在中，，点D是的中点，．过点D作且，连接．求证：四边形是正方形． 17. 已知，． （1）求的值； （2）求的值． 18. 如图，的对角线相交于点过点O且与分别相交于点E、F．连接． （1）求证：； （2）若的周长是18，求的周长． 19. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 20. 如图，在矩形中，．为对角线，E、F分别是的中点，交对角线于点O． （1）求的长； （2）点G是对角线上的点，，求的长． 21. 折纸的过程蕴含着丰富的数学知识．如图1，有一张矩形纸片，，对它进行以下操作： 第一步：如图2，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 第二步：如图3，再一次折叠纸片，使点落在上的点处，且折痕过点，得到折痕． （1）在图3中，________，________． （2）在图3中，连接，试判断的形状，并说明理由． （3）若在矩形中，，，点在边上，将沿着折叠，若点的对应点恰落在矩形的对称轴上，则________． 22. 如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示的长． （2）求当t为何值时，分别满足下面的条件： ①； ②． （3）如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $