精品解析：安徽省黄山市2025届高三下学期质量检测（二模）数学试题

黄山市2025届高三毕业班质量检测 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱（如图2），其中总高度为，圆柱的高度为，该陀螺由密度为的木质材料制成（密度），其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（ ） A. 3.2 B. 5 C. 5.04 D. 15.7 5. 已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（ ） A. B. C. D. 10 8. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（ ） A. 当船的航行时间最短时， B. 当船的航行距离最短时， C. 当时，船的航行时间为6分钟 D. 当时，船的航行距离为 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（ ） A. 的最小值为4 B. 以线段为直径的圆与直线相切 C. 当时，则 D. 11. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 在上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增 C. D. 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________． 13. 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法． 14. 已知，都是锐角，，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （1）该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； （2）若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 16. 平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 17. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点，为的中点，，沿将翻折到的位置，使，如图2． （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成角的余弦值． 18. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，判断函数在区间上的单调性； （2）令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围； （3）求证：当时，． 19. 若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，． （1）若（是正整数），求，，的值； （2）若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列； （3）若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄山市2025届高三毕业班质量检测 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式、分式不等式求集合，再应用集合的交运算求结果. 【详解】由，或， 所以. 故选：D 2. 设复数满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数除法的几何意义及模长的定义求复数的模长. 【详解】由题设，则. 故选：A 3. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一（如图1），一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱（如图2），其中总高度为，圆柱的高度为，该陀螺由密度为的木质材料制成（密度），其总质量为，则此陀螺圆柱底面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由质量和密度求出此陀螺圆柱体积，通过圆锥、圆柱体体积公式求得此陀螺圆柱体积，然后建立方程后解得底面面积. 【详解】此陀螺圆柱体积， 设此陀螺圆柱的底面半径为，则， ∴此陀螺圆柱的底面面积. 故选：C. 4. 为了解某市居民用水情况，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量（单位：），将该数据按照，分成9组，绘制了如图所示的频率分布直方图．政府要对节约用水的用户予以表彰，制定了一个用水量标准，使表彰的居民不超过15.4%，则以下比较适合作为标准的为（ ） A. 3.2 B. 5 C. 5.04 D. 15.7 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出用水量的15.4%分位数，即可得. 【详解】由题意及，则，可得吨. 故选：A 5. 已知双曲线渐近线的斜率小于，则离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得不等式，利用双曲线的离心率计算公式和范围，求解不等式即得其范围. 【详解】依题意，，而， 因，故得. 故选：B. 6. 已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，利用等比数列通项公式求值即可. 【详解】由题意，设前10项等差数列的公差为，则，解得， 所以. 设第9项起依次成的等比数列的公比为，则，即. 所以. 故选：B. 7. 如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（ ） A. B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由二倍角余弦公式得，应用正弦定理求出，再应用余弦定理求距离. 【详解】由题设，，则，而， 所以，则， 由，，则，而， 又， 所以，则， 由 . 故选：C 8. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”．若函数，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“新驻点”的定义，依次对函数求导，构造方程，再通过导函数研究函数的单调性，利用零点存在定理得到方程的根所在区间，最后比较大小即可. 【详解】根据题意，求导得， 由即解得，所以函数的“新驻点”. 同理，求导得，则即， 设函数，易知函数在定义域上单调递增， 且， 根据零点存在定理可知，的根. 由求导得，则即， 设函数，则， 所以，当或时，，单调递增；当时，，单调递减. 因为， 根据零点存在定理，可知的根. 综上，. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行，已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，设和的夹角为，则下列说法正确的为（ ） A. 当船的航行时间最短时， B. 当船的航行距离最短时， C. 当时，船的航行时间为6分钟 D. 当时，船的航行距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用向量的加法法则以及数量积的运算律解决速度合成问题，根据船的航行时间（其中船垂直河岸方向的分速度）可计算并判断A,C；根据船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，可计算并判断B；通过向量的有关运算计算出合成速度，可计算并判断D. 【详解】对于A，将船的速度和水流速度进行合成，船垂直河岸方向的分速度， 河宽，则渡河时间 ， 当，即，取得最小值，所以当船的航行时间最短时，，故A正确； 对于B，当船的航行距离最短时，合速度方向垂直河岸，如图， 则，所以，故B错误； 对于C，当时，船垂直河岸方向的分速度， 船的航行时间，即6分钟，故C正确； 对于D，将船的速度和水流速度进行合成，则， 当时，， 所以， 因为船垂直河岸方向的分速度， 所以船的航行时间， 所以船的航行距离为，故D错误. 故选：AC. 10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，过点作直线交抛物线于，两点，则（ ） A. 的最小值为4 B. 以线段为直径的圆与直线相切 C. 当时，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设可得，，设，联立抛物线并应用韦达定理得，，应用弦长公式、抛物线的定义求弦长，确定的中点横坐标，即可得判断A、B、C；应用向量数量积的坐标表示及韦达公式化简判断D. 【详解】由题设，则，， 可设，联立抛物线得，显然， 所以，，则 ，当且仅当时等号成立，A错； 由抛物线的定义知，而的中点横坐标为， 所以的中点与直线的距离为，即为的一半， 所以以线段为直径的圆与直线相切，B对； 若，且，则，而， 所以，则， 所以，则，C对； 由，D对. 故选：BCD 11. 已知是定义在上的奇函数，且图象连续不间断，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ） A. 在上有且只有1个零点 B. 在区间上单调递增 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】构造，根据已知及奇偶性定义、导数研究函数的性质得到在R上单调递减，且时，时，，进而判断各项的正误. 【详解】令，而是定义在上的奇函数，则， ，即在R上也是奇函数， 而，当时，， 所以在上单调递减，结合奇函数性质知：在R上单调递减， 综上，时，时，，故， 显然时，故时，时， 所以在上有且只有1个零点，，，A、C、D对； 由，显然在上单调递增，且， 在上单调递减，在上单调递增，且周期为，， 所以在上不一定单调，B错. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题．每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据分段函数的组成，代入求解即得. 【详解】由，可得. 故答案为：0. 13. 某单位在五一假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班（每天只需1人值班），不出现同一人连续值班2天，共有________种不同的安排方法． 【答案】1280 【解析】 【分析】根据分步计数乘法原理，结合题意计算即可得结果. 【详解】根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法. 所以，总共有种不同的安排方法. 故答案为：1280. 14. 已知，都是锐角，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，利用和条件求出，将看成方程的两根，分解因式求得，根据角的范围确定的值，进而求出角. 【详解】由，可得，故， 因，代入解得， 可将看成方程的两根，解得 或， 因，都是锐角，且，由，解得， 而，故，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： （1）该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； （2）若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 【答案】（1）个学生； （2） 0 1 2 3 均值为. 【解析】 【分析】（1）根据题设求得、，应用正态分布的三段区间概率及对称性得，即可求人数； （2）由题意平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布，应用二项分布的概率公式求分布列，进而求均值. 【小问1详解】 由题设，且， 所以该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布， 由， 所以估计该校大约有个学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上； 【小问2详解】 由（1）知， 则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布， 所以，， ，， 所以分布列如下， 0 1 2 3 . 16. 平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题设条件列出方程，化简即得曲线的方程； （2）依题设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于半径推出，再由直线与椭圆方程联立消元，写出韦达定理，计算弦长和点到直线的距离，表示出面积，利用换元和基本不等式即可求得面积最大值. 【小问1详解】 设到定直线的距离为， 依题意，可得，化简得， 即曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率不可能是0，不妨设其方程为：， 则圆的圆心到直线的距离，即 ① 由消去，可得， 由，可得， 设，则， 则 ， 将①式代入，化简得：， 因点到直线的距离为， 则的面积为， 设，则，， 因，当且仅当时取等号， 此时， 的面积的最大值为. 17. 如图1，在平行四边形中，，，为的中点，为的中点，，沿将翻折到的位置，使，如图2． （1）证明：平面； （2）求平面和平面所成角的余弦值． 【答案】（1） 如图，连接，交于点， 四边形是平行四边形，为的中点， ，，故，故为的三等分点， ，为的三等分点，即F为的中点， 又为的中点，，即 平面，平面， 平面. （2）0. 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对边平行，结合边长关系，证得为中点，利用中位线性质证得，即可证得线面平行. （2）证明平面，，建立空间直角坐标系，利用向量法求两平面所成角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，，，则是等边三角形， 所以，，，. 在中，， 根据余弦定理，， 故，即， ，故， 又在等边中，为的中点，， ，，平面，平面, 平面. 平面，， 又，，平面，平面， 平面. 在中，, . 由题意，，所以梯形是等腰梯形，则，所以， 又，. 以点为坐标原点，以分别为轴、轴正方向，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示坐标系.    则，，，，， ，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以 设平面和平面的夹角为, 则， 所以平面和平面的夹角余弦值为0. 18. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，判断函数在区间上的单调性； （2）令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围； （3）求证：当时，． 【答案】（1）函数在区间上的单调递减； （2）； （3） 由，只需证恒成立， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以，故， 所以，恒成立. 【解析】 【分析】（1）利用导数研究函数的区间单调性即可； （2）问题化为在上有解，导数研究右侧的单调性和区间值域，即可得参数范围； （3）问题化为证，构造并应用导数研究其最小值，得到，即可证. 【小问1详解】 由题设，则， 当，有，则， 所以在区间上的单调递减； 【小问2详解】 由题设，则， 所以上，即在上有解， 令且，则， 所以在上单调递增，故，即； 【小问3详解】 略 19. 若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，． （1）若（是正整数），求，，的值； （2）若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列； （3）若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1），，； （2） 由题设，则， 所以，，则， 所以，，， 所以，故，即数列是等差数列； （3）存在，最小k为7. 【解析】 【分析】（1）根据定义有且，将代入依次求出； （2）根据已知有，得，进而有，，，即可证； （3）根据题设定义得到且，进而有且，结合及不等式能成立求n的范围，即可得. 【小问1详解】 由题设，且， 所以，即，， ，即，， ，即，， 所以，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当为奇数时，，则， 由，即，，则； 当为偶数时，，则， 由，即，，则； 所以且，则且， 而， 要使，则， 当且，则， 所以，则，可得； 当且，则， 所以，则，显然不成立； 综上，时的最小值为7. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $