第15章 概率章末题型归纳总结（基础篇）（6大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第15章 概率章末题型归纳总结（基础篇） 章末题型归纳目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：知识点总结 模块三：典型例题 题型一：事件的运算 题型二：概率的基本性质 题型三：互斥事件、对立事件与相互独立事件 题型四：古典概型 题型五：相互独立事件概率的计算 题型六：概率综合问题 模块一：本章知识思维导图 模块二：知识点总结 知识点1：样本空间和随机事件 1、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 3、随机事件、确定事件 （1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． （2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． （3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件． （4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件． 知识点2：两个事件的关系和运算 1、事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示： 2、互斥事件与对立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 知识点3：概率与频率 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 知识点4：古典概型 （1）定义 一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （2）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 知识点5：概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 知识点6：相互独立 1、相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 2、相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 模块三：典型例题 题型一：事件的运算 【典例1-1】（2025·高二·吉林·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【答案】B 【解析】由题可知，“向上的点数是1或3”为事件，“向上的点数是1或5”为事件， 所以事件不等于事件，故A错误； 事件表示“向上的点数是1或3或5”，故B正确，C错误； 事件表示“向上的点数是1”，故D错误； 故选：B. 【典例1-2】（2025·高一·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（    ） A． B．出现的点数为6 C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 【答案】B 【解析】出现的点数不小于5出现的点数为，出现的点数为偶数出现的点数为， 则出现的点数为，故B正确，A错误； 因为事件A与事件B可以同时发生，故事件A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故C，D错误， 故选：B． 【变式1-1】（2025·高一·全国·课后作业）同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】列出事件N包含的结果再分析与事件M的关系即可.事件N包含两种结果：“向上面都是正面”和“向上面是一正一反”.所以当M发生时,事件N一定发生,则有. 故选：A. 【变式1-2】（2025·高二·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【答案】C 【解析】由同时抛掷两枚硬币，基本事件的空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， 其中事件{（正，正）}，事件{（正，正），（正，反），（反，正）}， 所以. 故选：C. 【变式1-3】（2025·高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用表示试验的射击情况，其中表示第1次射击的情况，表示第2次射击的情况，以1表示击中，0表示没中， 则样本空间. 由题意得，，，， 则，，且.即ABC都正确； 又，. .故D不正确. 故选：D. 题型二：概率的基本性质 【典例2-1】（2025·高二·上海·阶段练习）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 【答案】 【解析】因为事件和互斥，， 所以， 因为事件和都不发生的概率为， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 【典例2-2】（2025·高二·全国·课后作业）在财务审计中，我们可以用“本福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是1～9这九个事件不是等可能的.具体来说，随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字，则（且，）.则根据本福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 .（，保留至整数） 【答案】 【解析】由概率和为1，知，可得， 故所求概率之比为. 故答案为： 【变式2-1】（2025·高二·上海·阶段练习）已知事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，，则 . 【答案】/0.4 【解析】因为事件与互斥，它们都不发生的概率为，且， ，解得， ， 故答案为：． 【变式2-2】（2025·高二·上海·期末）某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为 ． 【答案】0.9/ 【解析】记两次考试分别超过130分的事件为，则， 因此， 所以两次考试中至少有一次超过130分的概率为0.9. 故答案为：0.9 【变式2-3】（2025·高二·上海浦东新·期末）某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为 . 【答案】 【解析】记取到红球为事件A，取到蓝球为事件B，取到的球不是红球也不是蓝球为事件C. 所以，, 由题意，，且互斥， 则. 故答案为： 题型三：互斥事件、对立事件与相互独立事件 【典例3-1】（2025·高二·福建莆田·阶段练习）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．用表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件为偶数，为偶数，，则下列不正确的是（   ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】B 【解析】由题意事件A包含两种情况，两次取出的标号都是奇数和都是偶数， 所以， 类似可得，，故A正确; 事件表示两次取到的标号都是偶数，所以，而，所以与不独立，故B错误； 有放回地取球两次，共有基本事件为个， 事件表示的基本事件有个，所以， 由于，所以与相互独立，故C正确； 事件表示的基本事件有个，所以， 由于，所以与相互独立，故D正确； 故选：B. 【典例3-2】（2025·高二·浙江杭州·期末）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 【答案】C 【解析】从集合中依次不放回的任取两个数，若用一组有序实数表示， 则试验的样本空间为： ， 则 ， . 对于A，因，故A正确，不合题意； 对于B，因，故为不可能事件，即B正确，不合题意； 对于C，因，则，则， 即事件 A，B 相互不独立，故C错误，符合题意； 对于D，因，故必有，即D正确，不合题意. 故选：C. 【变式3-1】（2025·高二·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【解析】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 【变式3-2】（2025·高一·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【解析】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 【变式3-3】（2025·高一·江苏扬州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 【答案】D 【解析】由题意可得，抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）， 则事件包含的结果有：（正，正），（正，反），事件包含的结果有：（正，反），（反，反）， 显然事件，事件都包含“（正，反）”这一结果，即事件，事件能同时发生， 所以，事件，事件既不互斥也不对立，故AB错误. 又因为，而，， 所以，，故C错误，D正确. 故选：D 题型四：古典概型 【典例4-1】（2025·高二·广东茂名·期末）将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之和为7的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】基本事件总数，点数之和是7包括共6种情况， 则所求概率是． 故选：C. 【典例4-2】（2025·高二·湖北·期末）为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：.据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为（    ） A．0.45 B．0.5 C．0.512 D．0.55 【答案】B 【解析】由题意得共有20组随机数，分别为， ， 恰好3棵都成活的随机数有：共10个， 故估计种植3棵恰好3棵都成活的概率为：，故B正确. 故选：B 【变式4-1】（2025·高三·广东·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得：质点移动次可能的结果有种， 质点位于原点左侧可能结果为：向左移动4次；向左移动3次，向右移动1次； 向左移动4次，共有1种移动情况，为：左左左左；向左移动3次，向右移动1次，共有4种移动情况，为：左左左右，左左右左，左右左左，右左左左； 所以质点位于原点左侧共5种移动情况， 由古典概率公式可得：质点位于原点左侧的概率为， 故选：A. 【变式4-2】（2025·高二·广西南宁·阶段练习）为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是（） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若甲队以3:2赢得比赛,则五局的比赛的结果为: 甲甲乙乙甲，（表示第一局甲胜，第二局甲胜,第三局乙胜,第四局乙胜,第五局甲胜,以下类同） 甲乙甲乙甲，甲乙乙甲甲，乙甲甲乙甲，乙甲乙甲甲，乙乙甲甲甲，共6种结果， 其中甲队输掉的两局恰好相邻的结果有3种, 甲队输掉的两局恰好相邻的概率是. 故选:C. 题型五：相互独立事件概率的计算 【典例5-1】（2025·高二·广西·阶段练习）4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为（   ） A．0.256 B．0.016 C．0.0256 D．0.036 【答案】C 【解析】每人中靶的概率都是0.6， 由对立事件的概率公式得：每人不中靶的概率都是， 故由相互独立事件的概率公式可得：4人都没中靶的概率为. 故选：C. 【典例5-2】（2025·高二·云南文山·阶段练习）某次乒乓球单打比赛在甲､乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】甲获胜包含两种情况： ①甲连胜2局，概率为：， ②前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为：， 则甲战胜乙的概率为， 故选：C. 【变式5-1】（2025·高三·上海·阶段练习）一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（    ） A．1 B．0 C． D．或 【答案】C 【解析】记甲熔断为事件，乙熔断为事件， 则、，又与相互独立， 所以，即两根保险丝都熔断的概率为. 故选：C 【变式5-2】（2025·高一·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设事件“甲命中”，事件“乙命中”，事件“丙命中”， 由题意解得 故甲命中乙也命中的概率为. 故选D. 【变式5-3】（2025·高一·江西抚州·阶段练习）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，元件均不正常工作的概率为， 则元件中至少有一个正常工作的概率为， 从而该系统正常工作的概率为． 故选：B 题型六：概率综合问题 【典例6-1】（2025·高二·贵州·阶段练习）某报社发起“建党周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值； (2)估计这名作者年龄的中位数；（结果精确到） (3)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在的作者中随机选出人作为代表发言，求这人中至少有人的年龄在的概率． 【解析】（1）由频率分布直方图可知，所以． （2）因为前两组频率之和为，前三组频率之和为， 所以中位数在中，故中位数的估计值为． （3）由题可知抽出的篇文章的作者中，年龄在的有人，记为、， 年龄在的有人，记为、、， 现从这个人中选出人，所有不同的结果有种： 、、、、、、、、、. 至少有人的年龄在内对应的不同的结果有种： 、、、、、、，所以所求概率． 【典例6-2】（2025·高二·云南·阶段练习）一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的6个小球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球. (1)从中随机抽取1个，求抽到红球或蓝球的概率； (2)若采用有放回方式连续抽取2次，每次随机取1个，求两次都抽到白球的概率. 【解析】（1）总共有6个球，其中红球1个，蓝球3个， 抽到红球或蓝球的情况数为种， 则由古典概型概率公式得抽到红球或蓝球的概率. （2）由题意得总共有6个球，则每次抽到白球的概率为， 因为是有放回抽取，两次抽取相互独立，所以两次都抽到白球的概率. 【变式6-1】（2025·高一·贵州遵义·阶段练习）某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．    (1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）； (3)在这100个家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取5个家庭，再从这5个家庭中抽取2个家庭，求至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率. 【解析】（1）估计这100个家庭的旅游支出的平均值为： （千元）. （2）由频率分布直方图知，旅游支出在千元的频率为， 在千元的频率为，则这100个家庭的旅游支出的第70百分位数， 则，解得， 所以估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数为9.7. （3）以频率估计概率，得每个家庭的旅游支出在千元内的概率为，千元内的概率为，则按分层抽样的方法抽取5个家庭，千元内抽取家庭数之比为,所以千元内抽取2个家庭, 千元内抽取3个家庭, 设旅游支出在千元的2个家庭记为，在千元的3个家庭记为从这5个家庭中抽取2个家庭的所有可能情况有：，共10种. 至少有1个家庭旅游支出在千元内的情况有：共7种. 所以至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率. 【变式6-2】（2025·高二·浙江杭州·期末）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求该样本的第75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 【解析】（1）由题设，可得， 由，， 所以样本的第75百分位数位于区间，设为，则， 所以分. （2）由题设分； （3）由题设，的频率比为， 故抽取的5人中有2人为、有3人为， 任抽2人有，共10种情况， 其中分数在各一人有，共6种情况， 所以这2名同学分数在各一人的概率. 【变式6-3】（2025·高一·江西抚州·阶段练习）其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率； (2)若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差． 【解析】（1）由图可知，，解得， 则在内的样本容量为，将这2个样本分别记为， 在内的样本容量为，将这4个样本分别记为． 从中随机地选取2个，可知样本空间 ， 共有15个样本点． 用事件表示“这2个样本的得分在同一组”， 则，有7个样本点， 则，即这2个样本得分在同一组的概率为． （2）由图可知，在内的样本数与在内的样本数之比为， 所以在内的样本得分的平均数分， 方差 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 概率章末题型归纳总结（基础篇） 章末题型归纳目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：知识点总结 模块三：典型例题 题型一：事件的运算 题型二：概率的基本性质 题型三：互斥事件、对立事件与相互独立事件 题型四：古典概型 题型五：相互独立事件概率的计算 题型六：概率综合问题 模块一：本章知识思维导图 模块二：知识点总结 知识点1：样本空间和随机事件 1、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母表示． 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 2、样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间，一般地，用．．表示样本空间，用表示样本点，如果一个随机试验有个可能结果，，…，，则称样本空间为有限样本空间． 3、随机事件、确定事件 （1）一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． （2）作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件． （3）空集不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为为不可能事件． （4）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对随机事件的确定事件． 知识点2：两个事件的关系和运算 1、事件的关系与运算 ①包含关系：一般地，对于事件和事件，如果事件发生，则事件一定发生，这时称事件包含事件（或者称事件包含于事件），记作或者．与两个集合的包含关系类比，可用下图表示： 不可能事件记作，任何事件都包含不可能事件． ②相等关系：一般地，若且，称事件与事件相等．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ③并事件（和事件）：若某事件发生当且仅当事件发生或事件发生，则称此事件为事件与事件的并事件（或和事件），记作（或）．与两个集合的并集类比，可用下图表示： ④交事件（积事件）：若某事件发生当且仅当事件发生且事件发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作（或）．与两个集合的交集类比，可用下图表示： 2、互斥事件与对立事件 （1）互斥事件：在一次试验中，事件和事件不能同时发生，即，则称事件与事件互斥，可用下图表示： 如果，，…，中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件，．．，…，彼此互斥． （2）对立事件：若事件和事件在任何一次实验中有且只有一个发生，即不发生，则称事件和事件互为对立事件，事件的对立事件记为． （3）互斥事件与对立事件的关系 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生． ②对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分不必要条件． 知识点3：概率与频率 （1）频率：在次重复试验中，事件发生的次数称为事件发生的频数，频数与总次数的比值，叫做事件发生的频率． （2）概率：在大量重复尽心同一试验时，事件发生的频率总是接近于某个常数，并且在它附近摆动，这时，就把这个常数叫做事件的概率，记作． （3）概率与频率的关系：对于给定的随机事件，由于事件发生的频率随着试验次数的增加稳定于概率，因此可以用频率来估计概率． 知识点4：古典概型 （1）定义 一般地，若试验具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． （2）古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率． 知识点5：概率的基本性质 （1）对于任意事件都有：． （2）必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即． （3）概率的加法公式：若事件与事件互斥，则． 推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：． （4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且． （5）概率的单调性：若，则． （6）若，是一次随机实验中的两个事件，则． 知识点6：相互独立 1、相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 2、相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 模块三：典型例题 题型一：事件的运算 【典例1-1】（2025·高二·吉林·阶段练习）掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则（    ） A． B．表示向上的点数是1或3或5 C．表示向上的点数是1或3 D．表示向上的点数是1或5 【典例1-2】（2025·高一·全国·随堂练习）掷一枚骰子，设事件出现的点数不小于5，出现的点数为偶数，则事件A与事件B的关系是（    ） A． B．出现的点数为6 C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 【变式1-1】（2025·高一·全国·课后作业）同时抛掷两枚硬币，“向上面都是正面”为事件M，“至少有一枚的向上面是正面”为事件N，则有（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·河南信阳·阶段练习）同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件，“向上的面至少有一枚是正面”为事件，则有(　　) A． B． C． D．与之间没有关系 【变式1-3】（2025·高一·全国·课后作业）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：概率的基本性质 【典例2-1】（2025·高二·上海·阶段练习）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则 ． 【典例2-2】（2025·高二·全国·课后作业）在财务审计中，我们可以用“本福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是1～9这九个事件不是等可能的.具体来说，随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字，则（且，）.则根据本福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字是8的概率之比约为 .（，保留至整数） 【变式2-1】（2025·高二·上海·阶段练习）已知事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，，则 . 【变式2-2】（2025·高二·上海·期末）某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为 ． 【变式2-3】（2025·高二·上海浦东新·期末）某袋子内装有三种颜色的小球，小明每次从袋子中随机摸出一个小球，观察颜色后再放回，重复了90次，得到的信息如下：观察到红色小球52次，蓝色小球26次.如果从这个袋子内任意摸一个小球，这个小球既不是红色也不是蓝色的经验概率为 . 题型三：互斥事件、对立事件与相互独立事件 【典例3-1】（2025·高二·福建莆田·阶段练习）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．用表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件为偶数，为偶数，，则下列不正确的是（   ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【典例3-2】（2025·高二·浙江杭州·期末）从集合中依次不放回的任取两个数，记事件 “第一次取出的数字是1”，事件”取出的两个数之和为7”，下列说法不正确的是（    ） A． B．为不可能事件 C．事件 A，B 相互独立 D． 【变式3-1】（2025·高二·陕西咸阳·阶段练习）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【变式3-2】（2025·高一·江苏宿迁·期末）下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（    ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【变式3-3】（2025·高一·江苏扬州·期末）抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A，“第二枚硬币反面朝上”为事件B，则下述正确的是（    ）. A．A与B对立 B．A与B互斥 C． D．A与B相互独立 题型四：古典概型 【典例4-1】（2025·高二·广东茂名·期末）将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之和为7的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2025·高二·湖北·期末）为了推动国家乡村振兴战略，某地积极响应，不断自主创新，培育了某种树苗，其成活率为0.8，现采用随机模拟的方法估计该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率.先由计算机产生1到5之间取整数值的随机数，指定1至4的数字代表成活，5代表不成活，再以每3个随机数为一组代表3次种植的结果.经计算机随机模拟产生如下20组随机数：.据此估计，该树苗种植3棵恰好3棵都成活的概率为（    ） A．0.45 B．0.5 C．0.512 D．0.55 【变式4-1】（2025·高三·广东·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高二·广西南宁·阶段练习）为弘扬新时代的中国女排精神，甲、乙两个女排校队举行一场友谊赛，采用五局三胜制（即某队先赢三局即获胜，比赛随即结束），若甲队以赢得比赛，则甲队输掉的两局恰好相邻的概率是（） A． B． C． D． 题型五：相互独立事件概率的计算 【典例5-1】（2025·高二·广西·阶段练习）4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为（   ） A．0.256 B．0.016 C．0.0256 D．0.036 【典例5-2】（2025·高二·云南文山·阶段练习）某次乒乓球单打比赛在甲､乙两人之间进行.比赛采取三局两胜制，即先胜两局的一方获得比赛的胜利，比赛结束.根据以往的数据分析，每局比赛甲胜出的概率都为，比赛不设平局，各局比赛的胜负互不影响.这次比赛甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高三·上海·阶段练习）一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为，乙熔断的概率为，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为（    ） A．1 B．0 C． D．或 【变式5-2】（2025·高一·江西·阶段练习）甲、乙、丙3名射击手组队完成一项任务，需要对同一目标各射击一次，3人命中与否互不影响，若甲命中乙未命中的概率为，乙命中丙未命中的概率为，甲命中丙也命中的概率为，则甲命中乙也命中的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2025·高一·江西抚州·阶段练习）如图，用四个不同的元件连接成一个工作系统，当元件正常工作，且三个元件中至少有一个正常工作时，该系统正常工作．已知元件A正常工作的概率为，元件正常工作的概率均为，且这四个元件是否正常工作相互独立，则该系统正常工作的概率为（   ） A． B． C． D． 题型六：概率综合问题 【典例6-1】（2025·高二·贵州·阶段练习）某报社发起“建党周年”主题征文比赛，活动中收到了来自社会各界的大量文章，报社从中选取了篇文章，打算以专栏形式在报纸上发表，已知这些文章的作者各不相同，且年龄都集中在内，根据统计结果，作出频率分布直方图如图所示． (1)求的值； (2)估计这名作者年龄的中位数；（结果精确到） (3)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照各年龄段人数的比例，用分层随机抽样的方法从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会，若从参加座谈会的年龄在的作者中随机选出人作为代表发言，求这人中至少有人的年龄在的概率． 【典例6-2】（2025·高二·云南·阶段练习）一个不透明的盒子中装有大小和质地相同的6个小球，其中1个红球、3个蓝球、2个白球. (1)从中随机抽取1个，求抽到红球或蓝球的概率； (2)若采用有放回方式连续抽取2次，每次随机取1个，求两次都抽到白球的概率. 【变式6-1】（2025·高一·贵州遵义·阶段练习）某地文化和旅游局统计了春节期间100个家庭的旅游支出情况，统计得到这100个家庭的旅游支出（单位：千元）数据，按分成5组，并绘制成频率分布直方图，如图所示．    (1)估计这100个家庭的旅游支出的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)估计这100个家庭的旅游支出的第70百分位数（结果保留一位小数）； (3)在这100个家庭中，旅游支出在（千元）的家庭中，按分层抽样的方法抽取5个家庭，再从这5个家庭中抽取2个家庭，求至少有1个家庭的旅游支出在千元内的概率. 【变式6-2】（2025·高二·浙江杭州·期末）2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象．为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试．根据测试成绩，将所得数据按照分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求该样本的第75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格（60分以下）的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在各一人的概率． 【变式6-3】（2025·高一·江西抚州·阶段练习）其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率； (2)若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$