第12章 复数 章末题型归纳总结（基础篇）（8大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第12章 复数 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的运算 题型三：复数的几何意义 题型四：复数的相等与共轭复数 题型五：复数的模 题型六：复数的三角形式 题型七：与复数有关的最值问题 题型八：复数方程 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点2：复数的四则运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 解题方法总结 复数的方程在复平面上表示的图形 （1）表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； （2）表示以为圆心，r为半径的圆． 【典型例题】 题型一：复数的概念 【典例1-1】（2025·高二·广东揭阳·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．复数的模为 B．复数的共轭复数为 C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 【典例1-2】（2025·高二·江苏盐城·阶段练习）从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A．14个 B．9个 C．12个 D．16个 【变式1-1】（2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高三·江西赣州·阶段练习）设复数，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·山东威海·期中）已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．3 题型二：复数的运算 【典例2-1】（2025·高一·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 【典例2-2】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【变式2-1】（2025·高二·江苏无锡·期中）（1）计算：； （2）已知，求复数z． 【变式2-2】（2025·高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式2-3】（2025·高一·天津河东·期中）计算： (1)； (2)； 题型三：复数的几何意义 【典例3-1】（2025·高一·河北邯郸·阶段练习）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例3-2】（2025·高一·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·广东·模拟预测）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高一·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四：复数的相等与共轭复数 【典例4-1】（2025·高一·全国·单元测试）若（，）与互为共轭复数，则 ， ． 【典例4-2】（2025·高三·上海·阶段练习）设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ． 【变式4-1】（2025·高一·全国·随堂练习）已知（其中），则实数x，y的值分别为 ． 【变式4-2】（2025·高一·陕西西安·阶段练习）已知，且，其中为实数，则 ， ． 【变式4-3】（2025·高一·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ . 题型五：复数的模 【典例5-1】（2025·高三·山东德州·开学考试）已知复数满足，则 . 【典例5-2】（2025·高三·上海青浦·期中）已知复数满足：（为虚数单位），则 【变式5-1】（2025·高三·江苏南通·期中）已知为虚数单位，复数满足，则 ． 【变式5-2】（2025·高三·上海·期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 . 【变式5-3】（2025·高一·天津南开·期末）i为虚数单位，若复数，则 题型六：复数的三角形式 【典例6-1】（多选题）（2025·高一·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（   ） A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 【典例6-2】（多选题）（2025·高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．复数的辐角的主值为 B．复数的辐角的主值为 C．复数的代数形式为 D．复数的三角形式为 【变式6-1】（多选题）（2025·高一·全国·专题练习）下列结论中错误的是（ ）． A．复数Z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 【变式6-2】（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，，则下列选项不是的三角形式的有（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（多选题）（2025·高一·福建三明·期末）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（    ） A． B． C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3 题型七：与复数有关的最值问题 【典例7-1】（2025·高一·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ． 【典例7-2】（2025·高一·上海·课后作业）已知复数z满足，则复数z的模的最大值为 ；最小值为 ． 【变式7-1】（2025·陕西西安·一模）已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为 . 【变式7-2】（2025·高一·陕西咸阳·阶段练习）已知复数，其中且，则的最小值是 . 题型八：复数方程 【典例8-1】（2025·高一·浙江宁波·阶段练习）已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【典例8-2】（2025·高一·浙江湖州·阶段练习）已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 【变式8-1】（2025·高一·四川雅安·期末）已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 【变式8-2】（2025·高一·安徽·期中）已知复数满足. (1)求； (2)若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和bc的值. 【变式8-3】（2025·高一·辽宁·期末）已知复数，且， (1)求的实部与虚部； (2)若是关于的方程，且的一个复数根，求的值. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 复数 章末题型归纳总结（基础篇） 【题型归纳目录】 题型一：复数的概念 题型二：复数的运算 题型三：复数的几何意义 题型四：复数的相等与共轭复数 题型五：复数的模 题型六：复数的三角形式 题型七：与复数有关的最值问题 题型八：复数方程 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：复数的概念 （1）叫虚数单位，满足，当时，． （2）形如的数叫复数，记作． ①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． ②两个复数相等（两复数对应同一点） ③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，． 知识点2：复数的四则运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 注意：复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 2、复数的几何意义 （1）复数对应平面内的点； （2）复数对应平面向量； （3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数． （4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离． 3、复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 解题方法总结 复数的方程在复平面上表示的图形 （1）表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环； （2）表示以为圆心，r为半径的圆． 【典型例题】 题型一：复数的概念 【典例1-1】（2025·高二·广东揭阳·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足，则下列说法正确的是（    ） A．复数的模为 B．复数的共轭复数为 C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点在第一象限 【答案】D 【解析】依题意可得, 对于A，复数的模为，可知A错误， 对于B，易知复数的共轭复数为，可得B错误； 对于C，显然的虚部为，可得C错误， 对于D，复数在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，即D正确. 故选：D 【典例1-2】（2025·高二·江苏盐城·阶段练习）从集合中任取两个不同的数组成复数，其中虚数有（ ） A．14个 B．9个 C．12个 D．16个 【答案】D 【解析】根据题意，若复数表示虚数，则； 第一步，从中任取一个数作为，共有4种方法； 第二步，在剩下4个数中任取一个作为，共有4种方法， 所以共有种. 故选：D. 【变式1-1】（2025届贵州省黔东南苗族侗族自治州高三模拟统测数学试题）复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 所以虚部为， 故选：B 【变式1-2】（2025·高三·江西赣州·阶段练习）设复数，则的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 所以的虚部是. 故选：. 【变式1-3】（2025·高二·山东威海·期中）已知复数，则的虚部为（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】由题意得，， ∴的虚部为. 故选：C. 题型二：复数的运算 【典例2-1】（2025·高一·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 【解析】（1）. （2）． 【典例2-2】（2025·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算： (1) (2) (3) 【解析】（1）； （2）； （3）. 【变式2-1】（2025·高二·江苏无锡·期中）（1）计算：； （2）已知，求复数z． 【解析】（1） ； （2）设，由得，，即， 所以，解得或， 所以或. 【变式2-2】（2025·高一·上海·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【解析】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 【变式2-3】（2025·高一·天津河东·期中）计算： (1)； (2)； 【解析】（1）原式. （2）原式. 题型三：复数的几何意义 【典例3-1】（2025·高一·河北邯郸·阶段练习）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由题意知， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 【典例3-2】（2025·高一·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，复数对应的点的坐标是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设. 故选：A 【变式3-1】（2025·广东·模拟预测）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】在复平面内对应的点为， ∴在复平面内对应的点位于第一象限. 故选：A. 【变式3-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， 由复数与对应的点关于虚轴对称， ∴． 故选：C. 【变式3-3】（2025·高一·浙江杭州·期中）设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由题意，所以， 则复数在复平面内对应的点在第四象限. 故选：D. 题型四：复数的相等与共轭复数 【典例4-1】（2025·高一·全国·单元测试）若（，）与互为共轭复数，则 ， ． 【答案】 3 【解析】，， （a，）与互为共轭复数，，． 故答案为：； 【典例4-2】（2025·高三·上海·阶段练习）设，若存在复数满足（为虚数单位），则 ． 【答案】0 【解析】设,则, 所以 所以, 即 故答案为：0. 【变式4-1】（2025·高一·全国·随堂练习）已知（其中），则实数x，y的值分别为 ． 【答案】1，1 【解析】根据可得且， 解得或者， 由于，所以， 故答案为：1，1 【变式4-2】（2025·高一·陕西西安·阶段练习）已知，且，其中为实数，则 ， ． 【答案】 1 【解析】因为，， 所以， 所以，又为实数， 所以，解得. 故答案为：；. 【变式4-3】（2025·高一·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ . 【答案】 【解析】由题意，， 所以. 所以. 故答案为：. 题型五：复数的模 【典例5-1】（2025·高三·山东德州·开学考试）已知复数满足，则 . 【答案】 【解析】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 【典例5-2】（2025·高三·上海青浦·期中）已知复数满足：（为虚数单位），则 【答案】 【解析】因为， 所以，则. 故答案为：. 【变式5-1】（2025·高三·江苏南通·期中）已知为虚数单位，复数满足，则 ． 【答案】 【解析】由，得，即， 则， 所以. 故答案为： 【变式5-2】（2025·高三·上海·期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为 . 【答案】 【解析】因为，，则，得到， 又，所以，则复数的虚部为， 故答案为：. 【变式5-3】（2025·高一·天津南开·期末）i为虚数单位，若复数，则 【答案】 【解析】因为，所以. 故答案为： 题型六：复数的三角形式 【典例6-1】（多选题）（2025·高一·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（   ） A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 【答案】AD 【解析】因为， ， 所以，将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到，将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到. 故选：AD. 【典例6-2】（多选题）（2025·高一·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．复数的辐角的主值为 B．复数的辐角的主值为 C．复数的代数形式为 D．复数的三角形式为 【答案】AC 【解析】对于A，因为，故的辐角的主值为，故A正确； 对于B，而，故的辐角的主值不是，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故，故D错误. 故选：AC. 【变式6-1】（多选题）（2025·高一·全国·专题练习）下列结论中错误的是（ ）． A．复数Z的任意两个辐角之间都差的整数倍； B．任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个； C．实数0不能写成三角形式； D．复数0的辐角主值是0． 【答案】ACD 【解析】A：复数0的辐角为任意值，其两个辐角之差不一定为整数倍，错误； B：任何一个非零复数的辐角有无数个，但辐角主值有且只有一个，正确； C：其中，故实数0能写成三角形式，错误； D：复数0的辐角主值不唯一，错误. 故选：ACD 【变式6-2】（多选题）（2025·高三·全国·专题练习）已知为虚数单位，，则下列选项不是的三角形式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由， 所以， 所以A、B、C不对，D对. 故选：ABC 【变式6-3】（多选题）（2025·高一·福建三明·期末）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（    ） A． B． C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3 【答案】ACD 【解析】由题设，，则，， 所以A正确，B错误； 由的根为，故z是该方程的一个根，C正确； 由，则，故最小正整数n为3时，，正确. 故选：ACD 题型七：与复数有关的最值问题 【典例7-1】（2025·高一·河北·期中）若复数，满足，，则的最小值为 ． 【答案】6 【解析】由可知，对应的点是以为圆心，1为半径的圆． 由可知，对应的点是以，为端点的线段BC的垂直平分线，也就是x轴． 为圆上一点与x轴上一点的距离的最小值，即为圆心到x轴的距离减去半径为6． 故答案为：6. 【典例7-2】（2025·高一·上海·课后作业）已知复数z满足，则复数z的模的最大值为 ；最小值为 ． 【答案】 2 0 【解析】设， 则，可得， 所以， ， 因为，所以， 则复数z的模的最大值为2；最小值为0. 故答案为：①2；②0. 【变式7-1】（2025·陕西西安·一模）已知，是虚数单位，复数是实数．则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为 ， 又复数是实数，所以，即， 所以， 所以当，时. 故答案为： 【变式7-2】（2025·高一·陕西咸阳·阶段练习）已知复数，其中且，则的最小值是 . 【答案】 【解析】因，， 因，则，， 故当时，取得最小值2，此时的最小值为. 故答案为：. 题型八：复数方程 【典例8-1】（2025·高一·浙江宁波·阶段练习）已知复数为虚数单位)， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足. (1)求实数b的值； (2)若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 【解析】（1）依题点 在第四象限，则，由，得，即，所以, （2）由(1)知，，由复数z是关于x的方程的根， 得，              整理得，而，                 因此, 解得所以 【典例8-2】（2025·高一·浙江湖州·阶段练习）已知是关于的方程的一个根. (1)求的值； (2)若是纯虚数，求实数的值和. 【解析】（1）由是方程的一个根，得， 整理得，因此， 所以. （2）由（1）知，， 由是纯虚数，得，解得，则， 所以. 【变式8-1】（2025·高一·四川雅安·期末）已知复数，（其中）. (1)若为实数，求的值； (2)当时，复数是方程的一个根，求实数的值. 【解析】（1）因为，， 所以， 因为为实数，所以，解得． 故为实数时，的值为． （2）当时，，， 则复数， 因为是方程（，为实数）的一个根， 所以， 化简得， 由，解得. 【变式8-2】（2025·高一·安徽·期中）已知复数满足. (1)求； (2)若是实系数一元二次方程的一个根，求方程的另一个根和bc的值. 【解析】（1）设， 因为，则， 故，解得， 故； （2）因为是实系数一元二次方程的一个根， 则也为实系数一元二次方程的一个根， 故，解得， 故. 【变式8-3】（2025·高一·辽宁·期末）已知复数，且， (1)求的实部与虚部； (2)若是关于的方程，且的一个复数根，求的值. 【解析】（1）依题意得， 则解得 故的实部为3，虚部为4. （2）由（1）知，由是关于的方程的一个复数根， 得， 整理得. 因为，所以 解得所以. 12 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$