精品解析：吉林省 吉林市第七中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024~2025学年度数学九年级阶段性学业质量检测（二C） 数学试卷共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时问为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下面四个图形体现了中华民族的传统文化．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意； D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，理解并掌握轴对称图形和对称中心图像的概念是解题关键． 2. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将将抛物线向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 3. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得出，再由三角形外角和定理可知，再根据直径所对的圆周角是直角，即，然后利用进而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵为直径，即， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角和定理等知识，解题关键是熟知圆周角定理的相关知识． 4. 如图所示，绕点A顺时针方向旋转得到，且点恰好落在BC上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，及三角形外角性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键． 由已知可得：，，根据已知，，从而可求得的度数，再由旋转的性质即可求得结果． 【详解】， ， 由旋转的性质有：， ， 即 故选：A． 5. 在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x， 依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用B、D关于y轴对称，CH=1cm，BD=2cm可得到D点坐标为（1，1），由AB=4cm，最低点C在x轴上，则AB关于直线CH对称，可得到左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0），于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为（3，0），然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式． 【详解】∵高CH=1cm，BD=2cm，且B、D关于y轴对称， ∴D点坐标为（1，1）， ∵AB∥x轴，AB=4cm，最低点C在x轴上， ∴AB关于直线CH对称， ∴左边抛物线的顶点C的坐标为（-3，0）， ∴右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0）， 设右边抛物线的解析式为y=a（x-3）2， 把D（1，1）代入得1=a×（1-3）2，解得a=， ∴右边抛物线的解析式为y=（x-3）2， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用：利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来，再确定某些点的坐标，然后利用待定系数法确定抛物线的解析式，再利用抛物线的性质解决问题． 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 已知是关于的方程的一个根，则的值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的概念：使一元二次方程等式左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解即可解答． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴ 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的概念，理解一元二次方程解的概念是解题的关键． 8. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题关键．将问题转化为一元二次方程没有实数根，利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：∵抛物线（是常数）与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， 故答案为：． 9. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 【答案】（-1，5） 【解析】 【分析】根据若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点A（1，-5）关于原点的对称点为点B， ∴点B的坐标为（-1，5）． 故答案为：（-1，5） 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于原点对称的特征，熟练掌握若两点关于坐标原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键． 10. 如图，在圆内接四边形中，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：∵圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 11. 长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则y与x的关系式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列函数关系式，先表示出长方形的另一条边，再利用面积公式列出关系式即可． 【详解】解：由题意，得：长方形的另一条边的边长为：， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 12. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k＜1． 【解析】 【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=， 解得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键. 13. 一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为_________．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、弧长公式，先根据旋转性质求得，，然后根据弧长公式求解即可． 【详解】解：由题意，，， ∴点A经过的路径长至少为， 故答案为：． 14. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．先移项，再运用配方法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴，． 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：， ， ， ， 或， ，． 17. 已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查待定系数法求抛物线的解析式，设顶点式，将点代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 18. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，使点C的对应点E恰好落在上，求线段的长． 【答案】． 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由旋转的性质得出，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质以及勾股定理；熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，四边形内接于，求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质得到，再由，得到，根据等边三角形的判定可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，弧与弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质，等边三角形的判定是解决问题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）【操作与实践】 ①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、） ②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、） （2）【应用与求解】 将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ． 【答案】 （1）如图，和为所作； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握旋转的性质和平移的性质是解此题的关键． （1）根据旋转和平移的性质作图即可； （2）连接、、，交点即为所求． 【详解】解：（1）略 （2）如图，绕点旋转得到．旋转中心的坐标为． 故答案为． 21. 如图，是的直径，相切于，点是圆上一点，且，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，求点到弦的距离． 【答案】（1） 证明：如图，连接，，则， ∵相切于， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， 又∵点是圆上一点， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图，连接，，由题意可证得，进而可得，即：，即可证明结论； （2）设与交于点，易知垂直平分，得，，由题意得，可知为等腰三角形，得，则，根据含的直角三角形的性质得，即可求得点到弦的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设与交于点， ∵，， ∴垂直平分， 则，， 由（1）可知：， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， ∴，则， ∵，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 即：点到弦的距离为． 【点睛】此题考查了切线的性质及判定，勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30度角的直角三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，解决问题的关键在于要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 22. 超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，该超市为了扩大销量，对该商品采取了降价措施，经过一段时间后，发现销售单价每降低1元．平均每天可多售出2件． （1）若降价6元，则平均每天销售量为________件； （2）为尽快减少库存，要使该超市每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 【答案】（1）32； （2）每件商品应降价20元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数四则运算的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）根据在每天销售20件的基础上销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件进行求解即可； （2）设每件商品应降价x元，则每天的销售量为件，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，若降价6元，则平均每天销售数量为件， 故答案为：32； 【小问2详解】 解：设每件商品应降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， ∵要尽快减少库存， ∴， ∴每件商品应降价20元． 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）10； （2）且． 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 24. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】（1） 解：成立，证明如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明； （2）由即可得到，则，先勾股定理求出，再在中，运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴，， 同上可得， ∴， ∴，； ∴． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，．两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿运动，两点同时到达点． （1）点的速度是点速度的多少倍？ （2）设，的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）求出的最大值． 【答案】（1）倍 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出和的长度，结合已知来求解； （2）有两种情况：当在上，利用（1）的结论和三角形的面积公式即可求解；当在上，利用（1）的结论求出，的长度，利用相似三角形的性质求出到的距离，再利用三角形的面积公式即可求解； （3）利用(2)的结论和二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴，． 而两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿运动，两点同时到达点， ∴的速度是的速度的倍； 【小问2详解】 解：∵设，的面积是， 当在上，即时， ； 当在上，即时 ，，， 过点作点， ， ∴， ， ， 即． 【小问3详解】 解：对于， 汉时，； 对于， 当时，． ， 当时，． 【点睛】本题这样考查了二次函数的最值和勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，动点问题，解题时首先利用勾股定理求出相关线段的长度，然后利用几何图形的性质求出函数解析式，最后利用函数的最值即可解决问题． 26. 已知抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）若，是抛物线上不同的两点，且，求的值； （3）若关于的方程（为实数），在时无解，直接写出的取值范围； （4）将抛物线沿轴向左平移个单位长度，当时，它的函数值的最小值为7，求的值． 【答案】（1），直线 （2） （3）或 （4）5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移，二次函数的对称性等，解题的关键是分类讨论思想和转化思想的运用． （1）由交点式求解即可； （2）根据二次函数的对称性解题即可； （3）先求出当时，y的求值范围，再把关于的方程（为实数），在时无解问题，转化为直线与抛物线在上的图象无交点问题，进而求解即可； （4）求出平移后的解析式及对称轴，根据对称轴与取值范围的关系分类讨论即可． 【小问1详解】 解：抛物线经过，， ， 对称轴为直线； 【小问2详解】 解：由（1）得函数解析式为，把代入得， ， ， 是抛物线上不同的两点， 关于对称轴直线对称， ， ； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 对称轴为直线，，， 当时，， 设直线，如图： 关于的方程，即，在时无解， 直线与抛物线在上的图象无交点， 或 ； 【小问4详解】 解：∵此抛物线沿x轴向左平移个单位长度， 平移后的解析式为， ∴对称轴为， ， ， 当时，顶点处取最小值，此时最小值为，不合题意， 当即时，y在上随x的增大而减小， 当时，有最小值， ，解得（舍去）， 综上所述，的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度数学九年级阶段性学业质量检测（二C） 数学试卷共8页，包括六道大题，共26道小题．全卷满分120分．考试时问为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 下面四个图形体现了中华民族的传统文化．其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，绕点A顺时针方向旋转得到，且点恰好落在BC上，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 在育红学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状（如图所示），对应的两条抛物线关于轴对称， 轴，，最低点 在轴上，高 ，，则右轮廓所在抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 7. 已知是关于的方程的一个根，则的值为 _______． 8. 若抛物线（是常数）与轴没有交点，则的取值范围是_____________． 9. 点A（1，-5）关于原点的对称点为点B，则点B的坐标为______． 10. 如图，在圆内接四边形中，若，则______． 11. 长方形的周长为，其中一边长为，面积为，则y与x的关系式为______． 12. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 13. 一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线l重合，．现将该三角板绕点B顺时针旋转，使点C的对应点落在直线l上，则点A经过的路径长至少为_________．（结果保留） 14. 某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制的铅球场地设计图如图所示，该场地由和扇形组成，分别与交于点A，D．，，，则阴影部分的面积为______（结果保留）． 三、解答题（每小题5分，共20分） 15. 解方程：． 16. 解方程：． 17. 已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 18. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，使点C的对应点E恰好落在上，求线段的长． 四、解答题（每小题7分，共28分） 19. 如图，四边形内接于，求证：是等边三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是，，． （1）【操作与实践】 ①步骤一：将以点C为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；（点A、B的对应点分别为、） ②步骤二：平移，点A的对应点的坐标为，画出平移后对应的；（点A、B、C的对应点分别为、、） （2）【应用与求解】 将绕某一点M旋转可以得到，则旋转中心M的坐标为 ． 21. 如图，是的直径，相切于，点是圆上一点，且，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，求点到弦的距离． 22. 超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，该超市为了扩大销量，对该商品采取了降价措施，经过一段时间后，发现销售单价每降低1元．平均每天可多售出2件． （1）若降价6元，则平均每天销售量为________件； （2）为尽快减少库存，要使该超市每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ 五、解答题（每小题8分，共16分） 23. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 24. 如图①所示，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②所示，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③所示，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若，，求线段的长． 六、解答题（每小题10分，共20分） 25. 如图，在中，．两个动点，同时从点出发，点沿运动，点沿运动，两点同时到达点． （1）点的速度是点速度的多少倍？ （2）设，的面积是，求关于的函数关系式，并写出的取值范围； （3）求出的最大值． 26. 已知抛物线经过，． （1）求抛物线的表达式及对称轴； （2）若，是抛物线上不同的两点，且，求的值； （3）若关于的方程（为实数），在时无解，直接写出的取值范围； （4）将抛物线沿轴向左平移个单位长度，当时，它的函数值的最小值为7，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $