信息必刷卷01（广东省卷专用）-2025年中考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（广东省专用） 考情速递 中考·新动向：整体保持“7:2:1”（基础:中等:较难），减少偏题、怪题，更注重核心素养考查。 中考·新考法：减少纯计算题，增加真实情境问题（如生活、科技、环保等背景）；跨学科融合：如结合物理（速度、杠杆）或统计（数据分析）的数学问题。 中考·新情境：1. 结合生活实际问题（例如第8、20题）；2. 科技与工程应用（例如第2题）；3. 传统文化与数学史（例如第3、7题）；4. 探究性解决问题（例如第22题）。 命题·大预测：广东省2025年中考数学将更侧重于考察数学核心素养、实际应用能力及思维发散与整合能力、 创新综合能力。备考要特别关注强化基础知识、基本技能的训练，再强化阅读理解能力，并要关注跨学科融合问题，培养实践与探究题的解答能力和开放性试题的能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．计算：5×（﹣3）＝（　　） A．2 B．﹣2 C．15 D．﹣15 【分析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，进行计算即可． 【解析】解：5×（﹣3）＝﹣15， 故选：D． 2．随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占0.0000007mm2，将0.0000007用科学记数法表示应为（　　） A．0.7×10﹣7 B．0.7×10﹣6 C．7×10﹣7 D．7×10﹣6 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解析】解：0.0000007＝7×10﹣7． 故选：C． 3．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解析】解：从正面看到的平面图形是：． 故选：D． 4．将一块直角三角板ABC按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若∠2＝52°，则∠1的度数为（　　） A．128° B．142° C．150° D．152° 【分析】过点A作AD∥a，得出∠3＝∠CAD，再根据a∥b证得AD∥b，进而求出∠BAD＝∠2＝52°，再根据∠A＝90°求出∠3，进而求出∠1即可解答． 【解析】解：过点A作AD∥a， ∴∠3＝∠CAD， ∵a∥b， ∴AD∥b， ∴∠BAD＝∠2＝52°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠CAD＝∠3＝38°， ∴∠1＝180°﹣38°＝142°． 故选：B． 5．已知y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝bx+ac的图象一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【分析】依据题意，先根据二次函数的图象，判断出a，b，c的符号，再判断一次函数图象所经过的象限即可． 【解析】解：∵抛物线的开口向下， ∴a＜0． ∵抛物线的对称轴在y轴右侧，即0， ∴b＞0． 又∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0． ∴ac＞0． ∴y＝bx+ac图象一定经过第一、二、三象限． 故选：A． 6．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠0 D．m＜1且m≠0 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【解析】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴（﹣2）2﹣4m×（﹣1）＞0，m≠0， 即m＞﹣1且m≠0， 故选：C． 7．越来越多的传统文化创意产品加入西安大唐不夜城，其中大唐团扇倍受游客青睐．如图是一把大唐团扇的示意图，扇柄所在直线将扇面平分，小西为了使扇子更漂亮和耐用，在扇面⊙O中间增加了3根全丝线（虚线），扇子两端增加2根扇骨（CD，EF），金丝线和扇骨均垂直于直径AB且将AB均分，已知CD的长为10cm，则扇骨CD与EF之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD，得到OD＝OB＝3OM，CD与EF之间的距离＝4OM，设OM＝x，由垂径定理得到DNCD＝5（cm），由勾股定理得到（3x）2＝（2x）2+52，求出x（舍去负值），即可得到扇骨CD与EF之间的距离． 【解析】解：连接OD， ∵金丝线和扇骨将AB均分， ∴OD＝OB＝3OM，CD与EF之间的距离＝4OM， 设OM＝x， ∴ON＝2OM＝2x，OD＝3x， ∵直径AB⊥CD， ∴DNCD10＝5（cm）， ∵OD2＝ON2+DN2， ∴（3x）2＝（2x）2+52， ∴x（舍去负值）， ∴扇骨CD与EF之间的距离为4x＝4． 故选：A． 8．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（　　） A．0.4 B．0.4 C．0.4 D．0.4 【分析】根据第二批面粉比第一批面粉的每千克面粉价格提高了0.4元列方程即可． 【解析】解：由题意得：0.4． 故选：A． 9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（　　） A． B． C． D．4 【分析】连接OE、OD，如图，根据切线的性质得到∠OED＝90°，则DE，所以当OD最小时，DE最小，利用垂线段最短得到当OD⊥AB时，OD最短，此时可证明△BOD∽△BAC，利用相似比OD的长，从而得到DE的最小值． 【解析】解：连接OE、OD，如图， ∵DE为⊙O的切线， ∴OE⊥DE， ∴∠OED＝90°， ∴DE， 当OD最小时，DE最小， 而当OD⊥AB时，OD最短， 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC6， ∵∠BDO＝∠BCA，∠OBD＝∠ABC， ∴△BOD∽△BAC， ∴OD：AC＝BO：BA，即OD：8＝5：10，解得OD＝4， ∴DE的最小值为． 故选：B． 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点M为BC的中点，以点C为圆心，CB长为半径作弧交AC于点E，再以点A为圆心，AE长为半径作弧交AB于点F，DM与CF相交于点G，则CG：GF的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】延长DM，AB交于点H，设AD＝BC＝2a，则DC＝AB＝4a，CM＝MB＝a，先计算出 ，则表示出 ，由平行得到△DCG∽△HFG，利用比例式求出比值． 【解析】解：延长DM，AB交于点H， ∵矩形ABCD， ∴AD＝BC，AB＝DC，∠ADC＝90°，DC∥AB， ∵AB＝2BC，M为BC中点， 设AD＝BC＝2a， 则DC＝AB＝4a，CM＝MB＝a， 在Rt△ADC 中，， 由题意得：CE＝CB＝2a， 则 ， ∵DC∥AB， ∴△DCM∽△HBM，△DCG∽△HFG， ∴， ∴DC＝BH＝4a， ∵△DCG∽△HFG， ∴． 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若，则　　 ． 【分析】根据合比性质求解． 【解析】解：∵， ∴． 故答案为：． 12．某品牌专卖店9月份销售了20双运动鞋，其尺码和数量统计如表：这20双运动鞋尺码的众数是　41　 ． 尺码 38 39 40 41 42 数量 2 4 5 6 3 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，由此结合表格信息即可得出答案． 【解析】解：尺码为41的销量最大，故众数为41； 故答案为：41． 13．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是 　　 ． 【分析】根据题意知，该扇形的圆心角是90°．根据勾股定理可以求得OA＝OB，由扇形面积公式可得出结论． 【解析】解：∵每个小方格都是边长为1的正方形， ∴OA＝OB， ∴S扇形OAB． 故答案为：． 14．如图，点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为　6　 ． 【分析】连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积等于△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的几何意义，利用S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC，可得结果． 【解析】解：连接OA和OC， ∵点P在y轴上，AB∥y轴，则△AOC和△APC面积相等， ∵点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，点C在反比例函数y2（x＞0）的图象上，AB⊥x轴， ∴S△AOC＝S△OAB﹣S△OBC＝6， ∴△APC的面积为6， 故答案为6． 15．在平面直角坐标系中，有一系列的点P1，P2，P3，P4，…，Pn…其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点Pn（x，y），则Pn+1（﹣y+1，x+2），若点P1的坐标为（2，0），则点P2025的坐标为 　（2，0）　 ． 【分析】根据题意，计算出各点的坐标，从中得出坐标4个为一个循环，由此得出结果． 【解析】解：∵点P1的坐标为（2，0）， ∴点P2的坐标为（1，4）， 点P3的坐标为（﹣3，3）， 点P4的坐标为（﹣2，﹣1）， 点P5的坐标为（2，0）， ⋯⋯， ∴上述坐标4个为一个循环， ∵2025÷4＝506余1， ∴点P2025的坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）计算：． 【分析】原式分别化简（π﹣5）0＝1，，|﹣3|＝3，，，然后再进行加减运算即可． 【解析】解： ＝1+1﹣3+2+3 ＝4． 17．（7分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【分析】先解不等式组求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可． 【解析】解：， 由①得7x≤14， 则x≤2， 由②得2x+6＞x+4， 则x＞﹣2， 故原不等式组的解集为：﹣2＜x≤2， 在数轴上表示其解集如下： 18．（7分）某甜品店为吸引顾客，在收银台设置了抽奖打折活动，如图，将一个被四等分的转盘分别标上代表七折、八折和九折的数字“7，8，9”．活动规则：凡是进店消费的顾客都能转动一次转盘，待转盘转动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的折扣．（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） （1）店员在测试转盘时，连续转动20次，有4次转出了七折优惠，则这20次转动中，转到七折优惠的频率为 　0.2　 ； （2）小华和小亮在该甜品店选了相同价位的商品分别去结账，请用画树状图或列表法求小华与小亮付款金额相同的概率． 【分析】（1）根据频率＝频数÷总数可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小华与小亮付款金额相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解析】解：（1）由题意得，这20次转动中，转到七折优惠的频率为4÷20＝0.2． 故答案为：0.2． （2）列表如下： 7 8 9 9 7 （7，7） （7，8） （7，9） （7，9） 8 （8，7） （8，8） （8，9） （8，9） 9 （9，7） （9，8） （9，9） （9，9） 9 （9，7） （9，8） （9，9） （9，9） 共有16种等可能的结果，其中小华与小亮付款金额相同的结果有：（7，7），（8，8），（9，9），（9，9），（9，9），（9，9），共6种， ∴小华与小亮付款金额相同的概率为． 19．（9分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向匀速航行40分钟至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向． （1）求渔船的航行速度是多少？ （2）求渔船与观测塔之间的距离（精确到0.1）． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin67°，cos67°，tan67°） 【分析】（1）过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F，解直角三角形即可得到结论； （2）根据三角函数的定义即可得到结论． 【解析】解：（1）如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F． 则四边形FEDC为矩形， ∴FC＝DE， 由题意得：AE＝5海里，∠BAE＝22°， ∴BE＝AE•tan22°＝52（海里）， ∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4（海里）， ∴CF＝DE＝4海里， 在Rt△AFC中，∠CAF＝67°， ∴AF4（海里）， ∴CD＝EF＝AE﹣AF（海里）， 40分钟小时， 5（海里/小时）， 答：渔船的航行速度是5海里/小时； （2）在Rt△AFC中，∠CAF＝67°， ∴AC44.3， 答：此时观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里． 20．（9分）某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量y（瓶）与销售单价x（元）满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：（已知每瓶进价为4元，每瓶利润＝销售单价﹣进价） 单价x（元） 5 6 7 … 销售量y（瓶） 150 140 130 … （1）求y关于x的函数表达式． （2）该新型饮料每月的总利润为w（元），求w关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了a元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大，求a的最小值． 【分析】（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b，由待定系数法求得k和b的值，即可得解； （2）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出关于x的二次函数，配方，根据二次函数的性质可得答案； （3）根据每月的总利润等于每件的利润乘以销售量，列式得出w＝（x﹣4﹣a）（﹣10x+200），求出其对称轴，根据二次函数的性质，可得答案． 【解析】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0） 由题意得： 解得： ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣10x+200． （2）由题意得： w＝（x﹣4）（﹣10x+200） ＝﹣10x2+240x﹣800 ＝﹣10（x﹣12）2+640 ∵﹣10＜0 ∴当x＝12时，w有最大值640元． ∴w关于x的函数表达式为w＝﹣10x2+240x﹣800，单价为12元时利润最大，最大利润是640元． （3）由题意得： w＝（x﹣4﹣a）（﹣10x+200） ＝﹣10x2+（240+10a）x﹣800 二次函数的对称轴为：x＝12 ∵﹣10＜0，当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大 ∴1214 ∴a≥4 ∴a的最小值为4． 21．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点D在EF的延长线上，点C在⊙O上且DC＝DE，直径AB与DC的延长线相交于点P，AC与OF相交于点E． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若，求AC的长． 【分析】（1）连接OC，BC，根据OA＝OC得∠A＝∠OCA，根据OF⊥AB得∠A+∠OEA＝90°，再根据DC＝DE得∠DEC＝∠DCE，进而得∠OCA+∠DCE＝90°，则OC⊥PC，由此根据切线的判定即可得出结论； （2）在Rt△AOE中，根据tan∠A设OE＝x，OA＝3x，则OF＝OA＝OC＝3x，EF＝2x，OD＝3x+4，DC＝DE＝2x+4，在Rt△OCD中，由勾股定理可求出x＝2，则OA＝6，AB＝12，在Rt△ABC中，根据tan∠A得AC＝3BC，再由勾股定理得BCAB，据此可得AC的长． 【解析】（1）证明：连接OC，BC，如图所示： ∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∵OF⊥AB， ∴∠A+∠OEA＝90°， ∴∠OCA+∠OEA＝90°， ∵∠OEA＝∠DEC， ∴∠OCA+∠DEC＝90°， 又∵DC＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴∠OCA+∠DCE＝90°， 即∠OCD＝90°， ∴OC⊥PC， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：在Rt△AOE中，tan∠A， ∴设OE＝x，OA＝3x， ∵点F在⊙O上，点C在⊙O上， ∴OF＝OA＝OC＝3x， ∴EF＝OF﹣OE＝3x﹣x＝2x， ∵DF＝4， ∴OD＝OF+DF＝3x+4，DE＝EF+DF＝2x+4， ∴DC＝DE＝2x+4， ∵∠OCD＝90°， ∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2＝DC2+OC2， ∴（3x+4）2＝（2x+4）2+（3x）2， 整理得：4x2﹣8x＝0， 解得：x＝2，x＝0（不合题意，舍去）， ∴OA＝3x＝6， ∴AB＝2OA＝12， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，tan∠A， ∴AC＝3BC， 由勾股定理得：ABBC， ∴BCAB， ∴AC＝3BC． 22．（13分）问题提出 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是CD的中点，点F，G分别在AD，AB上，且AF＝2，BG＝1，求△EFG的面积； 问题解决 （2）如图②，五边形ABCDE是某水上乐园的平面设计图，已知AB＝200m，CD＝250m，DE＝400m，AE＝500m，∠E＝60°，AB∥DE，AE∥CD．现计划在园区内设计四边形人工湖BCFG用于开发水上游乐项目，G，F分别是AE，DE上的点，按照设计要求，GF∥AD，为了应对夏日客流高峰，人工湖的面积要建得尽可能大，是否存在符合设计要求的面积最大的人工湖？若存在，求四边形BCFG的最大面积及此时DF的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用矩形的性质，梯形的性质和直角三角形的性质解答即可； （2）延长AB，DC，它们交于点H，过点B作BK⊥AE，交AE的延长线于点K，过点F作FN⊥GE于点N，FM⊥CD，交CD的延长线于点M，理由平行四边形的判定定理与性质定理得到HD＝AE＝500m，AH＝DE＝400m，∠H＝∠E＝60°，利用直角三角形的边角关系定理得到BK＝AB•sin60°＝100，FM＝DF•sin60°DF，利用平行线分线段成比例定理得到设AG＝5x m，则DF＝4x m，设S＝S△CDF+S△GEF+S△ABG，利用三角形的面积公式求得S值，再利用配方法和二次函数的性质得到S的最小值，依据当S取得最小值时，四边形BCFG的最大解答即可得出结论． 【解析】解：（1）四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝4， ∵E是CD的中点， ∴DE＝EC＝2，AG＝AB﹣BG＝3，DF＝AD﹣AF＝4． ∴△EFG的面积＝S梯形﹣S△AFG﹣S△ADE （AG+DE） （3+2）×6 ＝15﹣3﹣4 ＝8； （2）存在符合设计要求的面积最大的人工湖BCFG，四边形BCFG的最大面积为37500m2，此时DF的值为200m．理由： 延长AB，DC，它们交于点H，过点B作BK⊥AE，交AE的延长线于点K，过点F作FN⊥GE于点N，FM⊥CD，交CD的延长线于点M，如图， ∵AB∥DE，AE∥CD， ∴四边形AHDE为平行四边形， ∴HD＝AE＝500m，AH＝DE＝400m，∠H＝∠E＝60°， ∴∠HAE＝∠CDF＝120°， ∴∠BAK＝∠FDM＝60°． ∴BK＝AB•sin60°＝100，FM＝DF•sin60°DF， ∵GF∥AD， ∴， ∴设AG＝5x m，则DF＝4x m， ∴GE＝（500﹣5x）m，EF＝（400﹣4x）m， ∴FM2x m，FNEF（400﹣4x）m． 设S＝S△CDF+S△GEF+S△ABG 250•2x（500﹣5x）（400﹣4x）5x ＝5500x+50000 ＝537500， ∵50， ∴当＝50m时，即DF＝4x＝200m，S有最小值为375000m2． ∵当S取得最小值时，四边形BCFG的最大， ∴存在符合设计要求的面积最大的人工湖BCFG， ∴四边形BCFG的最大面积＝S五边形ABCDE﹣S ＝S平行四边形AHDE﹣S△BCH﹣S． ∵AB＝200m，CD＝250m， ∴CH＝DH﹣CD＝250m，BH＝AH﹣AB＝200m， ∴25000（m2），S平行四边形AHDE＝AH•DH•sin60°＝100000（m2）， ∴四边形BCFG的最大面积＝100000﹣375002500037500（m2）． ∴存在符合设计要求的面积最大的人工湖BCFG，四边形BCFG的最大面积为37500m2，此时DF的值为200m． 23．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a＞0）． （1）如图1，将抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4在直线y＝﹣4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A′恰好在x轴上，求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4的对称轴及a的值； （2）如图2，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a＞0）的图象记为“G”，与y轴交于点B，过点B的直线与（1）中的图象“W”（x＞1）交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当a≠4时，请用合适的式子表示（用含a的式子表示）． 【分析】（1）根据题意，分别求出抛物线的对称轴和点A的纵坐标，即可求解； （2）①证明△CPM≌△DCN，即可求解；②当a＞0且a≠4和a＞4时，证明△CPQ∽△DPT，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【解析】解：（1）抛物线的对称轴为直线：，即为x＝1， 当x＝1时根据翻折可知点A的纵坐标为﹣8，即点A的坐标为（1，﹣8）， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：a﹣2a﹣4＝﹣8， 解得：a＝4， 即抛物线的对称轴为直线x＝1；a＝4 （2）∵a＝4， ∴图象“W”的解析式为：； ①当时，图象“G”的解析式为：， 设直线BD的解析式为y＝kx﹣4， 当kx﹣4＝4x2﹣8x﹣4时， 解得：x＝0或， ∴点C的横坐标为； 当kx﹣4＝﹣4x2+8x﹣4， 解得：x＝0或， ∴点P的横坐标为， 4时， 解得：x＝0 或， ∴点D的横坐标为， 如图，作PM∥x轴，过点C作CM⊥x轴交PM于点M，作CN∥x轴，过点D作DN⊥CN交CN于点N， 由各点横坐标可得：， ∴PM＝CN， ∵PM∥x轴，CN∥x轴， ∴PM∥CN， ∴∠DCN＝∠CPM， ∵DN⊥CN，CM⊥PM， ∴∠CMP＝∠DNC＝90°， ∴△CPM≌△DCN（ASA）， ∴PC＝DC， ∴； ②当a＞0且a≠4时，图象“G”是解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣4， 由①可得点P的横坐标为，点C的横坐标为， 当akx﹣4＝ax2﹣2ax﹣4， 解得：， ∴点D的横坐标为：； 当0＜a＜4时，如图，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T， 由各点横坐标可得：， ∵CQ⊥PQ，DT⊥PT， ∴CQ∥DT， ∴△CPQ∽△DPT， ∴； 当a＞4时，如图，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T， 由各点横坐标可得：，， ∵CQ⊥PQ，DT⊥PT， ∴CQ∥DT， ∴△CPQ∽△DPT， ∴； 综上所述，用含a的式子表示为． 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年中考考前信息必刷卷01 数 学（广东省专用） 考情速递 中考·新动向：整体保持“7:2:1”（基础:中等:较难），减少偏题、怪题，更注重核心素养考查。 中考·新考法：减少纯计算题，增加真实情境问题（如生活、科技、环保等背景）；跨学科融合：如结合物理（速度、杠杆）或统计（数据分析）的数学问题。 中考·新情境：1. 结合生活实际问题（例如第8、20题）；2. 科技与工程应用（例如第2题）；3. 传统文化与数学史（例如第3、7题）；4. 探究性解决问题（例如第22题）。 命题·大预测：广东省2025年中考数学将更侧重于考察数学核心素养、实际应用能力及思维发散与整合能力、 创新综合能力。备考要特别关注强化基础知识、基本技能的训练，再强化阅读理解能力，并要关注跨学科融合问题，培养实践与探究题的解答能力和开放性试题的能力。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．计算：5×（﹣3）＝（　　） A．2 B．﹣2 C．15 D．﹣15 2．随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占0.0000007mm2，将0.0000007用科学记数法表示应为（　　） A．0.7×10﹣7 B．0.7×10﹣6 C．7×10﹣7 D．7×10﹣6 3．鲁班锁是一种广泛流传于民间的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁的其中一个部件，从正面看到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 4．将一块直角三角板ABC按如图所示的方式放置在平行线a，b之间．若∠2＝52°，则∠1的度数为（　　） A．128° B．142° C．150° D．152° 5．已知y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝bx+ac的图象一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 6．若关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　） A．m＞1 B．m＞﹣1 C．m＞﹣1且m≠0 D．m＜1且m≠0 7．越来越多的传统文化创意产品加入西安大唐不夜城，其中大唐团扇倍受游客青睐．如图是一把大唐团扇的示意图，扇柄所在直线将扇面平分，小西为了使扇子更漂亮和耐用，在扇面⊙O中间增加了3根全丝线（虚线），扇子两端增加2根扇骨（CD，EF），金丝线和扇骨均垂直于直径AB且将AB均分，已知CD的长为10cm，则扇骨CD与EF之间的距离为（　　） A． B． C． D． 8．为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，东营市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程．课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后学校又花费9600元购进了第二批面粉，第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍，但每千克面粉价格提高了0.4元．设第一批面粉采购量为x千克，依题意所列方程正确的是（　　） A．0.4 B．0.4 C．0.4 D．0.4 9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点O为BC上的点，⊙O的半径OC＝1，点D是AB边上的动点，过点D作⊙O的一条切线DE（点E为切点），则线段DE的最小值为（　　） A． B． C． D．4 10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，点M为BC的中点，以点C为圆心，CB长为半径作弧交AC于点E，再以点A为圆心，AE长为半径作弧交AB于点F，DM与CF相交于点G，则CG：GF的值为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若，则　 　 ． 12．某品牌专卖店9月份销售了20双运动鞋，其尺码和数量统计如表：这20双运动鞋尺码的众数是　 　 ． 尺码 38 39 40 41 42 数量 2 4 5 6 3 13．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是 　 　 ． 14．如图，点A在反比例函数y1（x＞0）的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2（x＞0）的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为　 　 ． 15．在平面直角坐标系中，有一系列的点P1，P2，P3，P4，…，Pn…其中每一个点的横坐标是它前一个点的纵坐标的相反数与1的和，纵坐标是它前一个点的横坐标与2的和，即若点Pn（x，y），则Pn+1（﹣y+1，x+2），若点P1的坐标为（2，0），则点P2025的坐标为 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）计算：． 17．（7分）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．（7分）某甜品店为吸引顾客，在收银台设置了抽奖打折活动，如图，将一个被四等分的转盘分别标上代表七折、八折和九折的数字“7，8，9”．活动规则：凡是进店消费的顾客都能转动一次转盘，待转盘转动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的折扣．（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止） （1）店员在测试转盘时，连续转动20次，有4次转出了七折优惠，则这20次转动中，转到七折优惠的频率为 　 　 ； （2）小华和小亮在该甜品店选了相同价位的商品分别去结账，请用画树状图或列表法求小华与小亮付款金额相同的概率． 19．（9分）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D，某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西22°方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向匀速航行40分钟至C处，此时在A处测得C位于南偏东67°方向． （1）求渔船的航行速度是多少？ （2）求渔船与观测塔之间的距离（精确到0.1）． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin67°，cos67°，tan67°） 20．（9分）某超市为了销售一种新型饮料，对月销售情况作了如下调查，结果发现每月销售量y（瓶）与销售单价x（元）满足一次函数关系．所调查的部分数据如表：（已知每瓶进价为4元，每瓶利润＝销售单价﹣进价） 单价x（元） 5 6 7 … 销售量y（瓶） 150 140 130 … （1）求y关于x的函数表达式． （2）该新型饮料每月的总利润为w（元），求w关于x的函数表达式，并指出单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？ （3）由于该新型饮料市场需求量较大，厂家进行了提价．此时超市发现进价提高了a元，每月销售量与销售单价仍满足第（1）问函数关系，当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大，求a的最小值． 21．（9分）如图，AB为⊙O的直径，点F在⊙O上，OF⊥AB，点D在EF的延长线上，点C在⊙O上且DC＝DE，直径AB与DC的延长线相交于点P，AC与OF相交于点E． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若，求AC的长． 22．（13分）问题提出 （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是CD的中点，点F，G分别在AD，AB上，且AF＝2，BG＝1，求△EFG的面积； 问题解决 （2）如图②，五边形ABCDE是某水上乐园的平面设计图，已知AB＝200m，CD＝250m，DE＝400m，AE＝500m，∠E＝60°，AB∥DE，AE∥CD．现计划在园区内设计四边形人工湖BCFG用于开发水上游乐项目，G，F分别是AE，DE上的点，按照设计要求，GF∥AD，为了应对夏日客流高峰，人工湖的面积要建得尽可能大，是否存在符合设计要求的面积最大的人工湖？若存在，求四边形BCFG的最大面积及此时DF的值；若不存在，请说明理由． 23．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a＞0）． （1）如图1，将抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4在直线y＝﹣4下方的图象沿该直线翻折，其余部分保持不变，得到一个新的函数图象“W”．翻折后，抛物线顶点A的对应点A′恰好在x轴上，求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4的对称轴及a的值； （2）如图2，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣4（a＞0）的图象记为“G”，与y轴交于点B，过点B的直线与（1）中的图象“W”（x＞1）交于P，C两点，与图象“G”交于点D． ①当时，求的值； ②当a≠4时，请用合适的式子表示（用含a的式子表示）． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考考前信息必刷卷01（广东省专用） 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B A C A A B A 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11． 12．41 13． 14．6 15．（2，0） 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（7分）解： ·····3分 ＝1+1﹣3+2+3 ·····5分 ＝4． ·····7分 17．（7分）解：， 由①得7x≤14， ·····1分 则x≤2， ·····2分 由②得2x+6＞x+4， ·····3分 则x＞﹣2， ·····4分 故原不等式组的解集为：﹣2＜x≤2， ·····6分 在数轴上表示其解集如下： ·····7分 18．（7分）解：（1）0.2． ·····2分 （2）列表如下： 7 8 9 9 7 （7，7） （7，8） （7，9） （7，9） 8 （8，7） （8，8） （8，9） （8，9） 9 （9，7） （9，8） （9，9） （9，9） 9 （9，7） （9，8） （9，9） （9，9） 共有16种等可能的结果，其中小华与小亮付款金额相同的结果有：（7，7），（8，8），（9，9），（9，9），（9，9），（9，9），共6种， ·····6分 ∴小华与小亮付款金额相同的概率为． ·····7分 19．（9分）解：（1）如图，过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥AE于点F． 则四边形FEDC为矩形， ∴FC＝DE， 由题意得：AE＝5海里，∠BAE＝22°， ∴BE＝AE•tan22°＝52（海里）， ∴DE＝BD﹣BE＝6﹣2＝4（海里）， ∴CF＝DE＝4海里， 在Rt△AFC中，∠CAF＝67°， ∴AF4（海里）， ∴CD＝EF＝AE﹣AF（海里）， ·····5分 40分钟小时， 5（海里/小时）， 答：渔船的航行速度是5海里/小时； ·····6分 （2）在Rt△AFC中，∠CAF＝67°， ∴AC44.3， 答：此时观测塔A与渔船C之间的距离约为4.3海里． ·····9分 20．（9分）解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝kx+b（k≠0） 由题意得： ·····2分 解得： ·····3分 ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣10x+200． ·····4分 （2）由题意得： w＝（x﹣4）（﹣10x+200） ＝﹣10x2+240x﹣800 ＝﹣10（x﹣12）2+640 ∵﹣10＜0 ∴当x＝12时，w有最大值640元． ∴w关于x的函数表达式为w＝﹣10x2+240x﹣800，单价为12元时利润最大，最大利润是640元． （3）由题意得： w＝（x﹣4﹣a）（﹣10x+200） ＝﹣10x2+（240+10a）x﹣800 ·····7分 二次函数的对称轴为：x＝12 ∵﹣10＜0，当销售单价不超过14元时，利润随着x的增大而增大 ∴1214 ∴a≥4 ∴a的最小值为4． ·····9分 21．（9分）（1）证明：连接OC，BC，如图所示： ∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上， ∴OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∵OF⊥AB， ∴∠A+∠OEA＝90°， ∴∠OCA+∠OEA＝90°， ∵∠OEA＝∠DEC， ∴∠OCA+∠DEC＝90°， 又∵DC＝DE， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴∠OCA+∠DCE＝90°， 即∠OCD＝90°， ∴OC⊥PC， ∵OC是⊙O的半径， ∴PC是⊙O的切线； ·····4分 （2）解：在Rt△AOE中，tan∠A， ∴设OE＝x，OA＝3x， ∵点F在⊙O上，点C在⊙O上， ∴OF＝OA＝OC＝3x， ∴EF＝OF﹣OE＝3x﹣x＝2x， ∵DF＝4， ∴OD＝OF+DF＝3x+4，DE＝EF+DF＝2x+4， ∴DC＝DE＝2x+4， ∵∠OCD＝90°， ∴在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2＝DC2+OC2， ∴（3x+4）2＝（2x+4）2+（3x）2， 整理得：4x2﹣8x＝0， 解得：x＝2，x＝0（不合题意，舍去）， ∴OA＝3x＝6， ∴AB＝2OA＝12， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，tan∠A， ∴AC＝3BC， 由勾股定理得：ABBC， ∴BCAB， ∴AC＝3BC． ·····9分 22．（13分）解：（1）四边形ABCD为矩形， ∴AD＝BC＝6，AB＝CD＝4， ∵E是CD的中点， ∴DE＝EC＝2，AG＝AB﹣BG＝3，DF＝AD﹣AF＝4． ∴△EFG的面积＝S梯形﹣S△AFG﹣S△ADE （AG+DE） （3+2）×6 ＝15﹣3﹣4 ＝8； ·····5分 （2）存在符合设计要求的面积最大的人工湖BCFG，四边形BCFG的最大面积为37500m2，此时DF的值为200m．理由： 延长AB，DC，它们交于点H，过点B作BK⊥AE，交AE的延长线于点K，过点F作FN⊥GE于点N，FM⊥CD，交CD的延长线于点M，如图， ∵AB∥DE，AE∥CD， ∴四边形AHDE为平行四边形， ∴HD＝AE＝500m，AH＝DE＝400m，∠H＝∠E＝60°， ∴∠HAE＝∠CDF＝120°， ∴∠BAK＝∠FDM＝60°． ∴BK＝AB•sin60°＝100，FM＝DF•sin60°DF， ∵GF∥AD， ∴， ∴设AG＝5x m，则DF＝4x m， ∴GE＝（500﹣5x）m，EF＝（400﹣4x）m， ∴FM2x m，FNEF（400﹣4x）m． 设S＝S△CDF+S△GEF+S△ABG 250•2x（500﹣5x）（400﹣4x）5x ＝5500x+50000 ＝537500， ∵50， ∴当＝50m时，即DF＝4x＝200m，S有最小值为375000m2． ∵当S取得最小值时，四边形BCFG的最大， ∴存在符合设计要求的面积最大的人工湖BCFG， ∴四边形BCFG的最大面积＝S五边形ABCDE﹣S ＝S平行四边形AHDE﹣S△BCH﹣S． ∵AB＝200m，CD＝250m， ∴CH＝DH﹣CD＝250m，BH＝AH﹣AB＝200m， ∴25000（m2），S平行四边形AHDE＝AH•DH•sin60°＝100000（m2）， ∴四边形BCFG的最大面积＝100000﹣375002500037500（m2）． ∴存在符合设计要求的面积最大的人工湖BCFG，四边形BCFG的最大面积为37500m2，此时DF的值为200m． ·····13分 23．（14分）解：（1）抛物线的对称轴为直线：，即为x＝1， 当x＝1时根据翻折可知点A的纵坐标为﹣8，即点A的坐标为（1，﹣8）， 将点A的坐标代入抛物线表达式得：a﹣2a﹣4＝﹣8， 解得：a＝4， 即抛物线的对称轴为直线x＝1；a＝4 ·····4分 （2）∵a＝4， ∴图象“W”的解析式为：； ①当时，图象“G”的解析式为：， 设直线BD的解析式为y＝kx﹣4， 当kx﹣4＝4x2﹣8x﹣4时， 解得：x＝0或， ∴点C的横坐标为； 当kx﹣4＝﹣4x2+8x﹣4， 解得：x＝0或， ∴点P的横坐标为， 4时， 解得：x＝0 或， ∴点D的横坐标为， 如图，作PM∥x轴，过点C作CM⊥x轴交PM于点M，作CN∥x轴，过点D作DN⊥CN交CN于点N， 由各点横坐标可得：， ∴PM＝CN， ∵PM∥x轴，CN∥x轴， ∴PM∥CN， ∴∠DCN＝∠CPM， ∵DN⊥CN，CM⊥PM， ∴∠CMP＝∠DNC＝90°， ∴△CPM≌△DCN（ASA）， ∴PC＝DC， ∴； ·····9分 ②当a＞0且a≠4时，图象“G”是解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣4， 由①可得点P的横坐标为，点C的横坐标为， 当akx﹣4＝ax2﹣2ax﹣4， 解得：， ∴点D的横坐标为：； 当0＜a＜4时，如图，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T， 由各点横坐标可得：， ∵CQ⊥PQ，DT⊥PT， ∴CQ∥DT， ∴△CPQ∽△DPT， ∴； 当a＞4时，如图，作PQ∥x轴，过点C作CQ⊥x轴，交PQ于点Q，过点D作DT⊥x轴交PQ于点T， 由各点横坐标可得：，， ∵CQ⊥PQ，DT⊥PT， ∴CQ∥DT， ∴△CPQ∽△DPT， ∴； 综上所述，用含a的式子表示为． ·····14分 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$