安徽省八下数学期中真题必刷压轴43题-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪科版）

期中真题必刷压轴43题 一、单选题 1．（22-23八年级下·安徽六安·期中）如图，若将图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成图2所示的长方形，设，则这个正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．2025 4．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列等式： 根据上述规律，解决下列问题： （1） （填“”、“”或“”）； （2）填空： ． 6．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 7．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 9．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程有实数根，． （1）实数的取值范围为 ； （2）设，则的最小值是 ． 10．（21-22八年级下·安徽安庆·期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，O是BC的中点，D是腰AB上一点，把△DOB沿OD折叠得到△DOB′， （1）当DB′∥BC时，∠BDO＝ ； （2）当∠ADB′＝45°时，BD的长度为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）沪科版初中数学教科书八年级下册第13页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）． 请利用上述公式解决下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积； (2)如图，在中，的对边分别为a，b，c，．过点A作，垂足为D，求线段的长． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 13．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果： ① ， ② ； (2)应用：化简； (3)拓展： ．（用含的式子表示，为正整数） 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读与思考： 材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)化简； (2)计算：的值． 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若两个二次根式m，n满足； ，且q是有理数，则称m与n是关于q的“共轭二次根式”． (1)若m与 是关于的“共轭二次根式”，求m的值． (2)若与 是关于的“共轭二次根式”，求a的值． 16．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 18．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阅读下面计算过程： ； ； . 解答下列问题． (1)仿照上面的解题过程化简： (2)请直接写出的化简结果： ． (3)利用上面的规律，请化简 ． (4)利用（2）中的结论比较与的大小，并说明理由． 19．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，那么是的多少倍？ (2)从足够高的高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？ 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）请阅读下面的过程，完成相应的题目： 的整数部分是1，故的小数部分是． (1)的整数部分是______； (2)设分别是的整数部分和小数部分，则______，______； (3)在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，求甲盒子的侧面积； (2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为，， ①______（填“>”“=”“<”） ②说明①的理由． 22．（22-23八年级下·安徽六安·期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 23．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是晓明的探究过程，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：　 （填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 ． （3）应用运算规律，化简：． 24．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 25．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解： 材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：，且，则 ． (2)求黄金分割数； (3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围． 26．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成． (1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长； (2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 27．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． (1)若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； (2)求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； (3)要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 28．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： 【规律发现】 （1）请用含 n的式子填空： 第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； 【规律应用】 （2）结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，求正整数 n，使得黑色和白色棋子之和为265个． 29．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 30．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 31．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件． (1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示） ； (2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元； (3)商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由． 32．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件衣服降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； (3)商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由． 33．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． (1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； (2)请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 34．（21-22八年级下·安徽蚌埠·期中）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第行有个点…，容易发现，前4行共有10个点． (1)若三角形点阵中前行共有45个点，求的值； (2)拓展：如果三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…， ①求这个三角形点阵中前行共有多少点？（用含的代数式表示）； ②这个三角形点阵中前行点数的和，能是600吗？若能，求出；若不能，请说明理由． 35．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）某商场销售一批运动服，平均每天可售出30套，每套盈利100元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售出1套． (1)当每套运动服降价x元时，商场每天可售出运动服_________套．（用含x的代数式表示）： (2)若商场每天要盈利3150元，则每套运动服应降价多少元？ (3)商场每天的盈利能否达到3250元？若能，请求出此时每套运动服应降价多少元？若不能，请说明理由． 36．（21-22八年级下·安徽滁州·期末）综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①；    ②． (2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 37．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 38．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请根据赵爽弦图，用面积法证明：． (2)若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 39．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，一个梯子长10米，顶端靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端与墙角距离为6米．    (1)求梯子顶端与地面的距离的长； (2)若梯子的顶端下滑到，使米，则梯子的下端滑动的距离的长也是2米吗？若是请说明理由，若不是，请求出的长度． 40．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下问题让学生解决． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______； (2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，…，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______； (3)用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母表示的勾股数的规律． 41．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图①是小聪同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），易知 ， ，． (1)请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点，使得， ， ； (2)判断的形状，说明理由． 42．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）写出一个“勾系一元二次方程”　 ． （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根． （3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周长． 43．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每小格的顶点叫格点： （1）计算：图1中直角三角形斜边上的高． （2）以格点为顶点，你能做出边长分别是3，，的三角形吗？若能，请你在图2上做出来． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴43题 一、单选题 1．（22-23八年级下·安徽六安·期中）如图，若将图1所示的正方形剪成四块，恰能拼成图2所示的长方形，设，则这个正方形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】从图中可以看出，正方形的边长，所以面积，矩形的长和宽分别是，，面积，两图形面积相等，列出方程得，其中，求的值，即可求得正方形的面积． 【详解】解：根据图形和题意可得： 正方形的边长， ∴正方形面积， 矩形的长和宽分别是，， ∴矩形面积， ，其中，则方程是 解得：，（不合题意舍去）， 所以正方形的面积为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得的值，从而求出边长，求面积． 2．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 其中正确的：（    ） A．只有① B．只有①② C．①②③ D．只有①②④ 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程解的含义、一元二次方程根的判别式等知识逐个分析即可． 【详解】由，表明方程有实数根﹣1，表明一元二次方程有实数解，则，故①正确； ∵方程有两个不相等的实根， ∴方程有两个不相等的实根， 即a与c异号． ∴-ac>0， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根； 故②正确； ∵是方程的一个根， ∴， 即 当时，一定有成立； 当c=0时，则不一定成立，例如：方程，则； 故③错误； ∵是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解等知识，熟练掌握这些知识是解答本题的关键． 3．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上“生长”出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图所示的形状图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1012 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【知识点】图形类规律探索、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题主要考查勾股定理的应用以及规律型等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为，找到规律即可得到答案． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为，斜边为， ， 正方形的边长为， 生长“”次正方形的面积和为，生长“”次正方形的面积和为， 故“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和是， 故选D． 4．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出，根据数的变化找出变化规律“”，依此规律即可得出结论． 【详解】∵正方形的边长为，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 观察，发现规律：，，，，， ∴， 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解决该题型题目时，写出部分Sn的值，根据数值的变化找出变化规律 “”是关键． 二、填空题 5．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）观察下列等式： 根据上述规律，解决下列问题： （1） （填“”、“”或“”）； （2）填空： ． 【答案】 2025 【知识点】运用平方差公式进行运算、二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化及平方差公式： （1）根据题意得，即可比较； （2）根据题意将原式变形为，再利用平方差公式计算即可 【详解】解：（1）根据题意：， ∵， ∴， 故答案为：； （2）原式 ， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·安徽六安·期中）若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是 ．（填写序号） 【答案】①②④ 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 7．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）对于实数m，n，定义一种新运算“※”如下： （1）若，，则 ； （2）若，则实数x的值为 ． 【答案】 3 2 【知识点】因式分解法解一元二次方程、新定义下的实数运算 【分析】本题考查的是新定义运算，一元二次方程的解法，理解新定义的含义是解本题的关键； （1）由，再利用新定义的运算法则列式计算即可； （2）分两种情况：当时，当时，再列方程求解即可． 【详解】解：（1）当，，可知， ∴． （2）当时，， 即． 解得．（舍去）； 当时，， 解得（舍去）， ∴x的值为2． 8．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 【答案】 6 【知识点】配方法的应用、加减消元法 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 9．（22-23八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程有实数根，． （1）实数的取值范围为 ； （2）设，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论； （2）由根与系数的关系可得出，将其代入中可得出，再根据，即可求出t的最小值． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两实数根， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围为． （2）∵α、β为方程的两实数根， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴t的最小值为． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合得出． 10．（21-22八年级下·安徽安庆·期中）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，O是BC的中点，D是腰AB上一点，把△DOB沿OD折叠得到△DOB′， （1）当DB′∥BC时，∠BDO＝ ； （2）当∠ADB′＝45°时，BD的长度为 ． 【答案】 或 【知识点】折叠问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】（1）根据平行线的性质求出，再由折叠的性质得到，由此求解即可； （2）分点在AB右侧时，如图1所示，点在AB左侧时，如图2所示，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 故答案为：； （2）若点在AB右侧时，如图1所示， ，， ，， 是的中点， ， 把沿折叠得到， ，，， ， ， ， ， ． 若点在AB左侧时，如图2所示， ∵，沿折叠得到， ∴， ∴， 过点O作OH⊥AB于H，作∠HDF=45°交OH于F， ∴∠HDF=∠HFD=45°，， ∴， ∴DH=HF，， ∵，∠ABC=45°，BH⊥OH， ∴△BHO是等腰直角三角形， ∴OH=BH=2， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了折叠，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，熟知相关知识，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 三、解答题 11．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）沪科版初中数学教科书八年级下册第13页“阅读与思考”给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式： （海伦公式）； （秦九韶公式）． 请利用上述公式解决下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积； (2)如图，在中，的对边分别为a，b，c，．过点A作，垂足为D，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用 【分析】本题考查了本题主要考查二次根式的运算，需要有较强的运算求解能力，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键． （1）利用秦九韶公式代入数据计算即可； （2）利用海伦公式求出面积即可解答． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：， ， ， ． 12．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答问题． ； ； ； … (1)请直接写出第5个等式： ； (2)利用上述规律，比较与的大小； (3)直接写出 ． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数字类规律探索、二次根式的混合运算、分母有理化、比较二次根式的大小 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键． （1）利用各被开方数与序号数的关系写出第5个等式； （2）利用（1）中等式的规律得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：第5个等式为； 故答案为：； （2）解：，， ， ， 即； （3）解：原式 ． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读下面解题过程． 例：化简． 解：． 请回答下列问题： (1)归纳：请直接写出下列各式的结果： ① ， ② ； (2)应用：化简； (3)拓展： ．（用含的式子表示，为正整数） 【答案】(1)①；② (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化； （1）利用分母有理化，进行计算即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答； （3）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． 【详解】（1）①； ②； （2）原式； （3）∵ ∴原式． 14．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）阅读与思考： 材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：； ． 根据上述知识，请你完成下列问题： (1)化简； (2)计算：的值． 【答案】(1)2 (2)9 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算； （1）根据分母有理化是要求把原式化为再计算即可得到答案； （2）依次把每一项分母有理化，再合并即可． 【详解】（1）解： （2） 15．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若两个二次根式m，n满足； ，且q是有理数，则称m与n是关于q的“共轭二次根式”． (1)若m与 是关于的“共轭二次根式”，求m的值． (2)若与 是关于的“共轭二次根式”，求a的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的乘法 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的乘法．熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）由题意知，，计算求解即可； （2）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 解得，， ∴m的值为． （2）解：由题意知，， ， ， 解得，， ∴a的值为3． 16．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】二次根式有意义的条件、无理数的大小估算、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 17．（23-24八年级下·安徽亳州·期中）阅读教材P13的海伦—秦九韶公式，设一个三角形的三边长分别为a，b，c，则有下列三角形面积公式：①海伦公式：，；②秦九韶公式：（其中）．请根据上述公式，解答下列问题： (1)若一个三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积；（利用海伦公式求解） (2)若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积．（利用秦九韶公式求解） 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的应用、化为最简二次根式 【分析】本题考查的是二次根式的应用，熟练的计算与化简二次根式的解本题的关键； （1）先求解，再代入公式计算即可； （2）先求解，，，再代入公式计算即可． 【详解】（1）解：∵三角形的三边长分别为5，6，7，即，，． ∴． 根据海伦公式，得该三角形的面积． （2）∵三角形的三边长分别为，，，即，，， ∴，，． 根据秦九韶公式，得该三角形的面积． 18．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）阅读下面计算过程： ； ； . 解答下列问题． (1)仿照上面的解题过程化简： (2)请直接写出的化简结果： ． (3)利用上面的规律，请化简 ． (4)利用（2）中的结论比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算； （1）根据例题进行计算即可求解． （2）根据题中的算式，直接得出规律即可； （3）利用（2）中规律展开，然后去括号合并即可． （4）根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：，． （2）解：由题目计算过程可得：， 故答案为：； （3）解：原式 ． （4）解：∵理由如下， 根据（2）中的规律可得：，， ∵， ∴， ∴． 19．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式 （不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间，那么是的多少倍？ (2)从足够高的高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？ 【答案】(1)是的倍 (2)下落的高度是11.25m 【知识点】算术平方根的实际应用、二次根式的应用、利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】（1）将代入进行计算即可，将代入，计算与的比值即可得出结论； （2）将代入公式进行计算即可． 【详解】（1）解：当时，（s， 当时，（s， ， 是的倍． （2）解：当时，， 解得， 下落的高度是11.25m． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的化简，二次根式的运算，算术平方根的应用，解题关键是掌握二次根式的性质和运算． 20．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）请阅读下面的过程，完成相应的题目： 的整数部分是1，故的小数部分是． (1)的整数部分是______； (2)设分别是的整数部分和小数部分，则______，______； (3)在（2）的条件下，若已知，为有理数，且，求的值． 【答案】(1)5 (2)2； (3) 【知识点】分母有理化、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了估算无理数的大小，算术平方根，利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键． （1）根据，得到，即可求解； （2）根据，得到，进而确定m、n的值，即可求解； （3）根据代入m和n的值整理得到，然后根据，为有理数解出、，即可求解． 【详解】（1）∵， ， 的整数部分是； （2）∵ ∴ ∴ ∴ ∵分别是的整数部分和小数部分 ∴，； （3）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵，为有理数 ∴， ∴， ∴． 21．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，求甲盒子的侧面积； (2)设甲，乙两个盒子侧面积分别为，， ①______（填“>”“=”“<”） ②说明①的理由． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【知识点】整式加减的应用、完全平方公式在几何图形中的应用、二次根式的应用 【分析】本题考查了二次根式的运用、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差即可求解． 【详解】（1）解长方体体积相同，高相同， 甲、乙底面积相同． ． ， ． ． 甲盒子的侧面积； （2）解：①由②可知， 故答案为：； ②由题意，， ， 均为非负数，， ， 即， ． ， ， ． 22．（22-23八年级下·安徽六安·期中）阅读材料，并解决下列问题．在比较同号两数的大小时，通常可以比较两个数的商与1的大小来判断这两个数的大小，如当都是正数时，①若，则；②若，则；③，则． 我们将这种比较大小的方法叫做“作商法”． (1)请用上述方法比较与的大小； (2)写出与（为正整数）的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)，见解析 【知识点】二次根式的混合运算、实数的大小比较 【分析】（1）由，得到，即可得到答案； （2）先计算得到，再根据即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）， 证明： ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了二次根式的运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 23．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）晓明同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是晓明的探究过程，请你补充完整： （1）具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：　 （填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：　 ． （3）应用运算规律，化简：． 【答案】（1）；（2）（n为正整数）；（3）2019． 【知识点】数字类规律探索、利用二次根式的性质化简 【分析】（1）根据题目中的例子可以仿照例3，写出与例3连续的数字规律完成例4； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题． （3）根据利用规律化为然后利用二次根式的乘法约分化简即可． 【详解】(1)答案不唯一，如：． (2)(为正整数)． ∵左边． ∵为正整数， ∴． ∴左边 又∵右边， ∴左边=右边． 即． （3） 【点睛】本题考查二次根式的混合运算、数字规律探究问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，再应用规律计算． 24．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会，理由见解析 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用． （1）设运动时间为，则，，，利用勾股定理得出关于t的方程，解方程即可； （2）根据题意得，解方程即可； （3）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，，， ∵，的长为， ∴在中，，即， 解得， 即经过，的长为； （2）解：由（1）得，， ∵的面积为， ∴，即， 解得或， ∵当点运动到点时，点和点的运动停止， ∴，即， ∴经过或，的面积为； （3）解：不会，理由如下： 由（2）知， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 25．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）阅读理解： 材料1：如果实数m，n满足 ，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将m，n看作是此方程的两个不相等的实数根． 材料2：关于x的一元二次方程 ，当时，该方程的正根称为黄金分割数．黄金分割数广泛应用于建筑、艺术、设计、经济等多个领域． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数a，b满足：，且，则 ． (2)求黄金分割数； (3)已知实数m，n，t，满足：，且，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】公式法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式及解一元二次方程． （1）根据题意，得到实数，是方程 的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）利用公式法解一元二次方程，取正根即可； （3）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：实数，满足：，， ，是方程的根， ，， ； （2）解：一元二次方程的正根称为黄金分割数， 解方程， ， ∴黄金分割数为； （3）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 26．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）某学校开辟一块矩形的蔬菜种植基地，该基地两边靠着一个直角围墙如图（围墙的长足够长），另两边和由总长为80米长的篱笆组成． (1)若蔬菜种植基地的面积为1200平方米，求的长； (2)能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地吗？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为20米或60米 (2)不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地，理由见解析 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式， （1）设的长为米，则的长为米，依题意列出方程，解方程即可求解； （2）根据题意，列出方程，由方程解的情况即可得解； 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1）设的长为米，则的长为米， 根据题意，得， 整理，得， 解得：， 答：的长为20米或60米． （2）不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， ， 该方程无实数根， 不能围成面积为1800平方米的蔬菜种植基地． 27．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）《劳动教育》成为一门独立的课程，我校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为米），用长为米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽米的小门，供同学们进行劳动实践． (1)若设菜地的宽为米，___________米（用含的代数式表示）； (2)求当为何值时，围成的菜地面积为平方米； (3)要想围成菜地面积为平方米，可能吗？请计算说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，见解析 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）根据各边之间的关系，可得出长为米； （2）根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可； （3）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且菜地的宽为米， ∴长为米． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为平方米时，宽为米 （3）解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为平方米的菜地． 28．（23-24八年级下·安徽滁州·期中）【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： 【规律发现】 （1）请用含 n的式子填空： 第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； 【规律应用】 （2）结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，求正整数 n，使得黑色和白色棋子之和为265个． 【答案】（1），；（2）11 【知识点】因式分解法解一元二次方程、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律，难度不大． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意得：，解出即可． 【详解】解：（1）第1个图案中黑色棋子的个数为4，白色棋子的个数为1； 第2个图案中黑色棋子的个数为9，白色棋子的个数为4； 第3个图案中黑色棋子的个数为16，白色棋子的个数为9； 第4个图案中黑色棋子的个数为25，白色棋子的个数为16； ， 第n个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 故答案为：，； （2）由题意得：， 解方程得： （舍去），， 所以正整数n的值为11． 29．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期中）“道路千万条，安全第一条”．公安交警部门提醒市民，骑行必须严格遵守“一盔一带”的法规．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销售，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为元/个，测算在市场中，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元/个，则月销售量将减少个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让市民得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔月份及月份的月销售量，得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据“月销售利润每个头盔的利润月销售量”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意，得：， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个， 由题意，得：， 整理，得：， ， 或， 解得：（为让市民得到实惠，舍去），， 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 30．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【详解】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 31．（22-23八年级下·安徽亳州·期中）谯城区某商场销售一款上衣每件进价元，销售价为元时，每天可售出件，为了扩大销售量，经市场调查发现，如果每件服装降价元；那么平均每天可多售出件． (1)设每件衣服降价元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利多少元（用含的代数式表示） ； (2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利元； (3)商家能达到平均每天盈利元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)； 元； (2)当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元； (3)商家不能达到平均每天盈利元，理由见解析 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设每件衣服降价元，根据题意找出数量关系即可解答； （2）设每件衣服降价元，根据题意找出数量关系和等量关系即可解答； （3）设每件衣服降价元，根据题意可得方程进而即可解答． 【详解】（1）解：设每件衣服降价元， ∴如果每件服装降价元，则每天销售量增加件， 故答案为：； ∵上衣每件进价元，销售价为元， ∴每件商品盈利元， 故答案为：元． （2）解：设每件衣服降价元，根据题意得， ， 解得：（不符合题意舍去），， ∴当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元， 答：当每件服装降价元时，商家平均每天能盈利元． （3）解：商家不能达到平均每天盈利元，理由如下： 设每件衣服降价元，根据题意得， ， 整理得：， ∴，，， ∴， ∴商家不能达到平均每天盈利元， 答：商家不能达到平均每天盈利元． 【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，根据题意找出数量关系和等量关系是解题的关键． 32．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件衣服降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利________元（用含x的代数式表示）； (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； (3)商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明你的理由． 【答案】(1)， (2)20元 (3)不能，理由见解析 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、列代数式 【分析】（1）设每件衣服降价x元，根据题意列出代数式即可； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程求解即可； （3）设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，根据题意列出一元二次方程，然后依据判别式求解即可. 【详解】（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：． 又∵需要让利于顾客， ∴． 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元； （3）商家不能达到平均每天盈利1500元，理由如下： 设每件服装降价y元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴此方程无解， 即不可能每天盈利1500元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 33．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． (1)如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； (2)请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)15米 (2)不能，理由见详解 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设边的长为米，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【详解】（1）解：设边的长为米，则米， 根据题意可得， 解得，， ∵墙的最大可用长度为30米，且当时，（米），不合题意， ∴米． 答：边的长为15米； （2）若羊圈的总面积能为440平方米， 则结合（1）可得 ， 整理，得 ， ∵， ∴羊圈的总面积不能为440平方米． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题的关键． 34．（21-22八年级下·安徽蚌埠·期中）探究：已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第行有个点…，容易发现，前4行共有10个点． (1)若三角形点阵中前行共有45个点，求的值； (2)拓展：如果三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…， ①求这个三角形点阵中前行共有多少点？（用含的代数式表示）； ②这个三角形点阵中前行点数的和，能是600吗？若能，求出；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②能， 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、图形类规律探索 【分析】（1）前a行共有（1＋2＋3＋4＋5＋…＋a）个点，然后求它们的和，前a行共有个点，列出方程即可求解； （2）①根据2＋4＋6＋…＋2n＝2（1＋2＋3＋…＋n）＝即可； ②由①得，解方程即可求n的值． 【详解】（1）由题意可得， 即． 整理得， ∴， ∴，． ∵为正整数， ∴． （2）①这个三角形点阵中前行点数和为． ②三角形点阵中前行的点数的和能是600． 理由如下： 依题意，得，即， ∴， 解得，． ∵为正整数， ∴． 故三角形点阵中前行的点数的和能是600，． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 35．（21-22八年级下·安徽合肥·期中）某商场销售一批运动服，平均每天可售出30套，每套盈利100元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售出1套． (1)当每套运动服降价x元时，商场每天可售出运动服_________套．（用含x的代数式表示）： (2)若商场每天要盈利3150元，则每套运动服应降价多少元？ (3)商场每天的盈利能否达到3250元？若能，请求出此时每套运动服应降价多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)（30+x） (2)每套运动服应降价30元 (3)不能，理由见解析 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）设每套运动服应降价x元，由每套运动服每降价2元，商场平均每天可多售 出1套，可知每套运动服每降价1元，商场平均每天可多售出套，则每套运动服降价x元，商场平均每天可多售出套；根据总利润=销售数 量×每套的利润，列方程可求得； （3）设每套运动服应降价x元，根据题意得到方程（100-x）（30+ ） =3250，整理得：x2-40x+500=0，由于 Δ=1600-2000＜0，于是得到商场每天的盈利不能达到3250元． 【详解】（1）解：当每套运动服降价x元时，商场每天可售出运动服（30+）套， 故答案为：（30+）； （2）解：设每套运动服应降价x元，由题意得 （100-x）（30+）=3150， 解得：x=10或x=30， ∵扩大销售，增加盈利，减少库存， ∴x=30， 答：每套运动服应降价30元； （3）解：设每套运动服应降价x元，根据题意得 （100-x）（30+）=3250， 整理得：x2-40x+500=0， ∵ Δ=1600－2000＜0， 故方程没有实数根， ∴商场每天的盈利不能达到3250元． 【点睛】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，属于销售利润问题，理解题意，明确总利润=销售数量×每套的利润是解答的关键． 36．（21-22八年级下·安徽滁州·期末）综合与探究：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”： ①；    ②． (2)已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值． 【答案】(1)x2＋x−6＝0不是“邻根方程”；是“邻根方程” (2)m＝−1或−3 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，可以确定方程是否是“邻根方程”； （2）先解方程，求出根，再根据新定义列出关于的方程，注意有两种情况． 【详解】（1）解：①解方程得：， ，， ， 不是“邻根方程”； ②， ，， ， 是“邻根方程”； （2）解： ， ，， 方程是常数）是“邻根方程”， 或， 或. 【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型． 37．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）阅读下列材料：已知实数m，n满足，试求的值. 解：设，则原方程变为，整理得，， ∴，∵，∴. 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. (1)已知实数x，y满足，求的值； (2)设a，b满足等式，求的值； (3)若四个连续正整数的积为24，求这四个连续正整数. 【答案】(1) (2) (3)这四个连续正整数为1，2，3，4 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】（1）设，则，解得：，由，得，即可求解， （2）设，则，或，由，得，即可求解， （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，即可求解， 本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． 【详解】（1）解：设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：设，则， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 故答案为：， （3）解：设最小正整数为x，则，即：， 设，则， 解得：，， ∵x为正整数， ∴， 解得，（舍去）， 故答案为：这四个连续正整数为1，2，3，4． 38．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）通过本学期的学习，我们已初步认识了勾股定理，它最早是由我国周朝时期的商高提出的，后又由东汉数学家赵爽通过四个全等的直角三角形构造的正方形证明所得，我们称之为“赵爽弦图”．如图，，，． (1)请根据赵爽弦图，用面积法证明：． (2)若正方形面积为49，正方形的面积为25，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】勾股定理的证明方法、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了勾股定理的证明，完全平方式的应用： （1）根据面积公式证明勾股定理即可； （2）根据面积公式和勾股定理解得即可． 【详解】（1）证明：大正方形的面积为，一个直角三角形的面积为，小正方形的面积为， ； （2）解：正方形面积为49，正方形的面积为25， ，， 一个直角三角形的面积为：， ， ， ． 39．（22-23八年级下·安徽滁州·期中）如图，一个梯子长10米，顶端靠在墙上（墙与地面垂直），这时梯子下端与墙角距离为6米．    (1)求梯子顶端与地面的距离的长； (2)若梯子的顶端下滑到，使米，则梯子的下端滑动的距离的长也是2米吗？若是请说明理由，若不是，请求出的长度． 【答案】(1)梯子顶端与地面的距离的长为8米 (2)梯子的下端滑动的距离的长也是2米，理由见解析 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】（1）直接利用勾股定理计算出的长即可； （1）利用勾股定理计算出的长，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，， ， 米， 梯子顶端与地面的距离的长为8米； （2）解：梯子的下端滑动的距离的长也是2米， 理由如下： 根据题意得：米， 由（1）得米， 米， 米， 米， 梯子的下端滑动的距离的长也是2米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，理解题意，正确应用勾股定理是解题的关键． 40．（22-23八年级下·安徽蚌埠·期中）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是老师提出以下问题让学生解决． (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，______，______； (2)若第一个数用字母（为奇数，且）表示，那么后两个数用含的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：，，，…，则用含的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为______，______； (3)用所学知识证明（2）中你所发现的这类用字母表示的勾股数的规律． 【答案】(1)60，61 (2)， (3)，， 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、勾股树（数）问题、利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】（1）根据题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数比第二个数大1，则第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，然后将11代入第一个数即可； （2）根据题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数是第一个数的平方与1的和除以2，然后将代入第一个数即可； （3）根据勾股定理来验证即可． 【详解】（1）解：由题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数比第二个数大1，则第三个数是第一个数的平方与1的和除以2， 第二个数是，第三个数是． 故答案为60，61； （2）由题意可得，第二个数是第一个数的平方与1的差除以2，第三个数是第一个数的平方与1的和除以2， 第二个数是，第三个数是． 故答案为，； （3）由题意可得，， 勾股数的规律是，，． 【点睛】本题是规律性问题，考查了勾股数之间的关系和勾股定理，能够根据条件分析数字规律以及熟练掌握勾股定理是解题的关键． 41．（22-23八年级下·安徽合肥·期中）如图①是小聪同学在正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出的格点（的三个顶点都在正方形的顶点处），易知 ， ，． (1)请你参照小聪的方法在图②的正方形网格中画出格点，使得， ， ； (2)判断的形状，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)为直角三角形；理由见解析 【知识点】判断三边能否构成直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】（1）根据勾股定理作图； （2）根据勾股定理的逆定理：若一个三角形的三条边满足，则这个三角形是直角三角形判断即可． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）为直角三角形， 理由：，， ， 为直角三角形． 【点睛】本题考查了作图的应用和设计，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理的应用． 42．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝c，这时我们把关于x的形如ax2+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）写出一个“勾系一元二次方程”　 ． （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根． （3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0的一个根，且△ABC的面积是25，求四边形ACDE的周长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）四边形ACDE的周长为30． 【知识点】用勾股定理解三角形、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的一般形式 【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可； （2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据三角形面积求得的值，从而可求得四边形的周长． 【详解】（1）满足a，b，c为直角三角形的三边长即可， 如a＝3，b＝4，c＝5， 勾系一元二次方程为：（答案不唯一）， 故答案为：． （2）Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab， ∵a2+b2＝c2， ∴Δ＝2a2+2b2﹣4ab＝2（a2﹣2ab+b2）＝2（a﹣b）2， ∵（a﹣b）2≥0， ∴Δ≥0， ∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0必有实数根； （3）将x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0得： a﹣c+b＝0， ∴a+b＝c， ∵△ABC的面积是25， ∴， ∴ab＝50， ∵a2+b2＝c2， ∴（a+b）2﹣2ab＝c2， ∴（c）2﹣2×50＝c2， ∴c2=100, 解得c1＝c2＝10， ∴a+b＝c＝10， ∴四边形ACDE的周长为：2a+2b+c＝30． 【点睛】本题考查阅读理解类题目，要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题是关键． 43．（20-21八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都为1，每小格的顶点叫格点： （1）计算：图1中直角三角形斜边上的高． （2）以格点为顶点，你能做出边长分别是3，，的三角形吗？若能，请你在图2上做出来． 【答案】（1）；（2）能，见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、化为最简二次根式 【分析】（1）根据勾股定理不难求出AB的值，然后根据三角形的面积公式的不同表示方法，求出AB边上的高． （2）是边长为2的正方形的对角线，是长为2宽为1的矩形的对角线，3是3个小正方形的边长，所以存在这样的三角形． 【详解】解：（1）设斜边上的高为h， 根据勾股定理：AB2=AC2+BC2； ∴，； ∴． 解得； （2）能，作图如下： 【点睛】本题考查勾股定理的应用，二次根式的化简．能借助网格和勾股定理正确表示二次根式是解题关键． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$