测试卷(15) 立体几何初步 B卷 能力提升-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(十五)　立体几何初步 B卷　能力提升 一、 1.A　2.B　3.A　4.A　5.B　6.A　7.A　8.D 二、 9.ABC　10.BCD　11.ABC 三、 12.DM⊥PC(或BM⊥PC)　13.0　14. 四、 15.解析　(1)证明　因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，B1C1⊥平面AA1B1B； BE⊂平面AA1B1B，所以B1C1⊥BE， 又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，且EC1⊂平面EB1C1，B1C1⊂平面EB1C1， 所以BE⊥平面EB1C1； (2)设长方体侧棱长为2a，则AE＝A1E＝a， 由(1)可得EB1⊥BE；所以EB＋BE2＝BB，即2BE2＝BB， 又AB＝3，所以2AE2＋2AB2＝BB，即2a2＋18＝4a2，解得a＝3； 取BB1中点F，连接EF，因为AE＝A1E，则EF∥AB； 所以EF⊥平面BB1C1C， 所以四棱锥E­BB1C1C的体积为VE­BB1C1C＝S矩形BB1C1C·EF＝·BC·BB1·EF＝×3×6×3＝18. 16.解析　(1)证明　∵ABC­A1B1C1是直三棱柱， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中点， ∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D ⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D， ∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)作DE⊥AB1交AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F即所求. 事实上，∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B， ∴C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D， ∴AB1⊥平面C1DF. ∵AA1＝A1B1＝， ∴四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点，DF⊥AB1， ∴F为BB1的中点， ∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF. 17.解析　(1)证明　如图，取线段A1B的中点为H，连接HD，HF， 在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点， 所以DE∥BC，DE＝BC， 又H，F分别是A1B，A1C的中点， 所以HF∥BC，HF＝BC， 所以DE∥HF，DE＝HF， 所以四边形DEFH为平行四边形， 所以EF∥HD， 又EF⊄平面A1BD，HD⊂平面A1BD， 所以EF∥平面A1BD. (2)因为O为DE的中点，A1D＝A1E，所以A1O⊥DE， 因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED＝DE， 所以A1O⊥平面BCED， 因为△ABC为等边三角形，BC＝4， 则A1O＝AO＝，BO＝＝， 由图得VF­A1OB＝VC­A1OB＝VA1­COB， 设点F到平面A1OB的距离为d， 即S△A1OB·d＝×S△COB·A1O， 则有××××d＝×××4××，所以d＝， 所以点F到平面A1OB的距离为. 18. 解析　(1)证明　设BC中点为N，连接MN，EN. ∵M是AC的中点，N是BC的中点，∴MN∥AB， ∵AB⊥BC，∴MN⊥BC， ∵BE⊥EC，BE＝EC，BN＝CN， ∴EN⊥BC， ∵MN∩EN＝N， ∴BC⊥平面EMN. (2)此时三棱锥E­ABC是鳖臑， ∵AC＝4，∴BC＝2，BE＝CE＝，S△BEC＝3，又三棱锥的体积V＝h×S△BEC＝2，故高h＝2. 又AB＝2，∴AB⊥平面BEC， ∵BE⊂平面BEC， ∴BE⊥AB，∴∠ABE是直角. 同理，CE⊥AB. ∵CE⊥BE，CE⊥AB，AB∩EB＝B， ∴CE⊥平面ABE， ∵AE⊂平面ABE，故CE⊥AE， ∴∠AEC也是直角. 又∠ABC，∠BEC显然是直角，故图2是鳖臑. 19.解析　(1)证明　取PA的中点H，连接MH，DH，因为M为PB的中点，所以MH∥AB，且MH＝AB，又底面ABCD是一个直角梯形，∠ABC＝90°，AB＝2，CD＝1，所以AB∥CD，CD＝AB，故MH∥CD，MH＝CD，四边形MHDC为平行四边形，所以CM∥DH，因为DH⊂平面PDA，CM⊄平面PDA，所以CM∥平面PDA； (2)因为PB⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PB⊥CD，又BC⊥CD，BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，所以CD⊥平面PBC，因为PC⊂平面PBC，所以CD⊥PC，故∠PCB即为二面角P­CD­B的平面角，又PB＝BC＝1，所以∠PCB＝，故二面角P­CD­B的余弦值为cos∠PCB＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(十五)　立体几何初步　 B卷　能力提升 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知两个平面相互垂直，下列命题 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线　②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线　③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面　④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 其中正确命题个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图所示，点S在平面ABC外，SB⊥AC，SB＝AC＝2，E，F分别是SC和AB的中点，则EF的长是(　　) A.1 B. C. D. 3.已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E，F，G，H，设四面体EFGH的表面积为T，则等于(　　) A. B. C. D. 4.边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则点C到平面ABD的距离为(　　) A. B. C. D. 5.(2024·河南商丘高一期末)如图，在四棱锥M­ABCD中，MC⊥平面ABCD，那么MA与BD垂直的充分条件是(　　) A.四边形ABCD为矩形 B.四边形ABCD为菱形 C.四边形ABCD为平行四边形 D.四边形ABCD为梯形 6.设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，那么(　　) A.若l⊥β，则α⊥β B.若α⊥β，则l⊥m C.若l∥β，则α∥β D.若α∥β，则l∥m 7.(2024·河南郑州高一期末)正四面体ABCD中，AB与平面BCD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 8.(2024·安徽六安高一期末)已知正四棱锥O­ABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的体积为(　　) A.π B.2π C.4π D.8π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是(　　) A.OM∥PD B.OM∥平面PCD C.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA 10.如图所示是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，下列命题正确的是(　　) A.GH与EF平行 B.BD与MN为异面直线 C.GH与MN成60°角 D.DE与MN垂直 11.(2024·甘肃临夏高一期末)如图，在棱长均为1的四棱锥P­ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则(　　) A.CD∥MN B.平面PCD∥平面OMN C.ON⊥PB D.四棱锥P­ABCD的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD且底面各边都相等，M是PC上一点， 当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD(只要填写一个你认为正确的条件即可). 13.已知点M，N分别为正方体ABCDA1B1C1D1的棱A1B1与AA1的中点，平面DMN与平面ABCD的交线记为l，则l与C1M所成角的大小为________. 14.在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，已知点P为棱AA1上靠近点A1的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面D1PQ与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1. (1)证明：BE⊥平面EB1C1； (2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥EBB1C1C的体积. 16.(15分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱)，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D 是A1B1的中点. (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)当点F 在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF ？并证明你的结论. 17.(15分)如图1，△ABC为等边三角形，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，BC＝4，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCDE，F为A1C的中点，如图2. (1)求证：EF∥平面A1BD； (2)求点F到平面A1OB的距离. 18.(17分)一幅标准的三角板如图1中，∠ABC为直角，∠A＝60°，∠DEF为直角，∠D＝45°，且BC＝DF，把BC与DF拼齐使两块三角板不共面，连接AE如图2. (1)若M是AC的中点，N是BC的中点，求证：BC⊥平面ENM； (2)在《九章算术》中，称四个面都是直角三角形的三棱锥为“鳖臑”，若图2中AC＝4，三棱锥EABC的体积为2，则图2是否为鳖臑？请说明理由. 19.(17分)(2024·湖南邵阳高一期末)如图，在四棱锥P­ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD是一个直角梯形，∠ABC＝90°，AB＝2，PB＝BC＝CD＝1. (1)若M为PB的中点，证明：直线CM∥平面PDA； (2)求二面角P­CD­B的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $$