测试卷(14) 立体几何初步 A卷 基础达标-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(十四)　立体几何初步 A卷　基础达标 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为(　　) A. B. C.9π D.27π 2.下列命题中为真命题的是(　　) A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B.棱柱的每个面都是平行四边形 C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D.正四棱柱是平行六面体 3.(2024·浙江嘉兴高一期中)已知正方体ABCD­A1B1C1D1，E，F，G分别为A1B1，AA1，AD的中点，则图中与直线DC1异面的直线是(　　) A.EF B.AD1 C.B1G D.BC1 4.《算数书》竹简于20世纪80年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为(　　) A. B. C. D. 5.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1(不含端点)上的动点.三棱锥Q­A1AP的体积记为V1，三棱锥C­A1AP的体积记为V2，则以下结论正确的是(　　) A.V1<V2 B.V1>V2 C.V1＝V2 D.V1，V2大小关系不确定 6.(2024·重庆高一期末)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝2，BB1＝2，则AB1与BC1所成角的大小为(　　) A.60° B.90° C.105° D.75° 7.(2024·安徽马鞍山高一期末)一个高为3的直三棱柱容器内装有水，将侧面ABB1A1水平放置如图(1)，水面恰好经过棱AC，BC，A1C1，B1C1的中点，现将底面ABC水平放置如图(2)，则容器中水面的高度是(　　) A. B. C. D. 8.矩形ABCD中，AB＝2BC＝2，E是线段CD上的点，将△DAE沿AE折起，得到△D′AE，使得平面D′AE⊥平面ABC，则当BD′，CD′与平面ABC所成角相等时，CD′的长度等于(　　) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(2024·黑龙江绥化高一期末)已知三条不重合的直线m，n，l，两个不重合的平面α，β，下列四个命题不正确的是(　　) A.若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，则n⊥α B.若l⊥α，m⊥β，且l∥m，则α∥β C.若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β D.若m∥n，n⊂α，则m∥α 10.下列说法正确的是(　　) A.圆台的任意两条母线延长后一定交于一点 B.空间中没有公共点的两条直线一定平行 C.过一个点以及一条直线可以确定唯一一个平面 D.若直线a和平面α满足a∥α，那么平面α内有无数条直线与直线a平行 11.如图，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，PA＝BC＝2BE＝2AB＝2，记四面体P­CDE，E­PBC，E­PAC的体积分别为V1，V2，V3，则下列说法正确的是(　　) A.该几何体的体积为 B.V3＝2V2 C.3V1＝2V2 D.V1＋V2＝V3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线m，n，平面α，下列命题正确的是________. ①若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α；②若m∥α，n∥α，则m∥n. 13.一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直，其长分别为1，，3，其四面体的四个顶点在一个球面上，则这个球的体积为________. 14.若四面体的六条棱中，有五条棱长为a，则该四面体体积的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2024·甘肃白银高一期末)如图，PA⊥平面ABC，AB为圆O的直径，E，F分别为棱PC，PB的中点. (1)证明：EF∥平面ABC； (2)证明：平面EFA⊥平面PAC. 16.(15分)如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，AB＝6，∠ABC＝，PA＝5，点E，F分别为棱PD，AB的中点. (1)证明：AE∥平面PCF； (2)求三棱锥E­PCF的体积. 17.(15分)如图，四棱锥C­ABED中，∠ACB＝60°，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AC＝AB＝BE＝AD＝1，F，M，N分别为AD，BC，EF的中点. (1)求证：MN∥平面ACD； (2)求直线CD与平面BCE所成角的正弦值. 18.(17分)根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起？并画出该几何体. 19.(17分)体积相等的正方体、球、等边圆柱(轴截面为正方形)的全面积分别是S1，S2，S3，试比较它们的大小. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(十四)　立体几何初步 A卷　基础达标 一、 1.A　2.D　3.B　4.D　5.C　6.B　7.C　8.A 二、 9.ACD　10.AD　11.BD 三、 12.①　13.　14.a3 四、 15.证明　(1)因为E，F分别为棱PC，PB的中点，所以EF∥BC， 因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC； (2)因为AB为圆O的直径，所以BC⊥AC. 因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA， 又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC， 由(1)知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC，又EF⊂平面EFA， 所以平面EFA⊥平面PAC. 16.解析　(1)证明　取PC的中点G，连接EG，FG， 因为E，F，G分别为PD，AB，PC的中点，故EG∥CD，且EG＝CD，AF∥CD且AF＝CD，故EG∥AF且EG＝AF，所以四边形AEGF为平行四边形， ∴AE∥FG，∵AE⊄平面PCF，FG⊂平面PCF， ∴AE∥平面PCF. (2)由(1)可知，∴AE∥平面PCF，且F为AB的中点，底面ABCD为菱形，AB＝6，∠ABC＝，VE­PCF＝VA­PCF＝VP­ACF＝·S△ACF·PA＝×××5＝. 17.解析　(1)证明　取AB的中点G，连接MG，NG，则由M，G分别为BC，AB的中点易得MG∥AC， MG⊄平面ACD，AC⊂平面ACD∴MG∥平面ACD，同理可得NG∥平面ACD， 又MG∩NG＝G，所以平面MNG∥平面ACD， 所以MN∥平面ACD. (2)由题意可得AD∥BE， AD⊄平面BCE，BE⊂平面BCE， ∴AD∥平面BCE，所以D点到平面BCE的距离等于A点到平面BCE的距离dA， 连接AM，三角形ABC为正三角形，M为BC中点，所以AM⊥BC，BE⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，所以AM⊥BE， BC∩BE＝B，∴AM⊥平面BCE， 即dA＝AM＝，又CD＝，设直线CD与平面BCE所成角为θ，则sin θ＝＝. 18.解析　绘制的几何体如图所示： 则J与N、A，M与D、H与E、G与F、B与C重合. 19.解析　设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r， 则S1＝6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2， 由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r， ∴R＝ a，r＝ a， ∴S2＝4π＝4π·a2＝a2， S3＝6π＝6π·a2＝a2, ∴S2<S3， 又6a2＝a2>a2，即S1>S3, ∴S1，S2，S3的大小关系是S2<S3<S1. 学科网（北京）股份有限公司 $$