测试卷(8) 复数 B卷 能力提升-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(八)　复数　B卷　能力提升 一、 1.B　2.A　3.B　4.D　5.B　6.B　7.D　8.D 二、 9.ABD　10.BC　11.CD 三、 12.x＝，y＝2i　13.3－3i　14.(－1，1) 四、 15.解析　(1)由题意得z2＝3－4i，因为复数z2是关于x的方程x2＋mx＋n－1＝0的一个根，所以(3－4i)2＋m(3－4i)＋n－1＝0，3m＋n－8－(4m＋24)i＝0， 解得m＝－6，n＝26，所以m＋n＝20. (2)z＝＝＝＝＝5－i，∴z＝5＋i. 16.解析　(1)复数z＝m＋i为纯虚数，则解得m＝0； (2)当m＝2时，z＝2＋i， ∴z－＝－＝－＝－＝－i. 17.解析　(1)依题意z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝a＋＋i∈R，所以b－＝0⇒a2＋b2＝2，所以＝＝. (2)依题意a＝i，即a＝a[a＋bi－] ＝a ＝a[a－＋(b＋)i] ＝a2－＋i ＝a2－a2＋i＝2abi＝i， 所以2ab＝1，ab＝. 由 得＝a2＋2ab＋b2＝2＋1＝3， 所以a＋b＝±， 所以＋＝＝＝±2. 18.解析　(1)设其中一个数是x，则x满足方程x(10－x)＝40，即x2－10x＋40＝0. (2)由判断式Δ＝(－10)2－4×40＝－60<0知，此方程无实数解. (3)由x2－10x＋40＝0，得(x－5)2＝－15＝(±i)2，解得x＝5±i. 19.解析　(1)根据欧拉公式，可得ei＝cos＋isin＝＋i； (2)由题意可知ei＋＝＋i＋＝1＋i，因此，＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(八)　复数 B卷　能力提升 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.复数(i为虚数单位)的虚部是(　　) A.－ B. C.－i D.i 3.z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋i，m为实数，若z1－z2＝0，则m的值为(　　) A.4 B.－1 C.6 D.0 4.已知复数z＝2＋i，则z·z＝(　　) A. B. C.3 D.5 5.若z＝，则z＋z＝(　　) A.－1 B.1 C.－3 D.3 6.(2024·河南洛阳高一期中)已知i为虚数单位，＋i＝(　　) A.1－3i B.1－2i C.1＋2i D.1＋3i 7.(2024·甘肃兰州高一期末)已知复数＝b＋3i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则ab＝(　　) A.－6 B.－1 C.1 D.6 8.(2024·湖北咸宁高一期末)在复平面内，复数z对应的点在第三象限，则复数z·i2 025对应的点在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(2024·山东滨州高一期中)已知i为虚数单位，z1＝＋i，z2＝－i.则下列选项正确的有(　　) A.|z1|＝|z2| B.z1＝z2 C.z1>z2 D.在复数范围内z1，z2为方程x2－x＋1＝0的根 10.若复数z满足i＝3＋4i(i为虚数单位)，则下列结论正确的有(　　) A.z的虚部为3 B.＝ C.z的共轭复数为2＋3i D.z是第三象限的点 11.设z＝＋i，t∈R，i为虚数单位，则以下结论正确的是(　　) A.z对应的点在第一象限 B.z一定不为纯虚数 C.z一定不为实数 D.z对应的点在实轴的下方 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若x是实数，y是纯虚数，且＋2i＝y，则x，y的值为________. 13.以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是________. 14.已知复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果<，那么实数a的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2024·湖北武汉高一期中)已知复数z1＝5＋10i，复数z2在复平面内对应的点为Z(3，－4). (1)若复数z2是关于x的方程x2＋mx＋n－1＝0的一个根，m，n∈R，求m＋n的值； (2)若复数z满足＝＋，求复数z的共轭复数z. 16.(15分)已知复数z＝m＋i. (1)当实数m为何值时，复数z为纯虚数； (2)当m＝2时，计算z－. 17.(15分)已知虚数z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)满足z＋∈R. (1)求； (2)若a＝i，求＋的值. 18.(17分)在对数字运算的研究过程中，意大利数学家卡当(1501－1576年)遇到一个让他非常头痛的问题，即将10分成两部分，使两部分的乘积等于40，那么这两部分分别是多少？问题： (1)如何列出解决此问题的方程？ (2)此方程有实数解吗？ (3)利用本节所学的复数，如何解此方程？ 19.(17分)莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家、自然科学家.13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位，他是数学史上最多产的数学家.其中之一就是他发现并证明欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi＋1＝0，它是数学里令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来：两个超越数：自然对数的底数e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”.请你根据欧拉公式：eiθ＝cos θ＋isin θ，解决以下问题： (1)试将复数ei写成a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式； (2)试求复数ei＋的模. 学科网（北京）股份有限公司 $$