测试卷(7) 复数 A卷 基础达标-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册新课标辅导素能双测卷（人教A版2019）

测试卷(七)　复数 A卷　基础达标 (本卷满分150分，考试时间120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数＝(　　) A.i B.－i C.2(＋i) D.1＋i 2.若复数z满足(1＋i)z＝－3(2＋i)，则z的虚部等于(　　) A.－ B. C.－ D. 3.若复数z满足z＝，则|－1|＝(　　) A. B. C. D.1 4.已知i为虚数单位，复数z满足zi＝＋2i，则|z|＝(　　) A. B. C. D.2 5.若复数z满足i(1－z)＝－1，则z的虚部为(　　) A.i B.－i C.1 D.－1 6.(2024·重庆巫山高一期末)的虚部是(　　) A.1 B.－1 C.i D.－i 7.(2024·江苏无锡高一月考)已知复数z＝(i是虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.(2024·吉林长春高一期中)已知复数4＋3i是关于x的一元二次方程x2＋mx＋25＝0(m∈R)的一个根，则m＝(　　) A.－8 B.－4 C.4 D.8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.欧拉公式eθi＝cos θ＋isin θ(其中i是虚数单位，θ∈R)是由瑞典著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是(　　) A.复数e3i对应的点位于第一象限 B.复数的模长等于 C.eπi为纯虚数 D.ei＋ei＋1＝0 10.已知z1＝2＋3i，z2＝m－i(m∈R)，则下列说法正确的有(　　) A.若为实数，则m＝－ B.z1·z2的共轭复数是(2m＋3)＋(3m－2)i C.|z1－z2|的最小值是4 D.满足|z－z1|＝1的复数z在复平面上的对应点Z的集合是以(－2，－3)为圆心，以1为半径的圆 11.(2024·江苏常州高一期末)已知复数z1，z2，下列结论正确的是(　　) A.|z1|＋|z2|＝|z1＋z2| B.|z1·z2|＝|z1|·|z2| C.若|z|＝5，则|z－2|的最小值为4 D.在复平面内，z1，z2所对应的向量分别为1，2，其中O为坐标原点，若1⊥2，则|z1＋z2|＝|z1－z2|. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在复平面内，若z＝x2－6x＋5＋(x－2)i所对应的点在第三象限，则实数x的取值范围是________. 13.设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则x＋2y的最大值为________. 14.设z1，z2∈C，已知|z1|＝＋1，|z2|＝－1，|z1－z2|＝4，则|z1＋z2|＝________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)求实数m的值，使得复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i分别是： (1)实数； (2)纯虚数. 16.(15分)设ω＝－＋i. (1)求证：ω3＝1； (2)求证：()2＝ω； (3)在复数范围内，解方程z3＝1. 17.(15分)复数z＝＋(m2－2m－15)i. (1)当m为何值时，z是纯虚数； (2)当m为何值时，z为实数？ 18.(17分)(1)在复数范围内解方程x2－6x＋13＝0； (2)若复数z＝(1＋i)(a＋2i)(a∈R)为纯虚数，求z. 19.(17分)(2024·山东淄博高一期中)已知z是复数，z－i为实数，为纯虚数(i为虚数单位). (1)求复数z； (2)求的模； (3)设m∈R，z1＝m＋1＋z，若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 测试卷(七)　复数　A卷　基础达标 一、 1.A　2.D　3.B　4.C　5.D　6.B　7.D　8.A 二、 9.BD　10.AC　11.BD 三、 12.(1，2)　13.2＋　14.4 四、 15.解析　(1)由题知，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i为实数，当且仅当m2－1＝0，即m＝1或m＝－1， 所以当m＝1或m＝－1时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i为实数. (2)复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i为纯虚数，当且仅当 即唯一满足此条件的m的值是m＝－2， 所以当m＝－2时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i为纯虚数. 16.解析　(1)证明　因为ω＝－＋i＝cos＋isin，所以ω3＝＝＝cos 2π＋isin 2π＝1. (2)证明　因为ω＝－＋i＝cos＋isin， 所以＝－－i＝cos＋isin. 所以()2＝＝ ＝cos＋isin＝cos＋isin＝ω. (3)令z＝cos θ＋isin θ，则z3＝(cos θ＋isin θ)3＝cos 3θ＋isin 3θ＝1＝cos 2π＋isin 2π， 故3θ＝2kπ(k∈Z)，故θ＝(k∈Z)， 故z＝cos＋isin(k∈Z). 故z＝1或z＝－＋i或z＝－－i. 17.解析　(1)若z是纯虚数，则 即可得m＝3或m＝－2， 所以m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. (2)若z为实数，则 可得m＝5，所以m＝5时，z为实数. 18.解析　(1)由x2－6x＋13＝(x－3)2＋4＝0， 可得(x－3)2＝－4＝(2i)2，则x－3＝±2i， 解得x＝3±2i. (2)因为z＝(1＋i)(a＋2i)＝a－2＋(a＋2)i， 且z为纯虚数，所以 解得a＝2，故z＝4i. 19.解析　(1)设z＝a＋bi，a，b∈R，因为z－i＝a＋(b－1)i为实数，则b＝1，即z＝a＋i，又因为＝－＝－＝－＋i，若为纯虚数，则解得a＝－1，所以z＝－1＋i. (2)由(1)可得＝＝＝＋i，所以的模为 ＝. (3)由(1)可得z1＝m＋1＋z＝m＋1－1＋i＝m＋i，则z＝(m＋i)2＝m2－1＋2mi，若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，则解得－1<m<0，则＝∈，所以的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$