精品解析：浙江省杭州市钱塘区2024-2025学年下学期九年级中考一模数学试卷

2024学年第二学期学业水平测试（一）九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号． 3．全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知二次函数的图象开口向下，则 的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 2. 现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 用五个相同的小立方体搭成以下几何体，其中主视图与其他3个不同的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径是5，直线与相交，则圆心 到直线的距离可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 B. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线 C. 位似图形一定是相似图形 D. 若 是线段 的黄金分割点，，则 7. 如图，的切线交直径 的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 2 8. 如图，已知钟摆的摆长为米，当钟摆由位置摆动至 位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅 的长可以表示为（ ）米 A. B. C. D. 9. 复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角 内接于于点 ，点 是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点 ，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点 ．方法②：作直线，，相交于点 ，连结，延长交于点 ．下列判断正确的是（ ） A. 方法①，方法②都错误 B. 方法①，方法②都正确 C. 方法①错误，方法②正确 D. 方法①正确，方法②错误 10. 已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知二次函数，当时，函数值 _____． 12. 计算__________. 13. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段，点A的对应点的坐标是，则点的坐标是______． 14. 如图，切线、分别与相切于点A、 ，切线 与相切于点 ，且分别交、于点 、 ，若的周长为12，则线段的长为_____． 15. 如图，在扇形中，过的中点 作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留）． 16. 如图，已知四边形内接于，延长，交于点 ．若，，则圆的半径为_______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知线段 满足，且． （1）求线段 的长． （2）若线段是线段 的比例中项，求线段的长． 18. 已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率． 项目 游戏一 游戏二 摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球 获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜 若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜 19. 如图，在中，已知弦相交于点 ，连接． （1）求证：． （2）若，的半径为4，求的长． 20. 如图，已知四边形对角线 ，交于点 ，点 是上一点，连结，． （1）求证：． （2）若，，，求 的长． 21. 在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶 处观测，测得对面一幢楼房顶部 处的仰角为，测得这幢楼房底部 处的俯角为．已知观测点 处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）． （1）求两幢楼房之间的水平距离（结果保留根号）． （2）求对面这幢楼房的高度 （结果取整数）．（参考数据：） 22. 【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点 为外一点，与相切于点 ，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点 ，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为 ．若，求 的值． 23. 已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点． （1）求的值． （2）若二次函数的图象经过点，求的最小值． （3）若二次函数在时，，求的取值范围． 24. 如图，锐角 内接于，平分 ，交 于点 ，交于点 ，平分，连结并延长交于点 ． （1）若，请直接写出 ，的度数． （2）求证：是的切线． （3）若平分，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期学业水平测试（一）九年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间120分钟． 2．请在答题卡上指定位置填写学校、班级、姓名，正确填涂准考证号． 3．全卷答案必须写在答题卡的相应位置上，做在试题卷上无效． 4．如需画图作答，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将图形线条描黑． 5．不允许使用计算器计算． 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知二次函数的图象开口向下，则 的值可以是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次项系数决定了开口方向，大于零开口向上，否则开口向下．直接利用二次函数的性质得出a的取值范围． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， 即符合要求的为， 故选：A． 2. 现有5张卡片，分别写着数字1，2，3，4，5．若从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比，由此计算即可得解． 【详解】解：数字1，2，3，4，5这5个数中“恰好是奇数”的数是1，3，5， ∴从中随机抽取1张卡片，则该卡片上的数字“恰好是奇数”的概率为， 故选：C． 3. 用五个相同的小立方体搭成以下几何体，其中主视图与其他3个不同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别画出各项几何体的主视图，即可求解．本题主要考查了简单几何体的三视图，熟练掌握主视图是从正面看到的图形是解题的关键． 【详解】解∶A选项几何体的主视图为 B选项几何体的主视图为 C选项几何体的主视图为 D选项几何体的主视图为 ∴几何体的主视图中与其他三个不同的是D选项． 故选：D 4. 已知的半径是5，直线与相交，则圆心 到直线的距离可能是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心 到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 5. 将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图象的函数表达式是 故选：B 6. 下列命题正确的是（ ） A. 平分弦的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧 B. 垂直于圆的半径的直线是圆的切线 C. 位似图形一定是相似图形 D. 若是线段的黄金分割点，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法、相似图形、切线的判定和黄金分割点判断即可． 【详解】解：A、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，原命题是假命题； B、垂直于圆的半径并且经过半径的外端的直线是圆的切线，原命题是假命题； C、位似图形一定是相似图形，原命题是真命题； D、已知点为线段的黄金分割点，且，若，则，原命题是假命题； 故选：C． 【点睛】此题考查了菱形的判定、命题与定理的知识，解题的关键是了解菱形的判定方法、相似图形、切线的判定，难度不大． 7. 如图，的切线交直径的延长线于点为切点．若的半径为2，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，连接，根据切线的性质得到，再根据所对的直角边是斜边的一半计算长，最后根据勾股定理解题． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，已知钟摆的摆长 为米，当钟摆由 位置摆动至位置时，钟摆摆动的角度为，此时摆幅的长可以表示为（ ）米 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，根据题意可得为等腰三角形，因此作于C点，然后利用三角形函数表示 ，根据“三线合一”的性质即可得到 的长度，从而得出结论． 【详解】解：由题意可得，为等腰三角形，此时摆幅即为线段 的长度，如图所示，作于C点， 则由“三线合一”知，，， ∴在中，米， ∴米， 故选：D． 9. 复习课上，老师出了一道作图题：“如图，锐角 内接于于点，点 是的中点．仅用无刻度的直尺在上找出点 ，使．”课堂上同学们提供了以下两种方法．方法①：延长，交于点 ．方法②：作直线，，相交于点，连结，延长交于点 ．下列判断正确的是（ ） A. 方法①，方法②都错误 B. 方法①，方法②都正确 C. 方法①错误，方法②正确 D. 方法①正确，方法②错误 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆心角，弧，弦之间的关系，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，分别根据方法①和方法②的描述，先作图，运用圆心角，弧，弦之间的关系，得，再结合圆周角定理进行作答即可． 【详解】解：方法①中，如图： ∵， ∴， ∴， ∵点 是的中点． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 方法②中，如图： ∵点 是的中点． ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 已知二次函数的图象上有四个点：，，其中，则下列结论一定不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出对称轴，再根据或来判断出对称轴在 轴的负半轴，再结合抛物线上对称的两点表示出对称轴，结合开口方向进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 当时，则， ∴， 此时对称轴在 轴的负半轴，抛物线的开口方向向上， ∴越靠近对称轴的 所对应的函数值越小， ∵，， ∴点 与点 关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故A选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的 所对应的函数值越小， ∴或或或， 故B选项不符合题意； 当时，则， ∴， 此时对称轴在 轴的负半轴，抛物线的开口方向向下， ∴越靠近对称轴的 所对应的函数值越大， ∵，， ∴点 与点 关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ∴， ∴， 即，故C选项不符合题意； ∵，越靠近对称轴的 所对应的函数值越大， ∴或或或， 故D选项符合题意； 故选：D． 二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分． 11. 已知二次函数，当 时，函数值_____． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，把 直接代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，把 代入， 得， 故答案为：0 12. 计算__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值作答． 【详解】解： 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，要熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 13. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为，．以原点O为位似中心，把线段AB放大，得到线段，点A的对应点的坐标是，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质，由以原点O为位似中心，相似比为，根据位似图形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵A的坐标为，以原点O为位似中心，点A的对应点的坐标是， ∴相似比为， ∴的对应点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，切线、分别与相切于点A、 ，切线与相切于点，且分别交、于点 、 ，若的周长为12，则线段的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于，又因为，所以可求出的长． 【详解】解：，都是圆 的切线， ， 同理，， 的周长， ； 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出的周长． 15. 如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形是矩形，再证明得到，得到矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点C是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∵， ， ∴， ∴图中阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不规则图形的面积的计算，勾股定理，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，已知四边形内接于，延长， 交于点．若，，则圆的半径为_______． 【答案】7 【解析】 【分析】过点A作，交于点E，连接，由题意易得，则有是等边三角形，，过点E作于点H，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：过点A作，交于点E，连接，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， 过点E作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即圆的半径为7； 故答案为7． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、圆周角的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知线段 满足，且． （1）求线段 的长． （2）若线段是线段 的比例中项，求线段的长． 【答案】（1）线段 的长为12，线段 的长为3 （2）线段的长为6 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段 的长为12，线段 的长为3． 【小问2详解】 解： 线段是线段 、 的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 18. 已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外其余均相同．甲乙同学进行摸球游戏，请分别求出下列两个游戏中甲同学获胜的概率． 项目 游戏一 游戏二 摸球规则 摸出1个球 先摸出1个球，记下颜色后放回，再摸出1个球 获胜规则 若摸出红球，则甲胜 若摸出两球颜色相同，则甲胜 若摸出白球，则乙胜 若摸出两球颜色不同，则乙胜 【答案】 游戏一：甲同学获胜的概率为； 游戏二：甲同学获胜的概率为． 【解析】 【分析】游戏一：根据概率公式用红球的个数除以总球的个数即可得出答案；游戏二：根据题意先画出树状图，求出总情况数，再根据概率公式即可得出答案．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：游戏一：∵已知一个不透明的盒子中装有2个红球，1个白球， ∴摸出1个球，且摸出一个球是红球的概率是：． 即甲同学获胜的概率为； 游戏二：根据题意画树状图如下： ∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色相同的有5种等可能的结果， ∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率是：． 即甲同学获胜的概率为． 19. 如图，在中，已知弦相交于点 ，连接． （1）求证：． （2）若，的半径为4，求的长． 【答案】（1） 证明： ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆心角、弧、弦之间的关系定理、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键． （1）根据弧、弦之间的关系定理得到，进而得出根据圆周角定理证明即可； （2）根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，， ，， ， ， ， ∵的半径为， 的长为． 20. 如图，已知四边形对角线，交于点 ，点 是上一点，连结，． （1）求证：． （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明： ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由相似三角形的性质可得，，可得，即可求解； （2）由相似三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ，，， ， ． 21. 在学习三角函数知识后，李老师布置了一项综合实践作业，要求利用所学知识测量建筑物的高度．如图，圆圆在自家楼顶 处观测，测得对面一幢楼房顶部 处的仰角为，测得这幢楼房底部处的俯角为．已知观测点 处距地面的高度为24米（图中点均在同一平面内）． （1）求两幢楼房之间的水平距离 （结果保留根号）． （2）求对面这幢楼房的高度（结果取整数）．（参考数据：） 【答案】（1） 为米 （2）对面这幢楼房的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点 作， 垂足为 ， 根据题意可得：米，， 然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：过点 作， 垂足为 ， 由题意得： 米， ， 在中， ， (米) ， 米， ∴两幢楼房之间的水平距离 为米； 【小问2详解】 在中， 米， （米) ， ∵米， (米)， ∴对面这幢楼房的高度约为米. 22. 【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点 ，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长 交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 【答案】 （1）证明： 连接，并延长 交于点，连接， ∵与相切于点 ， ∴， 即， ∴， ∵ 是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即； （2）的值为 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，掌握构造相似三角形，并应用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题的关键. （1）根据切线可得到，根据直径得到，可推出，再由同弧对应的圆周角相等得到，然后证明得到结论 （2）延长交于点， 连结 ， ，可以得到，由（1）的结论代入可得到关于的方程，解方程即可求出的值. 【详解】（1）略 （2）如图， 延长交于点， 连结 ， ， ∵的半径为，， ， 由（1）可知， ， ， 整理得 ， 解得或(舍去)， ∴的值为. 23. 已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点． （1）求的值． （2）若二次函数的图象经过点，求的最小值． （3）若二次函数在时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2）的最小值为 （3）的取值范围是 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质. （1）先求出的图象顶点坐标，再代入即可求出的值； （2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值. （3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：∵， 的图象顶点坐标为， 的图象经过， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得 的图象经过， ， ， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为. ∵时，， ∴， 当时， ， 解得， ∴， ∴的取值范围是． 24. 如图，锐角 内接于，平分，交于点，交于点 ，平分，连结并延长交于点． （1）若，请直接写出，的度数． （2）求证：是的切线． （3）若平分，求的长． 【答案】（1）， （2） 证明：设， ∵平分， ∴， 连接，则， 又∵， ∴； 又∵平分， ∴， ∴， ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和圆周角定理解题即可； （2）设，根据（1）的推理过程得到，然后根据角平分线得到，然后求出，即可得到结论； （3）先根据角平分线的定义和三角形的外角得到，即可得到，然后证明，根据对应边成比例得到长，然后根据切线得到，然后证明，求出的值，再在Rt中利用勾股定理解题即可． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， 连接，则， 又∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵平分，平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 又∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得， 在Rt中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $