第五章 数列章末题型汇总（10大题型提分练专项训练）数学人教B版选择性必修第三册

第五章数列章末题型汇总 题型一 数列的通项公式 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知等式变形为，利用累乘法求出数列的通项公式，即可得出的值. 【详解】因为正项数列的前项和为，，且， 可得，则， 所以，，，，，， 上述等式相乘得， 则， 故当且时，，且满足， 对任意的，，故. 故选：A. 2．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）在数列中，，则 . 【答案】 【分析】由裂项法即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 3．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）已知数列的前n项和，则通项 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用前n项与第项的关系求出通项公式. 【详解】数列的前n项和， 当时，，而，满足上式， 所以. 故答案为： 4．（2023高二·全国·专题练习）设为数列的前项和，已知，，则 【答案】 【分析】两边同除，令，则有且，则有，即可得； 【详解】， 令， 则， ∴又，， ∴； 故答案为：； 5．（21-22高二·全国·课后作业）已知在数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数列前n项和的意义，探讨数列相邻两项的关系，构造常数列求解作答. 【详解】因为，当时，， 则，即有，当时，，得，满足上式， ，，因此数列是常数列，即，所以. 故答案为： 题型二 等差数列基本量的计算 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）等差数列的前项和为，若，则（    ） A．45 B．27 C．20 D．18 【答案】A 【分析】已知数列等差，用角标和性质和等差数列求和公式求解即可. 【详解】因为是等差数列，则，由已知， 可得，所以， 所以. 故选：A. 2．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）在等差数列中，若，则该数列的公差为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的定义，化简方程，可得答案. 【详解】设等差数列的公差为，则， 由，则，解得. 故选：D. 3．（24-25高二下·广东清远·阶段练习）已知数列是等差数列，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，结合等差数列通项公式由条件列方程求，再结合条件求. 【详解】设等差数列的公差为， ，， ，则， ， 故选：B． 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）(多选)等差数列的前项和为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设等差数列的首项和公差，列方程即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 依题意， 解得, 所以, 对于A，由上面可知，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，， 故当时，取得最小值为，故，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC 5．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值及此时的值． 【答案】(1) (2)，的最大值，此时 【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和公式，通过已知条件求出公差，进而得到通项公式和前项和公式； （2）根据前项和公式的函数特点求出其最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，． 所以，解得， 所以的通项公式是． （2）    当且仅当时，的最大值为16． 题型三 等差数列前n项和的性质 1．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在等差数列中，，得出，结合通项公式，即可得到的值. 【详解】等差数列和中， ， 所以，设等差数列和的公差分别为， 则 ，且， 所以. 故选：A 2．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则 ． 【答案】 【分析】应用等差数列片段和的性质有，结合已知即可得. 【详解】由等差数列片段和的性质知：成等差数列， 所以， 则. 故答案为： 3．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列的前n项和的特征设出，的表示式，再将所求项的比式拼凑成和的比式，赋值代入化简即得. 【详解】因数列和都是等差数列，且前n项和分别为，， 由，可设，， 则， . 故答案为：. 4．（23-24高二下·河南·期中）在等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，若此数列的项数为10，则此数列的公差为 ；若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是 【答案】 55 【分析】若此数列的项数为10，则根据奇数项与偶数项的关系可求公差；若此数列的项数为奇数，设项数为，则由等差数列前项和公式，奇数项之和，偶数项之和，建立方程可求得答案. 【详解】令，， 若此数列的项数为10，则，所以，所以； 若此数列的项数为奇数，设项数为，则 奇数项之和， 偶数项之和， 所以，解得， 所以第4项是此数列的中间项，． 故答案为：；55． 5．（21-22高二上·全国·课后作业）已知是等差数列的前项和. (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的定义证明；     （2）设的公差为，由，求得公差为，再利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d， 则，     ∴， ∴，     又∵，∴是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知为等差数列，设其公差为， 则 ，即，则，     又∵， ∴ . 题型四 等差数列最值问题 1．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．，，成等差数列，公差为 C．当取得最大值时， D．时，的最大值为32 【答案】A 【分析】利用等差数列通项公式先求出，再求通项公式，然后对各选项逐一检验即可. 【详解】由，可得：数列是以为首项，为公差的等差数列． 则． 所以. 对于选项A： ， 当时，； 当时，； ， ． ， 数列是等差数列，故选项A正确； 对于选项B： ， ，，， ，， 则，， 所以，，成等差数列，公差为，故选项B错误； 对于选项C： ，， 当或时，最大，故选项C错误； 对于选项D：令，得，， 即满足的最大正整数，故选项D错误. 故选：A． 2．（24-25高二上·湖南·期中）（多选）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．等差数列为单调递增数列 B．数列是递增数列 C．有最小值 D．存在正整数，当时，总有 【答案】ACD 【分析】对于A，由题设得公差即可判断；对于B，举反例即可判断；对于C，由以及等差数列前n项和性质结合一元二次函数性质即可判断；对于D，由等差数列的函数性质即可判断. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，则， 所以等差数列为单调递增数列，故A正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，故B错误； 对于C，因为，， 所以由二次函数图象性质知必有最小值，故C正确； 对于D，因为，结合一次函数性质，不论为何值，存在正整数，当时，（）. 故选：ACD. 3．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）(多选)设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递减数列 B． C． D．，，，中最大的是 【答案】ABD 【分析】根据等差数列的通项公式，求和公式，结合等差数列的性质可逐项作出判断. 【详解】因为数列为等差数列， 由 ， 由 ， 所以，故C错误； 因为数列为等差数列，且，所以数列是递减数列，故A正确； 因为，故B正确； 因为，，且数列是递减数列，所以前6项为正，从第7项开始为负，所以最大，故D正确. 故选：ABD 4．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的 . 【答案】9或10 【分析】根据等差数列的前项和公式求得，再利用二次函数的最值即可得出结论. 【详解】数列为等差数列，∵， ∴，∴， ∴， 因为且，所以 ，为二次函数，开口方向向下， 所以当时，取得最大值，又因为, ∴ 或10时，取得最大值. 故答案为：9或10 5．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列的前项和为，则当取得最小值时， . 【答案】 【分析】利用定义法证明数列为等差数列，表示可得结果. 【详解】解法一：由得，当时，， 当时，， ∴当取得最小值时，. 解法二：由得，， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴， ∴当取得最小值时，. 故答案为：. 题型五 等比数列基本量的计算 1．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）“ ” 是 “ 是等比数列”的（   ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 【答案】D 【分析】举反例可得充分性不成立，由等比中项可得必要性不成立. 【详解】若，则，但 不是等比数列，充分性不成立； 若 是等比数列，则，则，必要性不成立， 所以“ ” 是 “ 是等比数列”的既非充分又非必要条件. 故选：D 2．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】在等比数列中，， 则， 设等比数列的公比为，则， 所以同号，又， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二下·陕西渭南·阶段练习）(多选)已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用等比数列的通项公式及求和公式即可求解. 【详解】由等比通项公式得：， 又因为，所以， 故A正确，B错误； 再由， 所以，故C正确，D错误； 故选：AC. 4．（24-25高二下·四川广元·阶段练习）已知是数列的前n项和，，则 ． 【答案】/ 【分析】通过作差得到，，进而可求解. 【详解】由数列的前项和为，且， 当时，， 两式相减，可得，即，， 令，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， ， 故答案为： 5．（24-25高二下·湖南长沙·期中）在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）利用递推公式求出，根据等比数列的定义判断出数列是等比数列，根据首项和公比写出通项公式； （2）由，得到，根据等差数列的定义判断出数列是等差数列，利用等差数列的求和公式求和即可． 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，通项公式 （2）由（1）可知，则 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以 题型六 等比数列前n项和的性质 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】利用等比数列的片段和的性质可求的值. 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 因为，所以，即 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意结合等比数列的性质运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以． 故选：D. 3．（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】法一：由性质可得答案；法二：求出，再求出其公比为2，则，化简即可. 【详解】法一：设等比数列的公比为， 等比数列的前n项和为，显然当时不合题意，则不等于1， 则， 令，则有，由题意，得. 法二：当时，， 当时，. ， 为等比数列，当时，， 化简得. 故选：C. 4．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，则 . 【答案】21 【分析】根据等比数列片段和的性质可求的值. 【详解】因为为等比数列，其前项和为， 所以为等比数列，故为等比数列， 故，故， 故答案为：21 5．（2025高二·全国·专题练习）已知等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的公比 ，前n项和 . 【答案】 / 【分析】根据等比数列前项和的性质，，，成等比数列，且公比为，即可求出公比.再根据等比数列前项和公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，，成等比数列，且公比为， 所以，． 因此． 故答案为： 题型七 等比数列最值问题 1．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案. 【详解】由题意可知是公比为的等比数列， 当，时，则， 由于，，且随n的增大而减小，故单调递增， 当，时，也单调递增，推不出， 故“”是“单调递增”的充分而不必要条件， 故选：A 2．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】C 【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断. 【详解】因为等比数列满足， 又，所以，A错误； ，即,B错误； 当时，，当时，，即是数列中的最大值，C正确； 由题意得，，则,D错误. 故选：C. 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先根据等比数列的单调性判断时，的前n项积越来越大 ，当时，的前n项积越来越小 ，从而可得答案. 【详解】因为，所以数列是递减数列， ，， 所以 所以时，的前n项积越来越大 ， 当时，的前n项积越来越小 ， 所以当数列的前项积最大时的值为4． 故选：C． 4．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【分析】根据“”与“数列是严格增数列”的互相推出关系判断属于何种条件. 【详解】当时，取，则，显然不是严格增数列， 所以“”不能推出“数列是严格增数列”； 当数列是严格增数列时，设， 当时，是摆动数列，不符合要求，所以， 若，则， 若，则， 所以“数列是严格增数列”不能推出“”； 综上所述，“”是“数列是严格增数列”的既非充分也非必要条件， 故选：D. 5．（23-24高二下·陕西渭南·期末）（多选）若数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法判断A、B、D，利用特殊值判断C. 【详解】对于A：， 所以，所以为递增数列，故A正确； 对于B：，所以，所以为递增数列，故B正确； 对于C：因为，则，，所以不单调，故C错误； 对于D：，所以，所以为递增数列，故D正确； 故选：ABD 题型八 数列求和问题 1．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由累加法结合等差数列的求和公式可得； （2）分和两种情况利用等差数列的求和公式求解. 【详解】（1）由已知可得， 故当时，， ， ， ……. ， 累加后可得， 所以， 当时，代入成立， 所以数列的通项公式为. （2）， 当时，， 此时 ； 当时，， ， 综上 2．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知在数列中，，且当时，. (1)求的值 (2)求的通项公式； (3)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）由已知可得，又，联立即可求得的值； （2）由，得，可得是等比数列，进而求得的通项公式； （3）求出数列的通项，利用裂项相消法求前项和为，化简后即可证得. 【详解】（1）在数列中，， 又当时，，则， 联立，解得. （2）数列中，当时，， 则， 又由（1）知，则， 所以， 则故数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 则，所以. （3）由（2）知， 则， 则数列的前项和为 ， 又，则， 所以， 即. 3．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，. (1)求，的通项公式： (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题中条件求出公差公比，即可求，通项公式 （2）分别利用等差等比数列前项和公式求和即可. 【详解】（1）设数列和数列的公差公比分别为d，q， ， 等比数列是递增数列， . ， ， ， ， 所以等差数列的通项公式为：， 等比数列的通项公式为：. （2）为等比数列， 数列也是等比数列，公比为 数列的前项和 . 4．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列的首项，的前项和为且满足 (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得，结合等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可得，再由求出的通项公式，最后利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）证明：因为，即， 所以，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列． （2）由（1）可得，所以， 当时， 所以， 当时也成立，所以， 所以， 所以①， ②， ①②得， 则， 所以． 5．（24-25高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）先求出；再利用错位相减法求和即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列是公差为，且， . ，， 又 成等比数列， ，即，整理得：，解得或（舍）， ， 即 （2）由（1）得， 则. 又 ， 则. 又 ， ①， ②， ①-②得：， 所以． 题型九 数列与不等式 1．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知数列的前项积为，为公差不为0的等差数列，且，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知可得，由递推关系，即可求解； （2）由已知可得，根据裂项相消法求和即可证明. 【详解】（1）设等差数列的公差为，，因为成等比数列，所以， 所以，解得，因为，所以， 所以， 当时，，当时上式成立， 所以； （2）， ，得证. 2．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据与的关系化简求证即可； （2）①先根据等差数列的定义得到，进而得到，根据错位相减法计算即可； ②化简不等式为，令，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，所以， 所以是公差为1的等差数列； （2）①因为，所以，所以， ， ， ， 两式相减得， ， ． ②对任意的恒成立， ，则对任意的恒成立， 令， 为递减数列，则当时，． 3．（24-25高二下·广东肇庆·阶段练习）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求和得，即可证. 【详解】（1）因为， 当时，， 两式相减，得， 当时，满足上式， 故数列的通项公式为． （2）由（1）知，故， 所以， 由，则，所以，故． 4．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)若，记的前项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据等差数列与前n项和的性质及等比中项，计算通项公式基本量即可； （2）利用裂项相消法求和，结合数列的单调性证明即可. 【详解】（1）设的公差为，则，所以， 又为，的等比中项，则， 解之得，故； （2）由上可知， 所以 ， 易知， 令，显然定义域上单调递减，， 所以，故. 5．（24-25高二下·四川内江·阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足 ， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，求使得不等式（）成立的最小整数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】（1）若选①，利用与的关系即可求解；若选②，利用累加法结合等比数列前项和公式即可求解； （2）利用错位相减法求解即可； （3）对于不等式（），分离常数后构造新数列，先判断数列的单调性，再利用单调性解不等式即可. 【详解】（1）若选①，因为， 当时，，两式相减得， 当时，，即， 又，所以，故，满足， 所以是首项为，公比为的等比数列，故； 若选②，因为， 所以 ，又，所以. （2）由（1）知， 则 ① ② 两式相减得： ， 所以. （3）由，得，， 化简得，. 设，，则，， 因为，所以，又，所以，. 故， 因为，所以，则，， 则，所以数列为递增数列. 又因为， ， 因此，使得不等式（）成立的最小整数为9. 题型十 数列分奇偶问题 1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为则使得的最小整数的值为（    ） A．851 B．852 C．853 D．854 【答案】C 【分析】根据数列的递推关系计算前10项，然后得出规律，利用周期性计算，结合数列增减性可得. 【详解】由题意可得，，则，，，，，，，，， 从开始，数列进入了一个循环：4，2，1. 因，则， 则，， 又数列为递增数列，则的最小整数为. 故选：C 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 【答案】1078 【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的. 【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 故答案为：1078. 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为且 (1)求的通项公式； (2)若 ，求数列的前2n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的公差为d，利用已知条件求出可得答案； （2）求出n为奇数、偶数时，再利用分组利用等差数列、等比数列求和公式可得答案. 【详解】（1）设的公差为d， 由得， 化简得，解得，所以； （2）当n为奇数时，， 当n为偶数时 所以 4．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前20项和． 【答案】(1) (2)1150 【分析】（1）根据给定条件，结合等差数列前n项和公式列出方程组求出即可. （2）由（1）的信息，利用分组求和法，及等差数列前n项和公式求和. 【详解】（1）设数列的公差为d，依题意，， 即，又，联立解得， 所以的通项公式. （2）记的前20项和为，， 所以 . 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前n项和为，，，数列满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)求和； (3)记数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）利用题干给与的信息，代换，利用都是奇数所以，从而得到结果. （2）利用等比数列的定义，与题干给与的定义进行代换得到答案. （3）利用代换，换成题干给与的形式，从而得到证明结果. 【详解】（1），且，故为等比数列 （2）由（1）可知：，故． （3） 1．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ． 【答案】4050 【分析】根据可得，结合函数得到当时，，进而结合倒序相加法求解即可. 【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，， 则， 由，当时，， 于是， 令， 则， 因此， 所以. 故答案为：4050. 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知根据递推关系可得，由此可知，根据裂项相消法即可求解. 【详解】当时，， 因为， 当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式， 所以，所以， 当时，， 当时，， 若对任意恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 3．（24-25高二下·江西·阶段练习）若数列满足，在中插入n个2，按照原有顺序构成数列，则数列的前480项和为 ． 【答案】1215 【分析】由题意，根据等差数列前项和公式求出数列的项数和前480项中2的个数，再求出数列的前30项和即可. 【详解】数列中从到的项数为： ，令，得，且， 所以数列的前480项中后面还有15项， 则数列的前480项中2的个数为． 由，得， 故数列的前30项和是数列的前10项和，且和为， 所以数列的前480项和为． 故答案为：1215 【点睛】难点点睛：本题的难点是推出数列的前480项中后面还有15项. 4．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知数列的前项和为则 . 【答案】 【分析】由题意可得数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列；偶数项是以2为首项，公比为3的等比数列，求出通项公式，则分别利用等差数列与等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由，， 可得数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列； 偶数项是以2为首项，公比为2的等比数列． 对任意正整数k，；． 数列的通项公式． 则 ，． 故答案为： 5．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知正项等比数列满足条件. (1)求的通项公式； (2)设，求的最大值及取最大值时的取值. 【答案】(1) (2)；或11 【分析】（1）利用等比数列通项公式进行求解即可. （2）利用二次函数的思想求的最大值． 【详解】（1）设的公比为q， 由题意得，所以， ， 所以，． 所以． （2）． 二次函数的图象的对称轴为， 所以当或11时，取得最大值，且最大值为． 故的最大值为，取最大值时的取值为10或11. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章数列章末题型汇总 题型一 数列的通项公式 1．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知正项数列的前项和为，，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）在数列中，，则 . 3．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）已知数列的前n项和，则通项 ． 4．（2023高二·全国·专题练习）设为数列的前项和，已知，，则 5．（21-22高二·全国·课后作业）已知在数列中，，，则 ． 题型二 等差数列基本量的计算 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）等差数列的前项和为，若，则（    ） A．45 B．27 C．20 D．18 2．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）在等差数列中，若，则该数列的公差为（    ） A． B． C．3 D． 3．（24-25高二下·广东清远·阶段练习）已知数列是等差数列，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖北武汉·期末）(多选)等差数列的前项和为，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最大值及此时的值． 题型三 等差数列前n项和的性质 1．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽安庆·阶段练习）已知是等差数列的前项和，若，则 ． 3．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则 . 4．（23-24高二下·河南·期中）在等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，若此数列的项数为10，则此数列的公差为 ；若此数列的项数为奇数，则此数列的中间项是 5．（21-22高二上·全国·课后作业）已知是等差数列的前项和. (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，，求. 题型四 等差数列最值问题 1．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）设数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（    ） A．是等差数列 B．，，成等差数列，公差为 C．当取得最大值时， D．时，的最大值为32 2．（24-25高二上·湖南·期中）（多选）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．等差数列为单调递增数列 B．数列是递增数列 C．有最小值 D．存在正整数，当时，总有 3．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）(多选)设等差数列的公差为d，前n项和为，若，，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递减数列 B． C． D．，，，中最大的是 4．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）是等差数列的前项和，若且，则当取得最大值时的 . 5．（24-25高二上·河北邢台·期末）已知数列的前项和为，则当取得最小值时， . 题型五 等比数列基本量的计算 1．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）“ ” 是 “ 是等比数列”的（   ）条件 A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．既非充分又非必要 2．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·阶段练习）在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·陕西渭南·阶段练习）(多选)已知等比数列的公比为，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川广元·阶段练习）已知是数列的前n项和，，则 ． 5．（24-25高二下·湖南长沙·期中）在数列中，已知. (1)试写出，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 题型六 等比数列前n项和的性质 1．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（   ） A．8 B． C．4 D．2 3．（23-24高二下·江西吉安·期末）设等比数列的前n项和为，且，则（    ） A． B． C．0 D．2 4．（24-25高二下·广东广州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，且，则 . 5．（2025高二·全国·专题练习）已知等比数列的首项，前n项和为，若，则数列的公比 ，前n项和 . 题型七 等比数列最值问题 1．（23-24高二下·北京怀柔·期末）若是公比为的等比数列，其前项和为 ，，则“”是“单调递增”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 3．（24-25高二上·山西吕梁·期末）数列的通项公式为，当的前n项积最大时，n为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25高二上·上海·期中）数列是等比数列，公比为，“”是“数列是严格增数列”的（   ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 5．（23-24高二下·陕西渭南·期末）（多选）若数列为递增数列，则的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 题型八 数列求和问题 1．（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 (1)求数列的通项公式 (2)若数列 满足 ，求数列的前 项和 2．（24-25高二下·广东佛山·阶段练习）已知在数列中，，且当时，. (1)求的值 (2)求的通项公式； (3)设，数列的前项和为，证明：. 3．（24-25高二下·广西桂林·阶段练习）已知等差数列和等比数列都是递增数列，且，，. (1)求，的通项公式： (2)求数列的前项和. 4．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列的首项，的前项和为且满足 (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 5．（24-25高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知数列是公差不为零的等差数列，，且成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型九 数列与不等式 1．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知数列的前项积为，为公差不为0的等差数列，且，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：． 2．（24-25高二下·山东德州·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求证：数列是等差数列； (2)设的前n项和为； ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．（24-25高二下·广东肇庆·阶段练习）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和为，求证：． 4．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，为，的等比中项． (1)求的通项公式； (2)若，记的前项和为，证明：． 5．（24-25高二下·四川内江·阶段练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列的前项和为，，且满足 ， (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，求使得不等式（）成立的最小整数． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 题型十 数列分奇偶问题 1．（24-25高二下·四川成都·阶段练习）已知数列的前项和为则使得的最小整数的值为（    ） A．851 B．852 C．853 D．854 2．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 3．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为且 (1)求的通项公式； (2)若 ，求数列的前2n项和. 4．（24-25高二上·四川宜宾·期末）已知为等差数列，，记分别为数列的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前20项和． 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的前n项和为，，，数列满足． (1)求证：数列为等比数列； (2)求和； (3)记数列的前n项和为，求证：． 1．（24-25高二下·广东珠海·阶段练习）已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ． 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 3．（24-25高二下·江西·阶段练习）若数列满足，在中插入n个2，按照原有顺序构成数列，则数列的前480项和为 ． 4．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知数列的前项和为则 . 5．（24-25高二下·河南南阳·阶段练习）已知正项等比数列满足条件. (1)求的通项公式； (2)设，求的最大值及取最大值时的取值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$