第13章 立体几何初步全章综合测试卷（基础篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第13章 立体几何初步全章综合测试卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面， 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据空间几何体的结构特征逐项判断即可. 【解答过程】球只有一个曲面，没有顶点和棱，故①错，②对，③对；由于几何体是空间几何体，所以一定有面，故④错． 故选：B. 2．（5分）（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 【解题思路】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解. 【解答过程】将直观图还原为原图，如图所示，则是直角三角形，其中，， 故的面积为， 故选：B． 3．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【解题思路】本题考查空间内线线、线面和面面位置关系的判定及性质，根据判定定理和性质定理依次判断即可. 【解答过程】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，，，则或､相交，B错； 对于C选项，若，，，则或､相交，C错； 对于D选项，若，，则，因为，则，D对. 故选：D. 4．（5分）（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用圆锥表面积以及球的表面积公式构造方程即可. 【解答过程】易知圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即， 解得（负舍）. 故选：B. 5．（5分）（23-24高一下·安徽阜阳·期末）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由勾股定理求出，则，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积. 【解答过程】由题意得，得，， 所以两个球冠的表面积之和为， 灯笼中间球面的表面积为． 因为上下两个圆柱的侧面积之和为， 所以围成该灯笼所需布料的面积为． 故选：B. 6．（5分）（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 【解题思路】利用基本事实2,3可得正确的选项. 【解答过程】 对于AB， 因为直线在平面内，且，所以点必在平面内，故A正确； 同理直线在平面内，且，所以点必在平面内，故B正确； 由A，B选项得点在平面内，也在平面内， 对于CD， 由基本事实3得点在交线上，故C正确；直线与直线为相交直线， 故D不正确， 故选：D. 7．（5分）（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】过点D 作于点N，证明平面，得CD与平面ACM 所成的角为，在中，求的余弦值. 【解答过程】如图，过点D 作于点N， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又四边形ABCD为矩形，，，平面AMD， 所以平面AMD，因为平面AMD，所以， 在中，，M为PD 的中点，所以且， 又，平面CDM，所以平面CDM， 因为平面ACM，所以平面平面， 因为平面平面，，平面， 所以平面，所以CD与平面ACM 所成的角为. 因为平面，平面，所以， 在中，. 故选：B. 8．（5分）（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．点共面 B．平面平面 C． D．平面ACD 【解题思路】A.由题意转化为证明平面和平面，即可证明；B.根据面面平行的判断定理转化为证明平面和平面，即可证明；C.由A选项的证明可证明线线垂直；D.利用反证法，说明不成立. 【解答过程】选项A：如图，取中点，连接,,,， 因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点， 所以，,， 因为，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面， 所以四点共面， 由题意知，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为，所以，所以四点共面，故A说法正确； 选项B：由选项A知，又平面，平面，所以平面， 因为，且平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且，所以平面平面，故B说法正确； C选项：由选项A可得平面，又平面，所以，故C说法正确； D选项：假设平面，因为平面，则， 由选项A知四边形是平行四边形，所以四边形是菱形， 与，矛盾，故D说法错误. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 【解题思路】利用旋转体的特征易于判断A,C项，对于B，要明确平面的无限延展性，即可判断其正误；对于D，利用球的截面圆性质即可判断. 【解答过程】对于A，以直角梯形不垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故A错误； 对于B，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故B错误； 对于C，根据圆锥的定义易得C正确； 对于D，由球的截面圆的性质可得,故D正确. 故选：CD. 10．（6分）（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 【解题思路】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆台的母线长和内切球的半径，即可得出结论． 【解答过程】画出圆台的轴截面，如图所示： 则四边形是等腰梯形，且，，内切圆圆心即球心； 所以圆台的母线长为，选项A正确； 连接、和，则是直角三角形，且， 所以球的半径为， 所以圆台的体积为，故选项B错误； 圆台的表面积为，故选项C正确； 球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD． 11．（6分）（24-25高一下·全国·期末）如图，正方体 的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（    ）    A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 【解题思路】对于A，先假设，从而推出与矛盾得解；对于B，由线面平行判定定理即可得解；对于C，直接计算三棱锥的体积即可得出其为定值；对于D，由点A、B到的距离不等即可说明. 【解答过程】连接， 则由正方体性质可知是正三角形，故， 对于A，假设，连接，则由正方体性质得， ， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 则，与矛盾，故A错误；    对于B，因为即，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知点A到平面的距离为， 所以 ， 所以体积是定值，故C正确； 对于D，设的中点是，由正三角形可知点A到直线的距离是， 而点到直线的距离是，显然由正方体结构性质， 又，， 所以的面积与的面积不相等，故D错误． 故选：AD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的立体图形可由平面图形 ③④ 绕轴旋转而成（填序号）． 【解题思路】根据图形判断即可. 【解答过程】题图中的半球可由③绕轴旋转一周而成，也可由④绕轴旋转而成． 故答案为：③④. 13．（5分）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 2 ． 【解题思路】连接相交于，根据线面平行的性质、可得答案. 【解答过程】连接相交于点，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以，即， 可得. 故答案为：. 14．（5分）（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知直三棱柱中，，，，，则三棱柱的外接球的表面积为 ． 【解题思路】根据已知条件可，从而将直三棱柱补为长方体，则长方体的体对角线等于三棱柱的外接球的直径，求出半径，从而可求出外接球的表面积. 【解答过程】因为，，， 所以由余弦定理得， 即， 所以，所以， 所以将直三棱柱补为如图所示的长方体， 则由题意可知长方体的长，宽，高分别为， 长方体的体对角线等于三棱柱的外接球的直径， 设外接球的半径为，则 ，得， 所以三棱柱的外接球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课堂例题）请描述如图所示的几何体是如何形成的． 【解题思路】根据组合体特征确定是由基本空间几何体拼接，还是挖去得到的几何体. 【解答过程】图（1）是由两个圆台拼接而成的组合体； 图（2）是由圆台挖去一个圆锥后得到的几何体； 图（3）是由一个圆柱挖去一个三棱柱后得到的几何体． 16．（15分）（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 【解题思路】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得； （2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积. 【解答过程】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即， 在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取， 过点作轴，并使， 连接，，则即为原来的图形，如图②所示： （2）由（1）知，原图形中，于点，则为原图形中边上的高， 且， 在直观图中作于点， 则的面积， 在直角三角形中，，所以， 所以. 故原图形中边上的高为，原图形的面积为. 17．（15分）（23-24高一下·福建泉州·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．        (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 【解题思路】（1）计算出正方体的体积减去8个小正三棱锥的体积，得到答案； （2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数. 【解答过程】（1）正方体的体积为， 石凳的体积为正方体的体积减去8个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为， 故一个小正三棱锥的体积为， 故石凳的体积为. （2）石凳的表面由6个正方形和8个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为， 则石凳的表面积为， 则粉刷一个石凳需要元. 18．（17分）（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 【解题思路】（1）根据给定条件，利用平面的基本性质作图. （2）证明四边形为梯形，设，再证明，即可得到三线共点． 【解答过程】（1）作直线分别交的延长线于，连接交于， 连接交于点，连接，则五边形即为所求，如图： （2）如图，连接，，，四边形是正四棱柱的对角面，则，， 由Q、R分别为中点，得，则，且， 即四边形为梯形，令，则，而平面， 则平面，同理平面，又平面平面，因此， 所以三线共点. 19．（17分）（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 【解题思路】（1）由题意得到，，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而，进而证明出故，所以为二面角的平面角，求出各边长，求出，进而求出二面角的余弦值. 【解答过程】（1）证明：在直角梯形ABCD中，因为，故，， 因为，故． 所以在折叠后的几何体中，有，， 而，平面， 故平面ABE． （2）如图，在平面AEFD中，过D作且交EF于G． 在平面DBF中，过D作且交BF于H，连接GH． 因为平面平面EBCF，平面平面，平面AEFD， 故平面EBCF， 因为平面EBCF，故，而，故平面DGH， 又平面DGH，故，所以为二面角的平面角， 在平面AEFD中，因为，，故， 又在直角梯形ABCD中，且， 故，故四边形AEGD为平行四边形，故，， 在直角中，， 因为为三角形内角，所以为锐角， ，，解得， 故，故， 因为三角形内角，故为锐角， ，，解得， 所以二面角的平面角的余弦值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 立体几何初步全章综合测试卷（基础篇） 【苏教版（2019）】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）给出下列说法： ①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面； ②一个几何体可以没有顶点； ③一个几何体可以没有棱； ④一个几何体可以没有面， 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（5分）（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（   ） A． B．4 C． D．8 3．（5分）（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 4．（5分）（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（23-24高一下·安徽阜阳·期末）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图2，球冠是由球面被一个平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为R，球冠的高为h，则球冠的面积．已知该灯笼的高为46cm，圆柱的高为3cm，圆柱的底面圆直径为30cm，则围成该灯笼所需布料的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（23-24高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形各边，，，上分别取点，，，，若直线，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A．点必在平面内 B．点必在平面内 C．点必在直线上 D．直线与直线为异面直线 7．（5分）（23-24高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥中，平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，，M为PD的中点，则CD与平面ACM所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，G为的中点，则下列结论错误的是（ ） A．点共面 B．平面平面 C． D．平面ACD 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列选项中，正确的是（    ） A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所得的旋转体是圆锥 D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面 10．（6分）（23-24高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为，下底半径为，球与圆台的两个底面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（   ） A．圆台的母线长为 B．圆台的体积为 C．圆台的表面积为 D．球的表面积为 11．（6分）（24-25高一下·全国·期末）如图，正方体 的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（    ）    A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的立体图形可由平面图形 绕轴旋转而成（填序号）． 13．（5分）（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ． 14．（5分）（23-24高一下·河南洛阳·期中）已知直三棱柱中，，，，，则三棱柱的外接球的表面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高一下·全国·课堂例题）请描述如图所示的几何体是如何形成的． 16．（15分）（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图. (1)画出它的原图形； (2)若的面积是，求原图形中边上的高和原图形的面积. 17．（15分）（23-24高一下·福建泉州·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是60cm．        (1)求石凳的体积； (2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？ 18．（17分）（23-24高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱. (1)请在正四棱柱中，画出经过P、Q、R三点的截面（无需证明）； (2)若Q、R分别为中点，证明：AQ、CR、三线共点. 19．（17分）（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形ABCD中，，，，E，F分别是AB，CD上的点，，，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面平面EBCF（如图乙）． (1)证明：平面ABE； (2)当时，求二面角的余弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$