第13章 立体几何初步全章题型总结【7个知识点14大题型】-2024-2025学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第二册）

第13章 立体几何初步全章题型总结【7个知识点14大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 空间几何体的结构特征】 1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 2．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 【例1】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 【解题思路】根据题意，结合正棱锥的定义和几何结构特征，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B中，各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，所以B错误； 对于C中，各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，所以C错误； 对于D中，底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，所以D正确. 故选：D. 【变式1-1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据棱柱、棱锥、棱台的定义逐项判断即可. 【解答过程】根据简单组合体的概念知：选项A为简单组合体； 根据棱柱的概念可得选项B为棱柱； 根据棱台的定义知选项C为棱台； 根据棱锥的概念知选项D为棱锥. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）给出下列说法： ①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块 其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据棱柱、棱锥、棱台和平面的定义，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于①中，根据棱台的定义，延长棱台的所有侧棱交于一点，所以有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体不一定是棱台，所以①不正确； 对于②中，根据棱锥的定义，有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点的三角形的几何体是棱锥，所以②不正确； 对于③中，根据棱柱的定义，有两个面平行，且该多面体的顶点都在这两个平面上，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱，所以③不正确； 对于④中，一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成8块，所以④不正确. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 【解题思路】根据棱柱、棱锥、棱台的概念结合图形分析可得. 【解答过程】对于A，如图1，三棱锥的四个面都是直角三角形，故A错误；    对于B，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：三棱柱被平面分为两个棱锥，如图2所示，故B正确； 对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误； 对于D，棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥.如：四棱锥被平面SAC分成两个三棱锥，如图3所示，故D错误. 故选：B. 【题型2 旋转体的结构特征】 【例2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【解题思路】由圆台的已知数据，利用勾股定理可求得母线长. 【解答过程】 由已知得：， 所以在直角梯形中，， 所以圆台的母线长为5. 故选：C. 【变式2-1】（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列几何体中为圆柱的是（　　） A．   B．   C．   D．   【解题思路】结合几何体的特征逐个判断即可. 【解答过程】易得A为圆锥，B为圆柱，C为棱台，D为球． 故选：B． 【变式2-2】（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【解题思路】根据圆锥、圆柱、圆台的特点判断各选项即可. 【解答过程】对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确； 对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误； 对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误； 对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误. 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解题思路】根据圆柱，圆锥几何体的特征依次判断即可得答案. 【解答过程】解：对于①，在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点所得直线与旋转轴不一定平行，故错误； 对于②，圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长，故正确； 对于③，圆柱的母线均与旋转轴平行，故圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行，正确. 所以，正确的命题是②③ 故选：B. 【知识点2 直观图的斜二测画法】 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 【题型3 斜二测画法】 【例3】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（    ） A．32 B．16 C．8 D．不同于ABC的答案 【解题思路】由直观图得到平面图形，再求出相应的线段长，最后由面积公式计算可得. 【解答过程】由直观图可得如下平面图形： 其中，轴，且， 即的高为，所以. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知一个水平放置的四边形ABCD，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45º，上底长为1，下底长为2的等腰梯形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意求直观图等腰梯形的面积，结合原图与直观图之间的关系运算求解即可. 【解答过程】由题意可知：等腰梯形的高为， 可得等腰梯形的面积为， 所以四边形ABCD的面积为. 故选：A. 【变式3-2】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，等腰梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（    ） A．6 B． C． D． 【解题思路】首先在直观图中求出，再还原为平面图形，即可求出平面图形的面积. 【解答过程】在直观图中过点作交于点，过点作交于点， 因为等腰梯形中，，则，又， 所以为等腰直角三角形，所以， 将直观图还原为平面图形如下所示： 且，，， 所以. 故选：B. 【变式3-3】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直观图与原图的关系，可确定直观图（三角形）的底和高，从而求得直观图的面积，得出答案. 【解答过程】 如图所示，正三角形的边长为，则高为， 根据斜二测画法的知识，则直观图中三角形的高为，底边长为， 所以直观图的面积为. 故选：C. 【知识点3 平面的基本性质】 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 【题型4 平面的基本性质及推论】 【例4】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．空间中三点确定一个平面 B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面 D．四边形一定是平面图形 【解题思路】ACD选项，可举出反例，B选项，可根据三角形为平面图形得到B正确. 【解答过程】A选项，空间中三点若共线，则不能确定一个平面，A错误； B选项，如图，空间中两两相交且不共点的三条直线可确定三角形， 而三角形为平面图形， 故可确定一个平面，B正确； C选项，若点在此直线上，此时一条直线和一个点不能确定一个平面，C错误； D选项，四边形可能为空间四边形，此时不是平面图形， 如图，三棱锥中，四边形就是空间四边形，D错误. 故选：B. 【变式4-1】（23-24高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题思路】根据平面的有关概念进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】两条相交直线确定一个平面，两条平行直线确定一个平面，①②正确. 在同一直线上的三个点不能确定一个平面，③错误. 直线和直线上一点不能确定一个平面，④错误. 所以正确的个数为个. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【解题思路】根据平面的概念，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确； 对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确； 对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确； 对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．过三点确定一个圆 B．两个相交平面把空间分成四个区域 C．三条直线两两相交，则确定一个平面 D．四边形一定是平面图形 【解题思路】根据确定平面定理以及面面之间的关系逐一判断即可. 【解答过程】A，过不共线三点确定一个圆，错误； B，两个相交平面把空间分成四个区域，正确； C，三条直线两两相交，若第三条在另两条确定的平面内可以确定一个平面， 否则不能确定一个平面，错误； D，四边形可以是平面图形，也可以是空间四边形，错误. 故选：B. 【题型5 空间中的点共线、点（线）共面问题】 【例5】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用空间中平行关系的转化可判断ABC正确，根据异面直线的定义可判断D错误. 【解答过程】在A图中，分别连接， 由正方体可得四边形为矩形，则， 因为为中点，故，则，所以四点共面. 在B图中，设为所在棱的中点，分别连接， 由A的讨论可得，故四点共面， 同理可得，故，同理可得， 故平面，平面，所以六点共面. 在C图中，由为中点可得，同理， 故，所以四点共面. 在D图中，为异面直线，四点不共面. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【解题思路】作出辅助线，得到，P，B，Q四点共面，即平面，又平面，所以；作出辅助线，得到平面，平面，故，同理D正确. 【解答过程】连接，，如图， 因为P，Q分别是棱，的中点， 由勾股定理得， 所以四边形是菱形， 所以，P，B，Q四点共面，即平面. 又平面，所以，故A结论正确，B结论错误. 如图，延长与的延长线交于点F，延长与的延长线交于点E. 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面，所以， 同理，故C，D正确. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【解题思路】连接，利用公理2可直接证得，并且由三角形相似得比例关系，从而求出结果. 【解答过程】连接连接，，    直线平面平面. 又平面，平面平面直线 ∴三点共线. . 故选：B. 【变式5-3】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】推导出，，从而，由此能证明E，F，G，H四点共面；，从而直线EG与直线FH必相交，设交点为P，证明P点在直线上． 【解答过程】如图所示，      E，F分别为AB，AD的中点，∴，， 分别在，CD上，且，∴，， ∴，则E，F，G，H四点共面，说法①正确； ∵，四边形是梯形，不成立，说法②错误； 若直线与直线交于点P，则由，平面，得平面， 同理平面，又平面平面， ∴则P，A，C三点共线，说法③正确； 说法中正确的有2 个. 故选：C. 【知识点4 空间两条直线的位置关系】 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. 2．直线与直线垂直 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 【题型6 空间中直线与直线的位置关系】 【例6】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面； B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线； C．空间三点确定一个平面； D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 【解题思路】根据空间中直线与直线位置关系可判断A；根据异面直线的概念可判断B；根据平面的基本性质可判断C；根据空间异面直线所成角可判断D. 【解答过程】对A，若空间两直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，故A错误； 对B，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，则两直线为异面直线，若交于三个点，则两直线为相交直线，故B正确； 对C，由平面的基本性质可知，空间不共线的三点可以确定一个平面，故C错误； 对D，过直线外一点，有无数条直线与已知直线垂直，故D错误； 故选：B. 【变式6-1】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正方体的性质结合空间中线线位置关系分析判断. 【解答过程】根据题意可知：、与相交，与平行，与异面， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 【解题思路】根据给定条件可得MN//AC，EF//AC，再借助平行公理即可判断作答. 【解答过程】在三棱锥中，M，N分别为棱SA，SC的中点，则有MN//AC， 而E，F分别为棱AB，BC的中点，则有EF//AC， 由平行公理得：MN//EF， 所以直线MN与直线EF平行． 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【解题思路】取BC中点为G，连接DG，AG，通过证明，结合可证明结论； 【解答过程】取BC中点为G，连接DG，AG． 因分别为中点，则． 则四边形是平行四边形，故． 因为，则，所以. 【题型7 异面直线所成的角】 【例7】（23-24高一下·江苏无锡·期中）正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用正方体的性质，通过平行至相交直线所成角，再利用余弦定理即可求解. 【解答过程】 如图，设为底面中心，为上底面中心，易得， 所以异面直线与所成的角就是或其补角， 设正方体的棱长为，可得，，， 由余弦定理得：， 所以，异面直线与所成的角是， 故选：C. 【变式7-1】（23-24高一下·江苏镇江·期末）正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意画出图形，数形结合可得答案. 【解答过程】如图，连接，，， 因为，分别为棱，中点，所以，所以为与所成角，因为在正方体中，， 所以为等边三角形，所以， 故选：C. 【变式7-2】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】记的中点为，连接，在等腰三角形中即可得解. 【解答过程】记的中点为，连接， 因为为棱的中点，所以， 易知， 所以为等腰三角形，为锐角， 所以即为异面直线与所成角， 记的中点为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【变式7-3】（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）以P为顶点，圆O为底面的圆锥中，轴截面为等边三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】首先得出异面直线OM与AP所成角即为（或其补角），在中利用余弦定理求解即可. 【解答过程】 如图，过点A作，交圆O于点N，连接ON，PN， 则即异面直线OM与AP所成角或其补角， 设 ,可知, 则， 因为轴截面PAB为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， , 所以异面直线OM与AP所成角的余弦值为. 故选：D. 【知识点5 直线与平面的位置关系】 1．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【题型8 直线与平面的位置关系】 【例8】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】对于A，根据已知条件推出或，对于B，可以推出或异面，对于C，可以推出或，对于D，根据判定定理可以得到结论. 【解答过程】对于A，由，则或，故A错误； 对于B，，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，，则或，故C错误； 对于D，，则，故D正确. 故选：D. 【变式8-1】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解题思路】ABD可举出反例；C选项，利用线面平行的性质及线面垂直的性质得到答案. 【解答过程】A选项，若，，则或相交或异面，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，若，不妨设，则， 又，，则，所以，C正确； D选项，若，，则，或相交，D错误. 故选：C. 【变式8-2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点. (1)若底面是平行四边形，求证：平面； (2)若底面是菱形，证明：. 【解题思路】（1）连结交于点，连接，证明，由线线平行证线面平行即得； （2）先证，再证，得平面，即得. 【解答过程】（1） 如图，连结交于点，连接. 因是平行四边形，则为的中点，又因为的中点，故. 又因为面，面，所以平面； （2）因是菱形，则， 又平面，平面，则， 因平面，则平面， 又平面，故. 【变式8-3】（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习） 如图，在正三棱柱中， 点 D在边上， . (1)求证：平面 (2)如果点E是的中点， 求证：平面 【解题思路】（1）依据条件证明，结合即可根据线面垂直判定定理得证. （2）由（1）得为中点，则证明即可由线面平行判定定理得证平面. 【解答过程】（1）由正三棱柱性质得面，又面, 所以，又，，、平面， 所以平面. （2）由（1）平面，平面， 所以，又由题是正三角形，故为中点， 又E是的中点，所以,又由棱柱性质可知， 所以四边形是平行四边形， 所以，且，由棱柱性质可知，且， 故，且， 所以四边形是平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 【知识点6 平面与平面的位置关系】 1．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. 2．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 3．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 4．二面角 (1)二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 【题型9 平面与平面的位置关系】 【例9】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【解题思路】本题考查空间内线线、线面和面面位置关系的判定及性质，根据判定定理和性质定理依次判断即可. 【解答过程】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，，，则或､相交，B错； 对于C选项，若，，，则或､相交，C错； 对于D选项，若，，则，因为，则，D对. 故选：D. 【变式9-1】（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知三条直线，，和三个平面，，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解题思路】由线面位置关系和性质即可判断ABC；由面面垂直的判定定理即可判断D. 【解答过程】对于A，若，，则，或与相交，或与异面.故A错误； 对于B，若，，则，或，或与相交.故B错误； 对于C，若，，则，或与相交.故C错误； 对于D，若，则，又，则.故D正确. 故选：D. 【变式9-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【解题思路】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【解答过程】（1）依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 【变式9-3】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 【解题思路】（1）根据题意可得，，可得平面PAC，即可得面面垂直； （2）取的中点，可证平面CMN∥平面PAE，结合平行性质分析求解. 【解答过程】（1）因为平面ABCD，平面ABCD，则， 又因为底面ABCD为菱形，则， 且，平面PAC，可得平面PAC， 由平面，可得平面平面PAC. （2）存在，理由如下： 取的中点，连接， 则∥，则平面PAE，平面PAE，则∥平面PAE， 因为分别为的中点，则∥，， 可知为平行四边形，则∥， 且平面PAE，平面PAE，则∥平面PAE， 又因为，平面CMN，可得平面CMN∥平面PAE， 由题意可知：平面，， 若CF∥平面PAE，则平面CMN，可知点即为点N， 所以存在点F为的中点，使得CF∥平面PAE. 【知识点7 空间图形的表面积与体积】 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 【题型10 空间几何体的表面积】 【例10】（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用圆锥表面积以及球的表面积公式构造方程即可. 【解答过程】易知圆锥的表面积为，球的表面积为， 故，即， 解得（负舍）. 故选：B. 【变式10-1】（2024高二上·湖南岳阳·竞赛）正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设正方体的棱长为，可求出正四面体的棱长，继而求得两种几何体的表面积即可. 【解答过程】正方体的棱长为，此时正四面体的棱长为， 则正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 两者之比为， 故选：B. 【变式10-2】（23-24高二上·北京昌平·期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用侧面与下底面的夹角的正切值均为，求得正棱台的高，进而求得其斜高，结合侧面积公式，即可求解. 【解答过程】设上底面为，下底面为，取的中点，的中点，连接， 设上底面的中心为，下底面的中心为，连接， 过点作于点，如图所示， 因为， 所以即为侧面与下底面夹角的平面角，即， 又因为， 所以，所以， 所以， 所以方亭的侧面积为. 故选：B. 【变式10-3】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用线面角的正切求出，再求出正三棱柱的外接球半径，再得出球的表面积即可. 【解答过程】在正三棱柱中，取的中点，连接，如图， 则， 由平面，平面，得，又， 平面，因此平面， 所以是直线与平面所成的角， 则，由，得，而， 则，， 因此正三棱柱的外接球球心到平面的距离， 而的外接圆半径， 所以正三棱柱的外接球的半径， 所以. 故选：D. 【题型11 空间几何体的体积】 【例11】（2024·江苏淮安·模拟预测）大小不同的两个圆台的底面圆周都在同一个球面上，并且两个圆台的公共底面圆周是球的大圆，若小圆台的高为，大圆台的高为，球的半径为，且，则小圆台与大圆台的体积比为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】作圆台与圆公共的轴截面，根据几何关系可得大小圆台的上地半径比例，进而根据圆台公式求解即可. 【解答过程】作圆台与圆公共的轴截面，设. 易得小圆台上底的半径，大圆台上底的半径， 则，. 故. 故选：D. 【变式11-1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 【解题思路】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得该方斗杯可盛该种酒的总容积. 【解答过程】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 则，则， 所以，，所以，该方斗杯可盛该种酒的总容积为. 故选：C. 【变式11-2】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据棱台的体积公式，求出，即可解出. 【解答过程】设四棱台的高度为，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6， 则， 所以. 故选：D. 【变式11-3】（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）已知正方体的棱长为，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由题意结合图形找出球心并计算出四面体外接球的半径，进而求出外接球的体积即可. 【解答过程】 如图：取中点，连结， 因为的棱长为的正方体， 所以，且， 所以四面体的外接球的球心为为，且外接球半径， 所以四面体的外接球的体积. 故选：D. 【题型12 几何体的截面问题】 【例12】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【解题思路】根据题意，结合面面平行的性质，证得和，进而得到答案. 【解答过程】在正方体中，可得平面平面， 且平面平面，平面平面， 所以，同理可证：， 所以四边形的形状一定为平行四边形. 故选：A. 【变式12-1】（24-25高二上·四川乐山·期末）在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，做出截面，然后分别计算各边长即可得到结果. 【解答过程】 连接，过点做交于点，连接，即可得到截面， 因为为中点，，所以， 因为，则，且， ， 所以截面的周长为 故选:D. 【变式12-2】（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【解题思路】取的中点P，连接PQ、、、和，确定，，得到答案. 【解答过程】如图所示，取的中点P，连接PQ、、、和， ，分别是，的中点，故，且， ，故，，故四点共面， 故四边形是过A，Q，三点的截面，且四边形是梯形． 故选：D． 【变式12-3】（23-24高一下·四川凉山·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（    ） A． B．5 C． D． 【解题思路】连接BE，BF，可得正方体过点E，F，的截面为平行四边形，判断出为菱形，即可求出面积． 【解答过程】连接BE，BF，取的中点G，连接GF，， ∵，∴为平行四边形，∴， ∵，∴为平行四边形，∴， ∴，∴为平行四边形，即四点共面， ∴正方体过点E，F，的截面为平行四边形， 又，则为菱形， ∵， ∴菱形的面积． 故选：C． 【题型13 点、线、面的距离问题】 【例13】（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）在三棱锥中，，，，，平面，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意先求出，接着证明所以平面从而得到，从而得点到的距离即为，求出即可得解. ，故点到的距离 【解答过程】由题意结合余弦定理得， 所以，所以，即， 又因为平面，平面，所以， 又，平面，    所以平面，又平面， 所以，又，且由线面垂直性质有， 所以点到的距离即为. 故选：D. 【变式13-1】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（    ）    A． B．2 C． D． 【解题思路】利用线面角的定义求得，进而求得，再利用线面垂直的判定与性质定理证得平面，从而得解. 【解答过程】在平面中过作，垂足为，    因为平面， 所以为与平面所成角，则， 又平面，所以，又，所以， 所以，， 因为，则， 因为平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以为点到平面的距离，即所求为. 故选：C. 【变式13-2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在正方体中，，分别是，的中点，． (1)若中点为，求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【解题思路】（1）先证线面平行，再由面面平行的判定定理得证； （2）根据等体积法求点到面的距离即可得解. 【解答过程】（1）∵为的中点，是的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， ∵是的中点，为的中点，∴， ∵，， ∵平面，，平面，∴平面， ∵，平面，，∴平面平面 （2）根据题意可得， ∴， ， 设点到面的距离为， 根据等体积法可得， ∴，解得， ∴点到平面的距离为. 【变式13-3】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且. (1)求证：平面平面； (2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【解题思路】（1）先证明四棱锥为正四棱锥，且所有棱长均相等，然后再证明平面，即可得证面面垂直； （2）可利用第一问的结论，把点到平面的距离等价转化到点到平面的距离的一半，即等于，然后再利用体积去求出这些相等的棱长，就可以得到答案;也可以利用等体积法去求点到平面的距离. 【解答过程】（1） 如图，连接，由得，四边形是菱形， 再由得，四边形是正方形，设正方形的中心为， 由，可知， 由底面是正方形可知：，又因为， 所以，即， 又因为，所以，即， 又因为平面，平面，， 所以平面， 即可得到四棱锥为正四棱锥，且所有棱长均相等， 所以，所以. 在中，，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）解法一： 由题意，得正方形的面积是梯形面积的. 因为四棱锥的体积为，所以正四棱锥的体积为. 设正四棱锥的棱长为，则正方形的面积为. 设与交于点，连接，则为正四棱锥的高. 因为，所以， 所以正四棱锥的体积为，解得. 由（1），知平面，所以点到平面的距离为2. 易知 ，且，所以四边形是平行四边形， 所以 ，又平面平面，所以 平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 又是的中点，所以点到平面的距离等于点到平面距离的， 即点到平面的距离等于点到平面距离的， 所以点到平面的距离为1. 解法二： 由题意，知四棱锥的体积为，解得， 所以. 易知 ，且，所以四边形是平行四边形，所以. 在中，易得，所以在中，， 所以， 所以.连接，则. 设点到平面的距离为，由， 得，即，解得， 所以点到平面的距离为1. 【题型14 空间角问题】 【例14】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】设的中点为E，过点A作，说明为二面角的平面角；证明平面，从而证明平面，解直角三角形，即可求得答案. 【解答过程】设的中点为E，连接，过点A作，垂足为F， 因为均为等边三角形，故， 故为二面角的平面角；    又平面，故平面， 而平面，故， 又，平面， 故平面，则点A到平面的距离为， 又为等边三角形，边长为2，故， 故在中，，则，即， 故二面角的大小为， 故选：A. 【变式14-1】（2024高一下·江苏·专题练习）已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（ ）． A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答. 【解答过程】取的中点，连接，    因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有， 又是等边三角形，则， 从而为二面角的平面角，即， 显然平面，于是平面， 又平面，因此平面平面， 因为平面平面，直线平面， 则直线在平面内的射影在直线上， 从而为直线与平面所成的角， 不妨设，则， 在中，由余弦定理得： ， 由正弦定理得，即， 显然是锐角，， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为. 故选：C. 【变式14-2】（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【解题思路】（1）取的中点，利用线面垂直的性质、异面直线垂直推理即得. （2）（ⅰ）利用线面垂直的判定性质证得，再由异面直线夹角余弦求出，确定线面角并求出大小；（ⅱ）过作于，过作交于，再借助图形求出二面角的余弦值. 【解答过程】（1）取的中点，连接，由平面，，得平面， 而平面，则，由为的中点，得， 则四边形是平行四边形，因此， 所以. （2）（ⅰ）由为的中点，，则，而， 平面，于是平面，平面， 则，由，得直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为， 在中，，而， 解得，则，由平面，得直线与平面所成角为， 显然，则， 所以直线与平面所成角为. （ⅱ）过作于，由（ⅰ）可得，为等腰三角形， ，，由三角形面积法得， 由勾股定理得，过作交于，与延长线交于点， 在直角梯形中，，则， ，显然∽，则， 于是，，为线段的中点， 显然是二面角的平面角，在正中，， 由平面，平面，则，平面， 于是平面，而平面，则，， 所以二面角的余弦值. 【变式14-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D．    (1)求证：平面； (2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）通过几何图形的性质证明即可； （2）构造线面平行，求得F到平面的距离结合三棱锥的体积公式计算即可； （3）根据二面角的定义结合（1）作出其平面角，解三角形即可. 【解答过程】（1）    如图所示，连接，由题意可知面ABC，四边形是菱形. ∵面ABC， ∴， 又∵D是AC中点，是正三角形， ∴， 显然面， ∴面， ∵面， ∴， 在菱形中，有， 而D，E分别是线段的中点，则，∴, ∵面， ∴面; （2）    如图所示，取的中点S，连接，过F作交于I， 过I作分别交的延长线于H、N， 易知分别是的中点， 则由条件可得，面，面，故面， 即到面的距离等于到面的距离， 由（1）得，面，所以面，是直角三角形， 在菱形中，易得， 所以，即到面的距离为， ，所以； （3）      如图所示，假设存在G点满足题意，取的中点S，连接， 过G作交于M，连接MD， 易得，面，面，故面， 又结合（1）的结论有，故二面角为， 所以， 在菱形中，作，易得， 易知为直角三角形，故. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 立体几何初步全章题型总结【7个知识点14大题型】 【苏教版（2019）】 【知识点1 空间几何体的结构特征】 1．棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 定义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱. 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥. 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台. 相关概念 (1)底面(底)：两个互相平行的面； (2)侧面：其余各面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：侧面与底面的公共顶点. (1)底面(底):多边形面； (2)侧面：有公共顶点的各个三角形面； (3)侧棱：相邻侧面的公共边； (4)顶点：各侧面的公共顶点. (1)上底面：原棱锥的截面； (2)下底面：原棱锥的 底面 . (3)侧面：其余各面. (4)侧棱：相邻侧面的公共边； (5)顶点：侧面与底面的公共顶点. 图形及表示 棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' (或六棱柱AD'). 棱锥S-ABCD(或四棱锥 S - A C ) 棱台ABCD-A'B'C'D' 结构特征 (1)底面互相平行且全等； (2)侧面都是平行四边形； (3)侧棱都相等，且互相平行. (1)底面是多边形； (2)侧面都是三角形； (3)侧面有一个公共顶点. (1)上、下底面互相平行，且是相似图形； (2)各侧棱的延长线交于一点； (3)各侧面为梯形. 分类 棱柱的底面是几边形就叫几棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱锥的底面是几边形就叫几棱锥，例如，三棱锥、四棱锥…… 由几棱锥截得的就叫几 棱台，例如，由三棱锥截得的棱台叫三棱台. 2．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球 定 义 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱. 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 叫做圆锥. 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部 分叫做圆台. 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球. 相关概念 (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. (1)轴：旋转轴. (2)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面. (3)侧面：直角三角形的斜边绕轴旋转形成的曲面. (4)母线：无论旋转到什么位置，斜边都叫做圆锥的母线 (5)顶点：母线的交点. (1)上底面：原圆锥的截面. (2)下底面：原圆锥的底面. (3)轴：上、下底面圆心的连线所在的直线. (4)侧面：原圆锥的侧面被平面截去后剩余的曲面. (5)母线：原圆锥的母线被平面截去后剩余的部分. (1)球心：半圆的圆心. (2)半径：连接球心和球面上任意一点 的线段. (3)直径：连接球面上两点并且经过球心的线段. 图形及表示 圆柱OO' 圆锥SO 圆台OO' 球O 结 构 特 征 (1)圆柱两个底面是圆面而不是圆. (2)圆柱有无数条母线，圆柱的任意两条母线互相平行(与轴平行)且相等. (3)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的矩形. (1)底面是圆面. (2)有无数条母线，长度相等且交于顶点. (3)平行于底面的截面是与底面大小不同的圆面，过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三角形. (1)上、下底面是互相平行且不相等的圆面. (2)有无数条母线，等长且延长线交于一点. (3)平行于底面的截面是与两底面大小都不等的圆面，过轴 的截面(轴截面)是全等的等腰梯形. (1)球的表面叫做球面，所以球面是旋转形成的曲面.另外，球面也可看成空间中，到定点(球心)的距离等于定长(半 径)的所有点的集合. (2)球的截面都是圆面. 棱柱与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为锥体，棱台与圆台统称为台体. 【题型1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征】 【例1】（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 【变式1-1】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）下列几何体为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）给出下列说法： ①有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 ④一个圆柱形蛋糕，切三刀最多可切成7块 其中正确说法的个数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 【题型2 旋转体的结构特征】 【例2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知圆台的上下底面圆的半径分别为2和5，高为4，则这个圆台的母线长为（    ） A．3 B． C．5 D． 【变式2-1】（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列几何体中为圆柱的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式2-2】（23-24高二上·上海奉贤·期中）下列命题正确的是（    ） A．以直角三角形的一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B．以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 【变式2-3】（24-25高一·全国·课后作业）有下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的直线距离是圆柱的母线长；②圆锥顶点与底面所圆周上任意一点的连线是圆锥的母线长；③圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.其中正确的命题是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【知识点2 直观图的斜二测画法】 1．空间几何体的直观图 (1)直观图的概念 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.画立体图形的直观图，实际上是把不完全 在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示.因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同. 在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形. (2)斜二测画法及其步骤 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其 步骤是： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x'轴和y' 轴，两轴相交于点O'，且使∠x'O'y'=(或)，它们确定的平面表示水平面. ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别面成平行于x'轴或y'轴的线段. ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度 为原来的一半. 2．平面图形的面积与其直观图的面积间的关系 (1)以三角形为例，则有.如图所示，，它的直观图的面积 . (2)平面多边形的面积与其直观图的面积间的关系：=.即若记一个平面多边形的面积为S原，由斜二测画法得到的直观图的面积为S直，则有S直=S原. 【题型3 斜二测画法】 【例3】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图是用斜二测画法画出的直观图，则的面积是（    ） A．32 B．16 C．8 D．不同于ABC的答案 【变式3-1】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知一个水平放置的四边形ABCD，用斜二测画法画出它的直观图是一个底角为45º，上底长为1，下底长为2的等腰梯形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，等腰梯形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（    ） A．6 B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知正三角形边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【知识点3 平面的基本性质】 1．平面 (1)平面的概念 生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平 面”就是从这样的一些物体中抽象出来的. (2)平面的画法 ①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面. ②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所 示，常把平行四边形的一边画成竖向. 2．点、直线、平面的位置关系的符号表示 点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的 集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“”“”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“”“”表示. 3．三个基本事实及其推论 (1)三个基本事实及其表示 基本事实 自然语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面. A,B, C三点不共线存在唯一的平面α使A,B,C∈α. 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内. A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α. 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P ∈α ,且 P ∈β α∩β=l,且P∈l. (2)三个基本事实的作用 基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面. 基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面. 基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点. (2)基本事实1和2的三个推论 推论 自然语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 点A∉aa与A共面于平面α，且平面唯一. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. a∩b=Pa与b共面于平面α，且平面唯一. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 直线a//b直线a,b共面于平面α，且平面唯一. 【题型4 平面的基本性质及推论】 【例4】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A．空间中三点确定一个平面 B．空间中两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点能确定一个平面 D．四边形一定是平面图形 【变式4-1】（23-24高一下·河北石家庄·期中）有下列四个判断：①两条相交直线确定一个平面；②两条平行直线确定一个平面；③三个点确定一个平面；④一条直线和一点确定一个平面.正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】（24-25高一下·全国·课后作业）下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【变式4-3】（24-25高一下·江苏镇江·阶段练习）下列命题中正确的是（    ） A．过三点确定一个圆 B．两个相交平面把空间分成四个区域 C．三条直线两两相交，则确定一个平面 D．四边形一定是平面图形 【题型5 空间中的点共线、点（线）共面问题】 【例5】（23-24高一下·江苏·阶段练习）下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·河南洛阳·阶段练习）如图，在正方体中，P，Q分别是棱，的中点，平面平面，则下列结论错误的是（    ） A．过点B B．不一定过点B C．的延长线与的延长线的交点在上 D．的延长线与的延长线的交点在上 【变式5-2】（23-24高一下·河南开封·期末）如图，在正方体中，为棱的靠近上的三等分点.设与平面的交点为，则（    ）        A．三点共线，且 B．三点共线，且 C．三点不共线，且 D．三点不共线，且 【变式5-3】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，分别在，CD上，且则下面几个说法中正确的个数是（    ）    ①E，F，G，H四点共面；②③若直线EG与直线FH交于点P，则P，A，C三点共线． A．0 B．1 C．2 D．3 【知识点4 空间两条直线的位置关系】 1．直线与直线平行 (1)基本事实4 ①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行. ②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c. ③作用：判断或证明空间中两条直线平行. 2．直线与直线垂直 (1)两条异面直线所成的角的定义 如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，我们把直线a'，b'所成的 角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)异面直线所成的角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，即的范围是<. (3)两条异面直线垂直的定义 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记 作a⊥b. 【题型6 空间中直线与直线的位置关系】 【例6】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面； B．与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线； C．空间三点确定一个平面； D．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直． 【变式6-1】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图，在正方体中，与平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一·全国·课后作业）如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，是等腰直角三角形，都垂直于平面，且为线段的中点．证明：. 【题型7 异面直线所成的角】 【例7】（23-24高一下·江苏无锡·期中）正方体中，为的中点，则直线与直线所成角为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一下·江苏镇江·期末）正方体中，，分别为棱，中点，则与所成角为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）在正三棱柱中，，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）以P为顶点，圆O为底面的圆锥中，轴截面为等边三角形，M为底面圆O上一点，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【知识点5 直线与平面的位置关系】 1．直线与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”. (2)性质定理 ①自然语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”. 2．直线与平面垂直 (1)定义 如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l⊥.直线l叫 做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足. (2)点到平面的距离 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度叫做这个点到该平面的距离. 3．直线与平面垂直的判定定理 (1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直． (2)图形语言：如图所示． (3)符号语言：a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”. 4．直线与平面所成的角 (1)定义 ①斜线和斜足：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的 斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足. ②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的 直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. ③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所 成的角. (2)直线与平面所成的角的范围 ①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是. ②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是. ③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角的范围是<. ④直线与平面所成的角的取值范围是. 5．直线与平面垂直的性质定理 (1)直线与平面垂直的性质定理 ①自然语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． ②图形语言：如图所示． ③符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. (2)性质定理的作用 ①由线面垂直证明线线平行. ②构造平行线. 【题型8 直线与平面的位置关系】 【例8】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式8-1】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式8-2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥中， 平面，点是的中点. (1)若底面是平行四边形，求证：平面； (2)若底面是菱形，证明：. 【变式8-3】（23-24高一下·江苏连云港·阶段练习） 如图，在正三棱柱中， 点 D在边上， . (1)求证：平面 (2)如果点E是的中点， 求证：平面 【知识点6 平面与平面的位置关系】 1．平面与平面平行 (1)判定定理 ①自然语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语售 . 该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”. (2)判定定理的推论 ①自然语言 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行. ②图形语言 ③符号语言 . (3)性质定理 ①自然语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”. 2．面面垂直的定义及判定定理 (1)平面与平面垂直的定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂 直，记作α⊥β. (2)两个平面互相垂直的画法 如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直. (3)平面与平面垂直的判定定理 ①自然语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . 该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”. 3．平面与平面垂直的性质定理 (1)平面与平面垂直的性质定理 ①自然语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直. ②图形语言 ③符号语言 . (2)性质定理的作用 ①证明线面垂直、线线垂直； ②构造面的垂线. 4．二面角 (1)二面角的定义 ①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面. ②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个 半平面叫做二面角的面. (2)二面角的表示 ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角α-AB-β，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α -l-β，如图(1). ②若在α，β内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这 个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2). 【题型9 平面与平面的位置关系】 【例9】（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知是两条不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式9-1】（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知三条直线，，和三个平面，，，则（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式9-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． (1)求证：为线段中点； (2)若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【变式9-3】（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 【知识点7 空间图形的表面积与体积】 1．多面体的侧面积、表面积和体积 多面体 图形 侧面积与表面积 体积 棱柱 直棱柱的侧面展开图是矩形， S直棱柱侧=Ch(C为底面周长，h为高)， S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底为底面面积) V柱= S底h ( S底为底面面积，h为高) 棱锥 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，S正棱锥侧Ch' (C为底面周长，h'为斜高)，S正棱锥表=S正棱锥侧+S底(S底为底面面积) ( S底为底面面积，h为高) 棱台 正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形，S正棱台侧(C+C')h'(C'、C分别为上、下底面的周长，h'为斜高)，S正棱台表=S正棱台侧+S+S′(S′、S分别为上、下底面面积) (S'、S分别为上、下底面面积，h为棱台的高) 2．旋转体的侧面积、表面积和体积 旋转体 图形 侧面积与表面积 体积 圆柱 圆柱的侧面展开图是矩形，S圆柱侧=2πrl，表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆锥 圆锥的侧面展开图是扇形，S圆锥侧=πrl，表面积 S=πr2+πrl=πr(r+l) 体积V= S底h ( S底为底面面积，h为高) 圆台 圆台的侧面展开图是扇环，S圆台侧=π(r1+r2)l， 表面积 体积 (S'、S分别为上、下底面面积，h为圆台的高) 球 半径为R的球的表面积S=4πR2 半径为R的球的体积 【题型10 空间几何体的表面积】 【例10】（23-24高一下·江苏·期末）若底面半径为，母线长为的圆锥的表面积与直径为的球的表面积相等，则（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（2024高二上·湖南岳阳·竞赛）正方体的八个顶点中，有四个恰好为正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高二上·北京昌平·期末）《九章算术》中的方亭指的是正四面形棱台体建筑物，正四面形棱台即今天的正四棱台.如图，某方亭的上底面与下底面的边长分别为4和8，每个侧面与下底面夹角的正切值均为，则方亭的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，直线与平面所成角的正切值为，则正三棱柱的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【题型11 空间几何体的体积】 【例11】（2024·江苏淮安·模拟预测）大小不同的两个圆台的底面圆周都在同一个球面上，并且两个圆台的公共底面圆周是球的大圆，若小圆台的高为，大圆台的高为，球的半径为，且，则小圆台与大圆台的体积比为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（    ）      A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，，图1中水面高度恰好为棱台高度的，图2中水面高度为棱台高度的，若图1和图2中纯净水的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）已知正方体的棱长为，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【题型12 几何体的截面问题】 【例12】（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在正方体中，作截面如图交，，，分别于，，，，则四边形的形状为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．梯形 【变式12-1】（24-25高二上·四川乐山·期末）在长方体中，若分别为的中点，过点作长方体的一截面，则该截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式12-2】（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（    ）    A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【变式12-3】（23-24高一下·四川凉山·期末）在棱长为2的正方体中，E，F分别为，的中点，则正方体过点E，F，的截面面积为（    ） A． B．5 C． D． 【题型13 点、线、面的距离问题】 【例13】（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）在三棱锥中，，，，，平面，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高二下·江苏连云港·阶段练习）在四棱锥中，平面，，，与平面所成角为，底面为直角梯形，，则点到平面的距离为（    ）    A． B．2 C． D． 【变式13-2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在正方体中，，分别是，的中点，． (1)若中点为，求证：平面平面； (2)求点到平面的距离． 【变式13-3】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在四棱锥中，为的中点，连接，且. (1)求证：平面平面； (2)若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【题型14 空间角问题】 【例14】（24-25高一下·陕西咸阳·阶段练习）如图，边长为2的两个等边三角形，若点到平面的距离为，则二面角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【变式14-1】（2024高一下·江苏·专题练习）已知为等边三角形，为等腰直角三角形，为斜边，若二面角为，则直线与平面所成角的正切值为（ ）． A． B． C． D． 【变式14-2】（23-24高一下·江苏南通·期中）如图，在四棱锥中，平面，，且，是的中点． (1)证明：； (2)若，直线与直线所成角的余弦值为． （ⅰ）求直线与平面所成角； （ⅱ）求二面角的余弦值． 【变式14-3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段的中点，在平面内的射影为D．    (1)求证：平面； (2)若点F为棱的中点，求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点G，使二面角的大小为，若存在，请求出的长度，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$