专题03 平面与平面的位置关系知识归纳与题型突破（9类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第二册）

专题03 平面与平面的位置关系知识归纳与题型突破 知识点1 两个平面平行 1.平面与平面平行的定义： 2.两个平面平行的判定定理： （1）定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 （2）图形语言： （3）符号语言：a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β （3）作用：证明两个平面平行 3.两个平面平行的性质定理 （1）定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）图形语言： （3）符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a∥b__ （4）作用：证明两直线平行 4.线线平行与面面平行的关系： 5.平行平面之间的距离： 知识点2 平面与平面垂直 1. 二面角与直二面角： （1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. 如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角. （3）范围：[0，π] （4）记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q （5）度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 （6）两个平面垂直：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直. 2.两个平面垂直的判定定理： （1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β （4）作用：判断两平面垂直 3. 两个平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α （4）作用：证明直线与平面垂直 4.线线垂直与面面垂直的关系： 题型一 平行、垂直关系命题正误的判定 【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、判断面面是否垂直 【分析】根据空间中线面、面面的位置关系一一判断即可. 【详解】对于A：若，，则与平行或相交，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则与平行或相交，故C错误； 对于D：若，，根据面面垂直的判定定理可得，故D正确. 故选：D 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质判断A错误；根据面面垂直的判断定理判断B错误；举反例判断C错误；根据面面垂直的判定定理判断D正确. 【详解】对于A，则错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误； 对于B，若则错误，如图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误； 对于C，若则，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β 为地面，满足但α与γ相交，故C错误； 对于D，因为由面面垂直的判定定理得：，故D正确． 故选：D． 【变式1-2】（浙江省宁波三锋教研联盟2021-2022学年高一下学期期中）设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 【答案】D 【知识点】线面关系有关命题的判断、证明面面平行 【分析】结合点线面的位置关系对选项一一判断，即可得出结论. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，，则或与是异面直线，故B错误； 对于C，如图所示，，，，，但，故C错误； 对于D，因为，所以过有唯一平面， 又，，所以， 又，，所以， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】（多选）（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知直线和平面，则下列命题中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】判断线面平行、判断面面平行、判断线面是否垂直、判断面面是否垂直 【分析】根据线面，面面平行和垂直的判定定理及性质定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则存在直线使得， 又因为若，所以， 又，所以，故C正确； 对于D，若，则平行或相交，故D错误. 故选：AC. 题型二 面面平行的判定与证明 【例2】（2023春·全国·高一专题练习）（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明; （2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面. 【答案】（1）见解析； （2）见解析. 【分析】（1）写出面面平行的判定定理，然后用反证法证明即可； （2）根据为正方体，，为，中点得到，，然后利用面面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）面面平行的判定定理：如果一个平面内两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行，即，，，，， 证明：假设， ∵，，， ∴，同理可得，， ∴，与矛盾，所以不成立， 所以. （2） 取中点，连接，，， ∵为正方体，，为，中点， ∴，，，， ∴四边形，为平行四边形，，， ∵平面，平面，平面，平面， ∴∥平面，∥平面， ∵平面，平面，， ∴平面∥平面. 【变式2-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①；②平面；③平面；④平面平面． 以上四个命题中，正确命题的序号是    【答案】②③④ 【知识点】判断线面是否垂直、判断面面平行、判断线面平行、棱柱的结构特征和分类 【分析】还原几何体，根据正方体的结构特征及线面、面面平行的判定、线面垂直的判定判断各项的正误即可. 【详解】将展开图还原为几何体如下，    由正方体的结构特征，异面，故不平行，①错； 且，面，面，则平面成立，②对； 有，面，面，则， 都在面，则面，即平面，③对； 易得，而面，面，则面， 同时有，同理易得面，又都在面， 所以平面平面，④对. 故答案为：②③④ 【变式2-2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面平行 【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面. （2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面. 【详解】（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面. （2），分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 【变式2-3】（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明面面平行、证明线面平行、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）证明出，得到四点共面； （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行. 【详解】（1）∵，分别是，的中点， ∴是的中位线，∴， 又在三棱柱中，，∴， ∴，，，四点共面. （2）∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 又，是，的中点，所以，又. 所以， ∵平面，平面，∴平面. 又，平面， 所以平面平面. 题型三 平面与平面平行的性质及应用 【例3】（2023·高一课时练习）如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长． 【答案】，， 【分析】连接交平面于点，连接，，利用面面平行的性质定理得到，，再根据三角形相似得到对应边的比例，利用相似比例即可得到答案. 【详解】连接交平面于点，连接，， 因为平面平面，平面平面于，平面平面于， 所以，所以，， 又因为，所以， 所以， 因为，，所以，， 所以， 因为平面平面，平面平面于，平面平面于， 所以，所以，， 又因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，，. 【变式3-1】（2019高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【答案】D 【知识点】面面平行证明线线平行 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. 【详解】∵平面∥平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ∴:， 又，∴， ∴:. 故选：D 【变式3-2】（19-20高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】面面平行证明线线平行 【分析】延长交于，结合面面平行性质定理证明，证明，结合相似三角形性质证明结论. 【详解】解析如图所示，延长交于，连接， 则，所以. 因为平面平面，平面平面， 平面平面， 所以，又四边形是平行四边形， 所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以， 故选：B.    【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，直线被三个平行平面所截．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】讨论共面或异面两种情况，由面面平行的性质证线线平行，进而得到线段的比例关系即可. 【详解】证明：①当共面时，连接，则，从而． ②当异面时，连接，设，连接． 因为，平面，平面，所以，则． 同理可证，所以，从而． 综上，． 题型四 求二面角（函数值）大小 【例4】（24-25高二上·山东青岛·期末）《九章算术》中记载了一种名为“刍甍”的空间几何体．如图，几何体中，四边形矩形，，，和都是正三角形，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二面角 【分析】根据二面角平面交点的定义，结合等边三角形以及等腰梯形的性质，根据锐角三角形定义，可得答案. 【详解】分别取、的中点为、，在平面内分别过、作的垂线， 垂足分别为、，如下图： 因为四边形为矩形，则且， 又因为、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，则且， 因为，则， 因为，则，故、、、四点共面， 在等边中，为的中点，则，同理可得， 所以，为二面角的平面角， 由等边与等边的边长都为，且、分别为、的中点， 则， 在等腰梯形中，因为，，， 则四边形为矩形，则，， 在和中，，， 所以，，则， 在中，， 所以平面与平面的夹角余弦值为. 故选：A. 【变式3-1】（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二面角 【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】设异面直线与所成的角为， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于， 所以面与平面的夹角为. 故选：C 【变式4-2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）在正四棱锥中，记侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的二面角的平面角为，侧面等腰三角形的底角为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求二面角、求线面角 【分析】作图，找到所求的四个角，根据的大小关系，可比较的大小关系，并发现它们都是锐角，根据定义作出相邻两侧面所成的二面角的平面角，利用等面积法求出的长，利用余弦定理计算可得是钝角，将四个角按照大小排序即可. 【详解】    如图，不妨设正四棱锥的底面边长为2，高，取中点，连接. 易知 所以，则. 过点作于点，连接，因为，所以， 所以即为相邻侧面和侧面所成的二面角的平面角， 即， 在中，根据余弦定理， , 其中，所以. 所以，. 故选：A. 【变式4-3】（24-25高二上·北京·阶段练习）刍甍（chúméng）是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍（如图），底面为矩形，且，平面和为全等的正三角形，，则平面和底面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求二面角 【分析】利用等边三角形的性质、矩形的性质，结合线面平行的性质、二面角的定义、平面与平面夹角定义进行求解即可. 【详解】取的中点，连接， 因为为矩形， 所以有，而，因此， 因为平面，平面平面， 所以，因此， 因为， 所以在矩形中，， 因为和为全等的正三角形， 所以，，， 因为，， 所以是平面和底面所成二面角的平面角. 在等腰梯形中，过做， 显然，于是有， 因此平面和底面的夹角的余弦值为， 故选：B 题型五 已知二面角求其它量 【例5】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知二面角的大小为，且与平面所成线面角为，若的面积为，则的面积的取值范围为 . 【答案】 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离、由线面角的大小求长度、轨迹问题——圆 【分析】根据题意作图，找出二面角和线面角的平面角，在直角三角形中求出各边长，发现点的轨迹是一个圆，从而得到点到的距离的取值范围，代入计算即可得结果. 【详解】 如图，过点作于点，作平面于点,连接, 根据题意，与平面所成线面角为， 平面，平面 又平面，平面，且, 平面，平面，. 二面角所成的平面角是. 设，则. 在中，，则， 在中，，则 所以点在以点为圆心，半径为的圆上. 设点到的距离为，因为，则， 所以，得. 故答案为：. 【变式5-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 【答案】/ 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，解三角形求. 【详解】由多面体为正三棱柱可知，为正三角形，且, 取的中点为，连接，，则，， 所以即为二面角的平面角，所以， 在中，，，所以， 所以正三棱柱侧棱长为. 故答案为：. 【变式5-2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】线面垂直证明线线垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】利用二面角定义以及所给长度由线面垂直性质利用勾股定理计算可得结果. 【详解】如下图所示，以，为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，，故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ∵，则，， 又，平面，故平面， 因为平面，则，故． 故选：C． 【变式5-3】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ． 【答案】/ 【知识点】证明面面平行、证明线面垂直、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】作出辅助线，证明出线面垂直，面面平行，得到点F轨迹为（除外），并得到为二面角的平面角，则，结合菱形性质求出的三边长，得到轨迹长度. 【详解】取的中点，连接， 因为菱形的边长为2，， 所以，均为等边三角形， 故⊥，⊥，且， 为二面角的平面角，则， 故为等边三角形，， 又，平面， 所以⊥平面， 又E为的中点，取的中点，的中点， 连接，则，且， 因为平面，平面，所以平面， 同理得平面， 因为，平面， 故平面平面， 所以⊥平面， 故点F轨迹为（除外）， 故点F轨迹的长度为. 故答案为：. 题型六 平面与平面垂直的判定与证明 【例6】（24-25高二上·海南三亚·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得线线平行，再根据线面平行的判定定理证明线面平行即可； （2）根据线面垂直的性质定理证明，进而证明，即可证明平面，再由面面垂直的判定定理，即可证明结论. 【详解】（1）∵，且为棱的中点，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2） 平面，平面，， 连接，由题意，为棱的中点，， 知，且，则四边形为平行四边形， ，，又， 所以平行四边形为正方形，， 又，，又，平面， 平面，又平面，所以平面平面. 【变式6-1】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，已知平面，则图中互相垂直的平面有 对. 【答案】3 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、线面垂直证明线线垂直 【分析】结合线面垂直的判定定理，根据面面垂直的判定定理判断即可. 【详解】平面平面平面， 平面平面，平面平面，又平面，. 又平面,平面. 又平面平面平面. 故互相垂直的平面有3对. 故答案为：3 【变式6-2】（24-25高二上·北京石景山·期末）如图，在三棱柱中，底面，底面为等边三角形，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】（1）利用作图并证明平行四边形，从而可证线线平行，再利用线面平行的判定定理即可； （2）先证明平面，再利用平行关系，可得平面，再由面面垂直的判定定理即可得证. 【详解】（1）    如图：取的中点，连结，由于分别为的中点． 所以，而，所以有， 又因为， 所以四边形是平行四边形， 故，又因为平面，平面， 所以平面； （2）底面为等边三角形，分别为的中点．可得， 又因为底面， 底面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面． 【变式6-3】（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，长方体中，，，为中点，在线段上，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明面面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）利用线面垂直的性质，结合两个平面相互垂直的定义推理得证. （2）利用几何法作出二面角的平面角，再在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）长方体中，，而平面， 则平面，而平面，因此， 是平面与平面所成二面角的一个平面角， 又，，则， 所以平面平面. （2）连接，由（1）知，， 而平面，则平面， 又平面，于是，是平面与平面所成锐二面角， 在中，， 因此， 所以平面与平面所成锐二面角的正弦值是. 题型七 平面与平面垂直性质的应用 【例7】（22-23高二上·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点M，N分别为的中点． (1)取的中点H，连接，若平面平面，求证：； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】证明线面垂直、求二面角、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，利用几何法求出面面角的余弦值. 【详解】（1）平面平面，且交线为， 过点作的垂线，垂足记为，平面，则平面， 而平面，则， 由平面，平面，得， 又是平面内的相交直线，则平面， 而平面，所以. （2）连接，在中，，又， 则，即，由为的中点，得， 由平面，平面，得， 又平面，则平面， 而平面，则， 故是二面角的平面角， 又平面，则， 在中，，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式7-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 【答案】 【知识点】求二面角 【分析】过点P作,则O点为AB的中点，再过作于，利用线面 垂直的性质与判定确定为二面角的平面角，结合中位线的性质及三角 形三边关系确定最小值即可. 【详解】 过点P作,则O点为AB的中点，且平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 过作于，连接， 因为平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，,， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 此时取得最小值， 故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：. 【变式7-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可； （2）由线面垂直判定定理和性质定理证明即可. 【详解】（1）因为四边形是菱形且， 所以是正三角形，因为G为的中点，所以， 又平面⊥平面，且平面∩平面，平面， 所以平面， （2）因为侧面为正三角形，为边的中点， 所以，又由（1）可知， 又，BG，平面， 所以平面，又平面，所以. 【变式7-3】（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱锥中，为等边三角形，点O为的中点，，平面⊥平面. (1)求证：直线平面； (2)已知E为的中点，F是线段上的点，.若，求λ的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，即可证明； （2）由题意可证得，进而得，从而得出F为中点，可得结论. 【详解】（1）因为为等边三角形，点O为的中点， 所以，又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）由（1）知，，又平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面，平面，则， 所以，由O为中点，可得F为中点，由， 可得. 题型八 平行、垂直关系的综合问题 【例8】（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，， (1)求证：平面； (2)设线段的中点分别为，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】面面垂直证线面垂直、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）取的中点为N，连接，证明四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理即可证明结论. 【详解】（1）因为正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直， ，平面，平面平面, 故平面，平面，故， 是等腰直角三角形，，结合， 则，即， 又平面， 故平面； （2）取的中点为N，连接， 由于线段的中点为，故， 而正方形中，，故， 结合线段的中点为，可得， 即四边形为平行四边形，故， 平面，平面， 故平面. 【变式8-1】（24-25高二上·北京石景山·期末）如图所示，在四面体中，，截面是矩形，给出下列四个结论： ①平面平面； ②平面； ③平面平面； ④平面． 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【知识点】判断线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】利用面面垂直，线面平行的判定定理逐个选项分析即可. 【详解】因为四边形是矩形，所以， 因为面，面， 所以面，而面，面面， 故，同理，而，得到 因为，，面， 所以面，因为面， 所以面面，同理可得面面，故①，③正确， 因为，面，面， 所以平面，故②正确， 不能得到或，故不能得到平面，故④错误. 综上，其中所有正确结论的序号是①②③. 故答案为：①②③ 【变式8-2】（23-24高二上·四川内江·阶段练习）如图，四边形为矩形，为直角梯形，且垂直平面，且，． (1)求证：平面平面； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、证明面面平行、证明线面平行 【分析】（1）由线面平行的判定可证平面，平面，再由面面平行的判定证明结论； （2）由面面垂直的性质得平面，再由线面垂直的性质、判定证平面，最后由线面垂直的性质证线线垂直即可. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 因为为矩形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又是平面内两条相交直线， 所以平面平面. （2）因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面，又平面， . 【变式8-3】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，试确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)点为棱的中点时，平面∥平面；理由见解析. 【知识点】证明线面平行、判断面面平行 【分析】（1）根据三角形中位线定理可得∥，进而根据线面平行的判定定理可得∥平面； （2）根据面面平行的判定，先找到线面平行，当为中点时，运用三角形中位线特征可得线面平行，进而得到面面平行． 【详解】（1）证明：因为在中，、分别为、的中点， 则有∥， 又平面，平面， 所以∥平面． （2）解：当点为棱的中点时，平面∥平面，理由如下： 由（1）知，∥平面， 同理：∥平面， 又平面，平面，， 所以平面∥平面． 题型九 立体几何其它综合问题 【例9】（24-25高二上·浙江杭州·期中）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面CDE，，F为线段DE上的一点． (1)求证：平面平面ABCD； (2)若二面角与二面角的大小相等，求DF的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明面面垂直、求二面角、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）推导出，，从而面，由此能证明平面平面. （2）取的中点，连结，过作交于，过作交于，连结，推导出就是二面角的平面角，就是二面角的平面角，由此能求出的长. 【详解】（1）∵面，面， ∴，又底面是矩形， ∴，, ∴面，平面， ∴平面平面. （2）取的中点，连结，过作交于，过作交于，连结， ∵，∴且， ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面, 平面,则,,, 平面，∴平面,∴, ∴就是二面角的平面角， 同理是二面角的平面角， 因为二面角与二面角的大小相等, 所以二面角的大小是二面角的大小的二倍, 即：， 平面,， 平面,则, ，则平面,同理可得: , 所以、为直角三角形， 而，则 ∴， ∴，在直角三角形中，，所以. ∴DF的长为. 【变式9-1】（2024高二·全国·专题练习）如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则下列说法错误的是（    ）    A．存在点P，使得平面 B．对任意点P，平面平面 C．两条异面直线和所成的角为 D．点到直线的距离为4 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、证明面面垂直 【分析】由与重合时结论成立可得选项A正确；由平面可得选项B正确；通过平行直线转化可得选项C错误；根据余弦定理求得，利用锐角三角函数可得选项D正确. 【详解】A：   连接，当与重合时，由题可知，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面，故A正确； B：   连接，平面，平面，， ∵， ∴， ∵平面，平面， ∵平面，∴对任意点P，平面平面，故B正确； C：   由正方体的结构特征可知，异面直线和所成的角即为和所成的角，由图可知为等边三角形，故和所成的角为，故C错误； D：   由正方体的特征可得， ， ∴点到直线的距离，故D正确. 故选：C. 【变式9-2】（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，若平面与平面的交线为，则点到的距离为 . 【答案】 【知识点】平行公理、平面的基本性质及辨析 【分析】作出平面的交线，再利用等面积法求点到直线距离即可. 【详解】过作，交的延长线于点，连接，如图， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以，，即平面 又平面，所以平面与平面的交线为， 因为，， 设点到的距离为， 由等面积法可知，， 所以， 故答案为：. 【变式9-3】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与底面所成角的正弦值； (3)求侧面与底面所成二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、求线面角、求二面角、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）先证得，由，结合面面垂直的性质，证得平面，进而得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）取的中点，连，，证得平面，得到是所求直线与平面所成角，设，求出，，进而在直角中，即可求解； （3）取的中点分别为，连接，，分析可得是侧面与底面所成二面角的平面角，然后在直角三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为侧面为正三角形，且是的中点， 所以，又因为底面为正方形，所以. 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面. （2）取的中点，连，， 因为为正三角形，且为中点，所以， 又因为平面平面，且平面平面， 且平面，所以平面， 所以是直线与底面所成角， 不妨设，则在等边中，可得， 在直角中，； 在直角中，，故， 所以直线与底面所成角的正弦值为. （3）取的中点分别为，连接，， 则，， 因为，所以， 又因为在正中，， 因为，，平面， 所以平面， 在正方形中，，则平面， 又，平面，所以，， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角， 由（1）知，平面，所以平面， 因为平面，所以， . 设正方形的边长，则，， 所以，所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平面与平面的位置关系知识归纳与题型突破 知识点1 两个平面平行 1.平面与平面平行的定义： 2.两个平面平行的判定定理： （1）定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 （2）图形语言： （3）符号语言：a⊂β，b⊂β， a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β （3）作用：证明两个平面平行 3.两个平面平行的性质定理 （1）定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. （2）图形语言： （3）符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒__a∥b__ （4）作用：证明两直线平行 4.线线平行与面面平行的关系： 5.平行平面之间的距离： 知识点2 平面与平面垂直 1. 二面角与直二面角： （1）有关概念：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． （2）平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. 如图，OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角. （3）范围：[0，π] （4）记法：棱为l，面分别为α，β的二面角记为α－l－β.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－l－Q （5）度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角 （6）两个平面垂直：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直. 2.两个平面垂直的判定定理： （1）定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言：l⊥α，l⊂β⇒α⊥β （4）作用：判断两平面垂直 3. 两个平面垂直的性质定理 （1）定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 （2）图形语言： （3）符号语言：α⊥β，l⊂β，α∩β＝a，l⊥a⇒l⊥α （4）作用：证明直线与平面垂直 4.线线垂直与面面垂直的关系： 题型一 平行、垂直关系命题正误的判定 【例1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【变式1-2】（浙江省宁波三锋教研联盟2021-2022学年高一下学期期中）设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，，则 D．若，，，，，则 【变式1-3】（多选）（24-25高二下·贵州铜仁·阶段练习）已知直线和平面，则下列命题中正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型二 面面平行的判定与证明 【例2】（2023春·全国·高一专题练习）（1）叙述两个平面平行的判定定理，并证明; （2）如图，正方体中，分别为的中点，求证:平面平面. 【变式2-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①；②平面；③平面；④平面平面． 以上四个命题中，正确命题的序号是    【变式2-2】（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【变式2-3】（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 题型三 平面与平面平行的性质及应用 【例3】（2023·高一课时练习）如图，平面平面平面，异面直线 分别与平面 相交于点和点．已知，，，求、、的长． 【变式3-1】（2019高一上·全国·专题练习）已知P为△所在平面外一点，平面∥平，且交线段于点，若，则:（    ） A．2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 【变式3-2】（19-20高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·全国·高一专题练习）如图，直线被三个平行平面所截．求证：． 题型四 求二面角（函数值）大小 【例4】（24-25高二上·山东青岛·期末）《九章算术》中记载了一种名为“刍甍”的空间几何体．如图，几何体中，四边形矩形，，，和都是正三角形，则平面与平面夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·辽宁大连·期末）在正四棱锥中，记侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，相邻两侧面所成的二面角的平面角为，侧面等腰三角形的底角为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·北京·阶段练习）刍甍（chúméng）是中国古代算数中的一种几何体，它是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍（如图），底面为矩形，且，平面和为全等的正三角形，，则平面和底面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型五 已知二面角求其它量 【例5】（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知二面角的大小为，且与平面所成线面角为，若的面积为，则的面积的取值范围为 . 【变式5-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为 ． 【变式5-2】（24-25高二上·福建福州·阶段练习）如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式5-3】（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知菱形的边长为2，．将菱形沿对角线AC折叠成大小为二面角．设E为的中点，F为三棱锥表面上动点，且总满足，则点F轨迹的长度为 ． 题型六 平面与平面垂直的判定与证明 【例6】（24-25高二上·海南三亚·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【变式6-1】（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，已知平面，则图中互相垂直的平面有 对. 【变式6-2】（24-25高二上·北京石景山·期末）如图，在三棱柱中，底面，底面为等边三角形，分别为的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【变式6-3】（24-25高二上·广东深圳·期末）如图，长方体中，，，为中点，在线段上，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的正弦值． 题型七 平面与平面垂直性质的应用 【例7】（22-23高二上·甘肃兰州·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，点M，N分别为的中点． (1)取的中点H，连接，若平面平面，求证：； (2)已知，求平面与平面的夹角的余弦值． 【变式7-1】（24-25高二上·上海·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 【变式7-2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，四棱锥中，底面是且边长为的菱形，侧面为正三角形，其所在平面垂直于底面，为边的中点.求证： (1)平面； (2). 【变式7-3】（24-25高二上·北京·期中）如图，在三棱锥中，为等边三角形，点O为的中点，，平面⊥平面. (1)求证：直线平面； (2)已知E为的中点，F是线段上的点，.若，求λ的值. 题型八 平行、垂直关系的综合问题 【例8】（24-25高二下·江苏扬州·阶段练习）如图，正方形所在的平面与平面四边形所在的平面互相垂直，是等腰直角三角形，， (1)求证：平面； (2)设线段的中点分别为，求证：平面. 【变式8-1】（24-25高二上·北京石景山·期末）如图所示，在四面体中，，截面是矩形，给出下列四个结论： ①平面平面； ②平面； ③平面平面； ④平面． 其中所有正确结论的序号是 . 【变式8-2】（23-24高二上·四川内江·阶段练习）如图，四边形为矩形，为直角梯形，且垂直平面，且，． (1)求证：平面平面； (2)若，求证：． 【变式8-3】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证： (1)∥平面； (2)若点为棱上一点，试确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由． 题型九 立体几何其它综合问题 【例9】（24-25高二上·浙江杭州·期中）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面CDE，，F为线段DE上的一点． (1)求证：平面平面ABCD； (2)若二面角与二面角的大小相等，求DF的长． 【变式9-1】（2024高二·全国·专题练习）如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，点P为线段上的动点（包含端点），则下列说法错误的是（    ）    A．存在点P，使得平面 B．对任意点P，平面平面 C．两条异面直线和所成的角为 D．点到直线的距离为4 【变式9-2】（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知正方形和矩形所在平面互相垂直，，，若平面与平面的交线为，则点到的距离为 . 【变式9-3】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与底面所成角的正弦值； (3)求侧面与底面所成二面角的余弦值. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$