精品解析：甘肃省陇南市武都区2024-2025学年九年级下学期4月月考数学试题

2025年陇南市中考全仿真模拟试题数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 的倒数是（ ） A. － B. C. － D. 2. 将下列图形绕虚线旋转一周得到几何体是球的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在 中，， 的垂直平分线交 于点 ，交 于，当平分时，图中相等的线段有（ ） A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组 6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移4个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 为了调查不同品牌的衬衣销售情况，某校数学兴趣小组统计了A，B两款衬衣一周的销量，下图是两款衬衣一周的销量变化趋势图，则下列说法正确的是（　　） A. 甲款衬衣的销量比乙款衬衣销量稳定 B. 乙款衬衣的销量平均数高于甲款衬衣 C. 甲款衬衣与乙款衬衣销量的变化趋势相同 D. 甲款衬衣的销量比乙款衬衣的销量好 8. 某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当 时， D. 当时，y随x的增大而减小 10. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A. 16 B. 20 C. 36 D. 45 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：______． 12. 在研究幻方的综合实践中，小华填入如图的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则 ______． 13. 如图，以对角线的交点O为原点，平行于 边的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若A点坐标为，则C点坐标为___________． 14. 如图，在的内接五边形中，，则的度数为_____． 15. 如图，在 中，．点 ，分别在边， 上，连接，将沿折叠，点 的对应点为点．若点刚好落在边 上，，则 的长为__________． 16. 如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，则∠AED的度数为_________． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 解方程：． 20. 如图，在四边形 中，， ． （1）用尺规作的角平分线，交 于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 21. 3支业余足球队即将比赛，他们各派出一名代表甲、乙、丙，3人都随意并且同时做出“石头、剪刀、布”（如图）3种手势中的1种来决定比赛顺序． （1）求甲、乙都做出“石头”手势的概率； （2）甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率是______． 22. 如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得教学楼 顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼 之间的距离 为，点A，B，C，D都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼 之间的水平距离的长度（结果保留根号）； （2）求教学楼 的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级1400名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 A a 65 B 10 75 C 14 85 D 18 95 请根据图表信息，解答下列问题： （1）一共抽取了______人，表中 ______； （2）求所抽取的这些学生的平均成绩； （3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生大约有多少人？ 24. 如图，一次函数的图像与y轴负半轴交于点A，与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，当的面积为3时，求一次函数的表达式． 25. 如图，已知四边形 为菱形，点A，B，C在上，为的切线．的延长线与的延长线交于点E，与 交于点F． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，求的长． 26. 【基础问题】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在等边中，D为 边上一点，E为边上一点，且，，，求 的长； （3）如图3，在四边形中，，交于点E，，交于点F，，，，求的值． 27. 已知抛物线与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左边），与轴交于点． （1）求抛物线 的表达式； （2）若将抛物线 沿 轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点 ，点是平面内任意一点，是否存在以 、 、、 四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年陇南市中考全仿真模拟试题数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 的倒数是（ ） A. － B. C. － D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的倒数，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可． 【详解】解：∵ ∴的倒数是． 故选D． 2. 将下列图形绕虚线旋转一周得到几何体是球的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面动成体判断出如图所示的图形旋转得到立体图形即可得解． 本题考查了点、线、面、体，熟悉并判断出旋转后的立体图形是解题的关键． 【详解】解：A中图形旋转后得到圆台，不符题意； B中图形旋转后得到圆柱，不符题意； C中图形旋转后得到圆锥，不符题意； D中图形旋转后得到球体，符合题意； 故选：D 3. 如图，将直尺与角的三角尺叠放在一起，若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知可知∠3=60°，∠1=55°，再根据两直线平行，同旁内角互补，可得∠1+∠3+∠2=180°，即可得出答案． 【详解】解：∵∠3=60°，∠1=55°， ∴∠1+∠3=115°， ∵AD//BC， ∴∠1+∠3+∠2=180°， ∴∠2=180°-(∠1+∠3)=180°-115°=65°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，熟练应用平行线的性质进行求解是解决本题的关键． 4. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先移项再系数化1，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，在中，，的垂直平分线交 于点 ，交于，当平分时，图中相等的线段有（ ） A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，理解相关知识是解答关键． 利用垂直平分线得到，，根据角平分线的性质和判定三角形全等的 得到，根据全等三角形的性质得到，，再利用等量代替得到即可求解． 【详解】解：的垂直平分线交 于点 ， ，，． 平分， ． ，， ， ，， ． 故图中相等的线段有组． 故选：D． 6. 在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向下平移4个单位后，得到一个正比例函数的图象，则m的值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则，求出新的解析式，根据正比例函数的定义，求出m的值即可． 【详解】解：∵将一次函数的图象向下平移4个单位后，得到一个正比例函数的图象， ∴， 则， 即， 故选：A． 7. 为了调查不同品牌的衬衣销售情况，某校数学兴趣小组统计了A，B两款衬衣一周的销量，下图是两款衬衣一周的销量变化趋势图，则下列说法正确的是（　　） A. 甲款衬衣的销量比乙款衬衣销量稳定 B. 乙款衬衣的销量平均数高于甲款衬衣 C. 甲款衬衣与乙款衬衣销量的变化趋势相同 D. 甲款衬衣的销量比乙款衬衣的销量好 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，读懂折线统计图是解题关键．根据折线统计图逐项判断即可得． 【详解】解：A、甲款衬衣的销量不稳定，乙款衬衣销量较为稳定，则此项错误，不符合题意； B、每一时间段，甲款衬衣的销量都高于乙款衬衣的销量，甲款衬衣的销量平均数高于乙款衬衣，则此项错误，不符合题意； C、甲款衬衣的销量的变化趋势是先减小、再增加，乙款衬衣销量的变化趋势是先增加、再减小，又增大，则此项错误，不符合题意； D、甲款衬衣的销量比乙款衬衣的销量好，则此项正确，符合题意； 故选：D． 8. 某花园内有一块五边形的空地如图所示，为了美化环境，现计划在五边形各顶点为圆心，长为半径的扇形区域（阴影部分）种上花草，那么种上花草的扇形区域总面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，扇形面积公式，理解5个扇形的面积和为圆心角是，半径是的扇形的面积是解题关键．先求出五边形的内角和，再利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：该五边形的内角和为， 扇形区域总面积是， 故选：C． 9. 抛物线上部分点的坐标如下表，下列关于该抛物线的说法错误的是（ ） x … 0 1 … y … … A. 对称轴是直线 B. 抛物线开口向下 C. 当 时， D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，观察表格根据抛物线的对称性可得对称轴，进而得出开口方向，再根据增减性解答D，最后根据对称性说明C即可． 【详解】解：当时，；当时，， ∴抛物线的对称轴为，故A正确； ∴顶点为， ∴抛物线的开口向下，故B正确； ∴当时，y随着x的增大而减小，故D正确； ∵抛物线对称轴为直线 ∴ 时，与时的函数值相等，即，故C错误； 故选：C． 10. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A. 16 B. 20 C. 36 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可得：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，进而可求得矩形PQMN的面积． 【详解】解：由图2可知： 当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4， 当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5， 所以矩形PQMN的面积为4×5＝20． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解决问题的关键是动点变化过程中根据函数图象得矩形的边长． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式m分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 在研究幻方的综合实践中，小华填入如图的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程，根据题意列方程是解题的关键； 根据题意，可得，进而求解即可； 【详解】解：根据题意，可得； 解得 ； 故答案为： 13. 如图，以对角线的交点O为原点，平行于 边的直线为x轴，建立平面直角坐标系，若A点坐标为，则C点坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据对角线的交点O为原点，A点的坐标，即可得到C点坐标． 【详解】∵对角线的交点O为原点，A点坐标为， ∴C点坐标为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形的性质解答． 14. 如图，在的内接五边形中，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，先由圆内接四边形，对角互补得，结合圆周角定理的，再根据，即可作答． 【详解】解：∵五边形是的内接五边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即， 故答案为：． 15. 如图，在中，．点 ，分别在边， 上，连接，将沿折叠，点 的对应点为点．若点刚好落在边 上，，则 的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠，点 的对应点为点．点刚好落在边 上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 16. 如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形，则∠AED的度数为_________． 【答案】150 【解析】 【分析】根据题意先得出AB=BC=BE,EC=BC=DC,并以此求出∠AEB 和∠DEC，进而利用∠AED=360°-∠AEB -∠DEC -∠BEC即可求出∠AED的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形， ∴AB=BC=BE,EC=BC=DC, ∠ABE=∠DCE=90°-60°=30°， ∴∠AEB=∠EAB=（180°-30°）÷2=75°， ∴∠DEC=∠EDC=（180°-30°）÷2=75°， ∴∠AED=360°-∠AEB -∠DEC -∠BEC =360°-75°-75°-60°=150°． 故答案为：150°． 【点睛】本题考查正方形的性质以及等腰、等边三角形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，先化简二次根式，计算零指数幂，再计算乘方和除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将方程两边同乘，转化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：两边同乘得：， 解得： ， 检验：当 时，， ∴原分式方程的解为 ． 20. 如图，在四边形 中，， ． （1）用尺规作的角平分线，交 于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）连接．求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，即为所求 （2） 证明：为的平分线， ， ∵ ， ， 四边形为平行四边形 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、菱形的判定，熟练掌握菱形的判定、角平分线的定义以及作图方法是解答本题的关键； （1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质可得，则，进而可得，则四边形为平行四边形，再根据，即可证出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 3支业余足球队即将比赛，他们各派出一名代表甲、乙、丙，3人都随意并且同时做出“石头、剪刀、布”（如图）3种手势中的1种来决定比赛顺序． （1）求甲、乙都做出“石头”手势的概率； （2）甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出表格，数出所有的情况和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可； （2）根据题意，画出树状图，数出所有的情况和符合条件的情况数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，列出表格如下： 石头 剪刀 布 石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布） 剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布） 布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布） 一共有9种情况，甲、乙都做出“石头”手势的有1种情况， ∴甲、乙都做出“石头”手势的概率； 【小问2详解】 解：根据题意，画出树状图如图： 一共有27种情况，甲、乙、丙做出的手势均不相同的有6种情况， ∴甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率； 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 22. 如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得教学楼 顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼 之间的距离为，点A，B，C，D都在同一平面上． （1）求此时无人机D与教学楼 之间的水平距离的长度（结果保留根号）； （2）求教学楼 的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，确定目标线段与直角三角形各边之间的和差关系是解题关键. （1）根据，进而根据线段的和差关系，即可求解； （2）过点C作，垂足为F，在中，求出，进而根据线段的和差关系，即可求解； 【小问1详解】 解：在中，，， ， ， ， 此时无人机D与教学楼 之间的水平距离的长度为； 【小问2详解】 解：过点C作，垂足为F， 由题意得：，，， ， 在中，， ， ， 教学楼 的高度约为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 为宣传6月8日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物多样性”的知识竞赛活动．为了解全年级1400名学生此次竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计图表． 成绩频数分布表 组别 分数/分 频数 组内学生的平均成绩/分 A a 65 B 10 75 C 14 85 D 18 95 请根据图表信息，解答下列问题： （1）一共抽取了______人，表中 ______； （2）求所抽取的这些学生的平均成绩； （3）请你估计该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生大约有多少人？ 【答案】（1）50，8 （2）所抽取的这些学生的平均成绩是分 （3）该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有504人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，加权平均数和用样本估计总体，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）用D组的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而可求出a的值； （2）先计算出总得分，再用总得分除以总人数即可得到答案； （3）用1400乘以样本中竞赛成绩达到90分及以上的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解；本次调查一共随机抽取学生：（人）， 则A组的人数（人）， 故答案为：50．8； 【小问2详解】 解：（分）， ∴所抽取的这些学生的平均成绩是分； 【小问3详解】 解：（人）， ∴该校九年级竞赛成绩达到90分及以上的学生约有504人． 24. 如图，一次函数的图像与y轴负半轴交于点A，与反比例函数的图像交于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）连接，当的面积为3时，求一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式， （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据的面积为3得到，求出，即，然后利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 将代入 得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 ∵的面积为3 ∴ ∴ ∴ ∴将，代入得， ，解得 ∴一次函数的表达式为． 25. 如图，已知四边形 为菱形，点A，B，C在上，为的切线．的延长线与的延长线交于点E，与 交于点F． （1）求证：为的切线； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵四边形 是菱形， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ， 在和中， ， ， ， ∵点C在上， ∴为的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可； （2）根据菱形得到平行，则，则，故，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形 是菱形， ，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 26. 【基础问题】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边上，，求证：． 【拓展延伸】 （2）如图2，在等边中，D为 边上一点，E为边上一点，且，，，求 的长； （3）如图3，在四边形中，，交于点E，，交于点F，，，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，结合，则，证明，即可作答． （2）先由等边三角形的性质得，再结合，得，证明，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）因为，，则 所以，则，得，解得，故．即可作答． 本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）， ， ∵四边形 为矩形， ， ， ， ； （2）∵为等边三角形， ， ， ， ， ． ， ∴， 即， 解得； （3）， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， ． 27. 已知抛物线与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左边），与轴交于点． （1）求抛物线 的表达式； （2）若将抛物线 沿 轴向右平移得到抛物线，平移后点的对应点为点 ，点是平面内任意一点，是否存在以 、 、、 四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线 的表达式为 （2）存在，点的坐标为或或或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是分类讨论． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，得到，过点 作轴于点 ，根据菱形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线得：， 解得：， 抛物线 的表达式为； 【小问2详解】 解：存在以 、 、、 四个点为顶点的四边形是菱形，理由如下： ， 令，则， 解得：，， 点，点． ， 如图，当四边形为菱形时，，过点 作轴于点 ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ． 同理，如图，当四边形为菱形时，，， ， 当四边形为菱形时，设交于点，则， ， ； 综上所述，点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $