精品解析：天津市军粮城中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题

数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的定义域为R，的导函数的图象如所示，则（ ） A. 在处取得极小值 B. 在处取得极大值 C. 是上的增函数 D. 是上的减函数，上的增函数 2. 函数在上的最小值和最大值分别是 A. B. C. D. 3. 设是上的可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 4. 若是函数的导函数，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（ ） A. 20 B. 30 C. 22 D. 40 7. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，其中偶数的个数有（ ） A. 512 B. 192 C. 180 D. 156 8. 3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 9. 某班组织文艺晚会, 准备从等个节目中选出个节目演出, 要求两个节目至少有一个被选中, 且同时被选中时, 它们的演出顺序不能相邻, 那么不同的演出顺序种数为 A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 函数在上的最小值为___________. 11. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为_________. 12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围_____. 13. 甲、乙、丙、丁等6名同学站成一排照相，若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端，则不同的站法种数为______．（用数字作答） 14. 若，则正整数___________. 15. 如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．（填数字） 三、解答题：本题共5小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （1）计算：； （2）解不等式：. 17. 某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名. （1）将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？ （2）从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？ 18. 已知函数 （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 19. 已知函数，． （1）求函数的单调区间及极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的定义域为R，的导函数的图象如所示，则（ ） A. 在处取得极小值 B. 在处取得极大值 C. 是上的增函数 D. 是上的减函数，上的增函数 【答案】C 【解析】 【分析】由导函数图象可知在上恒成立,即在上单调递增,即可判断选项. 【详解】由图可得,在上恒成立,即在上单调递增,故C正确、D错误； 所以没有极值,故A、B错误； 故选:C 【点睛】本题考查导函数图象的应用,属于基础题. 2. 函数在上的最小值和最大值分别是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可． 【详解】函数，cosx， 令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x， ∴f（x）在[0，）递减，在（，]递增， ∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1， 故f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值分别是：． 故选A． 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题． 3. 设是上的可导函数，且满足，则在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题可根据导数的定义以及几何意义得出结果. 【详解】因为， 所以在点处的切线的斜率为， 故选：A. 4. 若是函数的导函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出的导数，然后令，解方程即可解. 【详解】根据题意，， 所以， 令，得， 解得，所以， 则. 故选：A 5. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的求导公式直接求导. 【详解】A选项：，A选项错误； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项错误； 故选：B. 6. 学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（ ） A. 20 B. 30 C. 22 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用两个基本原理，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】选出的志愿者中，有2个女生2个男生时，选法种数为种， 有3个女生1个男生时，选法种数为种， 所以不同选法有种. 故选：C 7. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，其中偶数的个数有（ ） A. 512 B. 192 C. 180 D. 156 【答案】D 【解析】 【分析】根据个位分为两类，利用分步乘法计数原理计算各类，再由分类加法计数原理求解. 【详解】当0在个位时，有个四位偶数， 当2或4在个位时，先安排个位有种，再安排千位有种，最后安排中间两位有种方法，由分步乘法原理知共有个不同四位偶数， 再由分类加法计数原理知，共有个四位偶数. 故选：D 8. 3个男生2个女生站成一排，其中女生相邻的排法个数是（ ） A. 24 B. 48 C. 96 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】可以用捆绑法解题． 【详解】根据捆绑法，“先捆再松”.可以将女生看作一个整体与男生全排，有种， 女生自身“内排”有种，则女生相邻的排法个数是：. 故选：B. 9. 某班组织文艺晚会, 准备从等个节目中选出个节目演出, 要求两个节目至少有一个被选中, 且同时被选中时, 它们的演出顺序不能相邻, 那么不同的演出顺序种数为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】只被选中一个时，有种； 都被选中时，有种； 一共有1140种 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 函数在上的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最值. 【详解】， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以函数在上单调递减；在上单调递增； 所以. 故答案为： 11. 若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，将不等式转化为，令，求出的最大值，令可得结果. 【详解】不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 设函数，，都是减函数， 所以在上是单调递减函数， 所以， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 12. 若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围_____. 【答案】 【解析】 【分析】讨论函数的单调性进而得出极值点，再结合零点存在定理和放缩法即可证明. 【详解】，，， 令，令， 于是在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以时，函数有极大值为，时，函数有极小值为. 由题意函数在R上由3个不同的零点，则根据三次函数的性质知. 故答案为：. 13. 甲、乙、丙、丁等6名同学站成一排照相，若要求甲与乙、丙均相邻，丁不站在两端，则不同的站法种数为______．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 【分析】甲、乙、丙均相邻，则甲在乙、丙之间，再利用捆绑法即可. 【详解】甲、乙、丙均相邻，则甲在乙、丙之间， 乙丙的排列有种，把甲、乙、丙视为一个整体，与余下3个人共4个位置， 丁只能在中间两个位置之一，不同的排法种数是种， 故答案为：24. 14. 若，则正整数___________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据排列数和组合数的运算性质直接计算即可. 【详解】因为， 所以， 解得：. 故答案为：8. 15. 如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．（填数字） 【答案】72 【解析】 【分析】根据图形，首先确定涂有4种涂法，则涂有3种涂法，进而由与、相邻，只与相邻，可以确定、的涂色的情况，最后由乘法原理，计算可得答案． 【详解】根据题意，首先涂有种涂法，则涂有种涂法， 与、相邻，则有种涂法，只与相邻，则有种涂法， 所以共有种涂法， 故答案为：72． 三、解答题：本题共5小题，共45分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （1）计算：； （2）解不等式：. 【答案】（1）6；（2）. 【解析】 【分析】根据题意，利用排列数的计算公式，准确运算，即可求解. 【详解】解：（1）由排列数的公式，可得. （2）因为，可得， 所以，可得， 又因为且，解得， 所以不等式的解集为. 17. 某学习小组共6人，其中男生3名，女生3名. （1）将6人排成一排，3名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？ （2）从6人中选出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有多少种？ 【答案】（1）120 （2）14 【解析】 【分析】（1）先将6人进行全排，再除以可得答案； （2）利用间接法，即可求解. 【小问1详解】 男生3名，女生3名站成一排，共有种，又因为3名男生从左到右的顺序一定， 所以不同的排法种数为种； 【小问2详解】 从6人中出4人，女生甲和女生乙至少1人在内的不同选法共有种. 18. 已知函数 （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先求函数的导数，再利用导数的几何意义求切线方程；（2）首先利用导数判断函数的单调性，根据单调性求函数的最大值和最小值，端点时可能的最大值，再通过做差比较大小，求最大值. 【详解】（1），， 所以，函数的图象在点处的切线的斜率为， ，所以，函数的图象在点处的切线方程为， 即； （2），. 当时，；当时，. 所以，， 因为，， 所以，，则， 所以，函数在上的最大值为. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查函数的最值与导数，在处理函数的最值时，要充分利用导数分析函数的单调性，并将极值与端点函数值作大小比较得出结论，考查计算能力与分析问题的能力，属于中等题. 19. 已知函数，． （1）求函数的单调区间及极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为，极大值，无极小值 （2） 【解析】 【分析】（1）求导根据导数的正负判断单调性与极值； （2）解法一：设，，求导，再令，，求导可判断，使得，即，则，即，进而确定函数函数得单调性与最值，进而可得；解法二：令，求导可证，所以，当时等号成立，所以的最小值为，若恒成立，则，即可得. 【小问1详解】 由已知可得，函数的定义域为，且， 当时，； 当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以是的极大值点，无极小值点， 所以的极大值为，无极小值； 【小问2详解】 解法一：设，， 则， 令，， 则对任意恒成立， 所以在上单调递减， 又，， 所以，使得，即，则，即． 因此，当时，，即，则单调递增； 当时，，即，则单调递减， 故，解得， 所以当时，恒成立，即实数的取值范围是． 解法二：令，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． 因为，所以， 当时等号成立， 即，当时等号成立， 所以的最小值为． 若恒成立，则， 所以当时，恒成立， 即实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题； (4)考查数形结合思想的应用． 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，然后分和讨论函数的单调性； （2）先根据求出，再将不等式恒成立问题转化为，构造函数，求其最小值即； （3）将函数在定义域内有两个不同的零点的问题转化为函数和函数的图象有两个不同的交点，观察图象可得答案. 【小问1详解】 由已知， 当时，恒成立，函数在上单调递增， 当时，令，得，函数单调递增， 令，得，函数单调递减， 综上：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 若函数在处取得极值，则，解得， 经检验符合题意， 所以， 则不等式恒成立即恒成立， 整理得在上恒成立， 所以，设， 则， 令，得，单调递减，令，得，单调递增， 所以， 所以； 【小问3详解】 令，可得， 若函数在定义域内有两个不同的零点， 则函数和函数的图象有两个不同的交点， 当函数和函数的图象相切时， 因为函数和函数均过点，则为切点， 又， 则切线方程为，故，即 如图，当时，函数和函数的图象只有一个交点， 观察图象可得： 当函数和函数的图象有两个不同的交点时有且， 即且， 即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒成立问题一般通过参变分离转化为最值问题，同时零点个数问题转化为方程的根的个数或者函数图象的交点个数问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $